武漢市部分重點(diǎn)中學(xué)2019_2020學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題含解析

1、武漢市部分重點(diǎn)中學(xué)2019-2020學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題（含解析）全卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分.共150分，考試時(shí)間120分鐘.第I卷（選擇題共80分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一 項(xiàng)是符合題目要求的.1.在數(shù)列“中，卬=一1，"”=1 一一!一（>1）,則 Wow 的值為（）4 1A. B. C. 5D.以上都不5 4對(duì)【答案】A【解析】【分析】列舉出數(shù)列的前幾項(xiàng)，找到數(shù)列的周期，由此求得刈9的值.,1 u ,14,11【詳解】依題意4 = 1 一一 = 5，% = 1一一 = £，

2、% = 1一一 = 一7 = 4，故數(shù)列是周期為3的aa2 5%44周期數(shù)列,故。2019= % =彳，故選A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查遞推數(shù)列，考查數(shù)列的周期性，考查合情推理，屬于基礎(chǔ)題.2 .向量石=（2j）, S =（-1,3）,若Z，否的夾角為鈍角，則/的范圍是（）222A. /< B. C. fv Hrw 6D. i < 6333【答案】C【解析】【分析】若d, B的夾角為鈍角，則萬(wàn)且不反向共線，進(jìn)而利用坐標(biāo)運(yùn)算即可得解.【詳解】若不，B的夾角為鈍角，則后/；<（）且不反向共線，_2不 =_2 + 3/<0，得，向量” =（2,f）, 5=（-1,3）共線時(shí)，2

3、x3 = T,得，=-6.此時(shí)a=2九2 所以，一且/ w-6.3故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用數(shù)量積研究向量的夾角，當(dāng)為鈍角時(shí)，數(shù)量積為0,容易忽視反 向共線時(shí)，屬于易錯(cuò)題.3 .在A3C中，角A, B , C的對(duì)邊分別為b , c ,若c-acos8 = （2a-0）cos A,則A3c為（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形【答案】D【解析】2, 2222» 2余弦定理得 cos4 = m'cos8 = e 代入原式得 2bc2acH =+-=2c2bc2clac2bc解得a =。昵2 -/ +b2 =0則形狀為等腰或直角三角形,選D

4、.點(diǎn)睛：判斷三角形形狀的方法化邊：通過(guò)因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀.化角：通過(guò)三角恒等變形，得出內(nèi)角的關(guān)系，從而判斷三角形的形狀，此時(shí)要注意應(yīng)用A + B + C = ti這個(gè)結(jié)論.4 .九章算術(shù)是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著，書(shū)中有如下問(wèn)題：“今有五人分五錢，令上二人所 得與下三人等.問(wèn)各得幾何.”其意思為“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5錢，甲、乙兩 人所得與丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差數(shù)列.問(wèn)五人各 得多少錢？ ”（ “錢”是古代的一種重量單位）.這個(gè)問(wèn)題中，甲所得為（）5 435A.錢B.錢C.錢D. 一錢6 323【答案】B【解析】設(shè)甲、乙

5、、丙、丁、戊所得錢分別為a - 2d,a - d,a,a + dM +2d ,則-3-a = -6da-2d +a-d =a+a + d + a + 2da 44a 2d + a - d + a + a + cl + a + 2cl = 5. = 1，則。-2" =-2x =。=一，故選 V 6 7 33B.5.已知平面向量1 ,b是非零向量，i 1=2, 2 _L（2+21），則向量石在向量方向上的投影為（）A. 1B. -1C. 2D. -2【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)向量垂直得到Z（Z+2坂），=0,化簡(jiǎn)得到2 坂二-2,再根據(jù)投影的定義即可求出.【詳解】,平面向量3是非零

