第二章(人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值)

1、第二章躉繳純保費(fèi)本章結(jié)構(gòu)n人壽保險(xiǎn)躉繳純保費(fèi)厘定原理n死亡即刻賠付保險(xiǎn)躉繳純保費(fèi)的厘定(連續(xù)模型)n死亡年末賠付保險(xiǎn)躉繳純保費(fèi)的厘定（離散模型)n遞歸方程n計(jì)算基數(shù)第二章中英文單詞對(duì)照一n躉繳純保費(fèi)n精算現(xiàn)時(shí)值n死亡即刻賠付保險(xiǎn)（連續(xù)模型）n死亡年末給付保險(xiǎn)（離散模型）n定額受益保險(xiǎn)nNet single premiumnActuarial present valuenInsurances payable at the moment of death nInsurances payable at the end of the year of deathnLevel benefit insura

2、nce第二章中英文單詞對(duì)照二n定期人壽保險(xiǎn)n終身人壽保險(xiǎn)n兩全保險(xiǎn)n生存保險(xiǎn)n延期保險(xiǎn)n變額受益保險(xiǎn)nTerm life insurancenWhole life insurancenEndowment insurancenPure endowment insurancenDeferred insurancenVarying benefit insurance2.0 保費(fèi)厘定的原理 人壽保險(xiǎn)躉繳純保費(fèi)厘定的原理 人壽保險(xiǎn)簡(jiǎn)介n什么是人壽保險(xiǎn)n狹義的人壽保險(xiǎn)是以被保險(xiǎn)人在保障期是否死亡作為保險(xiǎn)標(biāo)的的一種保險(xiǎn)。(定期壽險(xiǎn)和終身壽險(xiǎn))n 廣義的人壽保險(xiǎn)是以被保險(xiǎn)人的壽命作為保險(xiǎn)標(biāo)的的一種保險(xiǎn)。它包括

3、以保障期內(nèi)被保險(xiǎn)人死亡為標(biāo)的的狹義壽險(xiǎn)，也包括以保障期內(nèi)被保險(xiǎn)人生存為標(biāo)的的生存保險(xiǎn)和兩全保險(xiǎn)。人壽保險(xiǎn)的分類n受益金額是否恒定定額受益保險(xiǎn) 變額受益保險(xiǎn)n保單簽約日和保障期期始日是否同時(shí)進(jìn)行n非延期保險(xiǎn)n延期保險(xiǎn) n保障標(biāo)的的不同n人壽保險(xiǎn)（狹義）n生存保險(xiǎn)n兩全保險(xiǎn) n保障期是否有限n 定期壽險(xiǎn) n 終身壽險(xiǎn)人壽保險(xiǎn)的性質(zhì)n保障的長(zhǎng)期性n這使得從投保到賠付期間的投資受益（利息）成為不容忽視的因素。n保險(xiǎn)賠付金額和賠付時(shí)間的不確定性n人壽保險(xiǎn)的賠付金額和賠付時(shí)間依賴于被保險(xiǎn)人的生命狀況。被保險(xiǎn)人的死亡時(shí)間是一個(gè)隨機(jī)變量。這就意味著保險(xiǎn)公司的賠付額也是一個(gè)隨機(jī)變量，它依賴于被保險(xiǎn)人剩余壽命分布

4、。n被保障人群的大數(shù)性n這就意味著，保險(xiǎn)公司可以依靠概率統(tǒng)計(jì)的原理計(jì)算出平均賠付并可預(yù)測(cè)將來的風(fēng)險(xiǎn)。躉繳純保費(fèi)的厘定n假定條件:n假定一：同性別、同年齡、同時(shí)參保的被保險(xiǎn)人的剩余壽命是獨(dú)立同分布的。n假定二：被保險(xiǎn)人的剩余壽命分布可以用經(jīng)驗(yàn)生命表進(jìn)行擬合。n假定三：保險(xiǎn)公司可以預(yù)測(cè)將來的投資受益（即預(yù)定利率）。純保費(fèi)厘定原理n原則n保費(fèi)凈均衡原則n解釋n所謂凈均衡原則，即保費(fèi)收入的期望現(xiàn)時(shí)值正好等于將來的保險(xiǎn)賠付金的期望現(xiàn)時(shí)值。它的實(shí)質(zhì)是在統(tǒng)計(jì)意義上的收支平衡。是在大數(shù)場(chǎng)合下，收費(fèi)期望現(xiàn)時(shí)值等于支出期望現(xiàn)時(shí)值 n按照凈均衡原則，躉繳純保費(fèi)就等于保險(xiǎn)賠付金的期望現(xiàn)時(shí)值 。2.1 連續(xù)型人壽模型死

