高一數(shù)學(xué)必修四 2.5平面向量應(yīng)用舉例

1、2021/3/912.5.1 2.5.1 平面幾何中的向量方法平面幾何中的向量方法2021/3/92求求證證：平平行行四四邊邊形形兩兩條條對(duì)對(duì)角角線線的的平平方方和和等等于于相相鄰鄰兩兩邊邊的的平平方方和和的的兩兩倍倍。DACB2|AB ,ABa ADb 證證明明：設(shè)設(shè)2|a 2|AD 2|b 22|ACab 2()ab 222aa bb 2a 2b 22|DBab 2()ab 222aa bb 22|ACDB 222()ab 222()ABAD . 1例所以，平行四邊形兩條對(duì)角線的平方和等于相鄰兩邊的平方和的兩倍所以，平行四邊形兩條對(duì)角線的平方和等于相鄰兩邊的平方和的兩倍.幾何問題向量化幾何

2、問題向量化向量運(yùn)算關(guān)系化向量運(yùn)算關(guān)系化向量關(guān)系幾何化向量關(guān)系幾何化利用向量解決平面幾何問題舉例利用向量解決平面幾何問題舉例2021/3/93用向量方法解決平面幾何問題的用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲三步曲”：簡(jiǎn)述：簡(jiǎn)述：幾何問題向量化幾何問題向量化 向量運(yùn)算關(guān)系化向量運(yùn)算關(guān)系化 向量關(guān)系幾何化向量關(guān)系幾何化（1）建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表）建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；轉(zhuǎn)化為向量問題；（2）通過向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)）通過向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題；系

3、，如距離、夾角等問題；（3）把運(yùn)算結(jié)果）把運(yùn)算結(jié)果“翻譯翻譯”成幾何元素。成幾何元素。2021/3/94例例2 2 如圖，如圖， ABCDABCD中，點(diǎn)中，點(diǎn)E E、F F分別是分別是AD AD 、 DCDC邊的中點(diǎn)，邊的中點(diǎn)，BEBE、BFBF分別與分別與ACAC交于交于R R 、T T兩點(diǎn)，兩點(diǎn)，你能發(fā)現(xiàn)你能發(fā)現(xiàn)AR、RT、TC之間的關(guān)系嗎？之間的關(guān)系嗎？ABCDEFRT利用向量利用向量解決平面解決平面幾何問題幾何問題舉例舉例簡(jiǎn)述：簡(jiǎn)述：幾何問題向量化幾何問題向量化 向量運(yùn)算關(guān)系化向量運(yùn)算關(guān)系化 向量關(guān)系幾何化向量關(guān)系幾何化2021/3/95 例例2如圖，在如圖，在ABCD中，點(diǎn)中，點(diǎn)E、

4、F分別是分別是AD、DC邊的中點(diǎn)，邊的中點(diǎn)，BE、BF分別與分別與AC交于點(diǎn)交于點(diǎn)R、T兩點(diǎn)兩點(diǎn).你能發(fā)現(xiàn)你能發(fā)現(xiàn)AR、RT、TC之間的關(guān)系嗎？之間的關(guān)系嗎？解：解：ABDCEFRTab,bADaAB 設(shè)設(shè)由圖可猜想：由圖可猜想：AR=RT=TC. 證明如下：證明如下：則由則由/,ARAC 得得 ARxAC .xR ()x ab又又ARAEER 12bER 而而/,EREB ERyEB 1(),2y ab.yR 11()22ARby ab ,xaxb 1,.2yyab yR 由向量基本定理得由向量基本定理得12xyyx 1.3xy1.3ARAC 2021/3/96ABDCEFRTab同理可證：

5、同理可證：1.3TCAC 1.3ARAC 于是于是1.3RTAC 故猜想：故猜想：AR=RT=TC 成立成立.2021/3/97 2.5.2 向量在物理中的應(yīng)用舉例向量在物理中的應(yīng)用舉例2021/3/98探究（一）：探究（一）：向量在力學(xué)中的應(yīng)用向量在力學(xué)中的應(yīng)用思考思考1 1：如圖，用兩條成如圖，用兩條成120120角的等長(zhǎng)角的等長(zhǎng)的繩子懸掛一個(gè)重量是的繩子懸掛一個(gè)重量是10N10N的燈具，根據(jù)的燈具，根據(jù)力的平衡理論，每根繩子的拉力與燈具力的平衡理論，每根繩子的拉力與燈具的重力具有什么關(guān)系？每根繩子的拉力的重力具有什么關(guān)系？每根繩子的拉力是多少？是多少？120120O OC CB BA A

