第二章(人壽保險的精算現(xiàn)值)

1、第二章躉繳純保費本章結(jié)構(gòu)n人壽保險躉繳純保費厘定原理n死亡即刻賠付保險躉繳純保費的厘定(連續(xù)模型)n死亡年末賠付保險躉繳純保費的厘定（離散模型)n遞歸方程n計算基數(shù)第二章中英文單詞對照一n躉繳純保費n精算現(xiàn)時值n死亡即刻賠付保險（連續(xù)模型）n死亡年末給付保險（離散模型）n定額受益保險nNet single premiumnActuarial present valuenInsurances payable at the moment of death nInsurances payable at the end of the year of deathnLevel benefit insura

2、nce第二章中英文單詞對照二n定期人壽保險n終身人壽保險n兩全保險n生存保險n延期保險n變額受益保險nTerm life insurancenWhole life insurancenEndowment insurancenPure endowment insurancenDeferred insurancenVarying benefit insurance2.0 保費厘定的原理 人壽保險躉繳純保費厘定的原理 人壽保險簡介n什么是人壽保險n狹義的人壽保險是以被保險人在保障期是否死亡作為保險標的的一種保險。(定期壽險和終身壽險)n 廣義的人壽保險是以被保險人的壽命作為保險標的的一種保險。它包括

3、以保障期內(nèi)被保險人死亡為標的的狹義壽險，也包括以保障期內(nèi)被保險人生存為標的的生存保險和兩全保險。人壽保險的分類n受益金額是否恒定定額受益保險 變額受益保險n保單簽約日和保障期期始日是否同時進行n非延期保險n延期保險 n保障標的的不同n人壽保險（狹義）n生存保險n兩全保險 n保障期是否有限n 定期壽險 n 終身壽險人壽保險的性質(zhì)n保障的長期性n這使得從投保到賠付期間的投資受益（利息）成為不容忽視的因素。n保險賠付金額和賠付時間的不確定性n人壽保險的賠付金額和賠付時間依賴于被保險人的生命狀況。被保險人的死亡時間是一個隨機變量。這就意味著保險公司的賠付額也是一個隨機變量，它依賴于被保險人剩余壽命分布

4、。n被保障人群的大數(shù)性n這就意味著，保險公司可以依靠概率統(tǒng)計的原理計算出平均賠付并可預(yù)測將來的風險。躉繳純保費的厘定n假定條件:n假定一：同性別、同年齡、同時參保的被保險人的剩余壽命是獨立同分布的。n假定二：被保險人的剩余壽命分布可以用經(jīng)驗生命表進行擬合。n假定三：保險公司可以預(yù)測將來的投資受益（即預(yù)定利率）。純保費厘定原理n原則n保費凈均衡原則n解釋n所謂凈均衡原則，即保費收入的期望現(xiàn)時值正好等于將來的保險賠付金的期望現(xiàn)時值。它的實質(zhì)是在統(tǒng)計意義上的收支平衡。是在大數(shù)場合下，收費期望現(xiàn)時值等于支出期望現(xiàn)時值 n按照凈均衡原則，躉繳純保費就等于保險賠付金的期望現(xiàn)時值 。2.1 連續(xù)型人壽模型死

5、亡即刻賠付（未來壽命T連續(xù)）躉繳純保費的厘定死亡即刻賠付死亡即刻賠付的含義n死亡即刻賠付就是指如果被保險人在保障期內(nèi)發(fā)生保險責任范圍內(nèi)的死亡 ，保險公司將在死亡事件發(fā)生之后，立刻給予保險賠付。它是在實際應(yīng)用場合，保險公司通常采用的理賠方式。n由于死亡可能發(fā)生在被保險人投保之后的任意時刻，所以死亡即刻賠付時刻是一個連續(xù)隨機變量，它距保單生效日的時期長度就等于被保險人簽約時的剩余壽命?；痉杗 投保年齡 的人。n 人的極限年齡n 保險金給付函數(shù)。n 貼現(xiàn)函數(shù)。n 保險給付金在保單生效時的現(xiàn)時值)(xxtbtvTzTTTzbv躉繳純保費的厘定n躉繳純保費的定義n在保單生效日一次性支付將來保險賠付金

