概率統(tǒng)計第三節(jié)

1、區(qū)間估計的思想?yún)^(qū)間估計的思想 區(qū)間估計要求的是根據(jù)樣本給出未區(qū)間估計要求的是根據(jù)樣本給出未知參數(shù)的一知參數(shù)的一 個個范圍范圍， 并保證并保證真真參數(shù)以參數(shù)以指定的指定的較大較大概率屬于這個范圍。概率屬于這個范圍。2.3 區(qū)區(qū) 間間 估估 計計. 定義定義1 設總體設總體 X的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為 ， );(xFTnXXX),(2110),(, ),(2121nnXXXXXX11 (,)(,)nnPXXXX 則稱區(qū)間則稱區(qū)間 為參數(shù)為參數(shù) 的置信度為的置信度為 ),(1,使得使得置信區(qū)間置信區(qū)間， 分別稱為分別稱為置信上、下限置信上、下限。樣本，對于給定樣本，對于給定 若存在統(tǒng)計量若存在統(tǒng)計量

2、 未知，未知， 是來自總體是來自總體 X 的的1 . 注意：注意： 1、置信區(qū)間置信區(qū)間 以概率以概率包含包含 不能說成不能說成 落在落在 內(nèi)。內(nèi)。 ),(1),( 2、置信水平置信水平 是說區(qū)間是說區(qū)間 包含包含 的可信度或可靠度。的可信度或可靠度。 1),( .通常，采用通常，采用95%的置信度，有時也取的置信度，有時也取99%或或90%5%195% .100100955例 如 ： 若， 即 置 信 度 為這 時 重 復 抽 樣次 ，則 在 得 到 的個 區(qū) 間 中 包 含真值 的 有個 左 右 ， 不 包 含真 值的 有 個 左 右 。. 3. 給了樣本值給了樣本值 區(qū)間區(qū)間 的端點也隨

3、之確定。稱區(qū)間的端點也隨之確定。稱區(qū)間 Tnxxx),(21),(),(),(2121nnxxxxxx),( 4 區(qū)間估計的精度常用置信區(qū)間的平均長區(qū)間估計的精度常用置信區(qū)間的平均長 ()E()E它是一個它是一個普通普通區(qū)間，簡稱置信區(qū)間。區(qū)間，簡稱置信區(qū)間。為置信區(qū)間為置信區(qū)間 的一個的一個實現(xiàn)實現(xiàn)， 度度 來表示，來表示， 越小，精度越高越小，精度越高. 通常采用通常采用基于點估計基于點估計構造置信區(qū)間構造置信區(qū)間 的方法來獲得置信區(qū)間的方法來獲得置信區(qū)間 ，稱此方法為，稱此方法為 樞軸量樞軸量法。具體法。具體思路思路如下如下：一、尋求置信區(qū)間的方法一、尋求置信區(qū)間的方法. 1、明確要求的

4、是什么參數(shù)的置信區(qū)間，明確要求的是什么參數(shù)的置信區(qū)間， 置信度置信度 多大？多大？ 2、構造含未知參數(shù)構造含未知參數(shù) 且有確定分布的且有確定分布的 隨機變量隨機變量 3、根據(jù)分布，對給定的置信度根據(jù)分布，對給定的置信度 定出分位點（即臨界值）定出分位點（即臨界值） 4、利用不等式變形，求出利用不等式變形，求出 的置信區(qū)間。的置信區(qū)間。1 具體步驟如下：具體步驟如下： 2、圍繞圍繞 構造一個構造一個僅僅包含樣本和被估參數(shù)包含樣本和被估參數(shù) );,(21nXXXGG適當?shù)卮_定常數(shù)適當?shù)卮_定常數(shù) ，一般選滿足，一般選滿足 11);,(2211nXXXGP2121,2(的GPGP21，1、選取選取 的

5、一個較優(yōu)的點估計的一個較優(yōu)的點估計 樞軸量樞軸量 且且分布分布已知已知3、對于給定置信度對于給定置信度 由等式由等式. 4、 把不等式把不等式化為等價不等式化為等價不等式2211);,(nXXXG),(),(2121nnXXXXXX5、得置信水平得置信水平 的的 的置信區(qū)間的置信區(qū)間 1 ),(),(2121nnXXXXXXP1),(12,P|Z|1- 由此可找出無窮多組，；通常取對稱區(qū)間使：0X- /Zn. 為正態(tài)分布，確定臨界值為正態(tài)分布，確定臨界值121PZ （一）若樞軸量（一）若樞軸量12:， ，使得。即即，得：找出查正態(tài)分布表, 2/1)(0X- P-1-/n20(x- ) -n00