6、向量,1>2, ）J_（G+21）,， （+2）,二0,RP«2（« + 2/?） = 0即£ 坂二-2向量坂在向量“方向上的投影為丁丁 =-1, 同2故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查向量投影的定義及求解的方法，公式與定義兩者要靈活運(yùn)用.解答關(guān) 鍵在于要求熟練應(yīng)用公式.6.已知AABC 內(nèi)角A、3、C的對(duì)邊分別為。、b、c,且272-cosC = 2+c ,若b = 3, 則AA8C的外接圓面積為（）B.7112C. 12乃【答案】D【解析】【分析】先化簡(jiǎn)得8 =專，再利用正弦定理求出外接圓的半徑，即得A48C的外接圓面積.、比（中、,a2 +b2 -C2。【詳

7、解】由題得2/?,=2a+ c ,2ab所以= 2a2+act所以 4202+。2=一。，所 以 2c cos B = -ac, cosB ,2所以8 = 2.3,二2R.:.Rf由正弦定理得正T所以AA3C的外接圓面積為4.J二3小故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水 平和分析推理能力.7已知數(shù)歹小機(jī)中，an=n2-kn(neN),且aj單調(diào)遞增，則k的取值范圍是()A. (-8, 2B. (一8, 2)C. (-8, 3D. (-8, 3)【答案】D【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得am-an>0對(duì)于nCN*恒成立，建立關(guān)系式，解之

8、即可求出k的取值范 圍.【詳解】數(shù)列QJ中外=/一如ReN) 且值)單調(diào)遞增- %>0 對(duì)于 n£?T恒成立即(n+1) : - k (n+1) - (n: - kn) =2n+l - k>0 對(duì)于 n£N*恒成立Ak<2n+1對(duì)于n£N*恒成立，即k<3故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)列的性質(zhì)，本題易錯(cuò)誤地求導(dǎo)或把它當(dāng)成二次函數(shù)來(lái)求解，注意n 的取值是解題的關(guān)鍵，屬于易錯(cuò)題.8.在A3C中，已知“ = %,"=2.8 = 60 ,如果6c有兩組解，則工的取值范圍是（）【答案】A【解析】【分析】已知“力,B,若aA6c有兩組解，則

9、asin3cbe。，可解得x的取值范圍.【詳解】由已知可得asinBvbca,則xsin600<2<x,解得2cxe 士丹.故選A.3【點(diǎn)睛】本題考查已知兩邊及其中一邊的對(duì)角，用正弦定理解三角形時(shí)解的個(gè)數(shù)的判斷.若ABC中，已知且3為銳角，若OvbcosinB,則無(wú)解：若 = sin8或/?之。, 則有一解：若。sin3</?，則有兩解.9.一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時(shí)60海里的速度沿南偏東15°的方向直線航行，20分鐘后 到達(dá)8處，在。處有一座燈塔，海輪在A處觀察此燈塔，其方向是南偏東60° ,在3處觀察, 燈塔在其正東方向，那么8, C兩點(diǎn)間的距離是（

10、）A. 10。海里B. 10港海里C. 20后海里D. 206海里【答案】C【解析】【分析】由題意畫(huà)出圖形，利用正弦定理即可直接得解.【詳解】如圖所示，易知，在A8C中，A8 = 20海里，ZCAB = 45°, ZACB = 30°, 根據(jù)正弦定理得 *77 = -,解得BC = 203（海里）.sin 45° sin 30°故選：C.5.It【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理的實(shí)際應(yīng)用，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化出條件，屬于基礎(chǔ)題.10.若OB =y/3, OA OB = 0 點(diǎn)。在相上，且ZAOC = 30°,設(shè)OC = mOA + nOB 5”R），則:的值為

11、（）A 1r &小A. d. 3C. 33【答案】B【解析】【分析】利用向量的數(shù)量積運(yùn)算即可算出.【詳解】解：.NAOC = 30°.一/. cos < OC,OA >=2.OC OA _ >/3"|oc|oX|-T（?OA + nOB yOA 途一人?赤+彷闞2m |o>4| + nOB - OA小J/ W+ 2廊麗+ "詞"研 2,., |。4 卜 1，|。同=>/ , OA - OB = 0 一下J/ +3 22 :.nr =92 故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的基本運(yùn)算的應(yīng)用，向量的基本定理的應(yīng)用及向量共

