第5講一次函數(shù)之存在性問題尖子班講義

1、一次函數(shù)之存在性問題(講義)一、 知識點睛函數(shù)背景下研究存在性問題，先把函數(shù)信息轉化為幾何信息，然后按照存在 性問題來處理.求坐標：.求函數(shù)表達式： 研究幾何圖形：L二、精講精練1 .如圖，直線y x 2與坐標軸分別交于A,B兩點，點C在y軸上，且絲 -3AC 2直線CD，AB于點P,交x軸于點D.(1)求點P的坐標；(2)坐標系內(nèi)是否存在點M,使以點B, P, D, M為頂點的四邊形為平行四 邊形？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由.2 .如圖，在平面直角坐標系中，直角梯形 OABC的邊OC, OA分別與x軸、y軸重合，AB/OC, /AOC=90°, /BCO=45&#

2、176;, BC=672 ,點C的坐標為(-9, 0).(1)求點B的坐標.(2)如圖，直線BD交y軸于點D,且OD=3,求直線BD的表 達式.(3)若點P是(2)中直線BD上的一個動點，是否存在點P,使以O, D, P 為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求出點 P的坐標；若不存在，請說 明理由.19(3)在(2)成立的情況下, 若存在，求出點P的坐標;3 .如圖，直線y=kx-4與x軸、y軸分別交于B, C兩點，且OC 4(1)求B點的坐標和k的值.(2)若點A (x, y)是第一象Bg內(nèi)的直線y=kx-4上的一個動點，則當點A運動 到什么位置時，小OB的面積是6?x軸上是否存在點P,使4

3、POA是等腰三角形? 若不存在，請說明理由.4 .如圖，在平面直角坐標系中，點 A, B分別在x軸、y軸上，OA=6, OB=12, 點C是直線y=2x與直線AB的交點，點D在線段OC上，OD=2卮(1)求直線AB的解析式及點C的坐標；(2)求直線AD的解析式；(3) P是直線AD上的一個動點，在平面內(nèi)是否存在點 Q,使以O, A, P, Q 為頂點的四邊形是菱形？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由.15 .如圖，直線y -x 2與x軸、y軸分別父于A, B兩點，點C的坐標為-3,0 , 21P (x, y)是直線y - x 2上的一個動點(點P不與點A重合).2(1)在P點運動過程

4、中，試寫出 AOPC的面積S與x的函數(shù)關系式；(2)當P運動到什么位置時，zOPC的面積為27 ,求出此時點P的坐標；8(3)過P作AB的垂線分別交x軸、y軸于E, F兩點，是否存在這樣的點P, 使在OF0/XBOA?若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.三、回顧與思考【參考答案】 一、知識點睛 函數(shù)表達式求出或表達出坐標；線段長轉坐標. 坐標代入；k, b幾何意義. 坐標轉線段長；k, b幾何意義.二、精講精練1.解：（1）方法一：由 y x 2知 A （0, 2）, B （- 26，0） 3 .OA=2, OB=2逐.OA 1. -AC 2 .AC=4,則點C坐標為（0, 6） 可

5、設 CD: y=kx+6又直線CD LAB.，3 _ d k 1 k= - 3 3y* .直線 CD: yV3x 6.3-聯(lián)立y Tx 2 解得：x My .3x 6y 3 . P （ ,3,3）方法二：,3x 2知 OA=2, OB=2#3,且/ ABO=30 3.OA 1 AC 2 .AC=4, WJ OC=6v CDXAB/ BDP=60°OD=2,3過P作PELx軸于點E設 DE=m在 RtPDE 中，/ PDE=60° . PE= %3 m在 RtPBE 中，/ PBE=30° BE=3mDE+BE=BD,即 m+3m=2x/3 +273m=73 , M

6、 OE= 2#-癢 V3 . P (向 3)(2)存在；滿足題意的點 M如圖所示：V B (-2曲，0), D (2 卮 0), P (4,3)Mi(3.3, 3) , M2(5、3, 3), M3( 3, 3)2.解：(1)過點B作BEx軸于點E在RDBCE中，/BCO=45°, BC=672BE= CE=BC.2=6. C (-9, 0) .OC=9 . OE=OC-CE=9- 6=3 .B (-3, 6)(2) v AB/OC, BEXOC, AOXOC 四邊形ABEO是矩形 .AO=BE. OD=3 .AD=AO-OD=3對于直線BD, kADAB31, b=OD3. .直線

