第一章有限元法基本原理

1、農(nóng)業(yè)機(jī)械有限元軟件方法農(nóng)業(yè)機(jī)械有限元軟件方法吉林大學(xué)生物與農(nóng)業(yè)工程學(xué)院吉林大學(xué)生物與農(nóng)業(yè)工程學(xué)院韓志武韓志武 第一章第一章 有限元法基本原理有限元法基本原理1.11.1有限元法方法及其歷史有限元法方法及其歷史1.1 1.1 有限元法簡(jiǎn)介及其歷史有限元法簡(jiǎn)介及其歷史v精確解：少數(shù)方程性質(zhì)簡(jiǎn)單，形狀規(guī)則；精確解：少數(shù)方程性質(zhì)簡(jiǎn)單，形狀規(guī)則； v復(fù)雜問(wèn)題解：簡(jiǎn)化假設(shè)復(fù)雜問(wèn)題解：簡(jiǎn)化假設(shè)+ +數(shù)值解法數(shù)值解法 v有限差分法：網(wǎng)格，用差分方程近似微分方程有限差分法：網(wǎng)格，用差分方程近似微分方程流體應(yīng)用；流體應(yīng)用； v其他方法：配點(diǎn)法、最小二乘法、其他方法：配點(diǎn)法、最小二乘法、GalerkinGalerk

2、in法、力矩法、里法、力矩法、里茲法；茲法；v共同點(diǎn)：在整個(gè)求解域上假設(shè)近似函數(shù)。共同點(diǎn)：在整個(gè)求解域上假設(shè)近似函數(shù)。 有限元的發(fā)展簡(jiǎn)史有限元的發(fā)展簡(jiǎn)史有限元方法的提出有限元方法的提出現(xiàn)代有限元現(xiàn)代有限元 19431943年，年， Courant Courant應(yīng)用定義在三角形應(yīng)用定義在三角形區(qū)域上的分片連續(xù)區(qū)域上的分片連續(xù)函數(shù)和最小位能原函數(shù)和最小位能原理相結(jié)合，求解理相結(jié)合，求解St.VenantSt.Venant 特殊特殊問(wèn)題。問(wèn)題。19561956年，年， Turner,Turner,Clough,Clough,剛架剛架位移法推廣應(yīng)位移法推廣應(yīng)用于彈性力學(xué)用于彈性力學(xué)問(wèn)題，分析飛問(wèn)題，

3、分析飛機(jī)結(jié)構(gòu)。機(jī)結(jié)構(gòu)。 19601960年，年，CloughClough處理處理平面彈性問(wèn)題，平面彈性問(wèn)題，第一次提出第一次提出“有限單元法有限單元法”。19631964,19631964,BesselingBesseling, ,Melosh,JonesMelosh,Jones證明有限元法是證明有限元法是基于變分原理基于變分原理的里茲法，的里茲法，確認(rèn)了有限元確認(rèn)了有限元法是處理連續(xù)法是處理連續(xù)介質(zhì)問(wèn)題的介質(zhì)問(wèn)題的一種普遍方法。一種普遍方法。有限元法假定的近似函數(shù)不是在全求解域而有限元法假定的近似函數(shù)不是在全求解域而是在單元上規(guī)定的，而且事先不要求滿足任是在單元上規(guī)定的，而且事先不要求滿足任

4、何邊界條件，可以處理很復(fù)雜的連續(xù)介質(zhì)問(wèn)何邊界條件，可以處理很復(fù)雜的連續(xù)介質(zhì)問(wèn)題。題。四十多年來(lái)，彈性力學(xué)平面問(wèn)題擴(kuò)展到空四十多年來(lái)，彈性力學(xué)平面問(wèn)題擴(kuò)展到空間問(wèn)題，板殼問(wèn)題，由靜力平衡問(wèn)題擴(kuò)展間問(wèn)題，板殼問(wèn)題，由靜力平衡問(wèn)題擴(kuò)展到穩(wěn)定問(wèn)題，動(dòng)力問(wèn)題和波動(dòng)問(wèn)題。分析到穩(wěn)定問(wèn)題，動(dòng)力問(wèn)題和波動(dòng)問(wèn)題。分析對(duì)象從彈性材料擴(kuò)展到塑性，粘彈性，粘對(duì)象從彈性材料擴(kuò)展到塑性，粘彈性，粘塑性和復(fù)合材料，從固體力學(xué)擴(kuò)展到流體塑性和復(fù)合材料，從固體力學(xué)擴(kuò)展到流體力學(xué)，傳熱學(xué)等連續(xù)介質(zhì)力學(xué)領(lǐng)域。力學(xué)，傳熱學(xué)等連續(xù)介質(zhì)力學(xué)領(lǐng)域。變分法建立變分法建立有限元方程有限元方程與經(jīng)典里茲與經(jīng)典里茲法的主要法的主要區(qū)別區(qū)別有限元法