5、亡即刻賠付（未來壽命T連續(xù)）躉繳純保費(fèi)的厘定死亡即刻賠付死亡即刻賠付的含義n死亡即刻賠付就是指如果被保險(xiǎn)人在保障期內(nèi)發(fā)生保險(xiǎn)責(zé)任范圍內(nèi)的死亡 ，保險(xiǎn)公司將在死亡事件發(fā)生之后，立刻給予保險(xiǎn)賠付。它是在實(shí)際應(yīng)用場(chǎng)合，保險(xiǎn)公司通常采用的理賠方式。n由于死亡可能發(fā)生在被保險(xiǎn)人投保之后的任意時(shí)刻，所以死亡即刻賠付時(shí)刻是一個(gè)連續(xù)隨機(jī)變量，它距保單生效日的時(shí)期長(zhǎng)度就等于被保險(xiǎn)人簽約時(shí)的剩余壽命。基本符號(hào)n 投保年齡 的人。n 人的極限年齡n 保險(xiǎn)金給付函數(shù)。n 貼現(xiàn)函數(shù)。n 保險(xiǎn)給付金在保單生效時(shí)的現(xiàn)時(shí)值)(xxtbtvTzTTTzbv躉繳純保費(fèi)的厘定n躉繳純保費(fèi)的定義n在保單生效日一次性支付將來保險(xiǎn)賠付金

6、的期望現(xiàn)時(shí)值 n躉繳純保費(fèi)的厘定n按照凈均衡原則，躉繳純保費(fèi)就等于()TE z主要險(xiǎn)種的躉繳純保費(fèi)的厘定nn年期定期壽險(xiǎn)n終身壽險(xiǎn)nn年期兩全保險(xiǎn)nn年期生存保險(xiǎn)n延期h年的 n年期定期壽險(xiǎn)n延期h年的終身壽險(xiǎn)n延期h年的n年期的兩全保險(xiǎn)n遞增終身壽險(xiǎn)n遞減n年定期壽險(xiǎn)1、n年定期壽險(xiǎn)n定義n保險(xiǎn)人只對(duì)被保險(xiǎn)人在投保后的n年內(nèi)發(fā)生的保險(xiǎn)責(zé)任范圍內(nèi)的死亡給付保險(xiǎn)金的險(xiǎn)種，又稱為n年死亡保險(xiǎn)。n假定： 歲的人，保額1元n年定期壽險(xiǎn)n基本函數(shù)關(guān)系)(x , 0 , T1 , 0 , T0 , ttTTTTtvvtvnzb vtnbntn躉繳純保費(fèi)的厘定n符號(hào)：n厘定：1:nxA1:000()( )n

7、x nTtTnntttxx ttxx tAE zz ft dtvpdtepdt現(xiàn)值隨機(jī)變量的方差n方差公式n記（相當(dāng)于利息力翻倍以后求n年期壽險(xiǎn)的躉繳保費(fèi)）n所以方差等價(jià)為 22220()()()( )()ntTTTTTVar zE zE zeft dtE zdttfeAnTtnx)(021:22112:()()Tx nx nVar zAA例2.6n設(shè)n計(jì)算( )1 , 01001000.1xS xxi 130:101 (2)()TAVar z（）例2.6答案010101013030:10001021122230:1030:1000102()1(1)( )( )1001.111( )1.1 0

