最新空間向量知識點歸納總結(jié)(經(jīng)典)

1、精品文檔bCuuuOBouuu uuu rOA AB aa v uuu b; BA運算律：加法交換律：加法結(jié)合律：(a b)數(shù)乘分配律：(a b)uuu OAb a(b c)buurOBR)空間向量與立體幾何知識點歸納總結(jié).知識要點。1 .空間向量的概念：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量。注：(1)向量一般用有向線段表示.同向等長的有向線段表示同一或相等的向量。(2)向量具有平移不變性2 .空間向量的運算。定義:與平面向量運算一樣，空間向量的加法、減法與數(shù)乘運算如下(如圖)精品文檔運算法則：三角形法則、平行四邊形法則、平行六面體法則3 .共線向量。(1)如果表示空間向量的有向線段所在的

2、直線平行或重合，那么這些向量也叫做共o、b ( b ? 0 ), a/b存在實數(shù)入使a =心。線向量或平行向量，a平行于b,記作a/b (2)共線向量定理：空間任意兩個向量a(3)三點共線：A、B、C三點共線AB AC OC xOA yOB其收 y 1)一a(4)與a共線的單位向量為 |aj4 .共面向量(1)定義：一般地，能平移到同一平面內(nèi)的向量叫做共面向量。說明：空間任意的兩向量都是共面的。(2)共面向量定理：如果兩個向量a,b不共線，p與向量a,b共面的條件是存在實數(shù)r r !x, y 使 p xa ybo(3)四點共面：若A、B、C、p四點共面AP xAB yACOP xOA yOB

3、zOC(其中 x y z 1)r rrr r1rr在一個唯一的有序?qū)崝?shù)組 x, y, z,使p xa yb zc5 .空間向量基本定理：如果三個向量 a,b,c不共面，那么對空間任一向量 p ,存什_曰匚1匚,!、r r若三向量a,b,c不共面，我們把a,b,c叫做空間的一個基底，a,b,c叫做基向量, 空間任意三個不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個基底。推論：設(shè)O,A,B,C是不共面的四點，則對空間任一點 P,都存在唯一的三個有序?qū)崝?shù)uuu uuu uuu uurX, y,Z,使 OP xOA yOB zOC o6 .空間向量的直角坐標系：(1)空間直角坐標系中的坐標：在空間直角坐標系O xy

4、z中，對空間任一點A,存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x, y, z), 使OA xi yi zk ,有序?qū)崝?shù)組(x, y,z)叫作向量A在空間直角坐標系O xyz中的坐標， 記作A(x, y, z), x叫橫坐標，y叫縱坐標，z叫豎坐標。注：點A (x,y,z)關(guān)于x軸的的對稱點為(x,-y,-z),關(guān)于xoy平面的對稱點為(x,y,-z). 即點關(guān)于什么軸/平面對稱，什么坐標不變，其余的分坐標均相反。在y軸上的點設(shè)為(0,y,0),在平面yOz中的點設(shè)為(0,y,z)(2)若空間的一個基底的三個基向量互相垂直，且長為1,這個基底叫單位正交基底， r r r 十 用i, j,k表示?？臻g中任一向量 a

5、 xi yj zk=(x,y,z)(3)空間向量的直角坐標運算律： rrrr若a(句也自)，b(WEh),則ab(2匕且b2bs),r rra b (a1n,a2 b2,% b?), a ( a, a2, as)(R),r ra b a1bl a2b2 a3b3,r ra/bai 句b?。0( R),r ra ba1bl a2b2 33 b3 0。uuu若 A(x1,y1,zJ , B(x2,y2,z2),則 AB g x，y2乙)。一個向量在直角坐標系中的坐標等于表示這個向量的有向線段的終點的坐標減去起 點的坐標。精品文檔aP pB ,則點P坐標為定比分點公式：若A（x，yi，Zi） , B