5、有限元法的應(yīng)用的應(yīng)用有限元法的基本解題思路：有限元法的基本解題思路： 將連續(xù)求解區(qū)域離散一組有限個(gè)且按一定方將連續(xù)求解區(qū)域離散一組有限個(gè)且按一定方式相互聯(lián)結(jié)在一起的單元的組合體，利用在每一個(gè)式相互聯(lián)結(jié)在一起的單元的組合體，利用在每一個(gè)單元內(nèi)假設(shè)的近似函數(shù)來(lái)分片的表示全求解域上待單元內(nèi)假設(shè)的近似函數(shù)來(lái)分片的表示全求解域上待求的未知場(chǎng)函數(shù)。單元內(nèi)的近似函數(shù)由插值函數(shù)表求的未知場(chǎng)函數(shù)。單元內(nèi)的近似函數(shù)由插值函數(shù)表達(dá)，未知場(chǎng)函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)在各個(gè)結(jié)點(diǎn)上的數(shù)值就成達(dá)，未知場(chǎng)函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)在各個(gè)結(jié)點(diǎn)上的數(shù)值就成為新的未知量，從而使一個(gè)連續(xù)的無(wú)限自由度問(wèn)題為新的未知量，從而使一個(gè)連續(xù)的無(wú)限自由度問(wèn)題變成離散的有限

6、自由度問(wèn)題，插值求整個(gè)解。變成離散的有限自由度問(wèn)題，插值求整個(gè)解。 參考書(shū)目：參考書(shū)目： v有限元法及其在鍛壓工程中的應(yīng)用有限元法及其在鍛壓工程中的應(yīng)用呂麗萍主編，呂麗萍主編，西北工業(yè)大學(xué)出版社西北工業(yè)大學(xué)出版社 v彈性和塑性力學(xué)中的有限單元法彈性和塑性力學(xué)中的有限單元法丁皓江等主編，丁皓江等主編，機(jī)械工業(yè)出版社機(jī)械工業(yè)出版社v有限元分析的基本方法及工程應(yīng)用有限元分析的基本方法及工程應(yīng)用周昌玉、賀周昌玉、賀小華小華 編著，化學(xué)工業(yè)出版社編著，化學(xué)工業(yè)出版社1.2 1.2 位移函數(shù)與形狀函數(shù)位移函數(shù)與形狀函數(shù)1 1、坐標(biāo)系、坐標(biāo)系以桿單元為例：以桿單元為例： X YZi jiu iUiv iVi

7、w iWjujUjv jVjw jW 和和 是是 兩點(diǎn)沿方向的位移分量。兩點(diǎn)沿方向的位移分量。 和和 是是 兩點(diǎn)沿方向的節(jié)點(diǎn)力分量。兩點(diǎn)沿方向的節(jié)點(diǎn)力分量。統(tǒng)一規(guī)定：和坐標(biāo)軸正向一致的為正。統(tǒng)一規(guī)定：和坐標(biāo)軸正向一致的為正。 iuiviwjujvjwijiUiViWjUjVjWijv內(nèi)位移：桿單元在節(jié)點(diǎn)力的作用下所產(chǎn)生的內(nèi)位移：桿單元在節(jié)點(diǎn)力的作用下所產(chǎn)生的位移稱為內(nèi)位移。位移稱為內(nèi)位移。v位移函數(shù)：描繪內(nèi)位移的函數(shù)。位移函數(shù)：描繪內(nèi)位移的函數(shù)。)(iiUu)(jjUuijlX材料力學(xué)：僅受軸向力作用的桿，其中各點(diǎn)的位移是材料力學(xué)：僅受軸向力作用的桿，其中各點(diǎn)的位移是沿桿的軸線按線性規(guī)律變化，

