材料力學課件 第四章扭 轉(zhuǎn)

1、1241 引言引言 42 外力偶矩和扭矩外力偶矩和扭矩43 薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)44 圓軸扭轉(zhuǎn)時的應力圓軸扭轉(zhuǎn)時的應力 強度計算強度計算45 圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形 剛度計算剛度計算46 非圓截面桿扭轉(zhuǎn)簡介非圓截面桿扭轉(zhuǎn)簡介第四章第四章 扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn) *圓軸扭轉(zhuǎn)超靜定問題圓軸扭轉(zhuǎn)超靜定問題341 引引 言言 軸：軸： 工程中以扭轉(zhuǎn)為主要變形的構(gòu)件。如：機器中的傳動軸、石油鉆機中的鉆桿、汽車轉(zhuǎn)向軸、攪拌器軸等。受力特點：受力特點：在垂直于桿軸線的平面內(nèi)作用有力偶.ABOmmOBA變形特點：變形特點：任意橫截面繞桿軸相對轉(zhuǎn)動。（桿表面縱線螺 旋線扭轉(zhuǎn)變形）4扭轉(zhuǎn)角扭轉(zhuǎn)角(相對扭轉(zhuǎn)角

2、相對扭轉(zhuǎn)角)（）：）：任意兩橫截面繞軸線轉(zhuǎn)動而 發(fā)生的角位移。剪應變剪應變(切應變切應變)（）：直角的改變量。mmOBA5工工 程程 實實 例例642 外力偶矩和扭矩外力偶矩和扭矩一、外力偶矩一、外力偶矩 m)(kN559nP.mm)(kN0247nP.m其中：P 功率，千瓦（kW） n 轉(zhuǎn)速，轉(zhuǎn)/分（rpm）其中：P 功率，馬力（PS） n 轉(zhuǎn)速，轉(zhuǎn)/分（rpm）1kW = 1000Nm/s = 1.36PS 使桿件產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形的力偶矩。數(shù)值上等于桿件所受外力對桿軸的力矩。傳動軸的傳遞功率、轉(zhuǎn)速與外力偶矩的關(guān)系：73 扭矩的符號規(guī)定：扭矩的符號規(guī)定： “T”的轉(zhuǎn)向與截面外法線方向滿足右手螺旋

3、法則為正，的轉(zhuǎn)向與截面外法線方向滿足右手螺旋法則為正，反之為負。反之為負。二、扭矩及扭矩圖二、扭矩及扭矩圖mmmTmTmTmx00 x1 扭矩：扭矩：構(gòu)件受扭時，橫截面上的內(nèi)力偶矩，記作“T”。 2 截面法求扭矩截面法求扭矩84 扭矩圖：表示扭矩沿軸線方向變化規(guī)律的圖線。扭矩圖：表示扭矩沿軸線方向變化規(guī)律的圖線。 目目 的的扭矩變化規(guī)律；|T|max值及其截面位置 強度計算（危險截面）。xT9例例1已知：一傳動軸， n =300r/min，主動輪輸入 P1=500kW，從動輪輸出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，試繪制扭矩圖。nA B C Dm2 m3 m1 m4解：解：

4、計算外力偶矩計算外力偶矩m)15.9(kN 3005009.5555911nP.mm)(kN 7843001509.55559232.nP.mmm)(kN 3763002009.5555944.nP.m10nA B C Dm2 m3 m1 m4112233求扭矩（扭矩按正方向設(shè)）求扭矩（扭矩按正方向設(shè)）mkN784 0 , 02121.mTmTmCmkN569784784( , 0 322322.).mmTmmTmkN376 , 0 4243.mTmT求扭矩求扭矩: 任意截面的扭矩任意截面的扭矩,數(shù)值上等于截面一側(cè)軸段所有外力數(shù)值上等于截面一側(cè)軸段所有外力偶矩的代數(shù)和偶矩的代數(shù)和. 轉(zhuǎn)向與這些