8、.0927070 ln1.112()() 1.10.092701.211 0.0920.05570 ln1.21TttttTtS xtftS xxAv ft dtdtVar zAAdt （ ）2、終身壽險(xiǎn)n定義n保險(xiǎn)人對(duì)被保險(xiǎn)人在投保后任何時(shí)刻發(fā)生的保險(xiǎn)責(zé)任范圍內(nèi)的死亡均給付保險(xiǎn)金的險(xiǎn)種。n假定： 歲的人，保額1元終身壽險(xiǎn)n基本函數(shù)關(guān)系)(x , 0 , T01 , 0 tTtTTTtvvtzb vvbt躉繳純保費(fèi)的厘定n符號(hào)：n厘定：xA000()( )xTtTtttxx ttxx tAE zz ft dtvpdtepdt現(xiàn)值隨機(jī)變量的方差 n方差公式n記n所以方差等價(jià)為 22220()()

9、()( )()tTTTTTVar zE zE zeft dtE z220( )txTAeft dt22()()TxxVar zAA例2.7n設(shè)(x)投保終身壽險(xiǎn)，保險(xiǎn)金額為1元保險(xiǎn)金在死亡即刻賠付。n簽單時(shí)，(x)的剩余壽命的密度函數(shù)為n計(jì)算1 , 060(t)600 , Ttf 其它0.90.91(2)()(3)Pr()0.9.xTAVar zz（）的例2.7答案0606002260220120602(1)( )1160602()() 1()6011()12060txTtTxxtxAeft dteedtVar zAAedtAee（ ）例2.7答案0.90.90.90.90.90.960lnl

10、n660.90.9(3)Pr()Pr() ln=Pr( lnln)()lnln60ln( )0.960ln6lnTTTvzvTvP Tvvft dtvve3、n 年定期生存保險(xiǎn)n定義n被保險(xiǎn)人投保后生存至n年期滿時(shí)，保險(xiǎn)人在第n年末支付保險(xiǎn)金的保險(xiǎn)。n假定： 歲的人，保額1元，n年定期生存保險(xiǎn)n基本函數(shù)關(guān)系)(x , 0 , T1 , 0 , T0 , ntnTTTtvvtvnzb vtnbntn躉繳純保費(fèi)的厘定n符號(hào)：n躉繳純保費(fèi)厘定n現(xiàn)值隨機(jī)變量的方差：1: x nA1:()nnx nTnxnxAE zvpep222112:()()()nnTnxnxx nx nVar zvpvpAA相關(guān)公

11、式及意義 (1)(1)11(2)(1)nxnxx nnxnnxnxx nlEillSiEvpl年齡xx+tx+n現(xiàn)時(shí)值11S1nxEn tx tEtxE4、n年定期兩全保險(xiǎn)n定義n被保險(xiǎn)人投保后如果在n年期內(nèi)發(fā)生保險(xiǎn)責(zé)任范圍內(nèi)的死亡，保險(xiǎn)人即刻給付保險(xiǎn)金；如果被保險(xiǎn)人生存至n年期滿，保險(xiǎn)人在第n年末支付保險(xiǎn)金的保險(xiǎn)。它等價(jià)于n年生存保險(xiǎn)加上n年定期壽險(xiǎn)的組合。n假定： 歲的人，保額1元，n年定期兩全保險(xiǎn)n基本函數(shù)關(guān)系)(x , , T , , T1 , 0tTtnTTTntvtnvvnzb vvtnvnbt躉繳純保費(fèi)的厘定n符號(hào)：n厘定記：n年定期壽險(xiǎn)現(xiàn)值隨機(jī)變量為 n年定期生存險(xiǎn)現(xiàn)值隨機(jī)變量

12、為 n年定期兩全險(xiǎn)現(xiàn)值隨機(jī)變量為 已知?jiǎng)t: x nA1z2z3z312zzz11:312( )( )( )xnxnxnE zE zE zAAA現(xiàn)值隨機(jī)變量方差因?yàn)樗?1212121212()( )()( ,)( )()()( )()Var zVar zVar zCov z zVar zVar zE zzE zE z120zz11:312:()( )()x nx nVar zVar zVar zAA例2.8n設(shè)n計(jì)算( )1 , 01001000.1xS xxi 30:101 (2)()TAVar z（）例2.8答案1130:101101030:1010301130:1030:1030:102

