5多自由度系統(tǒng)的數(shù)值計算方法ppt課件

1、制作與設(shè)計 賈啟芬Mechanical and Structural Vibration機(jī)械與結(jié)構(gòu)振動機(jī)械與結(jié)構(gòu)振動 第第5 5章多自由度系統(tǒng)的數(shù)值計算方法章多自由度系統(tǒng)的數(shù)值計算方法Mechanical and Structural Vibration 第第5 5章多自由度系統(tǒng)的數(shù)值計算方法章多自由度系統(tǒng)的數(shù)值計算方法Mechanical and Structural Vibration 5.1.1瑞利第一商5.1.2瑞利第二商 Mechanical and Structural Vibration 5.1.1瑞利第一商設(shè)設(shè)A為振型矢量，對于簡諧振動，其最大動能和最大勢能為為振型矢量，對于簡

2、諧振動，其最大動能和最大勢能為KAAMAATTVpT2121max2maxmaxmaxVTpTT2A KAA MA對于保守系統(tǒng)，由能量守恒，則有對于保守系統(tǒng)，由能量守恒，則有若A是系統(tǒng)的第i階主振型A(i)，則得相應(yīng)的主頻率的平方pi2RATT( ) A KAA MA若若A是任意的是任意的n維矢量，則可得維矢量，則可得稱為瑞利商為了區(qū)別用位移方程求得的值，又稱之為瑞利第一商。稱為瑞利商為了區(qū)別用位移方程求得的值，又稱之為瑞利第一商。 MxKx 0Mechanical and Structural Vibration 5.1.2瑞利第二商 瑞利商的平方根是基頻瑞利商的平方根是基頻p1的近似值。假

3、設(shè)振型越接近于真的近似值。假設(shè)振型越接近于真實的第一階振型，則結(jié)果越準(zhǔn)確。通常，以系統(tǒng)的靜變形實的第一階振型，則結(jié)果越準(zhǔn)確。通常，以系統(tǒng)的靜變形作為假設(shè)振型，可以得到較滿意的結(jié)果。作為假設(shè)振型，可以得到較滿意的結(jié)果。 RAp( ) 12Mechanical and Structural Vibration用瑞利法求出的基頻近似值大于實際的基頻用瑞利法求出的基頻近似值大于實際的基頻p1 。這是。這是由于假設(shè)振型偏離了第一階振型，相當(dāng)于給系統(tǒng)增加了由于假設(shè)振型偏離了第一階振型，相當(dāng)于給系統(tǒng)增加了約束，因而增加了剛度，使求得的結(jié)果高于真實的值。約束，因而增加了剛度，使求得的結(jié)果高于真實的值。 由于

4、11ppi), 3 , 2(ni 5.1.2瑞利第二商 0 xxM xAsin ptAMA p2 A MAA M MATTp2 如果采用位移方程描述系統(tǒng)的運動微分方程，即如果采用位移方程描述系統(tǒng)的運動微分方程，即A MT前乘以同理，若同理，若A是任意的是任意的n矢量，則有矢量，則有pTT2A MAA M MA RATT( ) A MAA M MA 稱為瑞利第二商稱為瑞利第二商若假設(shè)振型接近于第一階主振型時，那么 是基頻 的近似值 RA( )p12給出同樣假設(shè)振型的同一振動系統(tǒng)，用瑞利第二商計算給出同樣假設(shè)振型的同一振動系統(tǒng)，用瑞利第二商計算的結(jié)果，要比用瑞利第一商計算的結(jié)果更精確一些。的結(jié)果，

5、要比用瑞利第一商計算的結(jié)果更精確一些。 Mechanical and Structural Vibration 5.1.2瑞利第二商 例例5-1 用瑞利法求圖示三自由度扭轉(zhuǎn)系統(tǒng)的第一階固有頻率的用瑞利法求圖示三自由度扭轉(zhuǎn)系統(tǒng)的第一階固有頻率的估值。已知估值。已知k1=k2=k3=k；I1=I2=I3=I。 解：系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和剛度矩解：系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣為陣為 III000000 110121012kK3212211111k 逆矩陣A 1 1 1TkIkITTT2143MAMAKAAMAA；計算得求第一階固有頻率的估值，取假設(shè)振型求第一階固有頻率的估值，取假設(shè)振型Mechanical a