5、外力偶矩的合力偶矩之轉(zhuǎn)向相反轉(zhuǎn)向與這些外力偶矩的合力偶矩之轉(zhuǎn)向相反.11繪制扭矩圖繪制扭矩圖mkN 569max .TBC段為危險截面。段為危險截面。xTnA B C Dm2 m3 m1 m44.789.566.371243 薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn) 薄壁圓筒：薄壁圓筒：壁厚0101rt （r0：為平均半徑）一、實驗：一、實驗：1.實驗前：實驗前：繪縱向線，圓周線；繪縱向線，圓周線；施加一對外力偶施加一對外力偶 m。132.實驗后：實驗后：圓周線的大小、形狀、圓周線的大小、形狀、間距不變；間距不變； 縱縱向線變成斜直線，向線變成斜直線，傾傾角相同。角相同。3.結(jié)論：結(jié)論：各圓周線的間距均未

6、改變各圓周線的間距均未改變橫截面上無正應力橫截面上無正應力.圓周線的形狀、大小均未改變，只是繞軸線作了相對圓周線的形狀、大小均未改變，只是繞軸線作了相對轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動周向無正應力周向無正應力 縱向線傾斜縱向線傾斜橫截面上有切應力橫截面上有切應力. 各縱向線均傾斜了同一微小角度各縱向線均傾斜了同一微小角度 切應力均勻分布切應力均勻分布. 14 acdb 橫截面上無正應力 周向無正應力 橫截面上各點處，只產(chǎn)生垂直于半徑的均勻分布的切應力 ，沿周向大小不變，方向與該截面的扭矩方向一致。微小矩形單元體如圖所示：微小矩形單元體如圖所示：15二、薄壁圓筒切應力二、薄壁圓筒切應力 與剪應變與剪應變 ： TrAA0

7、d A0：平均半徑所作圓的面積。TtrrArA000 2d tATtrT 2 2 0 20切應力切應力剪應變剪應變LRRL/ mmOBA16三、切應力互等定理：三、切應力互等定理： 0故dxdytdxdytmz上式稱為切應力互等定理切應力互等定理。 該定理表明：在單元體相互垂直的兩個平面上，切應在單元體相互垂直的兩個平面上，切應力必然成對出現(xiàn)，且數(shù)值相等，兩者都垂直于兩平面的交力必然成對出現(xiàn)，且數(shù)值相等，兩者都垂直于兩平面的交線，其方向則共同指向或共同背離該交線。線，其方向則共同指向或共同背離該交線。acddxb dy tz17四、剪切虎克定律：四、剪切虎克定律： 單元體的四個側(cè)面上只有切應力

8、而無正應力作用，這單元體的四個側(cè)面上只有切應力而無正應力作用，這種應力狀態(tài)稱為種應力狀態(tài)稱為純剪切應力狀態(tài)。純剪切應力狀態(tài)。薄壁圓筒體扭轉(zhuǎn)實驗薄壁圓筒體扭轉(zhuǎn)實驗 18 T=m)/( ) 2( 0RLtAT 剪切虎克定律：剪切虎克定律：當切應力不超過材料的剪切比例極限時當切應力不超過材料的剪切比例極限時（ p) (在彈性范圍內(nèi)在彈性范圍內(nèi))，切應力與剪應變成正比關(guān)系。，切應力與剪應變成正比關(guān)系。在一定范圍內(nèi)在一定范圍內(nèi) 19G 式中：G是材料的一個彈性常數(shù)，稱為剪切彈性模量，因 無量綱，故G的量綱與 相同，不同材料的G值可通過實驗確定，鋼材的G值約為80GPa。 剪切彈性模量、彈性模量和泊松比是