8、即：沿桿的軸線按線性規(guī)律變化，即： 為桿單元位移函數(shù)。為桿單元位移函數(shù)。 其中：其中： ， 待定常數(shù)，由待定常數(shù)，由 ，節(jié)點(diǎn)的位移確定。，節(jié)點(diǎn)的位移確定。用矩陣表示為用矩陣表示為 ： xaaxu211 . 1 1a2aij aQaaxxuf2112 . 1式中：式中：1 1和和 為基底函數(shù)，為基底函數(shù)， 為基底函數(shù)矩陣。為基底函數(shù)矩陣。 ， 為為單元的廣義位移，單元的廣義位移， 為廣義位移列陣。為廣義位移列陣。由單元的邊界條件，確定廣義位移：由單元的邊界條件，確定廣義位移： ， ; , ; , 。 代入代入 式：式： x Q1a2a a0 x iuu0lx ju lu1 . 1laauauji

9、211矩陣形式為：矩陣形式為：式中：式中： 為單元的節(jié)點(diǎn)位移為單元的節(jié)點(diǎn)位移 。 acaaluujie21101 ejiuu則：則： 為變換矩陣為變換矩陣 。式中：式中： ace3 . 1 c eca14 . 1 111010111clll則：則： 代入代入 式：式：121011iijijuuauuualll5 . 1iua 1juuaij21 . 1設(shè)：設(shè)： ， 代入上式，得：代入上式，得：矩陣形式：矩陣形式： jiijiulxulxxluuuxu1lxNi1lxNj jjiiuNuNxua6 . 1 jijiuuNNxub6 . 1即：即： 為形狀函數(shù)矩陣。為形狀函數(shù)矩陣。由式由式 可知：

10、當(dāng)可知：當(dāng) ， 時(shí)，時(shí)， ； 當(dāng)當(dāng) ， 時(shí)，時(shí)， 。 形狀函數(shù)的力學(xué)含義：當(dāng)單元的一個(gè)節(jié)點(diǎn)位移為單形狀函數(shù)的力學(xué)含義：當(dāng)單元的一個(gè)節(jié)點(diǎn)位移為單位值，其他節(jié)點(diǎn)的位移為零時(shí)，單元內(nèi)位移的分布規(guī)律。位值，其他節(jié)點(diǎn)的位移為零時(shí)，單元內(nèi)位移的分布規(guī)律。 eNfc6 . 1 Na6 . 11iu0ju iNxu0iu1ju jNxu數(shù)學(xué)意義：如果說(shuō)結(jié)構(gòu)被有限個(gè)自然節(jié)點(diǎn)離散化為有數(shù)學(xué)意義：如果說(shuō)結(jié)構(gòu)被有限個(gè)自然節(jié)點(diǎn)離散化為有限個(gè)單元的集合，實(shí)現(xiàn)了結(jié)構(gòu)模型的離散化，那么限個(gè)單元的集合，實(shí)現(xiàn)了結(jié)構(gòu)模型的離散化，那么形狀函數(shù)則完成了數(shù)學(xué)模型。形狀函數(shù)則完成了數(shù)學(xué)模型。將式（將式（1.41.4）代入式（）代入式（1

11、.21.2）得：）得：由式（由式（1.61.6） eCQxu1 eNxuf則：則： 位移函數(shù)或形狀函數(shù)的選擇是有限元分位移函數(shù)或形狀函數(shù)的選擇是有限元分析的關(guān)鍵，位移函數(shù)選擇的優(yōu)劣，會(huì)直接影析的關(guān)鍵，位移函數(shù)選擇的優(yōu)劣，會(huì)直接影響到解的收斂性及解的精確度。響到解的收斂性及解的精確度。 1CQN7 . 11.3 1.3 單元應(yīng)力和應(yīng)變單元應(yīng)力和應(yīng)變位移函數(shù)位移函數(shù)幾何方程（幾何方程（應(yīng)變）應(yīng)變）物理方程（物理方程（應(yīng)力）應(yīng)力）桿單元的幾何方程為：桿單元的幾何方程為：dxdux eeexllxdxdlxdxdNdxd1111簡(jiǎn)化為：簡(jiǎn)化為： 為幾何矩陣。為幾何矩陣。 桿單元的物理方程為：桿單元的物