13、12030:10210301130:1031230:100.092( )0.05560(1)1.10.33700.422(2)()0.0185()()()0.0431tTTTTAVar zAvpAAAVar zvpAVar zVar zVar zAA由例2.6已知：5、延期m年定期壽險(xiǎn)n定義n保險(xiǎn)人對(duì)被保險(xiǎn)人在投保m年后的n年內(nèi)發(fā)生的保險(xiǎn)責(zé)任范圍內(nèi)的死亡均給付保險(xiǎn)金的險(xiǎn)種。n假定： 歲的人，保額1元，延期m年的n年定期壽險(xiǎn)n基本函數(shù)關(guān)系)(x,0 ,m 1 , m 0, 0 , ttTTTTtvv tvTmnzb vtmnb 其它其它6、延期終身壽險(xiǎn)n定義n保險(xiǎn)人對(duì)被保險(xiǎn)人在投保m年后發(fā)生的保

14、險(xiǎn)責(zé)任范圍內(nèi)的死亡均給付保險(xiǎn)金的險(xiǎn)種。n假定： 歲的人，保額1元，延期m年的終身壽險(xiǎn)n基本函數(shù)關(guān)系)(x , 0 , 1 , 0 , 0 , tttttttvvtvtmzbvtmbtmtm延期終身壽險(xiǎn)壽險(xiǎn)躉繳純保費(fèi)的厘定n符號(hào)：n厘定：mxA001:()( )( )( )mxTtTmmtTtTxx mAE zz ft dtz ft dtz ft dtAA現(xiàn)值隨機(jī)變量的方差 n方差公式n記n所以方差等價(jià)于2222()()()( )()tTTTTTmVar zE zE zeft dtE z22( )txTmmAeft dt22()()TxxmmVar zAA例2.9n假設(shè)（x）投保延期10年的終身

15、壽險(xiǎn)，保額1元。保險(xiǎn)金在死亡即刻賠付。n已知n求：0.040.06( ),0 xS xex，10(1) (2)Var(z )xTA例2.9答案0.040.060.040.110100.161020.120.041022()(1)( )0.04( )0.040.040.1470.04(2)0.040.050470.16()()0.0288tTtttxmtttxmTxxmmS xtfteS xAeedtedteAeedtVar zAA 7、延期m年n年定期兩全保險(xiǎn)n定義n被保險(xiǎn)人在投保后的前m年內(nèi)的死亡不獲賠償，從第m+1年開始為期n年的定期兩全保險(xiǎn)n假定： 歲的人，保額1元，延期m年的n年定期兩

16、全保險(xiǎn)n基本函數(shù)關(guān)系)(x , 0, T , , m0 , , T1 , ttm nTTTTm ntvtmnmvvtmnzb vvTmntmvmnbtm躉繳純保費(fèi)的厘定n符號(hào)：n厘定:mx nA1:11:mx nx mx m nmx nmx nAAAAA現(xiàn)值隨機(jī)變量的方差n記： m年延期n年定期壽險(xiǎn)現(xiàn)值隨機(jī)變量為 m年延期n年定期生存險(xiǎn)現(xiàn)值隨機(jī)變量為 m年延期n年定期兩全險(xiǎn)現(xiàn)值隨機(jī)變量為 已知?jiǎng)t1z2z3z312zzz11:312:()( )()mx nmx nVar zVar zVar zAA變額收益保險(xiǎn)8、遞增終身壽險(xiǎn)n定義：遞增終身壽險(xiǎn)是變額受益保險(xiǎn)的一種特殊情況。假定受益金額為剩余壽命