6、 x-,xnn推得，隨機區(qū)間：推得，隨機區(qū)間：。的概率包含它以1.由由解出解出.為自由度為為自由度為n 1的的 T 分布，確定分布，確定21，*/XTSn （二）若樞軸量（二）若樞軸量, ,| |1 Pt 取對稱區(qū)間使得：2 .* 1/XPSn 即，推得，隨機區(qū)間推得，隨機區(qū)間：*x-,xSSnn。的概率包含它以1.),2, 1(找出分布表查ntt. 為自由度為為自由度為n 1的的 分布，確定分布，確定*222(1)nS221， （三）若樞軸量（三）若樞軸量: 概因分布無對稱性，采用使對稱的區(qū)間率22.。*2122(1)1nSP ，211/(1,)2,n查分布表 找出 。2212, 22PP2

7、2/ 2(1,),n查分布表 找出得得*2*2221(1)(1)nSnS推得：隨機區(qū)間：隨機區(qū)間：21以的概率包含，而隨機區(qū)間*2*221(1)(1),nSnS*2111,nnSS1.以的概率包含. 設總體設總體 , 為為X的樣本的樣本 分別為樣本均值和修正樣本方差。分別為樣本均值和修正樣本方差。),(2NXnXXX21,2*,SX 1、已知、已知 ，求均值，求均值 的置信區(qū)間的置信區(qū)間2（1 1）構造樞軸量構造樞軸量 ) 1 , 0( NnXU一、一、一個正態(tài)總體的情形一個正態(tài)總體的情形. 11|2uUP查正態(tài)分布表，確定臨界值查正態(tài)分布表，確定臨界值 1212()u解出1|2unXP(3)

8、 由由1),(22unXunX（4）得置信水平為得置信水平為 的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為（2）對置信水平對置信水平 由由2,u. 例例1 設總體設總體 其中其中 未知未知 ),(2NX5 . 44 .54x1),(22unXunX解解 的的 置信區(qū)間為置信區(qū)間為試求試求 的的 95% 置信區(qū)間。置信區(qū)間。樣本，測得樣本均值為樣本，測得樣本均值為 現(xiàn)取得樣本容量為現(xiàn)取得樣本容量為36的一個的一個. 于是于是96. 1)975. 0(1025. 0u47. 1650. 496. 12nu)87.55,93.52()47. 1,47. 1(xx 從而，從而， 的的 95%置信區(qū)間為置信區(qū)間為查表得查表

9、得36,4.5,0.05n4 .54x.2、 未知，求均值未知，求均值 的置信區(qū)間的置信區(qū)間2(1) 構造樞軸量構造樞軸量* (1)/XTt nSn（2）對于置信水平對于置信水平 由由 11)1(|2ntTP查自由度查自由度n 1的的t分布表，確定臨界值分布表，確定臨界值2t.（3）由由*2|(1)1/XPtnSn （4）得置信水平為得置信水平為 的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為1),(2*2*tnSXtnSX解出.3、 未知，求方差未知，求方差 的置信區(qū)間的置信區(qū)間2) 1() 1(22*2nSn（1） 構造樞軸量構造樞軸量1)1() 1(222221nnP （2）對于置信水平對于置信水平 ，由，由

10、1查查 分布表，確定臨界值分布表，確定臨界值2) 1(),1(22221nn. （3）1)1() 1() 1(222*221nSnnP解出解出 2（4）得置信水平為得置信水平為 的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為1)1()1(,)1()1(221*22*nSnnSn 。(5) 標準差標準差 的置信水平的置信水平 的置信區(qū)間的置信區(qū)間1)1()1(,)1(221*22*nSnSn. 4、已知、已知 ，求方差，求方差 的置信區(qū)間的置信區(qū)間2（1）構造樞軸量構造樞軸量22212()( )niinX（2）對于置信水平對于置信水平 ，由，由11)()(222221nnP查查 分布表，確定臨界值分布表，確定臨界值