9、表明材料彈性性質(zhì)的三個常數(shù)。對各向同性材料，這三個彈性常數(shù)之間存在下列關(guān)系（推導詳見后面章節(jié)）： 可見，在三個彈性常數(shù)中，只要知道任意兩個，第三個量就可以推算出來。)1 ( 2EG2044 圓軸扭轉(zhuǎn)時的應力圓軸扭轉(zhuǎn)時的應力 強度計算強度計算圓軸橫截面應力圓軸橫截面應力變形幾何方面變形幾何方面物理關(guān)系方面物理關(guān)系方面靜力學方面靜力學方面 1. 橫截面變形后橫截面變形后 仍為平面；仍為平面； 2. 軸向無伸縮；軸向無伸縮； 3. 縱向線變形后仍為平行?？v向線變形后仍為平行。一、等直圓軸扭轉(zhuǎn)實驗觀察：一、等直圓軸扭轉(zhuǎn)實驗觀察：2122二、等直圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的應力：二、等直圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的應力

10、：1. 變形幾何關(guān)系：變形幾何關(guān)系：xxGGdddtg1xdd距圓心為距圓心為 任一點處的任一點處的 與到圓心的距離與到圓心的距離 成正比。成正比。xdd 扭轉(zhuǎn)角沿長度方向變化率(單位長度扭轉(zhuǎn)角)。232. 物理關(guān)系：物理關(guān)系：胡克定律：代入上式得： GxGxGGddddxGdd 距圓心等距離處的切應力相等243. 靜力學關(guān)系：靜力學關(guān)系：OdAAxGAxGATAAAddd ddd d22AIApd2令xGI Tpdd pGITx dd 代入物理關(guān)系式 得：xGdd pIT25pIT橫截面上距圓心為處任一點切應力計算公式。4. 公式討論：公式討論： 僅適用于各向同性、線彈性材料，在小變形時的等

11、圓截面僅適用于各向同性、線彈性材料，在小變形時的等圓截面 直桿。直桿。 式中：式中：T橫截面上的扭矩，由截面法通過外力偶矩求得。橫截面上的扭矩，由截面法通過外力偶矩求得。 該點到圓心的距離。該點到圓心的距離。 Ip極慣性矩，純幾何量，無物理意義。極慣性矩，純幾何量，無物理意義。26單位：單位：mm4，m4。AIApd2 盡管由實心圓截面桿推出，但同樣適用于空心圓截面桿，盡管由實心圓截面桿推出，但同樣適用于空心圓截面桿， 只是只是Ip值不同。值不同。AIApd2對于實心圓截面：DdO202d2 D32424204DD27對于空心圓截面：AIApd2)(DddDOd222d2 Dd)1 (32 4

12、4D)(32 44dD 28 應力分布應力分布（實心截面）（空心截面）工程上采用空心截面構(gòu)件：提高強度，節(jié)約材料， 結(jié)構(gòu)輕便，應用廣泛。29 確定最大切應力：確定最大切應力：pIT由知：當 , 2DR pIDT2 maxtWTmaxWt 抗扭截面系數(shù)（抗扭截面模量）， 幾何量，單位：mm3或m3。對于實心圓截面：163DRIWpt對于空心圓截面：16)1 (43DRIWptmax 2 DITp)2 ( DIWWTptt令30三、等直圓桿扭轉(zhuǎn)時斜截面上的應力三、等直圓桿扭轉(zhuǎn)時斜截面上的應力低碳鋼試件：沿橫截面斷開。鑄鐵試件：沿與軸線約成45的螺旋線斷開。因此還需要研究斜截面上的應力。311. 點

13、M的應力單元體如圖(b)：(a)M(b) (c)2. 斜截面上的應力； 取分離體如圖(d)：(d) x32(d) xnt轉(zhuǎn)角規(guī)定：軸正向轉(zhuǎn)至截面外法線逆時針：為“+”順時針：為“”由平衡方程：0)cossind()sincosd(d ; 0AAAFn0)sinsind()coscosd(d ; 0AAAFt解得：2cos ; 2sin 332cos ; 2sin 分析：當 = 0時，max00 , 0當 = 45時，0 , 45min45當 = 45時，0 , 45max45當 = 90時，max9090 , 0 45 由此可見：圓軸扭轉(zhuǎn)時，在橫截面和縱截面上的切應力為最大值；在方向角 = 4