12、線定理等 知識(shí)的綜合應(yīng)用.11.若等差數(shù)列“的公差，/¥0,前項(xiàng)和為S“，若DieN* ,都有S“W，o,則（）A. d>0B. «9-«10 >0C. S2 > S17D. 19 > 0【答案】D【解析】【分析】由都有S.S|o,可得“<0嗎0之。,孫。，再根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)即可判斷.【詳解】.等差數(shù)列”的公差”00，VeN都有SnKHo，.q° NO"/ <0,，九二火泡=%。222故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.12.給定兩個(gè)單位向量C5,加，且西.彷=-正，點(diǎn)。在以。為圓心的圓弧

13、A8上運(yùn)動(dòng),2OC = xOA + yOB ,則J5x-y的最小值為（）A. -73B. -1C. -2D. 0【答案】B【解析】給定兩個(gè)單位向量次，OB，且34.朝=正則408 = 2,26建立如圖所示的坐標(biāo)系，#則 A (1, 0), B (cosl50° , sinl50° ),即 B1，一設(shè)NAOC=a. 0<a<12 2)則(9C = (cosa,sina)因 OC = xOA + yOB 則6x-y = cos6z2 .1y = sin a12,x = cos a+ 5/J sin a y = 2sina所以 VJx-y = COS6Z +VJsin

14、a)-2sina = y/3coscz + sin<z = 2sin a + 357r4乃 74因?yàn)?0 W。< ， < a + < 6336/. sin.底一）,£一1,2所以故選B有最小值T.第II卷（非選擇題共70分）二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.下列命題中正確的有,（填序號(hào)）兩個(gè)向量相等，則它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同: 若 則 a = b t若而=反，則A，氏CO四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形: 在口施力中，一定有而=云:若a = b > b =c 9則座=c ：若dB，bHc>則距:【答案】【解析】【分析】根據(jù)向量的相等，向量

15、共線的概念，可得答案.【詳解】?jī)上蛄科瘘c(diǎn)相同，終點(diǎn)相同，則兩向量相等：但兩相等向量，不一定有相同的起點(diǎn) 和終點(diǎn)，故不正確：同二|可，由于不與B方向不確定，所以不與B不一定相等，故不正確：“=反，可能有4 B, G 在一條直線上的情況，所以不正確：在加砥?中，48 = CDA8CO,所以一定有協(xié)=比，所以正確：顯然正確：零向量與任一向量平行，故引向，應(yīng)化時(shí)，若B = 6,則d與3不一定平行，故不正確.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查向量相等，向量共線的概念，關(guān)犍在于從向量的方向和向量的大小兩個(gè)方 而考慮，對(duì)于向量共線，注意零向量與任何向量共線，屬于基礎(chǔ)題.14. AA3C的內(nèi)角A,氏C的對(duì)邊分別為若

16、MBC的面積為包上二I,則4A=.【答案】y （或120D【解析】【分析】由已知結(jié)合余弦定理及三角形的面積公式進(jìn)行化簡(jiǎn)即可求解.【詳解】解：由余弦定理可得才-6 - 1 - 2AC0S月，月歐的面積為7' （）=- 5bccosA，42又因?yàn)?S= -besin A = - -Z?ccos A， 22所以 tanA= -、/J ,由（0, n ）可得力=三.故答案為：y【點(diǎn)睛】本題主要考查了余弦定理及三角形的面積公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題.15.設(shè)S”是數(shù)列qr的前項(xiàng)和，且=1, qm=-S£u，則S?儂=【答案】 2020【解析】【分析】1代入冊(cè)川=工.一工，再證明;為等