11、2)(),(22221nn. （3）1)()()(22212221nXnPnii解出解出 2（4）得置信水平為得置信水平為 的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為1)()(,)()(221122212nXnXniinii. 例例2 設工件長度設工件長度 ，今抽取，今抽取10 件測量其長度，得到如下數(shù)據(jù)（單位件測量其長度，得到如下數(shù)據(jù)（單位:cm） 24.2 , 23.8 , 24.0 , 25.5 , 25.6 , 24.8 , 23.6 , 24.5 , 25.3 , 24.7 ， 2),(2NX在置信度在置信度 0.95 下。求參數(shù)下。求參數(shù) ， 的置信區(qū)間的置信區(qū)間.置信度為置信度為95%的置信區(qū)間為

12、的置信區(qū)間為解解 因因5022.0*,6.24,102Sxn95. 017 .2)9(,032.19)9(,2622.2)9(2975.02025.0025.0t22*(1),(1)ssxtnxtnnn對給定的置信度對給定的置信度(24.09,25.11) 置信度為置信度為95%的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為2標準差標準差 置信度為置信度為95%的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為)674. 1 ,238. 0() 1(*) 1(,) 1(*) 1(2212222nsnnsn)294.1 ,487.0()674.1,238.0(. 這就是說估計工件長度的均值在這就是說估計工件長度的均值在 24.09 厘米厘米

13、與與 25.11 厘米之間。這個厘米之間。這個 估計的可信度為估計的可信度為 95%。 若以此區(qū)間內(nèi)若以此區(qū)間內(nèi) 一值作為一值作為 的近似值，其誤差不大于的近似值，其誤差不大于02.122622.2105022.0這個誤差估計的可信度為這個誤差估計的可信度為95%。 二、二、兩個正態(tài)總體的情形兩個正態(tài)總體的情形 設設 分別為來自總體分別為來自總體 的樣本，且假定兩個樣本的樣本，且假定兩個樣本相互獨立，記相互獨立，記 ，分別為樣本均值和修正樣本方差。分別為樣本均值和修正樣本方差。 TnTnYYYXXX),(,),(212121YX ,2*2*21,nnSS211(,)XN 222,(,)YN .

14、1.已知已知 ，求均值，求均值 的置信區(qū)間的置信區(qū)間 2221,21 （1） 構造樞軸量構造樞軸量) 1 , 0()()(22212121NnnYXU（2）對于置信水平對于置信水平 ，由，由11|2uUP查正態(tài)分布表，確定臨界值查正態(tài)分布表，確定臨界值 2u.（3）由由1|)()(|222212121unnYXP 解出解出 21（4）得置信水平為得置信水平為 的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為122212122221212)( ,)(nnuYXnnuYX. 例例 研究兩種固體燃料火箭推進器的研究兩種固體燃料火箭推進器的 燃燒率。設兩者都服從正態(tài)分布，并且已燃燒率。設兩者都服從正態(tài)分布，并且已 知燃燒率的

15、標準差均近似為知燃燒率的標準差均近似為 取樣本取樣本 容量為容量為scm /05.0,2021 nn./24,/1821scmxscmx。的置信區(qū)間的置信度求兩燃燒率總體均值差99.021得燃燒率的樣本均值為得燃燒率的樣本均值為. 解解12,10.99,XX設兩總體分別為由575. 2)995. 0()21 (112u05. 0,20,24,182121nnxx再由題設0.005,2反查標準正態(tài)分表得22221212121222(),()X YuX Yunnnn代入公式代入公式得置信水平為得置信水平為 0.99 的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為（-6.04，-5.96） 注：注： 得到置信區(qū)間的上限小

16、于零，在得到置信區(qū)間的上限小于零，在實際中就認為實際中就認為 比比 小小122. 未知時，求均值未知時，求均值 的置信區(qū)間的置信區(qū)間2221221（1）構造樞軸量構造樞軸量)2(11)()(212121nntnnSYXTw其中其中 2) 1() 1(212*22*121nnSnSnSnnw.(2) 對于置信水平對于置信水平 ，由，由 11)2(|212nntTP查查T分布表，確定臨界值分布表，確定臨界值 )2(212nnt（3）由由. 12212()()|111wXYPtSnn 解出解出 21 （4）得置信水平為得置信水平為 的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為121221211)( ,11)(nnStY