14、5的斜截面上作用有最大壓應力和最大拉應力。根據(jù)這一結(jié)論，就可解釋前述的破壞現(xiàn)象。34四、圓軸扭轉(zhuǎn)時的強度計算四、圓軸扭轉(zhuǎn)時的強度計算強度條件：強度條件：對于等截面圓軸：對于等截面圓軸：maxmaxtWT( 稱為許用切應力。)強度計算三方面：強度計算三方面： 校核強度： 設(shè)計截面尺寸： 計算許可載荷：maxmaxtWTmaxTWtmaxtWT）（空：實：433116 16 DDWt靜載下靜載下: = ( 0.5 0.6 ) ( 鋼鋼 ) = ( 0.8 1.0 ) ( 鑄鐵鑄鐵 )35 例例2 2 功率為150kW，轉(zhuǎn)速為15.4轉(zhuǎn)/秒的電動機轉(zhuǎn)子軸如圖， 許用切應力 =30M Pa, 試校核其

15、強度。nPmTBC55. 9m)(kN55. 1m)(kN604 .1515055. 9Tm解：求扭矩及扭矩圖計算并校核切應力強度此軸滿足強度要求。D3 =135D2=75 D1=70ABCmmxMPa231607. 01055. 133maxtWT3645 圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形 剛度計算剛度計算一、扭轉(zhuǎn)時的變形一、扭轉(zhuǎn)時的變形由公式pGITx dd 知：長為長為 l一段等截面桿兩截面間一段等截面桿兩截面間相對扭轉(zhuǎn)角相對扭轉(zhuǎn)角 為值不變）若 ( d d0TGITlxGITplp單位單位: 弧度弧度(rad)37二、單位扭轉(zhuǎn)角二、單位扭轉(zhuǎn)角q q：(rad/m) dd pGITx q

16、/m)( 180 dd qpGITx 或三、剛度條件三、剛度條件 (rad/m) maxqpGIT /m)( 180 maxqpGIT 或GIp反映了截面抵抗扭轉(zhuǎn)變形的能力，稱為截面的抗扭剛度截面的抗扭剛度。q q稱為許用單位扭轉(zhuǎn)角。38剛度計算的三方面：剛度計算的三方面： 校核剛度： 設(shè)計截面尺寸： 計算許可載荷： maxqq max qGT Ip max qpGIT 有時，還可依據(jù)此條件進行選材。qq 根據(jù)機器要求、軸的工作條件確定。 可查手冊。精密機器軸： q q = （ 0.15 0.30 ）/m一般傳動軸： q q = （ 0.30 .0 ）/m精度不高的軸： q q = （ .0

17、. ）/m39 例例33長為 L=2m 的圓桿受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如圖，若桿的內(nèi)外徑之比為 =0.8 ，G=80GPa ，許用切應力 =30MPa，試設(shè)計桿的外徑；若q2/m ，試校核此桿的剛度，并求右端面轉(zhuǎn)角。解：設(shè)計桿的外徑maxTWt 116D 43）（tW314max 116）（TD40314max 116）（TD40NmxT代入數(shù)值得：D 0.0226m。 由扭轉(zhuǎn)剛度條件校核剛度q180maxmaxPGIT4140NmxTq180maxmaxPGIT q89. 1)1 (108018040324429D右端面轉(zhuǎn)角為：弧度）( 033.0 )4(10204020220

18、0 xxGIdxGIxdxGITPPLP42 例例44 某傳動軸設(shè)計要求轉(zhuǎn)速n = 500 r / min，輸入功率N1 = 500 馬力， 輸出功率分別 N2 = 200馬力及 N3 = 300馬力，已知：G=80GPa ， =70M Pa，f1/m ，試確定： AB 段直徑 d1和 BC 段直徑 d2 ？ 若全軸選同一直徑，應為多少？ 主動輪與從動輪如何安排合理？解：圖示狀態(tài)下,扭矩如圖，由強度條件得： 500400N1N3N2ACBTx7.024 4.21(kNm)m)(kN024. 7024. 71ABnNTmaxmaxtWTm)(kN21. 4024. 73BCnNT4316 31T