6、nd Structural Vibration 5.1.2瑞利第二商 RATT( ) A MAA M MA RATT( ) A KAA MAIkAR333. 0)(IkAR214. 0)(在上面的計算中，假設(shè)振型比較“粗糙”，與該系統(tǒng)的第一階固有頻率 ，精確到第四位值的比較誤差較大。pkI120198 .Mechanical and Structural Vibration 5.1.2瑞利第二商 如果進(jìn)一步改進(jìn)假設(shè)振型，即以靜變形曲線為假設(shè)振型，如果進(jìn)一步改進(jìn)假設(shè)振型，即以靜變形曲線為假設(shè)振型， 設(shè)設(shè)A 356TA MAA KAA M MATTTIkIk70143532; RAkIRAkI(

7、).;( ).020001983顯然，在工程上，若以靜變形曲線作為假設(shè)振型，可以得顯然，在工程上，若以靜變形曲線作為假設(shè)振型，可以得到很好的第一階固有頻率的近似值。到很好的第一階固有頻率的近似值。Mechanical and Structural Vibration 第第5 5章多自由度系統(tǒng)的數(shù)值計算方法章多自由度系統(tǒng)的數(shù)值計算方法Mechanical and Structural Vibration 用瑞利法估算的基頻的精度取決于假設(shè)的振型對第一階主用瑞利法估算的基頻的精度取決于假設(shè)的振型對第一階主振型的近似程度，而且其值總是精確值的上限。振型的近似程度，而且其值總是精確值的上限。李茲法對近

8、似振型給出更合理的假設(shè)，從而使算出的基頻李茲法對近似振型給出更合理的假設(shè)，從而使算出的基頻值進(jìn)一步下降，并且還可得系統(tǒng)較低的前幾階固有頻率及相值進(jìn)一步下降，并且還可得系統(tǒng)較低的前幾階固有頻率及相應(yīng)的主振型應(yīng)的主振型在李茲法中，系統(tǒng)的近似主振型假設(shè)為在李茲法中，系統(tǒng)的近似主振型假設(shè)為A aaass1122 12,s 1212ssTaaa,aAa 是選取的是選取的s個線性獨立的假設(shè)振型個線性獨立的假設(shè)振型ns矩陣s維待定系數(shù)RApTTTT( ) aKaaMa2Mechanical and Structural Vibration RAUaTap( )( )( )2RApTTTT( ) aKaaMa

9、2由于 在系統(tǒng)的真實主振型處取駐值，這些駐值即相應(yīng)的各階固有頻率的平方 ，所以a的各元素由下式確定RA( )pi20)()()()()(1)(2iiiaaTaUaaUaTaTaARis12 , ,0)()(2iiaaTpaaUaMaTTaT)(aKaTTaU)(Mechanical and Structural Vibration RAUaTap( )( )( )20)()(2iiaaTpaaUaMTiiaaT2)(iaaU)( )22TTTTTTTiiiiiU aaaaaaa Kaa K Ka Kaa iTiTpKaMa20is12 , ,KKTK aM a0p2MMTn個自由度縮減至個自由

10、度縮減至s 自由度。自由度。剛度矩陣剛度矩陣質(zhì)量矩陣質(zhì)量矩陣Mechanical and Structural VibrationaMaTTaT)(aKaTTaU)( 李茲法是一種縮減系統(tǒng)自由度數(shù)的近似方法。李茲法是一種縮減系統(tǒng)自由度數(shù)的近似方法。頻率方程頻率方程KMp20 aiis(, , ) 12 K aM a0p2求出求出s個固有頻率，即個固有頻率，即n自由度系統(tǒng)的前自由度系統(tǒng)的前s階固有頻率。階固有頻率。解出其相應(yīng)的特征矢量解出其相應(yīng)的特征矢量求出求出n自由度系統(tǒng)的前自由度系統(tǒng)的前s階主振型階主振型 Aaii is 12 , , ()aM aiTjijij01 ()()AMAaMaiT

11、jiTTjijij 01正交性Mechanical and Structural Vibration 2)(pARTTMAMAMAA 0aMMaM TTp2對于瑞利第二商對于瑞利第二商Aa 利用駐值條件可得利用駐值條件可得s個方程，將其寫成矩陣形式個方程，將其寫成矩陣形式0aM)(2 p02 pM特征方程特征方程MM T aiis(, , ) 12 求出求出s個固有頻率，即個固有頻率，即n自由度系統(tǒng)的前自由度系統(tǒng)的前s階固有頻率。階固有頻率。解出其相應(yīng)的特征矢量解出其相應(yīng)的特征矢量求出求出n自由度系統(tǒng)的前自由度系統(tǒng)的前s階主振型階主振型 Aaii is 12 , ,MMTMechanical