6、的期望現(xiàn)時值 n躉繳純保費的厘定n按照凈均衡原則，躉繳純保費就等于()TE z主要險種的躉繳純保費的厘定nn年期定期壽險n終身壽險nn年期兩全保險nn年期生存保險n延期h年的 n年期定期壽險n延期h年的終身壽險n延期h年的n年期的兩全保險n遞增終身壽險n遞減n年定期壽險1、n年定期壽險n定義n保險人只對被保險人在投保后的n年內(nèi)發(fā)生的保險責任范圍內(nèi)的死亡給付保險金的險種，又稱為n年死亡保險。n假定： 歲的人，保額1元n年定期壽險n基本函數(shù)關(guān)系)(x , 0 , T1 , 0 , T0 , ttTTTTtvvtvnzb vtnbntn躉繳純保費的厘定n符號：n厘定：1:nxA1:000()( )n

7、x nTtTnntttxx ttxx tAE zz ft dtvpdtepdt現(xiàn)值隨機變量的方差n方差公式n記（相當于利息力翻倍以后求n年期壽險的躉繳保費）n所以方差等價為 22220()()()( )()ntTTTTTVar zE zE zeft dtE zdttfeAnTtnx)(021:22112:()()Tx nx nVar zAA例2.6n設(shè)n計算( )1 , 01001000.1xS xxi 130:101 (2)()TAVar z（）例2.6答案010101013030:10001021122230:1030:1000102()1(1)( )( )1001.111( )1.1 0

8、.0927070 ln1.112()() 1.10.092701.211 0.0920.05570 ln1.21TttttTtS xtftS xxAv ft dtdtVar zAAdt （ ）2、終身壽險n定義n保險人對被保險人在投保后任何時刻發(fā)生的保險責任范圍內(nèi)的死亡均給付保險金的險種。n假定： 歲的人，保額1元終身壽險n基本函數(shù)關(guān)系)(x , 0 , T01 , 0 tTtTTTtvvtzb vvbt躉繳純保費的厘定n符號：n厘定：xA000()( )xTtTtttxx ttxx tAE zz ft dtvpdtepdt現(xiàn)值隨機變量的方差 n方差公式n記n所以方差等價為 22220()()

9、()( )()tTTTTTVar zE zE zeft dtE z220( )txTAeft dt22()()TxxVar zAA例2.7n設(shè)(x)投保終身壽險，保險金額為1元保險金在死亡即刻賠付。n簽單時，(x)的剩余壽命的密度函數(shù)為n計算1 , 060(t)600 , Ttf 其它0.90.91(2)()(3)Pr()0.9.xTAVar zz（）的例2.7答案0606002260220120602(1)( )1160602()() 1()6011()12060txTtTxxtxAeft dteedtVar zAAedtAee（ ）例2.7答案0.90.90.90.90.90.960lnl

10、n660.90.9(3)Pr()Pr() ln=Pr( lnln)()lnln60ln( )0.960ln6lnTTTvzvTvP Tvvft dtvve3、n 年定期生存保險n定義n被保險人投保后生存至n年期滿時，保險人在第n年末支付保險金的保險。n假定： 歲的人，保額1元，n年定期生存保險n基本函數(shù)關(guān)系)(x , 0 , T1 , 0 , T0 , ntnTTTtvvtvnzb vtnbntn躉繳純保費的厘定n符號：n躉繳純保費厘定n現(xiàn)值隨機變量的方差：1: x nA1:()nnx nTnxnxAE zvpep222112:()()()nnTnxnxx nx nVar zvpvpAA相關(guān)公

11、式及意義 (1)(1)11(2)(1)nxnxx nnxnnxnxx nlEillSiEvpl年齡xx+tx+n現(xiàn)時值11S1nxEn tx tEtxE4、n年定期兩全保險n定義n被保險人投保后如果在n年期內(nèi)發(fā)生保險責任范圍內(nèi)的死亡，保險人即刻給付保險金；如果被保險人生存至n年期滿，保險人在第n年末支付保險金的保險。它等價于n年生存保險加上n年定期壽險的組合。n假定： 歲的人，保額1元，n年定期兩全保險n基本函數(shù)關(guān)系)(x , , T , , T1 , 0tTtnTTTntvtnvvnzb vvtnvnbt躉繳純保費的厘定n符號：n厘定記：n年定期壽險現(xiàn)值隨機變量為 n年定期生存險現(xiàn)值隨機變量