17、XnnStYXww例例 為提高某一化學生產(chǎn)過程的得率，試圖為提高某一化學生產(chǎn)過程的得率，試圖采用一種新的催化劑。為慎重，在實驗工采用一種新的催化劑。為慎重，在實驗工廠先進行試驗，先采用原來的催化劑進行廠先進行試驗，先采用原來的催化劑進行 次試驗，測得率的平均值次試驗，測得率的平均值 樣本方差樣本方差 ,后來用新的催化劑進行后來用新的催化劑進行 次試驗，測得率的平均值次試驗，測得率的平均值樣本方差樣本方差 假定采用兩種催化劑下假定采用兩種催化劑下的得率都服從正態(tài)分布，且方差相等，試的得率都服從正態(tài)分布，且方差相等，試求兩種催化劑平均得率之差求兩種催化劑平均得率之差 的置信的置信度為度為 95%

18、的置信區(qū)間。的置信區(qū)間。81n89. 32*11ns73.91x82n75.93y02. 42*22ns21. 解解 120.05,8,91.73nnx120.025214 ,(14)2.1448nnt212*21293.75,3.89,4.02nnyss12*2*21122212(1)(1)2nnwnsnsSnn73.8974.023.9614. 的置信度的置信度95%的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為13. 202. 28181)14()(025. 0wStyx21)11. 0 ,15. 4( 由于所得置信區(qū)間由于所得置信區(qū)間包含零包含零，在實際中就，在實際中就認為采用這兩認為采用這兩 種種 催化劑

19、所得的得率的均催化劑所得的得率的均值沒有顯著差別。值沒有顯著差別。注意：注意：. 例例7 為比較為比較 A ,B 兩種型號步槍子彈的槍口兩種型號步槍子彈的槍口速度，隨機地取速度，隨機地取A型子彈型子彈10發(fā)，得到槍口速度的發(fā)，得到槍口速度的平均值，標準差分別為平均值，標準差分別為 隨機地取隨機地取 B 型子彈型子彈20發(fā)，得到槍口速度的平均發(fā)，得到槍口速度的平均值，標準差分別為值，標準差分別為 1*1500(/ ),1.10(/ )xm ssm s2*2496(/ ),1.20(/ )xm ssm s 假設兩總體都可認為近似地服從正態(tài)分布。假設兩總體都可認為近似地服從正態(tài)分布。且由生產(chǎn)過程可認

20、為且由生產(chǎn)過程可認為方差相等方差相等。求兩總體均值差。求兩總體均值差 的一個置信水平為的一個置信水平為 0.95 的置信區(qū)間的置信區(qū)間。21 1210.95,/20.025,10,20,.nn 解解 按實際情況，可認為分別來自兩個按實際情況，可認為分別來自兩個 總體的樣本是相互獨立的，又因由假設總體的樣本是相互獨立的，又因由假設 兩總體的兩總體的方差相等方差相等，但均值未知，故可，但均值未知，故可 用該公式求均值差的置信區(qū)間。用該公式求均值差的置信區(qū)間。120.025228,(28)2.048,nnt由于由于222(9 1.1019 1.20 )/28,1.1688.wwss.12 0.95

21、故所求的兩總體均值差 的一個置信度為的置信區(qū)間為93. 04201101)28(025. 021tsxxw)93. 4 ,07. 3(即 本本題題中得到的置信中得到的置信區(qū)間區(qū)間的下限大于零，的下限大于零，在在實際實際中就中就認為認為 比比 大大12. 3、當、當 均未知但均未知但 ， 求均值求均值 的置信區(qū)間的置信區(qū)間2221,nnn212112*() (1)zZTt nSn（1） 構造樞軸量構造樞軸量*2211;()1nziiZX YSZZn其中其中 。 (2) 對對 于置信水平于置信水平 ，由，由 11)1(|2ntTP查查T分布表，確定臨界值分布表，確定臨界值 ) 1(2nt（3） 由