7、 BD: y=-x+3(3)如圖，作OD的垂直平分線交直線BD于點P,交丫軸于點E,則APOD 為等腰三角形一 13.OE=-OD=3-22一. P的縱坐標為3 2V 直線BD: y=-x+3.3-=-x+32解得：x=- 2如圖，以。為圓心，以OD長為半徑作圓，交直線BD于點P.,OD 1 OF OD=OF又F在直線BD上.F點即為P點,P (3,0)如圖，以D為圓心，以OD為半徑作圓，交直線BD于點Pi, P2,分別過點P,P2向y軸作垂線，垂足為G, H- k PG 1在 RD PGD 中,DG = PG =PD33. 2二 OG ODDG3.26 3.2 P32 P 26 3x2同理，

8、可得F2HDH3.22OH=ODDH3、26 3 23、.2 6 3、2、一P2(,)22綜上，P點坐標為3-,-2 2、(3,0)3-26 3,23；2 6 3.2y=-4,故C的坐標是3.解：(1)在 y二kx-4 中，令 x=0, (0, -4) , OC=4,.OC 4OB 3；OB=3, WJ B 的坐標是：(3, 0), 把B的坐標代入y=kx-4,得：3k-4=0,解得:k= - °3(2) ,S=24 ,解得 x=6,代入 y=- x-4 W3得 y=4,.A點坐標為（6, 4）*O（3）如圖所示:P2（2石，0）P3P44.(12, 0)(13, 0)3解：(1)

9、v OA=6, OB=12,.'A;直線(6,AB:0), B (0,y=-2x+1212)聯(lián)立2x2x12C(2)6)如圖，過點D作DEx軸于點E.在 RtAODE 中，0口=2而， .OE=2, DE=4D (2, 4).,直線 AD: y=-x+6(3)當OA=OP時，如圖,Pi (0, 6), Qi (6, 6)當AO=AP時，如圖，過點P2、P3分別作P2M，x軸于點M, P3N，x軸于點N在 RtzXAP2M 中，/OAP2=45°, AP2=6, AM=P2M = 3 2P2 (6-3&, 372)同理P3 (6+3應，-3亞)Q2 (-3V2 , 3拒

10、)，Q3(3V2 , - 3V2)當PO=PA時，如圖，P4 (3, 3), Q4 (3, -3)綜上，Qi (6, 6), Q2 (-3/，3/2), Q3 (3及，-372), Q4 (3, -3)15.解：(1)二.直線y x 2與x軸、y軸分別父于A, B兩點 2 .A (-4, 0) , B (0, 2). C (-3, 0)OC=31- P (x, y)是直線y -x 2上的一個動點23x 343x 34(2)當x>-4時，由題意得：2783x+3=41 x=-2當x<-4時,3=278x=172179- P（ k，9） 24綜上可得：p（L9p（-,-）,2 424(

11、3)如圖， EOFABOAE (-2, 0), F (0,-4)直線EF解析式：y=-2x-4y 2x 4 x 4 聯(lián)立 1 得：x 4y x 2 y 4 212 4 .P( 12,4) 5 5如圖， EOFABOA E (2, 0), F (0, 4) 直線EF解析式：y=-2x+4y 2x 4x 4聯(lián)立 1 得：x 4y x 2 y 424 12P (4 上)5 , 5綜上可得：P ( -,4)或P (-,-).5 55 5一次函數(shù)之存在性問題(每日一題) 31 .如圖，在直角坐標系中，一次函數(shù) y二x 2的圖象與x軸父于點A,與y3軸交于點B.(1)已知OCLAB于C,求C點坐標；(2)

12、在x軸上是否存在點P,使PAB為等腰三角形？若存在，請直接寫出點P 的坐標；若不存在，請說明理由.2 .如圖，一次函數(shù)y= T3x 73的函數(shù)圖象與x軸、y軸分別交于點A, B,以 線段AB為直角邊在第一象限內(nèi)作 RtABC,且使/ ABC=30° .(1)求 ABC的面積；3(2)如果在第二象限內(nèi)有一點 P (m,),試用含m的代數(shù)式表小 APB的面積，并求當 APB與4ABC面積相等時m的值；(3)在坐標軸上是否存在一點 Q,使4QAB是等腰三角形？若存在，請直接寫 出點Q所有可能的坐標；若不存在，請說明理由.3 .如圖，在平面直角坐標系中，直線 y=x+1與y=-3x+3交于點