6、10N10N| |F1 1|=|=|F2 2|=10N|=10NF1 1+ +F2 2+ +G= =02021/3/99思考思考2 2：兩個(gè)人共提一個(gè)旅行包，或在單兩個(gè)人共提一個(gè)旅行包，或在單杠上做引體向上運(yùn)動(dòng)，根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)，杠上做引體向上運(yùn)動(dòng)，根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)，兩只手臂的夾角大小與所耗力氣的大小兩只手臂的夾角大小與所耗力氣的大小有什么關(guān)系？有什么關(guān)系？夾角越大越費(fèi)力夾角越大越費(fèi)力.2021/3/910思考思考3 3：假設(shè)兩只手臂的拉力大小相等，假設(shè)兩只手臂的拉力大小相等，夾角為夾角為，那么，那么| |F1 1| |、| |G| |、之間的之間的關(guān)系如何？關(guān)系如何？FF1F2G 上述關(guān)系表明，若重

7、力上述關(guān)系表明，若重力G一定，則拉力的大小是關(guān)于一定，則拉力的大小是關(guān)于夾角夾角的函數(shù)的函數(shù). .并且拉力大小和夾角大小成正比例關(guān)系并且拉力大小和夾角大小成正比例關(guān)系. .00，180180) )2cos21GF 2021/3/911探究（二）：探究（二）：向量在運(yùn)動(dòng)學(xué)中的應(yīng)用向量在運(yùn)動(dòng)學(xué)中的應(yīng)用思考思考1 1：如圖，一條河的兩岸平行，一艘如圖，一條河的兩岸平行，一艘船從船從A A處出發(fā)到河對(duì)岸，已知船在靜水中處出發(fā)到河對(duì)岸，已知船在靜水中的速度的速度| |v1 1| |1010/h/h，水流速度，水流速度| |v2 2| | 2 2/h/h，如果船垂直向?qū)Π恶側(cè)ィ敲创?，如果船垂直向?qū)Π恶側(cè)?/p>

8、，那么船的實(shí)際速度的實(shí)際速度v的大小是多少？的大小是多少？A Ahkmvvvvv/104221212021/3/912思考思考2 2：如果船沿與上游河岸成如果船沿與上游河岸成6060方向方向行駛，那么船的實(shí)際速度行駛，那么船的實(shí)際速度v的大小是多少？的大小是多少？v1v2v6060hkmvhkmv/2/1021hkmvvvvv/84221212021/3/913思考思考3 3：船應(yīng)沿什么方向行駛，才能使航船應(yīng)沿什么方向行駛，才能使航程最短？程最短？v1v2 2vA AB BC C與上游河岸的夾角為與上游河岸的夾角為78.7378.73. .思考思考4 4：如果河的寬度如果河的寬度d d500m

9、500m，那么船，那么船行駛到對(duì)岸至少要幾分鐘？行駛到對(duì)岸至少要幾分鐘？0.5603.1(min).| |96dtv所以hkmvhkmv/2/10212021/3/914“向量法解決幾何問題向量法解決幾何問題”的兩個(gè)角度：的兩個(gè)角度： 非坐標(biāo)角度和坐標(biāo)角度非坐標(biāo)角度和坐標(biāo)角度例例3.如圖，正方形如圖，正方形ABCD中，中，P是對(duì)角線是對(duì)角線BD上的一點(diǎn)，上的一點(diǎn)，PECF是矩形，用向量證明：是矩形，用向量證明：（1）PA=EF（2）PAEFABCDPEF2021/3/9151、已知：、已知：AD、BE、CF是是ABC的三條中的三條中線；線；求證：求證：AD、BE、CF交于一點(diǎn)交于一點(diǎn)2、已知已

10、知ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的三個(gè)頂點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)， C(x3，y3)，則重心，則重心G的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為_3、用向量法證明：三角形三條高線交于一、用向量法證明：三角形三條高線交于一點(diǎn)點(diǎn)2021/3/9161、已知：、已知：AD、BE、CF是是ABC的三條中線；的三條中線；求證：求證：AD、BE、CF交于一點(diǎn)交于一點(diǎn)證明：如圖證明：如圖AD、BE相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)G，聯(lián)結(jié)，聯(lián)結(jié)DEABCDEGF易知易知GDEGAB，DEAB12所以，所以，BGBE23CGCB+BGCB+BE23CB+ ( CA- - CB)2312 ( CB+CA)132021/3/9171、已知：、已知：AD、BE

11、、CF是是ABC的三條中線；的三條中線；求證：求證：AD、BE、CF交于一點(diǎn)交于一點(diǎn)因此因此C、G、F三點(diǎn)在同一直線上三點(diǎn)在同一直線上所以，所以，AD、BE、CF交于一點(diǎn)交于一點(diǎn)所以所以CG CF，23 ( CBCA)13即即CG又因?yàn)橛忠驗(yàn)镃F(CBCA)12ABCDEGF2021/3/9182、已知、已知ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的三個(gè)頂點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)， C(x3，y3)，則重心，則重心G的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為_(，)x1+x2+x33y1+y2+y33OGOA AG OA AD23OA( ABAC )13OA( OBOAOCOA)13OAOBOC3解：設(shè)原點(diǎn)為解：設(shè)原點(diǎn)為O，則，則