22、由1)1(|)(|2*21ntnSZPz. 解出解出 21 （4）得置信水平為得置信水平為 的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為1nStYXnStYXzz*2*2)( ,)(推導：推導：令令則則是來自總體是來自總體的樣本的樣本ZX Y221212(,)ZN 12,nZZZ221212(,)ZN 221212(,)Nn*2211()1nZiiSZZnZXY設設則則由由 T 分布的定義分布的定義122212()(0,1)ZUNn*2222212(1)(1)ZnSn12*() (1)ZZt nSn21UTn. 例例 某一貨運公司欲試驗兩種不同品牌的卡某一貨運公司欲試驗兩種不同品牌的卡車輪胎的耐磨性，以便選擇耐磨

23、性較好的加以采車輪胎的耐磨性，以便選擇耐磨性較好的加以采購。各購買了購。各購買了A種和種和B種輪胎種輪胎 8個，各抽取一個組個，各抽取一個組成一對，再用隨機抽樣的方法安裝在成一對，再用隨機抽樣的方法安裝在 8 輛卡車輛卡車上。行駛一定里程后，測量輪胎磨損量（單位：上。行駛一定里程后，測量輪胎磨損量（單位： mg）假定兩種輪胎的磨損量均服從正態(tài)分布，）假定兩種輪胎的磨損量均服從正態(tài)分布，試求試求 的置信水平為的置信水平為0.95的置信區(qū)間。的置信區(qū)間。214900 5220 5500 6020 6340 7660 8650 4870 4930 4900 5140 5700 6110 6880 7

24、930 5010iXiY. 設設 相互獨立且同服從正態(tài)分布相互獨立且同服從正態(tài)分布 其中其中 未知未知4900 5220 5500 6020 6340 7660 8650 48704930 4900 5140 5700 6110 6880 7930 5010-30 320 360 320 230 780 720 -140iXiYiZiXiYiiiZXYiZ)8 , 2 , 1(iZi),(2ZZN21Z2Z解解 和和 分別表示分別表示A , B兩種輪胎的磨損量，兩種輪胎的磨損量，令令 將將 的觀察值列入表第的觀察值列入表第 3 行，行，. 821*21()1022007iiZSzz811320

25、8iizz95. 01120.025*()|(7)0.95zZPtsn給定置信水平給定置信水平 ，使，使查查 t 分布表，得分布表，得3646. 2)7(025. 0t. 得得 置信水平為置信水平為0.95的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為21*0.0250.025(7),(7)zzssztztnnA種高于種高于B 種輪胎的磨損量至少種輪胎的磨損量至少 52.73,故選故選B種。種。(52.737,587.263) 說明：說明： 成對觀察值能極小化外來因素的影響，成對觀察值能極小化外來因素的影響， 減少誤差，給出較精確的區(qū)間估計。減少誤差，給出較精確的區(qū)間估計。. 4、當、當 均未知，方差比均未知，方差

26、比 的區(qū)間估計的區(qū)間估計21,2221（1）構造樞軸量構造樞軸量) 1, 1(212*212*2221nnFSSFnn（2）對于置信水平對于置信水平 ，由，由11)1, 1() 1, 1(2122121nnFFnnFP 查查F分布表，確定臨界值分布表，確定臨界值 221,FF.12*21212*21222212(1,1)(1,1) 1nnSP FnnF nnS 2221解出解出 （4）得置信水平得置信水平 的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為1（3）) 1, 1(,) 1, 1(21212*2*2122*2*2121nnFSSnnFSSnnnn。 假定兩種配方的伸長率服從正態(tài)分布，假定兩種配方的伸長率服從

27、正態(tài)分布，2110.95 例例 某橡膠配方中，原用氧化鋅某橡膠配方中，原用氧化鋅 5g,氧化鋅氧化鋅5g 540 533 525 520 545 531 541 529 534氧化鋅氧化鋅1g 565 577 580 575 556 542 560 532 570 561求兩總體標準差之比求兩總體標準差之比 的置信區(qū)間的置信區(qū)間.測得橡膠伸長如下：測得橡膠伸長如下：現(xiàn)減少為現(xiàn)減少為 1g. 分別對兩種配方作一批試驗，分別對兩種配方作一批試驗，。 解解844.236,891.63,10, 92*22*12121nnssnn對對 查查 F 分布表，得分布表，得05. 036.4)8 , 9(,10