12、理方程為：或或 ： 為彈性矩陣為彈性矩陣 。 eB8 . 1 111lB9 . 1 BxxE D D將式（將式（1.81.8）代入上式，得：）代入上式，得： 為應(yīng)力矩陣為應(yīng)力矩陣 。對(duì)于桿單元：對(duì)于桿單元： eeSBD10. 1 BDS 11. 1 S 11 11 1ESDBEll 為彈性矩陣，對(duì)于桿單元為彈性矩陣，對(duì)于桿單元 ，是，是1X1 1X1 階矩陣。階矩陣。 （1.81.8）、（）、（1.101.10）是兩個(gè)常數(shù)公式。）是兩個(gè)常數(shù)公式。 D ED 1.4 1.4 虛功原理虛功原理設(shè)有一受外力作用的物體，如下圖所示：設(shè)有一受外力作用的物體，如下圖所示：ABCijiUjUiVjViWjW

13、XYZO 節(jié)點(diǎn)外力：節(jié)點(diǎn)外力： ， 和和 ； 節(jié)點(diǎn)外力：節(jié)點(diǎn)外力： ， 和和 。外力用外力用 表示；內(nèi)力用表示；內(nèi)力用 表示。表示。iiUiViWjjUjVjW F TjjjiiiWVUWVUF Tzxyzxyzyx設(shè)物體在外力設(shè)物體在外力 和內(nèi)力和內(nèi)力 以及邊界固定點(diǎn)以及邊界固定點(diǎn)A A、B B、C C處支反力作用下處于平衡狀態(tài)。處支反力作用下處于平衡狀態(tài)。假設(shè)物體發(fā)生了虛位移：假設(shè)物體發(fā)生了虛位移： ， ， ， ， ， ；由虛位移產(chǎn)生的虛應(yīng)變：由虛位移產(chǎn)生的虛應(yīng)變： ， ， ， ， ， 。 F *iu*iv*iw*ju*jv*jw*x*y*z*xy*yz*zx發(fā)生虛位移時(shí)，外力在虛位移上所

14、做的虛功是：發(fā)生虛位移時(shí)，外力在虛位移上所做的虛功是：應(yīng)力在虛應(yīng)變上的虛功是：應(yīng)力在虛應(yīng)變上的虛功是：整個(gè)物體的虛應(yīng)變能是：整個(gè)物體的虛應(yīng)變能是： FwWvVuUwWvVuUTjjjjjjiiiiii* Tzxzxyzyzxyxyzzyyxx* dxdydzT*虛功原理：如果在虛位移發(fā)生之前，物體處于虛功原理：如果在虛位移發(fā)生之前，物體處于平衡狀態(tài)，那么在虛位移發(fā)生時(shí)，外力所做平衡狀態(tài)，那么在虛位移發(fā)生時(shí)，外力所做的虛功等于物體的虛應(yīng)變能。即：的虛功等于物體的虛應(yīng)變能。即： 稱為彈性體的虛功方程。稱為彈性體的虛功方程。 VTTdxdydzF*12. 11.5 1.5 單元?jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠染仃嚰?/p>

15、設(shè)桿單元假設(shè)桿單元L L：其中：其中： , , , , 為參數(shù)。為參數(shù)。liiUujjUuAEl桿單元應(yīng)力桿單元應(yīng)力- -應(yīng)變關(guān)系為：應(yīng)變關(guān)系為： 則：則： 由力的平衡條件：由力的平衡條件：則：則： luuEEAUijjijjuulEAU13. 10jiUUijiuulEAU14. 1（1.131.13）和（）和（1.141.14）用矩陣表示：）用矩陣表示：即：即： 為單元為單元 的節(jié)點(diǎn)力向量的節(jié)點(diǎn)力向量 ； 為單元為單元 的節(jié)點(diǎn)位移向量。的節(jié)點(diǎn)位移向量。 jijjjiijiijijiuuKKKKuulEAUU111115. 1 eeeKF16. 1e jieuue 為單元為單元 的剛度矩陣。

16、的剛度矩陣。剛度系數(shù)：?jiǎn)挝还?jié)點(diǎn)位移分量所引起的節(jié)點(diǎn)力分量。剛度系數(shù)：?jiǎn)挝还?jié)點(diǎn)位移分量所引起的節(jié)點(diǎn)力分量。單元：節(jié)點(diǎn)力為單元：節(jié)點(diǎn)力為 ，內(nèi)力為，內(nèi)力為 ，節(jié)點(diǎn)虛位移，節(jié)點(diǎn)虛位移 ，單元虛位移單元虛位移 ，單元虛應(yīng)變，單元虛應(yīng)變 。 1111lEAKKKKKjjjiijiie17. 1e eF e* ef* e*單元的外力虛功：?jiǎn)卧耐饬μ摴Γ?單元的虛應(yīng)變能：?jiǎn)卧奶搼?yīng)變能： 虛功原理虛功原理 ： eTeFV* VTedVU*UV將將 代入上式，得：代入上式，得： eeBDB eTTeeTedVBDBF* 0*eTeTedVBDBF由虛位移的任意性：由虛位移的任意性：與（與（1.161.16）