17、差數(shù)列,繼而求得不的通項(xiàng)公式再計(jì)算Sqo即可. 3【詳解】因?yàn)?一5£二所以,s+s” =s"s11, 1即：一不=1,所以，數(shù)列丁是以1為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列,1 一 1 一 1所以，=1+ (n1) X1=a,所以，S =一,所以，Sg)=Snn2020故答案為：募【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)遞推公式證明等差數(shù)列的方法,屬于中檔題.16 .在6c中，角A, B,。的對(duì)邊分別為。，/?, c,己知 sin2 A 4-sin2 C = sin2 B4-sin Asin C > 若A3C 的面積為二9,則當(dāng)。+c 的值最小時(shí)4【答案】3x/3【解析】由 sin2A +

18、 sin2C = siif 8 + sirtAsinC及正弦定理可得+c2 =b2 +ac所以由余弦定理的推論可得3"匕三=妥=5'因?yàn)?#176;<8<乃,所以於名因?yàn)槿?3。的面積為 ,所以! ocsinB = acsin = -t/c =,即 4c = 3 ,422344所以 + cN2疝 =26，當(dāng)且僅當(dāng)a = c = 時(shí)取等號(hào)，所以a+c的最小值為 此時(shí)。=C, B = g 所以aABC是等邊三角形，故4+C的值最小時(shí)A3C的周長(zhǎng)為3j§.三、解答題：本大題共6個(gè)小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.17.已知b »

19、 1在同一平面內(nèi)，且：=(1,2).(1)若 I c 1= 2>/5 » 且 Z £ ,求 2 ;(2)若由=乎,且(£ + 2山(21磯 求£與萬(wàn)的夾角.【答案】(1)5 = (2,4)或 = (-2,-4) (2)江.【解析】【分析】(1)設(shè)m=(x,y),根據(jù)5彳，得到2x-y = 0,再根據(jù)工1=2番，建立方程組求解.(2)根據(jù)石+4_L加一 B，得到3+ 25)(21 - 5) = 0,結(jié)合1萬(wàn)|2=5,，求得,石, 2再求夾角.【詳解】設(shè)下=«)，./%，)= (L2),：.2x-y = O, ：.y = 2x,Vlcl=2&

20、gt;/5 , yjx2 + y2 = 2x/5，：.x2 + y2 = 20,即W+4x2=20，x = 2(x = -2/.j 或/y = 41y =，云=(2,4)或三= (-2,-4).(2) a + 2b 12ci-b .，® + 25)(2M 5) = 0, 2 不？+3 1B 22 =0,即211|2 +32.5-2而=0又京|2=5, RF=(蟲(chóng))2=2 24一 52x5 + 3)b-2x = 0, 4. 75.a b = 一， 2V|5I=V5 ,浴1=省5八 n,i)/. cos 6 =a-bV<9e0f ：.0 = 7t.【點(diǎn)睛】本題主要考查平而向量的基本

21、運(yùn)算，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.cos Rb18,在中，”,4c分別是角A,民C的對(duì)邊，且.cosC 2a + c（1）求3的大小:（2）若 =Ji9,a + c = 4,求A43C的面積.【答案】（1）B = 3（2） =gacsinB = >/3.【解析】試題分析：（I）先由正弦定理將三角形的邊角關(guān)系轉(zhuǎn)化為角角關(guān)系，再利用兩角和的正弦公 式和誘導(dǎo)公式進(jìn)行求解；（H）先利用余弦定理求出砒=3,再利用三角形的面積公式進(jìn)行求 解. 1、皿& z t x cosB b cosBsinB試題解析：（I）由=-=-cosC 2a+ c cosC 2sinA + sinC=>

22、; 2sinAcosB+cosBsinC = -sinBcosC=> 2sinAcosB = -cosBsinC - sinBcosC=> 2sinAcosB = -sin （B + C） => 2sinAcosB = -sinA => cosB = 一 g乂 0<3<兀，所以 8 =.3，27r(H )由余弦定理有 b2 = a2 + c2 - laccosB = (a + c)- - lac - 2accos 三,解得ac = 3，所以 S bc = 'acsinB = :- “處 24點(diǎn)睛：在利用余弦定理進(jìn)行求解時(shí)，往往利用整體思想，可減少計(jì)算