28、.4)9 , 8(025.0025.0FF所以所以066. 010. 4844.236891.63) 1, 1(2122*2*21nnFSSnn176. 136. 41844.236891.63) 1, 1(21212*2*21nnFSSnn.21( 0.066, 1.176)(0.257,1.084)的置信度為的置信度為95%的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為1212*2*2*2*21212122,(1,1)(1,1)nnnnSSSSFnnFnn. ,18A的內(nèi)徑 隨機抽取機器生產(chǎn)的管子例AB研究由機器和機器生產(chǎn)的鋼管*2210.43(),;smm只 測得樣本方差抽取13,B機器生產(chǎn)的管子只 測得樣本

29、方差*2220.29() ,smm設兩樣本相互獨立 且設,AB由機器機器生產(chǎn)管子的內(nèi)徑分別服21222,(1,2),iii未試求方差比知均221122(,),(,)NN 從正態(tài)分布這里0.90.的置信水平為的置信區(qū)間 。 解解*2*2112218,0.34,13,0.29,0.10nsns120.052(1,1)(17,12)2.59,F nnF120.9510.05211(1,1)(17,12)(12,17)2.38FnnFF21221得的一個置信水平為的置信區(qū)間為0.3410.34,2.38 ,(0.45,2.79)0.292.59 0.29即. 212221221由于的置信區(qū)間包含在實際

30、中就認為兩者沒有顯著差別. 1、指數(shù)分布參數(shù)的區(qū)間估計、指數(shù)分布參數(shù)的區(qū)間估計設總體設總體 ，即，即 X 具有概率密度具有概率密度)(ExpX000);(xxexfx其中參數(shù)其中參數(shù) 是來自總體是來自總體nXXX, 0211三、非正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計（了解）三、非正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計（了解）求求 的區(qū)間估計。的區(qū)間估計。X 的一個樣本，對給定的置信度的一個樣本，對給定的置信度 ,。 )2(222nXn 選取樞軸量為選取樞軸量為證明略證明略 . 復習（復習（略略）1( )(1, )XExp當當( , )X （1）10( ; , )( )00 xxexf xx . (2)122210( ; )

31、2( )200nxnxexnf x nx2( )Xn21( )(,)2 2nXn .且且 獨立，則獨立，則 ),(11nniiaaX), 2 , 1(),(niaXiinXXX21,(3) 可加性可加性若若 .推導推導 因因 是是 的無偏估計，的無偏估計，X1(1, ),X10( )( )00XtnnntetTftnt 1( , )niiTnXXn由可加性由可加性. 由由 分布分布 與與 分布的關系，令分布的關系，令 2YTty22yt 2則隨機變量函數(shù)則隨機變量函數(shù)的密度函數(shù)的密度函數(shù) 當當t 0時，單調(diào)，且值域時，單調(diào)，且值域ty20y2yt 因為因為反函數(shù)反函數(shù),導數(shù)為導數(shù)為12代入公式

32、有代入公式有. 000|21|)2()(yyyfyfTY12102( )00ynnyeyyn。 故故)2(222nXn22(2 )nXn 所以，取樞軸量為所以，取樞軸量為12( ,)2Tn即即證畢證畢. (1) 構造樞軸量構造樞軸量)2(222nXn（2）對于置信水平對于置信水平 ，由，由11)2()2(222221nnP查查 分布表，確定臨界值分布表，確定臨界值 2)2(),2(22221nn.（3）22122(2 )2(2 ) 1PnnXn 解出解出 （4） 得置信水平為得置信水平為 的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為1XnnXnn2)2(,2)2(22221. 設總體設總體 ， 其中其中 0 p

33、1 是未知參數(shù)是未知參數(shù) , 是來自總體是來自總體X的一個樣本，欲求的一個樣本，欲求 p 的置信度為的置信度為 的置信區(qū)間。的置信區(qū)間。), 1 (pBXnXXX,2112、（、（01）分布參數(shù)的區(qū)間估計）分布參數(shù)的區(qū)間估計. 該分布仍與參數(shù)該分布仍與參數(shù) 有關，故不能按前面有關，故不能按前面), 1 (), 1 (pBXpBXi1( ,)niinXXBpnp推導推導（略）（略）方法處理。由中心極限定理方法處理。由中心極限定理.)(1nXnpnpxpP(0,1)(1)aXpNppnnn)1 ,0()1 ()(NpppXna即，有即，有所以所以limn2212txedt. （1）構造樞軸量構造樞