12、2021/3/9193 3、用向量法證明：三角形三條高線交于一點(diǎn)、用向量法證明：三角形三條高線交于一點(diǎn)ABCDEHF證明：設(shè)證明：設(shè)H是高線是高線BE、CF的交點(diǎn)，的交點(diǎn)，且設(shè)且設(shè)ABa，ACb，AHh，則有則有BHha，CHhb，BCba所以所以( ha )b ( hb )a 0化簡(jiǎn)得化簡(jiǎn)得 h( ab )0AHBC因?yàn)橐驗(yàn)锽HAC，CHAB所以，三角形三條高線交于一點(diǎn)所以，三角形三條高線交于一點(diǎn)2021/3/920三角形四心的向量表示三角形四心的向量表示外外重重2021/3/921三角形四心的向量表示三角形四心的向量表示內(nèi)內(nèi)垂垂2021/3/922例例1、已知、已知O是平面上一定點(diǎn)，是平面

13、上一定點(diǎn)，A,B,C是平面上不是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足滿足則則P點(diǎn)的軌跡一定通過點(diǎn)的軌跡一定通過ABC的（的（ ）A 外心外心 B 內(nèi)心內(nèi)心 C 重心重心 D 垂心垂心)(ACABOAOP點(diǎn)撥：由點(diǎn)撥：由得出得出 由平行四邊形法則和共線定理可得由平行四邊形法則和共線定理可得AP一一定經(jīng)過定經(jīng)過ABC的重心。的重心。)(ACABOAOP)(ACABAPC2021/3/923變式變式1、已知、已知P是平面上一定點(diǎn)，是平面上一定點(diǎn)，A,B,C是平面上不是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)共線的三個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)O滿足滿足則則O點(diǎn)一定是點(diǎn)一定是ABC的（的（ ）A 外心外心 B 內(nèi)心內(nèi)心 C

14、 重心重心 D 垂心垂心點(diǎn)撥：點(diǎn)撥：由由得出得出 故故O是是ABC的重心。的重心。300POPAPBPCPOPAPOPBPOPCAOBOCO 13POPAPBPC 13POPAPBPC C2021/3/924變式變式2、已知、已知O是平面上一定點(diǎn)，是平面上一定點(diǎn)，A,B,C是平面上不是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足滿足則則P點(diǎn)的軌跡一定通過點(diǎn)的軌跡一定通過ABC的（的（ ）A 外心外心 B 內(nèi)心內(nèi)心 C 重心重心 D 垂心垂心)0)sinsin(，CACACBABABOAOP2021/3/925點(diǎn)撥：在點(diǎn)撥：在ABC中，由正弦定理有中，由正弦定理有令令則則由平行四邊形法則和

15、共線定理可得由平行四邊形法則和共線定理可得AP一定經(jīng)過一定經(jīng)過ABC的重心。的重心。CACBABsinsinCACBABtsinsin)0)(，tACABtOAOP)(ACABtAP)0)sinsin(，CACACBABABOAOPC2021/3/926例例2、已知已知O是平面上一定點(diǎn)，是平面上一定點(diǎn)，A,B,C是平面上不共是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足滿足則則P點(diǎn)的軌跡一定通過點(diǎn)的軌跡一定通過ABC的（的（ ）A 外心外心 B 內(nèi)心內(nèi)心 C 重心重心 D 垂心垂心)0)coscos(2，CACACBABABOCOBOP2021/3/927點(diǎn)撥：取點(diǎn)撥：取BCBC的中點(diǎn)的中

16、點(diǎn)D D，則，則由已知條件可得由已知條件可得又因?yàn)橛忠驗(yàn)樗运运运訢PDP是是BCBC的垂直平分線，所以的垂直平分線，所以P P點(diǎn)的軌跡一定經(jīng)過點(diǎn)的軌跡一定經(jīng)過ABCABC的外心。的外心。2OCOBOD)0)coscos(，CACACBABABDP()()0coscos-+AB BCAC BCBC DPBCBCABBACC DPBC )0)coscos(，CACACBABABDPA2021/3/928外心的向量表示外心的向量表示結(jié)論結(jié)論2：ABC所在平面一定點(diǎn)所在平面一定點(diǎn)O，動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足滿足 P點(diǎn)軌跡經(jīng)過點(diǎn)軌跡經(jīng)過ABC的外心的外心結(jié)論結(jié)論1：O是三角形的外心是三角形的外心 或或O