13、A,分別交x4軸于點B和點C,點D是直線AC上的一個動點.(1)求出點A, B, C的坐標；(2)在直線AB上是否存在點E,使得以點E, D, O, A為頂點的四邊形是平 行四邊形？如果存在，求出點 E的坐標；如果不存在，請說明理由.4 .如圖，平面直角坐標系中，四邊形 OABC為直角梯形，CB/OA, / OCB=90° , CB=1, AB=T5,直線y 2x 1過A點，且與y軸交于D點.(1)求點A、點B的坐標；(2)試說明：ADXBO;(3)若點M是直線AD上的一個動點，在x軸上是否存在另一個點N ,使以O, B, M, N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出 N點的坐標

14、，若不存在， 請說明理由.15 .如圖，在平面直角坐標系中，直線li:y= -x 6分別與x軸、y軸父于點B,C,且與直線l2：y= x父于點A. 2(1)求出點A, B, C的坐標；(2)若D是線段OA上的點，且ACOD的面積為12,求直線CD的函數(shù)表達式；(3)在(2)的條件下，設P是射線CD上的點，在平面內(nèi)是否存在點 Q,使以 O, C, P, Q為頂點的四邊形是菱形？若存在，直接寫出點 Q的坐標；若不存 在，請說明理由.【參考答案】【1題】解：(1)如圖，過C作CDLOB于點D. A ( 2 出,0), B (0, 2)在 RtzXABO 中，OB = 2, OA= 2>/3.A

15、B= .(2 3)2 22 4 ./ CAO = 30° ./ BCD =/ BOC=30°在 RtzXOCB 中，OB = 2,BC= 1 在 RtzXCBD 中，BD=二，CD= 22一 一 3 .OD=OB-BD= 32c (-冬 |)(2)Pi ( 2>/l 4 , 0), P2 (4 2>/l, 0),提示：如下圖，以A為圓心，AB長為半徑作圓，與x軸交于Pi, P2兩點，Pi,P2即為所求.APi = AP2 = 4,結合A點坐標，可求得 Pi, P2坐標.P3 (2VI, 0)提示：如下圖，以B為圓心，BA長為半徑作圓，交x軸于A、P3兩點，P3點

16、即 為所求.連接BP3,則BAP3為等腰三角形，利用三線合一的性質，求得點 P3 坐標.P4(-273, 0) 3提示：如下圖，作線段AB的垂直平分線，交x軸于點P4,利用/ BAO=300求 此點坐標.23【2題】解：(1)由條件知：A (1, 0), B (0, 舟在 RtzXABO 中，AB=T?(屈 2在 RtAABC 中，./ABC=30°AC=AB 2.3. c 2 3 Sk ABC=31 (-m)2(2) S四邊形 POAB= SaOBP+ SkAOB ' SkOBP =Sa AOB= , 1 33 =22二 SaAPB =當 SaAPB =二S四邊形POAB=

17、 -S四邊形POAB-Sa AOP= -工+2(m< 0)出時3即m=- 6(3)存在.Qi (-1, 0), Q2 (3, 0), Q3 (0, -73)提示：以A為圓心，AB長為半徑作圓，分別交坐標軸于點 Qi, Q3, Q2.則QiA=Q2A=2,由A點坐標可知Qi、Q2坐標.連接AQ3,則4BAQ3為等腰三角形，由三線合一可得 Q3點坐標.Q4 （0, 2+5, Q5 （0, V3 2）提示：以點B為圓心，AB長為半徑作圓，交y軸于點Q4, Q5 （因為4ABQ1為 等邊三角形，則其與x軸交點即為Qi, A）.由BQ4=BQ5=2,結合B點坐標， 可得Q4, Q5坐標.Q6 （0

18、,）3提示：作AB的垂直平分線交y軸于點Q6 （因為 ABQi為等邊三角形，則其與 x軸交點即為Qi）.由垂直平分線性質，可以在 RtAQ6O中，利用 /Q6AO = 30°,求得OQ6的長，即得點Q6坐標.【3題】解：（1） 丁點B是直線y= x+ 1與x軸的交點點B的坐標為（-1, 0）二,點C是直線y= - - x+ 3與x軸的交點 4點C的坐標為（4, 0）丁點A為直線y= x+ 1與直線y= -x 3的交點 4y x 1聯(lián)立： 3y x 3871574x解得：y8 15 點A的坐標為（8J）7 729（2）如圖1,當四邊形OAED為平行四邊形時v AB/ OD直線OD解析式

