正余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)

1、 正、余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)正、余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)(2) X定義域、值域、最值、周期、對稱性、奇偶性、單調(diào)性等制作：陳志海2011.y=sinxyxo-1234-2-312 23 25 27 2 23 25 y=sinx, x 0,2 xyo-11 2 . 23 2 xsinx 23 21 0012 1000.“五點(diǎn)法五點(diǎn)法”作草作草圖圖一、探索畫圖方法1、描點(diǎn)法2、等分圓周平移法3、利用圖象平移法因?yàn)閥=cosx=cos(x)(2sinx)2sin(x發(fā)現(xiàn)問題： 余弦函數(shù)y=cosx，與函數(shù) 是同一個函數(shù)Rx)2sin(xyRx二、余弦函數(shù)圖象畫法平移法余弦函數(shù)的圖象 正弦函數(shù)的圖象正弦函數(shù)

2、的圖象(正弦曲線正弦曲線)x6yo-12345-2-3-41y=sinx (x R) x6o-12345-2-3-41y y=cosx (x R) 余弦函數(shù)的圖象余弦函數(shù)的圖象(余弦曲線余弦曲線) 正弦、余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)正弦、余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)x6yo-12345-2-3-41y=sinx (x R) x6o-12345-2-3-41y y=cosx (x R) 定義域定義域值值 域域周期性周期性x Ry - 1, 1 T = 2 4-3 /2o- 2-3- /2234x1-1函數(shù)函數(shù)y=sinx, x R的圖象的圖象正弦曲線正弦曲線 性質(zhì)性質(zhì)函數(shù)函數(shù)定定義義域域值域值域 正值區(qū)間正值區(qū)

3、間負(fù)值區(qū)間負(fù)值區(qū)間f(x)=0y=sinxy=cosxR-1,1(2,2)KK(2,22 )KK,X XKKZ4-3 /2o- 2-3- /2234x1-1函數(shù)函數(shù)y=COSx, x R的圖象的圖象余弦曲線余弦曲線 性質(zhì)性質(zhì)函數(shù)函數(shù)定定義義域域值域值域 正值區(qū)間正值區(qū)間負(fù)值區(qū)間負(fù)值區(qū)間f(x)=0y=sinxy=cosxR-1,1(2,2)KK(2,22 )KK,X XKKZR-1,1(2,2)22KK3(2,2)22KK,2X XKKZx6yo-12345-2-3-41x6o-12345-2-3-41y 觀看觀看22242222正余弦函數(shù)圖象的對稱性正余弦函數(shù)圖象的對稱性例例1 1 求使下列

4、函數(shù)取得最大值的自變量求使下列函數(shù)取得最大值的自變量x x的集合，的集合，并說出最大值是什么？并說出最大值是什么？（1 1）y=cosx+1y=cosx+1，xRxR；（；（2 2）y=sin2xy=sin2x，xRxR；（3 3）y=-2sin2x+1y=-2sin2x+1，xR.xR. xyo-1234-2-312 23 25 27 2 23 25 y=sinx (x R) yxo-1234-2-312 23 25 27 2 23 25 y=cosx (x R) 求使下列函數(shù)取得最大值的自變量求使下列函數(shù)取得最大值的自變量x x的集合，并說出最大值是什么？的集合，并說出最大值是什么？ y

5、y2sinx2sinx，xRxR y y2-cosx2-cosx，xRxR 例例2：求下列函數(shù)定義域和值域：求下列函數(shù)定義域和值域(2).3sinyx(1).cosyx (3).lgsinyx例例3 求出下列函數(shù)的周期求出下列函數(shù)的周期Rxxy）（）（621sin23Rxxy cos32）（Rxxy2sin1 ）（.2)00().cos().sin(TAARxxAyRxxAy的周期為，為常數(shù)，、其中及函數(shù)一般地，函數(shù)注意：最小正周期是指能使函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn)的 自變量x要加上的那個最小的正數(shù)，這個最小的正數(shù)是對x而言的。 正弦、余弦函數(shù)的奇偶性正弦、余弦函數(shù)的奇偶性sin(-x)= - sinx