12、為 n年定期兩全險現(xiàn)值隨機變量為 已知則: x nA1z2z3z312zzz11:312( )( )( )xnxnxnE zE zE zAAA現(xiàn)值隨機變量方差因為所以31212121212()( )()( ,)( )()()( )()Var zVar zVar zCov z zVar zVar zE zzE zE z120zz11:312:()( )()x nx nVar zVar zVar zAA例2.8n設(shè)n計算( )1 , 01001000.1xS xxi 30:101 (2)()TAVar z（）例2.8答案1130:101101030:1010301130:1030:1030:102

13、12030:10210301130:1031230:100.092( )0.05560(1)1.10.33700.422(2)()0.0185()()()0.0431tTTTTAVar zAvpAAAVar zvpAVar zVar zVar zAA由例2.6已知：5、延期m年定期壽險n定義n保險人對被保險人在投保m年后的n年內(nèi)發(fā)生的保險責任范圍內(nèi)的死亡均給付保險金的險種。n假定： 歲的人，保額1元，延期m年的n年定期壽險n基本函數(shù)關(guān)系)(x,0 ,m 1 , m 0, 0 , ttTTTTtvv tvTmnzb vtmnb 其它其它6、延期終身壽險n定義n保險人對被保險人在投保m年后發(fā)生的保

14、險責任范圍內(nèi)的死亡均給付保險金的險種。n假定： 歲的人，保額1元，延期m年的終身壽險n基本函數(shù)關(guān)系)(x , 0 , 1 , 0 , 0 , tttttttvvtvtmzbvtmbtmtm延期終身壽險壽險躉繳純保費的厘定n符號：n厘定：mxA001:()( )( )( )mxTtTmmtTtTxx mAE zz ft dtz ft dtz ft dtAA現(xiàn)值隨機變量的方差 n方差公式n記n所以方差等價于2222()()()( )()tTTTTTmVar zE zE zeft dtE z22( )txTmmAeft dt22()()TxxmmVar zAA例2.9n假設(shè)（x）投保延期10年的終身

15、壽險，保額1元。保險金在死亡即刻賠付。n已知n求：0.040.06( ),0 xS xex，10(1) (2)Var(z )xTA例2.9答案0.040.060.040.110100.161020.120.041022()(1)( )0.04( )0.040.040.1470.04(2)0.040.050470.16()()0.0288tTtttxmtttxmTxxmmS xtfteS xAeedtedteAeedtVar zAA 7、延期m年n年定期兩全保險n定義n被保險人在投保后的前m年內(nèi)的死亡不獲賠償，從第m+1年開始為期n年的定期兩全保險n假定： 歲的人，保額1元，延期m年的n年定期兩

16、全保險n基本函數(shù)關(guān)系)(x , 0, T , , m0 , , T1 , ttm nTTTTm ntvtmnmvvtmnzb vvTmntmvmnbtm躉繳純保費的厘定n符號：n厘定:mx nA1:11:mx nx mx m nmx nmx nAAAAA現(xiàn)值隨機變量的方差n記： m年延期n年定期壽險現(xiàn)值隨機變量為 m年延期n年定期生存險現(xiàn)值隨機變量為 m年延期n年定期兩全險現(xiàn)值隨機變量為 已知則1z2z3z312zzz11:312:()( )()mx nmx nVar zVar zVar zAA變額收益保險8、遞增終身壽險n定義：遞增終身壽險是變額受益保險的一種特殊情況。假定受益金額為剩余壽命

17、的線性遞增函數(shù)n特別：n一年遞增一次n一年遞增m次n一年遞增無窮次（連續(xù)遞增）變額收益保險一年遞增一次(第k個保單年度內(nèi)死亡立即給付k元)n現(xiàn)值隨機變量n躉繳保費厘定1TTzTv011()()1txTtxx tkttxx tkkIAE ztvpdtkvpdt 變額收益保險一年遞增m次n在每個保單年度的第i/m年內(nèi)死亡即刻給付1/m元。（i=0,1, m)n現(xiàn)值隨機變量n躉繳保費厘定()01111()()mtxTtxx tmk smmttxx tksmk smmtIAE zvpdtmmksvpdtm 1TTmTzvm變額收益保險一年遞增無窮次（連續(xù)遞增）n被保人在 t時刻死亡給付t元。n現(xiàn)值隨機