17、式對(duì)比，得：）式對(duì)比，得：稱為單元的剛度矩陣，簡(jiǎn)稱單剛。稱為單元的剛度矩陣，簡(jiǎn)稱單剛。 0eTedVBDBF dVBDBKTe1.6 整體剛度矩陣的集成整體剛度矩陣的集成整體結(jié)構(gòu)整體結(jié)構(gòu)離散離散有限個(gè)單元有限個(gè)單元單元分析單元分析單元特性集合單元特性集合臺(tái)階軸：臺(tái)階軸： 臺(tái)階軸臺(tái)階軸 離散化模型離散化模型 單元模型單元模型1122233 1P3P a b c11uP11uP33uP33uP2u22uP22uP a b c則單元（則單元（1 1）的剛度方程，考慮（）的剛度方程，考慮（1.151.15）式：）式：?jiǎn)卧▎卧? 2）的剛度方程：）的剛度方程： 1211122121112111121

18、1uuKKKKPP 121221112112121121111111uKuKPuKuKP 23222332322232222322uuKKKKPP臺(tái)階軸在外力臺(tái)階軸在外力 和和 的作用下發(fā)生變形時(shí)，在節(jié)點(diǎn)處的作用下發(fā)生變形時(shí)，在節(jié)點(diǎn)處的變形必須是連續(xù)的，即：的變形必須是連續(xù)的，即： 。三個(gè)節(jié)點(diǎn)的位移：三個(gè)節(jié)點(diǎn)的位移： ， ， 232332223223232232222222uKuKPuKuKP1P3P 2212uu 111uu 22122uuu 233uu 臺(tái)階軸處于平衡狀態(tài)，各個(gè)節(jié)點(diǎn)的力是平衡的。臺(tái)階軸處于平衡狀態(tài)，各個(gè)節(jié)點(diǎn)的力是平衡的。v節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)1 1：外力：外力 ，節(jié)點(diǎn)力，節(jié)點(diǎn)力 ；v節(jié)

19、點(diǎn)節(jié)點(diǎn)2 2：外力為：外力為0 0，節(jié)點(diǎn)力，節(jié)點(diǎn)力 ；v節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)3 3：外力：外力 ，節(jié)點(diǎn)力，節(jié)點(diǎn)力 。1P3P 02212 PP 11P 23P列出各節(jié)點(diǎn)的力的平衡方程式：列出各節(jié)點(diǎn)的力的平衡方程式：在節(jié)點(diǎn)在節(jié)點(diǎn)1 1處：處： 在節(jié)點(diǎn)在節(jié)點(diǎn)2 2處：處： 在節(jié)點(diǎn)在節(jié)點(diǎn)3 3處：處： 211211111211211111111uKuKuKuKPP 3223222212211212322322222122111212322322222121221112122120uKuKKuKuKuKKuKuKuKuKuKPP 32332232323322232233uKuKuKuKPP用矩陣表示：用矩陣表示：

20、簡(jiǎn)寫(xiě)為：簡(jiǎn)寫(xiě)為： 其中：其中： 為外載荷列陣；為外載荷列陣； 為節(jié)點(diǎn)力列陣。為節(jié)點(diǎn)力列陣。 3212332322232221221211121112322121131000uuuKKKKKKKKPPPPPP KFP19. 1 TPPP310 TPPPPF23221211 為整體剛度矩陣。為整體剛度矩陣。 為整體位移列陣。為整體位移列陣。 整體剛度方程是結(jié)構(gòu)的力的平衡方程式，其中每整體剛度方程是結(jié)構(gòu)的力的平衡方程式，其中每一行都表示了在一個(gè)節(jié)點(diǎn)上的力的平衡方程式。一行都表示了在一個(gè)節(jié)點(diǎn)上的力的平衡方程式。 工程應(yīng)用中，采用疊加原理集成整體剛度矩陣。工程應(yīng)用中，采用疊加原理集成整體剛度矩陣。 23