12、and Structural Vibration 例例5-2 用李茲法求圖示四自由度振動系統(tǒng)的前二階固有頻率及用李茲法求圖示四自由度振動系統(tǒng)的前二階固有頻率及主振型。主振型。 解：由條件可求出系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、剛度矩陣和柔度矩陣解：由條件可求出系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、剛度矩陣和柔度矩陣00020011110002012221,000021233000001234mkkmkkkmkkkkmkk MK 12025050075100000020060100.TT設(shè)振型Mechanical and Structural Vibration MMKK TTmk188155155140025025025036.04

13、.1035.1235.1236.152kmTMM 求出02518802515502515503614002222.kmpkmpkmpkmp02518802515502515503614000222212.kmpkmpkmpkmpaa pkmpkmaaaa122211211222012400100080100 .,.,.求出2個固有頻率，即4自由度系統(tǒng)的前4階固有頻率。Mechanical and Structural Vibration Aa11025000050020075060100100400100079140180220220036064082100 . A1036064082100.

14、T Aa22100100000100 .T求出系統(tǒng)的前二階主振型Mechanical and Structural Vibration 第第5 5章多自由度系統(tǒng)的數(shù)值計算方法章多自由度系統(tǒng)的數(shù)值計算方法Mechanical and Structural Vibration 鄧克萊法是求多圓盤的軸的橫向振動系統(tǒng)基頻近似值的一種鄧克萊法是求多圓盤的軸的橫向振動系統(tǒng)基頻近似值的一種方法。當(dāng)其它各階頻率遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于基頻時，利用此法估算基頻較方法。當(dāng)其它各階頻率遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于基頻時，利用此法估算基頻較為方便。為方便。由表示位移方程得到的頻率方程，即由表示位移方程得到的頻率方程，即 MI102p并展開得并展開得nn

15、nnnnmmm111122221012p令120n1122222111pppnn,根為式又可寫成各因式連乘積的形式，即式又可寫成各因式連乘積的形式，即展開得展開得nnn1210Mechanical and Structural Vibration nnnnnnmmm1111222210nnn12101211112222nnnnnmmm1111222211112222pppmmmnnnnn比較，得到若基頻若基頻p1遠(yuǎn)低于高階頻率，即遠(yuǎn)低于高階頻率，即11211112222pmmmnnnnkii是第是第i個質(zhì)量產(chǎn)生單位位移時，在第個質(zhì)量產(chǎn)生單位位移時，在第i個質(zhì)量上所需加的力。個質(zhì)量上所需加的力。

16、 iiiik1Mechanical and Structural Vibration 11211112222pmmmnnnn稱為鄧克萊公式。由于略去了高階頻率的成分，所以求得的稱為鄧克萊公式。由于略去了高階頻率的成分，所以求得的基頻總是低于精確值?；l總是低于精確值。 iiiiiiiiiiiiiimmkkmp1121111121122222ppppnnpii表示只有表示只有mi存在時，系統(tǒng)的固有頻率。存在時，系統(tǒng)的固有頻率。Mechanical and Structural Vibration 例例5-3 用鄧克萊公式計算例用鄧克萊公式計算例5-1中的三圓盤轉(zhuǎn)軸系統(tǒng)的基頻。中的三圓盤轉(zhuǎn)軸系統(tǒng)的

17、基頻。112233123123kkkIIII,11112366016671211222233212ppppIkIkIkIkpkIkI .解：由例解：由例5-1所解可知所解可知顯然用鄧克萊法求基頻十分方便，但誤差較大，故僅適用于顯然用鄧克萊法求基頻十分方便，但誤差較大，故僅適用于初步估算。初步估算。Mechanical and Structural Vibration 第第5 5章多自由度系統(tǒng)的數(shù)值計算方法章多自由度系統(tǒng)的數(shù)值計算方法Mechanical and Structural Vibration 5.4.1 求第一階固有頻率和主振型求第一階固有頻率和主振型5.4.2 求較高階的固有頻率及