18、變量n躉繳保費厘定TTzTv0()()txTtxx tIAE ztvpdt變額收益保險9、遞減定期壽險n定義：遞減定期壽險是變額受益保險的另一種特殊情況。假定受益金額為剩余壽命的線性遞減函數(shù)n特別：n一年遞增一次n一年遞增m次n一年遞增無窮次（連續(xù)遞增）一年遞減一次n現(xiàn)值隨機變量n躉繳保費厘定 ,0,TTnTvTnzTn 1:0110()()()tTtxx tx nknttxx tkkDAE zntvpdtnkvpdt2.2 離散型的人壽保險模型死亡年末賠付（未來壽命K離散）躉繳純保費的厘定死亡年末賠付的含義n 死亡年末賠付是指如果被保險人在保障期內(nèi)發(fā)生保險責任范圍內(nèi)的死亡 ，保險公司將在死亡

19、事件發(fā)生的當年年末給予保險賠付。n由于賠付時刻都發(fā)生在死亡事件發(fā)生的當年年末，所以死亡年末賠付時刻是一個離散隨機變量，它距保單生效日的時期長度就等于被保險人簽約時的整值剩余壽命加一。這正好可以使用以整值年齡為刻度的生命表所提供的生命表函數(shù)。所以死亡年末賠付方式是保險精算師在厘定躉繳保費時通常先假定的理賠方式。 基本符號n 歲投保的人整值剩余壽命n 保險金在死亡年末給付函數(shù)n 貼現(xiàn)函數(shù)。n 保險賠付金在簽單時的現(xiàn)時值。n 躉繳純保費。kxK)(kbkvKz11KKKzbv()KE zx1. 定期壽險死亡年末賠付場合n假定：(X) 簽約保額為1個單位的n 年定期保險。n基本函數(shù)關(guān)系n記K為被保險人

20、整值剩余壽命，則11 , 0,1,11 , 0,1,10 , , K0,1,10 , KkkkKKKKvvknknbknvnzbvn躉繳純保費的厘定n符號：n厘定：11:011:0()nkKkxx kx nknkxx kx nkAE zvpql Avd1: x nA常用計算基數(shù)n計算基數(shù)引進的目的：簡化計算n常用基數(shù)：10000 N (1)xxxxxxxx kxx kkkxx kx kkkCvdDv lMCDRMkC現(xiàn)值隨機變量的方差n公式122220()()()()nkKKKkxx kkkVar zE zE zvpqE z1212:0nkkxx kx nkAvpq2112:()()Kx nx

21、 nVar zAA2. 終身壽險死亡年末賠付場合假定：(X) 簽約保額為1個單位的終身壽險。 3. 生存保險的賠付假定：(X) 簽約保額為1個單位的生存保險。 定義n現(xiàn)齡x歲的人在投保n年后仍然存活，可以在第n年末獲得生存賠付的保險。nn年期純生存保險的躉繳純保費為n在生存年金研究中習慣用 表示該保險的精算現(xiàn)值xnnnxxnpvAE1:1: x nAnxE4. 兩全保險的賠付假定：(X) 簽約保額為1個單位的兩全保險。 5. m年延期n年定期壽險的死亡年末賠付假定：(X) 簽約保額為1個單位的m年延期n年定期壽險。 6. m年延期終身壽險的死亡年末賠付假定：(X) 簽約保額為1個單位的m年延期

22、終身壽險。 7. m年延期兩全壽險的賠付假定：(X) 簽約保額為1個單位的m年延期兩全壽險。 變額收益保險8. 遞增的n年定期保險的死亡年末賠付假定：(X) 簽約保額為1個單位的遞增的n年定期保險。被保人在第k+1個保單年度內(nèi)死亡，則給付k+1元的保險金。（k=0,1, ,n） 變額收益保險9. 遞增的終身保險的死亡年末賠付假定：(X) 簽約保額為1個單位的遞增的終身壽險。被保人在第k+1個保單年度內(nèi)死亡，則給付k+1元的保險金。（k=0,1, ） 變額收益保險10. 遞減的n年定期保險的死亡年末賠付假定：(X) 簽約保額為1個單位的遞減的n年定期保險。被保人在第k+1個保單年度內(nèi)死亡，則給付