17、COBOA222OCOBOA)0)coscos(2，CACACBABABOCOBOP2021/3/929例例3、已知已知O是平面上一定點(diǎn)，是平面上一定點(diǎn)，A,B,C是平面上不共是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足滿足則則P點(diǎn)的軌跡一定通過點(diǎn)的軌跡一定通過ABC的（的（ ）A 外心外心 B 內(nèi)心內(nèi)心 C 重心重心 D 垂心垂心)0)coscos(，CACACBABABOAOP2021/3/930點(diǎn)撥：由已知等式可知點(diǎn)撥：由已知等式可知在等式的兩邊同時(shí)乘以在等式的兩邊同時(shí)乘以即即故點(diǎn)故點(diǎn)P P的軌跡一定通過的軌跡一定通過ABCABC的垂心。的垂心。)0)coscos(，CACACBA

18、BABAPBC()()0coscosAB BCAC BCBC APBCBCABBACC BCAP )0)coscos(，CACACBABABOAOPD2021/3/931變式變式3、已知、已知O是平面上一點(diǎn)，是平面上一點(diǎn)，A,B,C是平面上不共是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)線的三個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)O滿足滿足則則O點(diǎn)一定是點(diǎn)一定是ABC的（的（ ）A 外心外心 B 內(nèi)心內(nèi)心 C 重心重心 D 垂心垂心OAOCOCOBOBOA點(diǎn)撥：點(diǎn)撥：OA OBOB OC 0-OA OB OB OC 0-OA OCOB 0CA OB 同理可得同理可得CAOB CBOAABOC D2021/3/932垂心的向量表示垂心的向量表

19、示結(jié)論結(jié)論1 1：O O是是ABCABC的垂心的充要條件是的垂心的充要條件是OAOCOCOBOBOA結(jié)論結(jié)論2、動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)點(diǎn)P滿足滿足P點(diǎn)的軌跡經(jīng)過點(diǎn)的軌跡經(jīng)過ABC的垂心的垂心)0)coscos(，CACACBABABOAOP2021/3/933例例4 4、已知已知O O是平面上一點(diǎn)是平面上一點(diǎn), ,A A、B B、C C是平面上不共線是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)的三個(gè)點(diǎn), ,(a,b,c(a,b,c是是ABCABC的的A,B,CA,B,C所對(duì)的三邊所對(duì)的三邊) )點(diǎn)點(diǎn)O O滿足滿足則則O O點(diǎn)一定是點(diǎn)一定是ABCABC的（的（ ）A A 外心外心 B B 內(nèi)心內(nèi)心 C C 重心重心 D D 垂心垂

20、心點(diǎn)撥點(diǎn)撥：由已知條件可得：由已知條件可得同理可得同理可得0OCcOBbOAa0+aOAb OA ABc OA AC ()abc OAbABcAC ()abc OBbBAcBC ()abc OCbCAcCB 則則O O點(diǎn)一定是點(diǎn)一定是ABCABC的內(nèi)心的內(nèi)心B2021/3/934 例例5 5、已知非零向量已知非零向量 與與 滿足滿足且且 ，則，則ABCABC為（為（ ）A A 三邊均不相等的三角形三邊均不相等的三角形 B B直角三角形直角三角形 C C等腰非等邊三角形等腰非等邊三角形 D D等邊三角形等邊三角形點(diǎn)撥：點(diǎn)撥：從從 可知可知 的平分線的平分線垂垂直對(duì)邊直對(duì)邊BCBC，故，故ABCA

21、BC為等腰三角形；為等腰三角形；可知可知cosA= cosA= ，所以，所以 =60 =60，故故ABCABC為等邊三角形。為等邊三角形。ABAC0)(BCACACABAB21)(ACACABAB0)(BCACACABABBAC21)(ACACABAB21A從從D2021/3/935例例6 6、已知已知O O是平面上一點(diǎn)是平面上一點(diǎn), ,A A、B B、C C是平面上不共線是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)的三個(gè)點(diǎn), ,點(diǎn)點(diǎn)O O滿足滿足則則O O點(diǎn)一定是點(diǎn)一定是ABCABC的（的（ ）A A 外心外心 B B 內(nèi)心內(nèi)心 C C 重心重心 D D 垂心垂心則則O O點(diǎn)一定是點(diǎn)一定是ABCABC的內(nèi)心的內(nèi)心0CBACCACAOCBCBCBABAOBACACABABOA四心逐個(gè)四心逐個(gè)突破突破B2021/3/936ABCO,:,.OAa OBb OCcBCcb CAab ABba 則證：設(shè)證：設(shè)例例7、已知已知O為為ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足:問：?jiǎn)枺篛是是ABC的的_心。心。222222| .OABCOBCAOCAB 化簡(jiǎn)：化簡(jiǎn)：222