23、量，若本題中的>2兀b2 = a2 + / -laccosB = (a +- lac-2accos ?.19 .設(shè)S為等差數(shù)列q的前項(xiàng)和，% =10, 5U = 11.(1)求數(shù)列n的通項(xiàng)公式: (2)求S“的最大值及此時(shí)的值.【答案】an=-3n + 9. (2)當(dāng) =6時(shí)，S有最大值為S。=51【解析】 【分析】(1)根據(jù)已知條件列出關(guān)于卬,"的方程組，求解出卬，4即可求出通項(xiàng)公式: (2)利用d0對(duì)應(yīng)“為遞減等差數(shù)列，根據(jù)0確定出的取值，從而S”的最大 值以及取最大值時(shí)的值都可求.【詳解】(1)設(shè)色“的公差為4,由%=1?？傻?+2" = 10,由S“ = ll

24、可得11% +554 = 11,所以aA+2d = 0 aA + 54 = 1d = 3-17-所以 an =16 + (n-l)x (-3) = -3 + 19；(2)由an =-3?/ + 19>0a. =-3n + 16<0. f I 1解得詈當(dāng)所以當(dāng) =6時(shí)，S”有最大值，此時(shí)最大值為4=51.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式以及前項(xiàng)和的綜合應(yīng)用，難度較易.其中第二問(wèn)還可以先將s的表達(dá)式求解出來(lái)，然后根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱軸以及開(kāi)口方向亦可確定出5的最大值 以及取最大值時(shí)的值.mrg j i _3x - ix rx .1 門 八江20.已知向量a =|cos ,sinj, b

25、=|cos-,-sin - J且(1)求l石及彳+耳:(2)若f (x) = %B-網(wǎng)方+牛inx,求f(x)的最大值和最小值.【答案】(1)= cos2x. il + b = 2cosx (2) f(x) . =-2 ； f(x) = 1 J /minJ /max【解析】試題分析：由平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算法則可得：，石= cos2x， a+h = 2cosx./ 、 一 E3x x .3x( . x(1) a-b = cos cos + sin -sin =222 12)a + b = j2 + 2cos2x = >/4cos2x,/ x e o, yj cosx > 0/.

26、ci+b =2cosx(2)由(1)知：f (x) = cos2x-V?- 2cosx-7T'7T 7T 4 x e 0,. 2x + e ,2J3 13 3.fn C 1" 1cos 2x + J -1,當(dāng)2x +=4即x =三時(shí)，f(x) =-2當(dāng)2x +巳=巳即x=0時(shí)，/ (x)= 133J、/g、21.在銳角AABC中，角A民C的對(duì)邊分別為,=cos2xsiirv =cos2x->/in2x = 2cos2x +f4 sin 8 +sin C1,九 c , tan A =.cos B + cos C(1)求角A的大小:(II)首先化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，然后結(jié)合三角

27、函數(shù)的性質(zhì)可得/(x)而=-2 ； /(x)nm=l. 試題解析：(2)若 =求尸+02的取值范圍.【答案】 = - (2) (5,6. 3【解析】【分析】(1)利用兩角和差的正弦公式進(jìn)行化簡(jiǎn)即可，求角A的大?。?2)先求得B+C=?，根據(jù)B、C都是銳角求出B的范圍，由正弦定理得到b=2sinB, c=2sinC,b-+c-4+2sin (2B -) 及 B 的范圍，得一Vsin 62范圍.常八，、rk sinA sinB + sinC【詳解】(1)由=cosA cosB + cosC得 sinAcosB+sinAcosC=cosAsinB-cosAsinCi即 sin (A-B) =sin (C-A),則 A-B = C-A,即 2A = C+B,即A二三.3B(三232c=2sinCt-£)wi,從而得到b'+c的(2)當(dāng) 時(shí)，B+C=2三，AC=- -B.由題意得 < 337tn. a hcjA - <B< -,由=2,得 b=2sinB,62 s