19、為：y=x點D為直線OD與直線AC的交點聯(lián)立:解得:,.Ax3x 3412712712 127,78 15,7 720 27,7 7如圖2,當四邊形ODAE為平行四邊形時. OE/ AC直線OE的解析式為：v= -x4點E為直線OE與直線AB的交點3y -x聯(lián)乂： 44解得:7374 3、7，”31解得:如圖3,當四邊形OADE為平行四邊形時. OE/ AC直線OE的解析式為：v= -x4點E為直線OE與直線AB的交點3 y x4y x 14737綜上可得:20 27,E的坐標為（3，"）或（【4題】, 1(1)當y=0時，代入y - x 1解得x=2點A的坐標是(2, 0)過點B作

20、BFLAO于點F,則四邊形BCOF是矩形 .OF=BC=1 .AF=2-1=1AB=押 在RtABF中，由勾股定理，BF=Jab2 AF2 點B的坐標為（1,2）、，, 1（2）法一：當x=0時，代入y -x 12解得y=1 點D的坐標為（0, 1） .OD=BC=1根據(jù)（1）的結論，四邊形BCOF是矩形， .OC=BF=2 . AO= OC=2. OD=BC,/ AOD = /OCB = 90° , AO= OC.AODAOCB ./ OAD=/COB / COB+/AOB=90° ./ OAD+/AOB = 90° ./AEO=90° ,即：AD，B

21、O法二：二 BO所在的直線斜率為2, AD所在的直線斜率為 一2兩條直線的斜率乘積是-1ADXBO（3）存在.由（1）知：點B的坐標為（1,2）當ON作為一邊時，BM / x軸，且BM = ON1；M點縱坐標為2,代入y 2x 1解得：x= - 2.M點的坐標為（-2, 2） .BM=1- （-2） =1+2=3（i）點N在點。的左邊時，ON = BM = 3點N的坐標為（-3, 0）（ii）點N在點。的右邊時，ON = BM = 3.點N的坐標為（3, 0）1當ON作為對角線時，M點在x軸下萬，且M點的縱坐標-2,代入y -x 1解得：x= 6.M點的坐標為（6,-2） BM的中點坐標為（7

22、,0）2ON的中點坐標為（7,0）2點N的坐標是（7, 0）綜上所述，點N的坐標為（-3, 0）或（3, 0）或（7, 0）【5題】1解：（1） .4= x 6分別與x軸、y軸父于點B, C 2C （0, 6）, B （12, 0）.A為直線11、12交點L 62i x2x解得：y即 A (6, 3)(2)設 D (x,i-x) 0< x<62貝 SaCOD= 1 x2, 6= 3x= 1235x= 4D (4, 2)設直線CD表達式為：y=kx+ b,將C、D坐標代入得4k0解得y= - x+ 6(3)存在.提示：以點。為圓心，OC長為半徑作圓，與射線CD交于點Pi,把APiOC

23、沿 PiC翻折，得到 PiQiC,則Qi即為所求.因為直線CD斜率為-1所以/OCD = 45° , Pi即為射線CD與x軸交點.此時 菱形為正方形.Q2 (3應，-3位)提示：以點C為圓心，CO長為半徑作圓交射線 CD于P2點，將AOCe沿OP2 翻折得到 OQ2P2,則Q2點即為所求.過P2向y軸做垂線，交y軸于點E,則4CEP2是等腰直角三角形，可以得 P2 坐標，再由P2Q2/OC,且P2Q2 = OC,可得Q2坐標.Q3 (-3, 3)提示：作線段OC的垂直平分線交射線CD于點P3,將OCP3沿OC翻折得到 OCQ3,則Q3點即為所求.此時菱形為正方形.可得 Q3點坐標.一

24、次函數(shù)之存在性問題(隨堂測試) .OC 11.如圖，直線尸kx-1與“y軸分別交于邛兩點，且OB -(1)求B點的坐標和k的值.(2)若點A (x, y)是第一象限內(nèi)的直線y=kx-1上的一個動點，則當點A運動 到什么位置時， AOB的面積是2?(3)在(2)成立的情況下，x軸上是否存在點P,使4POA是等腰三角形？若 存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.49圖2圖1【參考答案】 1.解：(1)在 y kx 1 中，令x=0,則y=-1,C (0, -1), OC=1OC 1 一 -OB 2 .OB=2, B (2, 0): B在直線y kx 1上 2k 1 0.,1 k 2(2)由題