18、主振型求較高階的固有頻率及主振型 Mechanical and Structural Vibration 5.4.1 求第一階固有頻率和主振型矩陣迭代法，亦稱振型迭代法是采用逐步逼近的方法來確定矩陣迭代法，亦稱振型迭代法是采用逐步逼近的方法來確定系統(tǒng)的主振型和頻率。系統(tǒng)的主振型和頻率。0AIM)1(2p AMA21p MD 系統(tǒng)的動力矩陣系統(tǒng)的動力矩陣求系統(tǒng)的基頻時，矩陣迭代法用的基本方程是由位移方程，即求系統(tǒng)的基頻時，矩陣迭代法用的基本方程是由位移方程，即用動力矩陣用動力矩陣D前乘以假設(shè)振型前乘以假設(shè)振型A0 ，然后歸一化，可得，然后歸一化，可得A1，即，即DAA011 a矩陣迭代法的過程是

19、：矩陣迭代法的過程是：（1選取某個經(jīng)過歸一化的假設(shè)振型選取某個經(jīng)過歸一化的假設(shè)振型A0Mechanical and Structural Vibration 5.4.1 求第一階固有頻率和主振型（2假設(shè) ，就再以A1為假設(shè)振型進(jìn)行迭代，并且歸一化得到A2，AA10DAA122 a（3假設(shè) ，則繼續(xù)重復(fù)上述迭代步驟，得AA21DAAkkka1直至 時停止AAkk1apk12 AA1k第一階主振型第一階主振型Mechanical and Structural Vibration 5.4.1 求第一階固有頻率和主振型可以看出：盡管開始假設(shè)的振型不理想，它包含了各階主可以看出：盡管開始假設(shè)的振型不理想

20、，它包含了各階主振型，而且第一階主振型在其中所占的分量不是很大。但在振型，而且第一階主振型在其中所占的分量不是很大。但在迭代過程中，高階振型的分量逐漸衰減，低階振型的分量逐迭代過程中，高階振型的分量逐漸衰減，低階振型的分量逐漸增強(qiáng)，最終收斂于第一階主振型。假設(shè)振型越接近漸增強(qiáng)，最終收斂于第一階主振型。假設(shè)振型越接近A(1)則則迭代過程快；假設(shè)振型與迭代過程快；假設(shè)振型與A(1)相差較大則迭代過程收斂的慢，相差較大則迭代過程收斂的慢，但最終仍然得到基頻和第一階主振型。但最終仍然得到基頻和第一階主振型。如果在整個迭代過程中，第一階主振型的分量始終為零，如果在整個迭代過程中，第一階主振型的分量始終為

21、零，則收斂于第二階主振型；如果前則收斂于第二階主振型；如果前s 階主振型的分量為零，則階主振型的分量為零，則收斂于第收斂于第s+1階主振型。階主振型。應(yīng)當(dāng)指出，若用作用力方程進(jìn)行迭代，則收斂于最高固有應(yīng)當(dāng)指出，若用作用力方程進(jìn)行迭代，則收斂于最高固有頻率和最高階主振型。頻率和最高階主振型。 Mechanical and Structural Vibration 5.4.1 求第一階固有頻率和主振型例例5-4 用矩陣迭代法求例用矩陣迭代法求例5-1所示系統(tǒng)的第一階固有頻率及振型。所示系統(tǒng)的第一階固有頻率及振型。 解：解： 由例由例5-1中計算的結(jié)果可得到動力矩陣中計算的結(jié)果可得到動力矩陣DM I

22、k111122123A01 1 1T取初始假設(shè)振型取初始假設(shè)振型DAA01111122123111356310000166672 00003IkIkIkIk.A1100001666720000.T進(jìn)行迭代，經(jīng)過第一次迭代后，得進(jìn)行迭代，經(jīng)過第一次迭代后，得Mechanical and Structural Vibration 5.4.1 求第一階固有頻率和主振型第二次迭代第二次迭代DAA1211112212310000166672000046667833441033344666710000178582214346667IkIkIkIk.繼續(xù)迭代下去繼續(xù)迭代下去320000. 52429. 28

23、000. 10000. 10000. 5ADAkIkI430429. 52465. 28017. 10000. 10479. 5ADAkIkI540482. 52469. 28019. 10000. 10482. 5ADAkIkI650488. 52470. 28019. 10000. 10488. 5ADAkIkI760489. 52470. 28019. 10000. 10489. 5ADAkIkIMechanical and Structural Vibration 5.4.1 求第一階固有頻率和主振型760489. 52470. 28019. 10000. 10489. 5ADAkIk