17、的線性遞增函數(shù)n特別：n一年遞增一次n一年遞增m次n一年遞增無窮次（連續(xù)遞增）變額收益保險(xiǎn)一年遞增一次(第k個(gè)保單年度內(nèi)死亡立即給付k元)n現(xiàn)值隨機(jī)變量n躉繳保費(fèi)厘定1TTzTv011()()1txTtxx tkttxx tkkIAE ztvpdtkvpdt 變額收益保險(xiǎn)一年遞增m次n在每個(gè)保單年度的第i/m年內(nèi)死亡即刻給付1/m元。（i=0,1, m)n現(xiàn)值隨機(jī)變量n躉繳保費(fèi)厘定()01111()()mtxTtxx tmk smmttxx tksmk smmtIAE zvpdtmmksvpdtm 1TTmTzvm變額收益保險(xiǎn)一年遞增無窮次（連續(xù)遞增）n被保人在 t時(shí)刻死亡給付t元。n現(xiàn)值隨機(jī)

18、變量n躉繳保費(fèi)厘定TTzTv0()()txTtxx tIAE ztvpdt變額收益保險(xiǎn)9、遞減定期壽險(xiǎn)n定義：遞減定期壽險(xiǎn)是變額受益保險(xiǎn)的另一種特殊情況。假定受益金額為剩余壽命的線性遞減函數(shù)n特別：n一年遞增一次n一年遞增m次n一年遞增無窮次（連續(xù)遞增）一年遞減一次n現(xiàn)值隨機(jī)變量n躉繳保費(fèi)厘定 ,0,TTnTvTnzTn 1:0110()()()tTtxx tx nknttxx tkkDAE zntvpdtnkvpdt2.2 離散型的人壽保險(xiǎn)模型死亡年末賠付（未來壽命K離散）躉繳純保費(fèi)的厘定死亡年末賠付的含義n 死亡年末賠付是指如果被保險(xiǎn)人在保障期內(nèi)發(fā)生保險(xiǎn)責(zé)任范圍內(nèi)的死亡 ，保險(xiǎn)公司將在死亡

19、事件發(fā)生的當(dāng)年年末給予保險(xiǎn)賠付。n由于賠付時(shí)刻都發(fā)生在死亡事件發(fā)生的當(dāng)年年末，所以死亡年末賠付時(shí)刻是一個(gè)離散隨機(jī)變量，它距保單生效日的時(shí)期長(zhǎng)度就等于被保險(xiǎn)人簽約時(shí)的整值剩余壽命加一。這正好可以使用以整值年齡為刻度的生命表所提供的生命表函數(shù)。所以死亡年末賠付方式是保險(xiǎn)精算師在厘定躉繳保費(fèi)時(shí)通常先假定的理賠方式。 基本符號(hào)n 歲投保的人整值剩余壽命n 保險(xiǎn)金在死亡年末給付函數(shù)n 貼現(xiàn)函數(shù)。n 保險(xiǎn)賠付金在簽單時(shí)的現(xiàn)時(shí)值。n 躉繳純保費(fèi)。kxK)(kbkvKz11KKKzbv()KE zx1. 定期壽險(xiǎn)死亡年末賠付場(chǎng)合n假定：(X) 簽約保額為1個(gè)單位的n 年定期保險(xiǎn)。n基本函數(shù)關(guān)系n記K為被保險(xiǎn)人

20、整值剩余壽命，則11 , 0,1,11 , 0,1,10 , , K0,1,10 , KkkkKKKKvvknknbknvnzbvn躉繳純保費(fèi)的厘定n符號(hào)：n厘定：11:011:0()nkKkxx kx nknkxx kx nkAE zvpql Avd1: x nA常用計(jì)算基數(shù)n計(jì)算基數(shù)引進(jìn)的目的：簡(jiǎn)化計(jì)算n常用基數(shù)：10000 N (1)xxxxxxxx kxx kkkxx kx kkkCvdDv lMCDRMkC現(xiàn)值隨機(jī)變量的方差n公式122220()()()()nkKKKkxx kkkVar zE zE zvpqE z1212:0nkkxx kx nkAvpq2112:()()Kx nx