6、Gmz）,XiX2 yiy2 ZiZ2設(shè) P ( x,y,z )(x Xi,y yi,z Zi)優(yōu) x，V2 yzz）,顯然，當(dāng)p為ab中點時,P（XX2 yiy2 ZiZ2精品文檔 ABC中，A (xi,yi,Zi) ,B(X2,y2,Z2),C(X3,y3Z),三角形重心 p坐標P(XiX2X3yiV2 y3 ZiZ2Z3)2,2 ABC的五心:內(nèi)心p：內(nèi)切圓的圓心，角平分線的交點外心p：外接圓的圓心，中垂線的交點。AB ACAB AC)PA pb| |pc|（單位向量）垂心P：高的交點：PA pb pa pc pb pc重心P:中線的交點，三等分點（中位線比）AP（移項，內(nèi)積為0,則垂直

7、）i -3（AB AC）中心：正三角形的所有心的合一。r（4）模長公式：右a （曰0），rb (bi,b2h),貝U|a| a a 42 a22r r夾角公式：cos(a b2 r r r222a3 , |b|，b b ，打b2 b3r ra bab a2b2 a3b3-rr-.|a| |b| Jai2 a22 a32b2 b22 b32 ABC中 ab?ac0 V=A為銳角ab?ac 0 V=A為鈍角，鈍角(6)兩點間的距離公式：若 A(x1, yi,Zi) , B(x2, y2,z2),則 1ABi ,.AB2. (X2-Xi) 2-( Y2-yi) 2-( Z2-zi)2 ,或 dA,B

8、 (X2 Xi)2 (y2%)2 (Z2 4)27.空間向量的數(shù)量積。r（i）空間向量的夾角及其表不：已知兩非零向量a,b,在空間任取一點 。，作uuur uurrr rOA a,OB b ,則 aob叫做向量a與b的夾角，記作 a,b；且規(guī)定精品文檔一r 一 r ,r r r r r 作a b ,即 a b |a| |b| cos a,b 。(4)空間向量數(shù)量積的性質(zhì):r r , r , r ra e |a |cos a,e o(5)空間向量數(shù)量積運算律:rrrrr(a)b(ab)a(r rrrrrra (bc)abacra ra2raOO r b ra r b rar r r r rb）。

9、a b b a （交換律）（分配律）。r rr ,.rrrr r0 a,b ，顯然有 a,b b,a ;若,b,則稱與b互相垂直，記作：b 一uuruur（2）向量的模：設(shè)oa a,則有向線段oa的長度叫做向量a的長度或模，記作：iair r r r r r r r（3）向量的數(shù)量積：已知向量a,b ,則|a| |b | cos a,b 叫做a,b的數(shù)量積，記精品文檔不滿足乘法結(jié)合率：（a b）c a（b c）二.空間向量與立體幾何1.線線平行兩線的方向向量平行1-1線面平行線的方向向量與面的法向量垂直1-2面面平行兩面的法向量平行2線線垂直（共面與異面）兩線的方向向量垂直2-1線面垂直線與面

10、的法向量平行2-2面面垂直兩面的法向量垂直3線線夾角（共面與異面）0,90兩線的方向向量 *,的夾角或夾角的補角,cos cos n1, n23-1線面夾角0,90：求線面夾角的步驟：先求線的方向向量 而與面的法向量n的夾角，若為銳角角即可，若為鈍角，則取其補角；再求其余角，即是線面的夾 角 sin cos AP, n3-2面面夾角（二面角）0,180:若兩面的法向量一進一出，則二面角等于兩法向量n1，n2的夾角；法向量同進同出，則二面角等于法向量的夾角的補角.coscos n1, n2uuu4.點面距離h :求點P X0,y0到平面 的距離：在平面 上去一點Q x,y ,得向量PQ .； ;

11、計算平面的法向量n；. hPQ94-1線面距離(線面平行):轉(zhuǎn)化為點面距離4-2面面距離(面面平行):轉(zhuǎn)化為點面距離【典型例題】1 .基本運算與基本知識()例1.已知平行六面體ABCD ABCD，化簡下列向量表達式，標出化簡結(jié)果的向量 uur uuuruur uur uuur(1) AB BC ;(2) AB AD AA ；/ . uur uuur1 uuuu . . 1 uuuuuuruur AB ADCC；(ABADAA)。2 3例2.對空間任一點。和不共線的三點A, B,C,問滿足向量式:uuuOPuuu uur uuur .xOA yOB zOC （其中 xy z 1)的四點p,a,b