21、323222322212212111211100KKKKKKKKK20. 1 Tuuu321以臺(tái)階軸為例講述疊加原理：以臺(tái)階軸為例講述疊加原理： 首先列出單元的剛度方程：首先列出單元的剛度方程： e1:e1: e2:e2: 12111221211121111211uuKKKKPP 23222332322232222322uuKKKKPP將將2X22X2階的單元?jiǎng)偠染仃嚁U(kuò)充為階的單元?jiǎng)偠染仃嚁U(kuò)充為3X33X3階的貢獻(xiàn)矩陣：階的貢獻(xiàn)矩陣： 3211221121121111211000000uuuKKKKPP 3212332322232222322000000uuuKKKKPP將貢獻(xiàn)矩陣疊加：將貢獻(xiàn)

22、矩陣疊加： 在實(shí)際工程計(jì)算中，單元數(shù)目往往有上百個(gè)，無(wú)需將在實(shí)際工程計(jì)算中，單元數(shù)目往往有上百個(gè)，無(wú)需將每個(gè)單元?jiǎng)偠染仃嚩紨U(kuò)充為貢獻(xiàn)矩陣，而是按剛度系數(shù)的下每個(gè)單元?jiǎng)偠染仃嚩紨U(kuò)充為貢獻(xiàn)矩陣，而是按剛度系數(shù)的下標(biāo)直接加到整體剛度矩陣中去。標(biāo)直接加到整體剛度矩陣中去。 3212332322232221221211121112322121100uuuKKKKKKKKPPPP KF 23323222322212212111211100KKKKKKKKK整體剛度矩陣的性質(zhì)：對(duì)稱性： 。在計(jì)算中，只存貯矩陣的上三角部分或下三角部分。稀疏性：絕大多數(shù)元素都是零，這是因?yàn)楹湍骋粋€(gè)節(jié)點(diǎn)相關(guān)的節(jié)點(diǎn)數(shù)一般不會(huì)超過(guò)9

23、個(gè)。整體網(wǎng)格分的越細(xì)，則 的稀疏性越突出，利用這個(gè)特點(diǎn)可設(shè)法只存貯 中的非零元素，從而節(jié)省存貯容量。 帶形分布規(guī)律：非零元素分別在以主對(duì)角線為中心的帶形區(qū)域內(nèi)。 在包括對(duì)角元素在內(nèi)的半個(gè)帶形區(qū)域中，每行具有的元素?cái)?shù)叫半帶寬（d）。 d=(相鄰節(jié)點(diǎn)號(hào)的最大差值1)*2 jiijKK K K 若結(jié)構(gòu)有若結(jié)構(gòu)有N N個(gè)節(jié)點(diǎn)，則迭加后的整體剛度矩陣為個(gè)節(jié)點(diǎn)，則迭加后的整體剛度矩陣為2N2N* *2N2N階。階。 例如，某結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)數(shù)例如，某結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)數(shù)N=55N=55，節(jié)點(diǎn)最大號(hào)碼差，節(jié)點(diǎn)最大號(hào)碼差D=6D=6，則半帶寬則半帶寬: d=(6+1): d=(6+1)* *2=142=14。 總自由度數(shù)總自由

24、度數(shù): 2N=2: 2N=2* *55=11055=110。 半帶寬存貯量：半帶寬存貯量：2N2N* *d=1540d=1540 整體剛度矩陣上三角部分存貯量：整體剛度矩陣上三角部分存貯量： 1/2 1/2* *2N2N* *(2N+1)=6105(2N+1)=6105 奇異性：整體結(jié)構(gòu)在無(wú)約束的條件下作剛體運(yùn)動(dòng)，奇異性：整體結(jié)構(gòu)在無(wú)約束的條件下作剛體運(yùn)動(dòng)，必須處理邊界條件。必須處理邊界條件。 111123212321111221000000000000aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaannnnnnnnnndN2N21.7 處理邊界條件處理邊界條件 節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)3 3固定，則固定，則 。x12311uP2u3u03u 32123323222322212212111211132100uuuKKKKKKKKPPP引入邊界條件：引入邊界條件：節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)1 1處有外載荷處有外載荷 ，節(jié)點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)2 2處外載荷為零，節(jié)點(diǎn)處外載荷為零，節(jié)點(diǎn)3 3處處位移為零，代入剛度方程：位