19、dWt mm4 .67107014. 3421016163632BCTd 32 4 qGTdIp mm80107014. 3702416163631ABTd由剛度條件得：500400N1N3N2ACBTx7.0244.21(kNm) (rad/m) maxqqpGIT 44 mm4 .741108014. 3180421032 3249242 qGTdBCmm841108014. 3180702432 3249241 qGTdAB mm75 mm8521 d,d綜上：全軸選同一直徑時 mm851 dd45 軸上的絕對值最大的扭矩越小越合理，所以，1輪和2輪應 該換位。換位后,軸的扭矩如圖所示,

20、此時,軸的最大直徑 為 75mm。Tx 4.21(kNm)2.81446圓軸扭轉(zhuǎn)的超靜定問題圓軸扭轉(zhuǎn)的超靜定問題解決扭轉(zhuǎn)超靜定問題的方法步驟：解決扭轉(zhuǎn)超靜定問題的方法步驟：平衡方程；平衡方程；幾何方程幾何方程變形協(xié)調(diào)方程；變形協(xié)調(diào)方程；補充方程：由幾何方程和物理方程得；補充方程：由幾何方程和物理方程得；物理方程；物理方程；解由平衡方程和補充方程組成的方程組。解由平衡方程和補充方程組成的方程組。 pGITl47 例例55長為 L=2m 的圓桿受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如圖，若桿的內(nèi)外徑之比為 =0.8 ，外徑 D=0.0226m ，G=80GPa，試求固端反力偶。解解：桿的受力圖如圖

21、示， 這是一次超靜定問題。 平衡方程為：02BAmmm48幾何方程變形協(xié)調(diào)方程0BA 綜合物理方程與幾何方程，得補充方程：040220200PAPALPBAGImdxGIxmdxGITmN 20 Am 由平衡方程和補充方程得：另:此題可由對稱性直接求得結(jié)果。mN 20Bm4946 非圓截面桿扭轉(zhuǎn)簡介非圓截面桿扭轉(zhuǎn)簡介非圓截面等直桿：非圓截面等直桿：平面假設(shè)不成立。即各截面發(fā)生翹曲成空間曲面。因此，由等直圓桿扭轉(zhuǎn)時推出的應力、變形公式不適用，須由彈性力學方法求解。50一一、自由扭轉(zhuǎn)、自由扭轉(zhuǎn)：桿件扭轉(zhuǎn)時，橫截面的翹曲不受限制，任意兩相 鄰截面的翹曲程度完全相同。二二、約束扭轉(zhuǎn)：、約束扭轉(zhuǎn)：桿件扭

22、轉(zhuǎn)時，橫截面的翹曲受到限制，相鄰截面 的翹曲程度不同。三三、矩形桿橫截面上的切應力、矩形桿橫截面上的切應力: : hbh 1T max 注意！b1. 切應力分布如圖：（角點、形心、長短邊中點）( (縱向纖維長度不變縱向纖維長度不變, , 無無 , , 只有只有 ) )（產(chǎn)生（產(chǎn)生 、 ) )512. 最大切應力及單位扭轉(zhuǎn)角max1 hbh 1T max 注意！b maxmaxtWT , tGITqIt相當極慣性矩。hbtW2 :其中hbIt3 :其中31 ; ) 10 : (bh即對于狹長矩形 和 可查表求得。52 例例8 8 一矩形截面等直鋼桿，其橫截面尺寸為：h = 100 mm， b=50mm，長度L=2m，桿的兩端受扭轉(zhuǎn)力偶 T=4000Nm 的 作用 ，鋼的G =80GPa