12、,c是否共面?例 3 已知空間三點 A (0, 2, 3), B (2, 1, 6), C (1, 1, 5) 求以向量AB, AC為一組鄰邊的平行四邊形的面積 S;若向量a分別與向量ab,ac垂直，且|士|=、；3,求向量a的坐標。2 .基底法(如何找，轉(zhuǎn)化為基底運算)3 .坐標法(如何建立空間直角坐標系，找坐標)4 .幾何法編號03晚自習(xí)測試；17, 18題例4.如圖，在空間四邊形 OAB計，OA 8, AB 6, AC 4, BC 5, OAC 45o,OAB60,求OA與BC的夾角的余弦值說明：由圖形知向量的夾角易出錯，如例 5.長方體 ABCD A1B1C1D1 中，AB BC 交點

13、，又AF BE,求長方體的高BBi。uuu uuuruur uuurOA, AC135易錯與成 OA, AC45,切記!4, E為AG與BQ的交點,F為BG與B1c的【模擬試題】1.已知空間四邊形ABCD ,連結(jié)AC,BD ,設(shè)M ,G分別是BC,CD的中點，化簡下列各表達 uur uuur uuir式，并標出化筒結(jié)果向量：（1） AB BC CD;uuu i uur uur AB (BD BC)；2uuur i uuu uuur(3) AG -(AB AC)。22.已知平行四邊形ABCD,從平面AC外一點O引向量uurum uur uuruuruuur imr uurOE kOAOF kOB

14、QG kOC, OH kOD。(1)求證：四點E,F,G,H共面；(2)平面AC /平面EG。所成角的余弦。3.如圖正方體 ABCD ABC1D1 中，BE1 D1F1 1AlB1,求 BE1 與 DF145.已知平行六面體ABCD ABCD中，AB 4, AD 3, AA 5, BAD 90 o ,BAA DAA 60 o ,求 AC 的長。3.1.解:如圖,參考答案(1)(2)uuuABuuuABuur uuir uuir uuirBC CD AC CDAD uuruurAB(3)uuur BMuuir AG2.解 Uur（明1 uuur(BD 2uuurMG1 uur (AB2證明：uu

15、iruurBC)uurAB-BC1 uur -BD。2UULTAG ； uiur AC)uuirAGuuuuAMuuuuMG。四邊形ABCD是平行四邊形，.uurACuurABuuurAD ,EGOGOEuuuruuruuiruuuujiruutuurk OCk OAk(OCOA)kACk(ABAD)uurUJUujiruuuuuiruuruumr uuurk(OBOAODOA)OFOEOH OEuur uuurEF EHe,f,g,h解：共面; uur EFuuur OFuuurOEuur uuu uuuk(OB OA) k AB ,又uuurEG/. EF/AB, EG/AC。所以，平面A

16、C 平面EG。G3解：不妨設(shè)正方體棱長為3則 B（1,1,0）,匕（1,3 ,1）, 41,建立空間直角坐標系O1 ,、 D（。,。,。）,E*xyzuuur二 BEi1 uuur(0, ，1), DF1 41(01,1)，4UULU二 BE1uuuuDF1,17精品文檔uum uuur1 115BE1 DF1 0 0 (-)11 一。4 41615uuu uuuu 石 15cos BE1,DF16l 二。17 J7 174uur uur八. uujruurAB AC14.分析： QAB ( 2, 1,3),AC (1, 3,2), cos BAC uur uuur|AB|AC| 2uuu uur_./BAC =60 , S | AB|AC |sin60o 773r uuu設(shè) a = (x, y, z),則 a AB2x y 3z 0,rr -999aAC x 3y 2z 0,| a |、, 3x2y