34、軸量 ) 1 . 0()1 ()(NpppXnUa （2）對于置信水平對于置信水平 ，由，由11|2uUP 查正態(tài)分布表，確定臨界值查正態(tài)分布表，確定臨界值 2u . （3 3）將不等式將不等式 22)1 ()(upppXnu化成化成)4(21)4(2122acbbapacbbaXncuXnbuna22222。（4）得置信水平近似為得置信水平近似為 的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為1)4(21),4(21(22acbbaacbba。 例例 設自一大批產(chǎn)品的設自一大批產(chǎn)品的 100 個樣品中個樣品中), 1(pBX因為因為 則一級品率則一級品率 p 是（是（0-1）分布的參數(shù)，而）分布的參數(shù)，而 解解p

35、的置信水平為的置信水平為 0.95 的置信區(qū)間。的置信區(qū)間。 ，得一級品，得一級品 60 個，求這批產(chǎn)品的一級品率個，求這批產(chǎn)品的一級品率 . 故，得故，得 p 的一個置信水平為的一個置信水平為 0.95 的的36,84.123222xncuxnb95. 01, 6 . 010060,100 xn84.103,96. 1222unau近似置信區(qū)間為（近似置信區(qū)間為（0.5 ， 0.69 ）. 設總體設總體 X 的均值的均值 存在存在但未知，但未知， 是來自總體是來自總體 X 的大樣本（即的大樣本（即n充分大），充分大）， 求求 的置的置信度為信度為 的置信區(qū)間。的置信區(qū)間。1)(XEnXXX,

36、213、大樣本條件下總體均值的區(qū)間估計、大樣本條件下總體均值的區(qū)間估計可以證明，當可以證明，當n 充分大時，充分大時，(0,1)aXUNns. （1 1）構造樞軸量構造樞軸量 ) 1 , 0( NnsXUa (2) 對于置信水平對于置信水平 由由12u查正態(tài)分布表，確定臨界值查正態(tài)分布表，確定臨界值1|2uUP.1|2unsXP(4) 得得 置信水平近似為置信水平近似為 的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為1),(22unSXunSX解出解出（3）. 特別的特別的 pXE)(nXXX,2112,nXXXnmX 中中 1 的個數(shù)的個數(shù)大樣本，其中大樣本，其中 m 為樣本為樣本設設 是來自（是來自（0-1）分

37、布的）分布的本來導出一個更簡便的近似計算公式。本來導出一個更簡便的近似計算公式。知參數(shù)知參數(shù) 的置信區(qū)間。利用大樣的置信區(qū)間。利用大樣對于總體服從（對于總體服從（0-1）分布，求未）分布，求未 12,niimX. 而而 故由上式，可得故由上式，可得 2211(,(1)1)(mmuunnmmmnnmnnnn222211()niimmSXnXnn)1 (nmnm1()E Xpp 的置信度近似為的置信度近似為 的置信區(qū)間的置信區(qū)間. 如果一個總體如果一個總體 X ，其均值，其均值 ,方差方差 是兩個獨立的參數(shù)，或者我們根本就不是兩個獨立的參數(shù)，或者我們根本就不知道知道X的的分布類型分布類型，那么在大

38、樣本情形下，那么在大樣本情形下，對參數(shù)對參數(shù) 或或 的區(qū)間估計完全的區(qū)間估計完全類似類似于正態(tài)總體情形，只不過那里樞軸量的于正態(tài)總體情形，只不過那里樞軸量的精確分布在這里均變成為漸近分布，精確分布在這里均變成為漸近分布，相應的置信區(qū)間變?yōu)榻频闹眯艆^(qū)間。相應的置信區(qū)間變?yōu)榻频闹眯艆^(qū)間。22小小 結：結：. 定義定義1 設總體設總體 X的分布函數(shù)的分布函數(shù) ， 未知未知);(xFTnXXX),(2110),(21nXXX1),(21nXXXP 則稱隨機區(qū)間則稱隨機區(qū)間 為參數(shù)為參數(shù) 的置信度為的置信度為 ),(1的的單側單側置信區(qū)間，稱置信區(qū)間，稱 為單側置信為單側置信下限下限 是來自總體是來自總體 X 的樣本，對于給定的樣本，對于給定 若存在統(tǒng)計量若存在統(tǒng)計量使得使得六、單側區(qū)間估計六、單側區(qū)間估計 . 若存在統(tǒng)