25、意知x 2,當x 2時，過點A作AD，x軸于點D,如圖1.c1 1 c 1, CS>aaobOB AD 2 x 12222 x 6 2 ,滿足題意. 1.丁點A在直線y x 1上2 .A (6, 2)(3)由(2)得OA 2屈,如圖2.當OA=OP時，以O為圓心，OA的長為半徑作圓，得 P 2710,0 , P2 2而,0當OA=AP時，以A為圓心，OA的長為半徑作圓，得 P3 12,0當OP=AP時，取OA的中點為E,過點E作OA的垂線，交x軸于點P4.在 RtA ADP4 中，P4D=OD-OP4=6-OP4,AP42 AD2+P4D22 一2 OP42 + 6 OP410310存在

26、點P,使4POA是等腰三角形,P12710,0 , P2 2410,0 ,10 -P3 12,0 或 P4 ,0 3一次函數(shù)之存在性問題(作業(yè))1 .如圖，將RtAOB放入平面直角坐標系中，點 。與坐標原點重合，點A在 x軸上，點B在y軸上，OB=2J3,/BAO=30°,將4AOB沿直線BE折疊，使得邊OB落在AB上，點。與點 D重合.(1)求直線BE的解析式；(2)求點D的坐標；(3) x軸上是否存在點P,使4PAD是等腰三角形？若存在，求出點 P的坐 標；若不存在，請說明理由.2 .如圖，四邊形ABCD為矩形，點D與坐標原點重合，點C在x軸上，點A 在y軸上，點B的坐標是(3,

27、 4),矩形ABCD沿直線EF折疊，點A落在 BC邊上的G處，點E, F分別在AD, AB上，且F點的坐標是(2, 4).(1)求點G的坐標；(2)求直線EF的解析式；(3)坐標系內(nèi)是否存在點M,使以點A, E, F, M為頂點的四邊形為平行四 邊形？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由.3 .如圖，在平面直角坐標系中，直線 y=-x+8與x軸、y軸分別交于點A, B, 點P (x, y)是直線AB上一動點(點P不與點A重合)，點C (6, 0), O是 坐標原點，設 PCO的面積為S.(1)求S與x的函數(shù)關系式.(2)當點P運動到什么位置時， PCO的面積為15?(3)過點P作AB的

28、垂線分別交x軸、y軸于點E, F,是否存在這樣的點P,使 zEOF0 BOA?若 的坐標； 說明理【參考答案】1 .解：（1）在 RtAABO 中 / BAO=30°/ ABO=60°折疊之后點O、D重合丁. / EBO=30°在直角 BEO中/EBO=30°0 = 73OE又丁點B （0, 2邪）所以直線 BE: y=，,3x+2、,3（2）如圖，過D作DGLOA于點G, ./ DEA=60° ,又 : DGXAO丁. / EDG=30°, = /3", ob= 2V3 OEOE=2在 RtADGE 中，/ EDG=30&

29、#176; , OE=2GE=1 , DG = 8,OG=1+2=3,.ED （-3,?。?）存在點P,使 PAD是等腰三角形；P （此時0）；如圖，以點D為圓心DA長為半徑畫圓，與x軸交于異與點A的點點P與點O重合），連接DR,則DAR是等腰三角形，所以P1 （0,y*如圖，以點A為圓心，以AD長為半徑畫圓，交x軸與點P2、P3,連接DP2、 /BAO=30。，OB= 2志,OA=6在 RtAADE 中， /DAE=30°, DE=2,AD=2 3. ap，= ap3= AD= 2 .3 OP2 =6+273 OR=6- 2M ?.點 P2 -6-2向,0，點 P3 273- 6,0如圖，過線段AD的中點M,作線段AD的中垂線MR交x軸與點R ,連接DP,，則 ADP4是等腰三角形；YA在 RtAMP4 中，AM=1AD = T3, / MAP4=30° 2AP4 =2OP4=4,則點 P4 -4,0273-6,0、存在點P,使 PAD是等腰三角形，p (0, 0)、P2 -6-273,0 , P3R -4,02.解：(1) VF(2, 4), B (3, 4),四邊形