24、IAA76150489019801212pIkpkI.,. A1100001801922470.T與之對應(yīng)的第一階主振型為與之對應(yīng)的第一階主振型為Mechanical and Structural Vibration 5.4.2 求較高階的固有頻率及主振型 當(dāng)需用矩陣迭代法求第二階、第三階等高階頻率及振當(dāng)需用矩陣迭代法求第二階、第三階等高階頻率及振型時，其關(guān)鍵步驟是要在所設(shè)振型中消去較低階主振型時，其關(guān)鍵步驟是要在所設(shè)振型中消去較低階主振型的成分。由展開定理型的成分。由展開定理 AAAACCCnn1122由正交性由正交性 CMiiTiTiiTii()()()AMAAMAAMA MATi)(前乘

25、Mechanical and Structural Vibration 5.4.2 求較高階的固有頻率及主振型 AAAACCCnn1122 CMiiTiTiiTii()()()AMAAMAAMA如果要在A中消去A(1)的成分，則只需取假設(shè)振型為 AAAAAMAIAAMAQ ACMMTT111111111()() QIAAM1111()TM其中稱為前稱為前P階清除矩陣。應(yīng)用階清除矩陣。應(yīng)用QP A作為假設(shè)振型進(jìn)行迭代，作為假設(shè)振型進(jìn)行迭代，將得到第將得到第P+1階固有頻率及主振型。階固有頻率及主振型。 Mechanical and Structural Vibration 5.4.2 求較高階的

26、固有頻率及主振型 應(yīng)當(dāng)注意到，在運算中不可避免地存在舍入誤差，即在迭代過應(yīng)當(dāng)注意到，在運算中不可避免地存在舍入誤差，即在迭代過程中難免會引入一些低階主振型分量，所以在每一次迭代前都程中難免會引入一些低階主振型分量，所以在每一次迭代前都必須重新進(jìn)行清除運算。實際上，可以把迭代運算和清除低階必須重新進(jìn)行清除運算。實際上，可以把迭代運算和清除低階振型運算合并在一起，即將清除矩陣并入動力矩陣振型運算合并在一起，即將清除矩陣并入動力矩陣D中去，并中去，并入原理如下。入原理如下。 DADAAA()CCCnn1122所以所以 DAADAA1121211ppiii, DAAAACpCpCpnnn1121222

27、22由于由于從DA中清除A(1)，即 DAADAAAMADAAMACpM pM pTT11211111211112()()Mechanical and Structural Vibration 5.4.2 求較高階的固有頻率及主振型 從DA中清除A(1)，即 DAADAAAMADAAMACpM pM pTT11211111211112()()稱之為已含清除矩陣的新動力矩陣。用矩陣稱之為已含清除矩陣的新動力矩陣。用矩陣D*進(jìn)行迭代將進(jìn)行迭代將得到第二階主振型及第二階固有頻率。得到第二階主振型及第二階固有頻率。 DDAAM11112()TM p因此，包含前因此，包含前P階清除矩陣的動力矩陣為階清除

28、矩陣的動力矩陣為 DDAAMjjTjjjPM p()21Mechanical and Structural Vibration 5.4.2 求較高階的固有頻率及主振型 例例5-5 用矩陣迭代法求例用矩陣迭代法求例5-4系統(tǒng)中系統(tǒng)中的第二階固有頻率及主振型。的第二階固有頻率及主振型。 pkIT12101980100001801922470.,.A解：在例解：在例5-4中，用矩陣迭代法已求出系統(tǒng)的第一階固有頻率和中，用矩陣迭代法已求出系統(tǒng)的第一階固有頻率和主振型為主振型為 IMT2959. 9)(111MAA于是，可計算出于是，可計算出 0490. 50489. 42479. 20489. 424

29、68. 38019. 12479. 28019. 10000. 1)(11ITMAAMechanical and Structural Vibration 5.4.2 求較高階的固有頻率及主振型 DDAAM11112045670201002208020100235901998022080199802569().TM pIk得到含清除矩陣的動力矩陣得到含清除矩陣的動力矩陣 A021 11T pkIT22215552100000445208020.,.A選取初始假設(shè)振型選取初始假設(shè)振型現(xiàn)經(jīng)過十二次迭代后，得到現(xiàn)經(jīng)過十二次迭代后，得到Mechanical and Structural Vibrati

30、on 第第5 5章多自由度系統(tǒng)的數(shù)值計算方法章多自由度系統(tǒng)的數(shù)值計算方法Mechanical and Structural Vibration 將矩陣迭代法與李茲法結(jié)合起來，可以得到一種將矩陣迭代法與李茲法結(jié)合起來，可以得到一種新的計算方法，即子空間迭代法。新的計算方法，即子空間迭代法。它對求解自由度數(shù)較大系統(tǒng)的較低的前若干階固它對求解自由度數(shù)較大系統(tǒng)的較低的前若干階固有頻率及主振型非常有效。有頻率及主振型非常有效。Mechanical and Structural Vibration 計算系統(tǒng)的前P階固有頻率和主振型，按照李茲法，可假設(shè)s個振型且sP。將這些假設(shè)振型排列成ns階矩陣，即A01