6、(x R) y=sinx (x R)x6yo-12345-2-3-41是是奇函數(shù)奇函數(shù) 正弦、余弦函數(shù)的奇偶性正弦、余弦函數(shù)的奇偶性 一般的，對于函數(shù)一般的，對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任的定義域內(nèi)的任意一個意一個x，都有，都有f(-x) -f(x)，則稱，則稱f(x)為這為這一定義域內(nèi)的奇函數(shù)。一定義域內(nèi)的奇函數(shù)。注意：若注意：若f(x)是奇函數(shù)，且是奇函數(shù)，且x0在定義域內(nèi)，則在定義域內(nèi)，則f(0)0函數(shù)函數(shù)y=sinx,x0,2是奇函數(shù)嗎？是奇函數(shù)嗎？因?yàn)橐驗(yàn)閟in(x)=sinx，知正弦函數(shù)是奇函數(shù)，知正弦函數(shù)是奇函數(shù)請同學(xué)們根據(jù)奇函數(shù)的圖象性質(zhì)驗(yàn)證請同學(xué)們根據(jù)奇函數(shù)的圖象性質(zhì)驗(yàn)證（）

7、驗(yàn)證圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱（）驗(yàn)證圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱知識遷移與拓寬知識遷移與拓寬驗(yàn)證驗(yàn)證y=sinx圖象關(guān)于點(diǎn)（圖象關(guān)于點(diǎn)（k, 0)對稱對稱（2）以）以y軸把圖象分為兩支，把其中一支圖象繞原軸把圖象分為兩支，把其中一支圖象繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)1800與另一半重合，說明關(guān)于原點(diǎn)對稱與另一半重合，說明關(guān)于原點(diǎn)對稱正弦、余弦函數(shù)的奇偶性正弦、余弦函數(shù)的奇偶性 （1 1）y y3sinx3sinx，y y1 12cosx2cosx的值域是什么？的值域是什么？ 答案：答案：3 3，3 3 1 1，3 3 （2 2）下列等式能否成立？為什么？）下列等式能否成立？為什么？ 2cosx2cosx3 3 sins

8、in2 2x x0.50.5 正弦、余弦函數(shù)的奇偶性正弦、余弦函數(shù)的奇偶性x6o-12345-2-3-41ycos(-x)= cosx (x R) y=cosx (x R)是是偶函數(shù)偶函數(shù) 正弦、余弦函數(shù)的奇偶性正弦、余弦函數(shù)的奇偶性 一般的，對于函數(shù)一般的，對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個的定義域內(nèi)的任意一個x，都有，都有f(-x) f(x)，則稱，則稱f(x)為這一定義域內(nèi)的為這一定義域內(nèi)的偶函數(shù)偶函數(shù)。關(guān)于關(guān)于y軸對稱軸對稱 正弦、余弦函數(shù)的奇偶性正弦、余弦函數(shù)的奇偶性sin(-x)= - sinx (x R) y=sinx (x R)x6yo-12345-2-3-41是是奇函數(shù)奇函

9、數(shù)x6o-12345-2-3-41ycos(-x)= cosx (x R) y=cosx (x R) 是是偶函數(shù)偶函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱 正弦、余弦函數(shù)的奇偶性正弦、余弦函數(shù)的奇偶性(1)sin 3,( 2 )sinc o s(3 )1sinyxyxxyx 例例4：判定下列函數(shù)的奇偶性：判定下列函數(shù)的奇偶性 正弦、余弦函數(shù)的奇偶性正弦、余弦函數(shù)的奇偶性 正弦、余弦函數(shù)的奇偶性正弦、余弦函數(shù)的奇偶性3( )2sin3,g(x)= ( )3ff xaxxxf x例2：已知函數(shù)若f(2)=3,1)求證：函數(shù)是奇函數(shù)；2）求 (-2)的值 正弦、余弦函數(shù)的單調(diào)性正弦、余弦函數(shù)的單調(diào)性

10、 正弦函數(shù)的單調(diào)性正弦函數(shù)的單調(diào)性 y=sinx (x R)增區(qū)間為增區(qū)間為 ， 其值從其值從-1增至增至12 2 xyo-1234-2-312 23 25 27 2 23 25 x sinx2 2 23 0 -1 0 1 0 -1減區(qū)間為減區(qū)間為 ， 其值從其值從 1減至減至-12 23 +2k , +2k ,k Z2 2 +2k , +2k ,k Z2 23 正弦、余弦函數(shù)的單調(diào)性正弦、余弦函數(shù)的單調(diào)性 余弦函數(shù)的單調(diào)性余弦函數(shù)的單調(diào)性 y=cosx (x R) x cosx2 2 - 0 -1 0 1 0 -1增區(qū)間為增區(qū)間為 其值從其值從-1增至增至1 +2k , 2k ,k Z 減區(qū)