21、 nVar zAA2. 終身壽險(xiǎn)死亡年末賠付場(chǎng)合假定：(X) 簽約保額為1個(gè)單位的終身壽險(xiǎn)。 3. 生存保險(xiǎn)的賠付假定：(X) 簽約保額為1個(gè)單位的生存保險(xiǎn)。 定義n現(xiàn)齡x歲的人在投保n年后仍然存活，可以在第n年末獲得生存賠付的保險(xiǎn)。nn年期純生存保險(xiǎn)的躉繳純保費(fèi)為n在生存年金研究中習(xí)慣用 表示該保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值xnnnxxnpvAE1:1: x nAnxE4. 兩全保險(xiǎn)的賠付假定：(X) 簽約保額為1個(gè)單位的兩全保險(xiǎn)。 5. m年延期n年定期壽險(xiǎn)的死亡年末賠付假定：(X) 簽約保額為1個(gè)單位的m年延期n年定期壽險(xiǎn)。 6. m年延期終身壽險(xiǎn)的死亡年末賠付假定：(X) 簽約保額為1個(gè)單位的m年延期

22、終身壽險(xiǎn)。 7. m年延期兩全壽險(xiǎn)的賠付假定：(X) 簽約保額為1個(gè)單位的m年延期兩全壽險(xiǎn)。 變額收益保險(xiǎn)8. 遞增的n年定期保險(xiǎn)的死亡年末賠付假定：(X) 簽約保額為1個(gè)單位的遞增的n年定期保險(xiǎn)。被保人在第k+1個(gè)保單年度內(nèi)死亡，則給付k+1元的保險(xiǎn)金。（k=0,1, ,n） 變額收益保險(xiǎn)9. 遞增的終身保險(xiǎn)的死亡年末賠付假定：(X) 簽約保額為1個(gè)單位的遞增的終身壽險(xiǎn)。被保人在第k+1個(gè)保單年度內(nèi)死亡，則給付k+1元的保險(xiǎn)金。（k=0,1, ） 變額收益保險(xiǎn)10. 遞減的n年定期保險(xiǎn)的死亡年末賠付假定：(X) 簽約保額為1個(gè)單位的遞減的n年定期保險(xiǎn)。被保人在第k+1個(gè)保單年度內(nèi)死亡，則給付

23、n-k元的保險(xiǎn)金。（k=0,1, ,n） 死亡年末給付躉繳純保費(fèi)公式歸納終身壽險(xiǎn)延期m年的n年定期壽險(xiǎn)延期m年的終身壽險(xiǎn)n年期兩全保險(xiǎn)延期m年的n年期兩全保險(xiǎn)遞增終身壽險(xiǎn)遞減n年定期壽險(xiǎn)11:xx nx nnAAA1:xxmx mAAA111:xxmmmx nx nnmx m nAAAAA111:mx nx mnx mAAA111:10()kxkxx kjxjkjIAkvpqA1111:10()(1)nnkkxx kx nx njkjDAnkvpqAkxxkkkxqpvA01例2.1n設(shè)年齡為35歲的人投保離散型的保險(xiǎn)金額為5000元的25年定期保險(xiǎn)。求該保單的躉繳純保費(fèi)。（年利率i=6）例2

24、.2n設(shè)年齡為25歲的人購買離散型的保額為5000元的30年兩全保險(xiǎn)，試求該保單的躉繳純保費(fèi)（年利率i=6）。例2.3n設(shè)年齡為30歲的人購買離散型的遞增的30年定期保險(xiǎn)，保險(xiǎn)利益是：被保人在第一個(gè)保單年度內(nèi)死亡，則給付1000元；在第二個(gè)保單年度內(nèi)死亡，則給付1100元；在第三個(gè)保單年度內(nèi)死亡，則給付1200元，依次下去，直到第30個(gè)保單年度內(nèi)死亡，則給付3900元。試求該保單的躉繳純保費(fèi)（預(yù)定年利率i=6）例2.4n設(shè)年齡為30歲的人投保離散型的遞減的20年定期保險(xiǎn)，保險(xiǎn)利益是：被保人在第一個(gè)保單年度內(nèi)死亡，則給付5000元；在第二個(gè)保單年度內(nèi)死亡，則給付4900元；在第三個(gè)保單年度內(nèi)死亡