31、2 s其中每個 都包含有前P階振型的成分，也含有高階振型的成分。 Mechanical and Structural Vibration 為了提高李茲法求得的振型和頻率的精確度，將A0代入動力矩陣中進(jìn)行迭代，并對各列陣分別歸一化后得 MA0MD 目的是使 比A0含有較強(qiáng)的低階振型成分，縮小高階成分。但如果繼續(xù)用 進(jìn)行迭代，所有各階振型即 的各列都將趨于A(1)。 為了避免這一點，可以在迭代過程中進(jìn)行振型的正交化。用李茲法進(jìn)行振型正交化具有收斂快的特點。因為它是利用瑞利取駐值的條件，尋求s2個aij的系數(shù)，使得 的每一列都成為相對應(yīng)振型A(i)的最佳近似。 Mechanical and Stru

32、ctural Vibration 所以用 作為假設(shè)振型，再按李茲法求解，即設(shè) Aa 可求得廣義質(zhì)量矩陣和廣義剛度矩陣MM TKKss階待定系數(shù)方陣KaM a p2得到s個值 及對應(yīng)的特征矢量 p2a再由李茲法特征值問題，即求解方程A從而求出Mechanical and Structural Vibration 然后，以求出的 作為假設(shè)振型進(jìn)行迭代，可求得A MAAa與李茲法特征值問題，解出 。aA,由李茲法，即不斷地重復(fù)矩陣迭代和李茲法的過程，就可以得到所需精度的振型和固有頻率。Mechanical and Structural Vibration迭代的功能是使這s個矢量的低階成分不斷地相對放

33、大，即向 張成的子空間靠攏。 子空間迭代法是對一組假設(shè)振型反復(fù)地使用迭代法和李茲法的運算。 從幾何觀點上看，原n階特征值系統(tǒng)有n個線性無關(guān)的特征矢量，它們之間是正交的，張成一個n維空間。 AAA12、n 12、s而假設(shè)的s個線性無關(guān)的n維矢量 張成一個s 維子空間， AAA12、sMechanical and Structural Vibration 如果只迭代不進(jìn)行正交化，最后這s個矢量將指向同一方向，即A(1)的方向。 由于用李茲法作了正交處理，則這些矢量不斷旋轉(zhuǎn)，最后分別指向前s個特征值的方向。 12、s AAA12、s即由張成的一個s 維子空間，經(jīng)反復(fù)地迭代正交化的旋轉(zhuǎn)而逼近于由所張成

34、的子空間。Mechanical and Structural Vibration 在實踐中發(fā)現(xiàn)，最低的幾階振型一般收斂很快，經(jīng)過二至三次迭代便已穩(wěn)定在某一數(shù)值。 在以后的迭代中不能使這幾個低階振型值的精度進(jìn)一步提高，只是隨著迭代次數(shù)的增加，將有越來越多的低階振型值穩(wěn)定下來。 所以，在計算時要多取幾個假設(shè)振型，如果所需求的是P個振型，則假設(shè)振型個數(shù)s一般應(yīng)在2P與2P+8之間取值。Mechanical and Structural Vibration 子空間迭代法有很大的優(yōu)點，它可以有效地克服由于等固有頻率或幾個頻率非常接近時收斂速度慢的困難。 同時，在大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)的振動分析中，系統(tǒng)的自由度數(shù)目

35、可達(dá)幾百甚至上千，但是，實際需用的固有頻率與主振型只是最低的三、四十個，通常對此系統(tǒng)要進(jìn)行坐標(biāo)縮聚。 與其它方法相比，子空間迭代法具有精度高和可靠的優(yōu)點。因此，它已成為大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)振動分析的最有效的方法之一。 Mechanical and Structural Vibration 例5-6 用子空間迭代法求例5-2中所示系統(tǒng)的前二階固有頻率及振型。A002500250075010001000100000000900.T解：系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、剛度矩陣和柔度矩陣已由前例求出?，F(xiàn)取假設(shè)振型由動力矩陣迭代得到Tkm600. 0300. 0200. 1100. 1500. 7500. 6750. 4500. 20MA 將各列分別歸一化得 0