11、間為減區(qū)間為 ， 其值從其值從 1減至減至-12k , 2k + , k Zyxo-1234-2-312 23 25 27 2 23 25 正弦、余弦函數(shù)的單調(diào)性正弦、余弦函數(shù)的單調(diào)性 例例5 不通過求值，指出下列各式大于不通過求值，指出下列各式大于0還是小于還是小于0： (1) sin( ) sin( )18 10 (2) cos( ) - cos( ) 523 417 解：解：218102 又又 y=sinx 在在 上是增函數(shù)上是增函數(shù)2,2 sin( ) 018 10 解：解： 5340cos cos 4 53 即：即： cos cos 053 4 又又 y=cosx 在在 上是減函數(shù)上

12、是減函數(shù), 0 cos( )=cos =cos 523 523 53 417 cos( )=cos =cos 417 4 從而從而 cos( ) - cos( ) 0523 417 正弦、余弦函數(shù)的單調(diào)性正弦、余弦函數(shù)的單調(diào)性 例例6 求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間： (1) y=2sin(-x )解：解： y=2sin(-x ) = -2sinx函數(shù)在函數(shù)在 上單調(diào)遞減上單調(diào)遞減 +2k , +2k ,k Z2 2 函數(shù)在函數(shù)在 上單調(diào)遞增上單調(diào)遞增 +2k , +2k ,k Z2 23 (2) y=3sin(2x- )4 222242kxk838 kxk2324222 kxk8

13、783 kxk單調(diào)增區(qū)間為單調(diào)增區(qū)間為83,8 kk所以：所以：解：解：單調(diào)減區(qū)間為單調(diào)減區(qū)間為87,83 kk 正弦、余弦函數(shù)的單調(diào)性正弦、余弦函數(shù)的單調(diào)性 (3) y = -| sin(x+ )|4 解：解：令令x+ =u , 4 則則 y= -|sinu| 大致圖象如下：大致圖象如下：y=sinuy=|sinu|y=- |sinu|u2O1y-12222323減區(qū)間為減區(qū)間為Zkkku ,2 增區(qū)間為增區(qū)間為Zkkku ,2, 即：即：Zkkkx ,4,43 y為增函數(shù)為增函數(shù)Zkkkx ,4,4 y為減函數(shù)為減函數(shù) 正弦、余弦函數(shù)的性質(zhì)正弦、余弦函數(shù)的性質(zhì) 奇偶性、單調(diào)性奇偶性、單調(diào)性

14、 奇偶性奇偶性 單調(diào)性（單調(diào)區(qū)間）單調(diào)性（單調(diào)區(qū)間）奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù) +2k , +2k ,k Z2 2 單調(diào)遞增單調(diào)遞增 +2k , +2k ,k Z2 23 單調(diào)遞減單調(diào)遞減 +2k , 2k ,k Z 單調(diào)遞增單調(diào)遞增2k , 2k + , k Z單調(diào)遞減單調(diào)遞減函數(shù)函數(shù)余弦函數(shù)余弦函數(shù)正弦函數(shù)正弦函數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：1. 直接利用相關(guān)性質(zhì)直接利用相關(guān)性質(zhì)2. 復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性3. 利用圖象尋找單調(diào)區(qū)間利用圖象尋找單調(diào)區(qū)間、定義域1、值域2Rx1 ,1y、單調(diào)性4上是增函數(shù)；在22 ,22kkx上是減函數(shù)；在232 ,22kkx、最值5122maxykx時，當(dāng)122minykx時，當(dāng)、奇偶性6奇函數(shù))(sin)sin()(xfxxxf、周期性72)(sin)2sin()2(最小正周期為xfxxxf 正弦函數(shù)的性質(zhì)正弦函數(shù)的性質(zhì)3、對稱性 對稱中心為 ( k ,0 )對稱軸方程 x= k + /2u2O1y-12222323、定義域1