23、n-k元的保險金。（k=0,1, ,n） 死亡年末給付躉繳純保費公式歸納終身壽險延期m年的n年定期壽險延期m年的終身壽險n年期兩全保險延期m年的n年期兩全保險遞增終身壽險遞減n年定期壽險11:xx nx nnAAA1:xxmx mAAA111:xxmmmx nx nnmx m nAAAAA111:mx nx mnx mAAA111:10()kxkxx kjxjkjIAkvpqA1111:10()(1)nnkkxx kx nx njkjDAnkvpqAkxxkkkxqpvA01例2.1n設(shè)年齡為35歲的人投保離散型的保險金額為5000元的25年定期保險。求該保單的躉繳純保費。（年利率i=6）例2

24、.2n設(shè)年齡為25歲的人購買離散型的保額為5000元的30年兩全保險，試求該保單的躉繳純保費（年利率i=6）。例2.3n設(shè)年齡為30歲的人購買離散型的遞增的30年定期保險，保險利益是：被保人在第一個保單年度內(nèi)死亡，則給付1000元；在第二個保單年度內(nèi)死亡，則給付1100元；在第三個保單年度內(nèi)死亡，則給付1200元，依次下去，直到第30個保單年度內(nèi)死亡，則給付3900元。試求該保單的躉繳純保費（預(yù)定年利率i=6）例2.4n設(shè)年齡為30歲的人投保離散型的遞減的20年定期保險，保險利益是：被保人在第一個保單年度內(nèi)死亡，則給付5000元；在第二個保單年度內(nèi)死亡，則給付4900元；在第三個保單年度內(nèi)死亡

25、，則給付4800元，依次下去，直到第20個保單年度內(nèi)死亡，則給付3100元。試求該保單的躉繳純保費（預(yù)定年利率i=6）例2.5n（x）歲的人投保5年期的定期壽險，保險金額為1萬元，保險金死亡年末給付，按附錄示例生命表計算：（1）20歲的人按實質(zhì)利率為2.5%計算的躉繳純保費。（2）60歲的人按實質(zhì)利率為2.5%計算的躉繳純保費。（3）20歲的人按實質(zhì)利率為6%計算的躉繳純保費。（4）60歲的人按實質(zhì)利率為6%計算的躉繳純保費。例2.5答案4411120:52.5%002345120:56%160:52.5%160:56%(1)100001000099.0569102.0149105.25821

26、08.8135112.7102100009617850.912 1000048.363 10000739.664 10000703kkx kkxx kkkxdAvp qvlvvvvvAAA同理可得（ ）（ ）（ ）.372.3 在死亡均勻分布下的壽險模型 n1. 以終身壽險為例，有剩余壽命等于整值剩余壽命加死亡之年分數(shù)生存壽命：n則有 ( )( ) 1( ) 1( )( )( )T xK xS xT xK xS xvvv11110()()()TKSsxxxE vE vE viAAvdsA在死亡均勻分布下的其它壽險模型n2. n年定期壽險n3. 兩全保險n4. m年延期壽險n5. 變額險種死亡年

27、末給付與死亡即刻給付躉繳純保費之間的關(guān)系(UDD)n在滿足如下兩個條件的情況下，死亡即刻賠付凈躉繳純保費是死亡年末賠付凈躉繳純保費的 倍。條件1：條件2： 只依賴于剩余壽命的整數(shù)部分，即 i,lnttvvv Tb*1TKbb例2.10n（x）歲的人投保5年期的兩全保險，保險金額為1萬元，保險金死亡即刻給付，按附錄示例生命表計算：n（1）20歲的人按實質(zhì)利率為2.5%計算的躉繳純保費。n（2）60歲的人按實質(zhì)利率為2.5%計算的躉繳純保費。n（3）20歲的人按實質(zhì)利率為6%計算的躉繳純保費。n（4）60歲的人按實質(zhì)利率為6%計算的躉繳純保費。例2.10答案120:52.5%11120:52.5%

28、20:52.5%20:52.5%120:52.5%1552052052.5%11202052.5%20:52.5%52.5%(1)0.0050910.005154ln(1)1000051.5495650.1510000100008790.04961781000010000(AiiAAAiAAvpvAAA：已知再求1000020:56%60:52.5%60:56%)8841.582 100009431.993 100008881.344 100009404.59AAA（ ）（ ）（ ）例2.11n對（50）歲的男性第一年死亡即刻給付5000元，第二年死亡即刻給付4000元，以此按年遞減5年期人壽保險，根據(jù)附錄生命表，以及死亡均勻分布假定，按年實質(zhì)利率6%計算躉繳純保費。例2.11答案307.88(100008837. 0)5(0297087. 1(06. 1ln06. 0(106. 05504050501106. 0550106.