25、，則給付4800元，依次下去，直到第20個(gè)保單年度內(nèi)死亡，則給付3100元。試求該保單的躉繳純保費(fèi)（預(yù)定年利率i=6）例2.5n（x）歲的人投保5年期的定期壽險(xiǎn)，保險(xiǎn)金額為1萬元，保險(xiǎn)金死亡年末給付，按附錄示例生命表計(jì)算：（1）20歲的人按實(shí)質(zhì)利率為2.5%計(jì)算的躉繳純保費(fèi)。（2）60歲的人按實(shí)質(zhì)利率為2.5%計(jì)算的躉繳純保費(fèi)。（3）20歲的人按實(shí)質(zhì)利率為6%計(jì)算的躉繳純保費(fèi)。（4）60歲的人按實(shí)質(zhì)利率為6%計(jì)算的躉繳純保費(fèi)。例2.5答案4411120:52.5%002345120:56%160:52.5%160:56%(1)100001000099.0569102.0149105.25821

26、08.8135112.7102100009617850.912 1000048.363 10000739.664 10000703kkx kkxx kkkxdAvp qvlvvvvvAAA同理可得（ ）（ ）（ ）.372.3 在死亡均勻分布下的壽險(xiǎn)模型 n1. 以終身壽險(xiǎn)為例，有剩余壽命等于整值剩余壽命加死亡之年分?jǐn)?shù)生存壽命：n則有 ( )( ) 1( ) 1( )( )( )T xK xS xT xK xS xvvv11110()()()TKSsxxxE vE vE viAAvdsA在死亡均勻分布下的其它壽險(xiǎn)模型n2. n年定期壽險(xiǎn)n3. 兩全保險(xiǎn)n4. m年延期壽險(xiǎn)n5. 變額險(xiǎn)種死亡年

27、末給付與死亡即刻給付躉繳純保費(fèi)之間的關(guān)系(UDD)n在滿足如下兩個(gè)條件的情況下，死亡即刻賠付凈躉繳純保費(fèi)是死亡年末賠付凈躉繳純保費(fèi)的 倍。條件1：條件2： 只依賴于剩余壽命的整數(shù)部分，即 i,lnttvvv Tb*1TKbb例2.10n（x）歲的人投保5年期的兩全保險(xiǎn)，保險(xiǎn)金額為1萬元，保險(xiǎn)金死亡即刻給付，按附錄示例生命表計(jì)算：n（1）20歲的人按實(shí)質(zhì)利率為2.5%計(jì)算的躉繳純保費(fèi)。n（2）60歲的人按實(shí)質(zhì)利率為2.5%計(jì)算的躉繳純保費(fèi)。n（3）20歲的人按實(shí)質(zhì)利率為6%計(jì)算的躉繳純保費(fèi)。n（4）60歲的人按實(shí)質(zhì)利率為6%計(jì)算的躉繳純保費(fèi)。例2.10答案120:52.5%11120:52.5%

28、20:52.5%20:52.5%120:52.5%1552052052.5%11202052.5%20:52.5%52.5%(1)0.0050910.005154ln(1)1000051.5495650.1510000100008790.04961781000010000(AiiAAAiAAvpvAAA：已知再求1000020:56%60:52.5%60:56%)8841.582 100009431.993 100008881.344 100009404.59AAA（ ）（ ）（ ）例2.11n對(duì)（50）歲的男性第一年死亡即刻給付5000元，第二年死亡即刻給付4000元，以此按年遞減5年期人壽保險(xiǎn)，根據(jù)附錄生命表，以及死亡均勻分布假定，按年實(shí)質(zhì)利率6%計(jì)算躉繳純保費(fèi)。例2.11答案307.88(100008837. 0)5(0297087. 1(06. 1ln06. 0(106. 05504050501106. 0550106.