等邊三角形的性質(zhì)和判定

1、2021/3/912021/3/92 1探索等邊三角形的性質(zhì)和判定探索等邊三角形的性質(zhì)和判定2能運(yùn)用等邊三角形的性質(zhì)和判定進(jìn)行計(jì)算和證能運(yùn)用等邊三角形的性質(zhì)和判定進(jìn)行計(jì)算和證 明明 2021/3/93A AB BC C等邊對(duì)等角等邊對(duì)等角三線合一三線合一等角對(duì)等邊等角對(duì)等邊兩邊相等兩邊相等兩腰相等兩腰相等軸對(duì)稱圖形軸對(duì)稱圖形知識(shí)回顧知識(shí)回顧2021/3/942021/3/95 聯(lián)系：聯(lián)系：等邊三角形是特殊的等腰三角形；等邊三角形是特殊的等腰三角形；區(qū)別：區(qū)別：等邊三角形有三條相等的邊，而等腰三角形等邊三角形有三條相等的邊，而等腰三角形 只有兩條只有兩條. .創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新知?jiǎng)?chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新知

2、請(qǐng)分別畫(huà)出一個(gè)等腰三角形和等邊三角形，結(jié)合請(qǐng)分別畫(huà)出一個(gè)等腰三角形和等邊三角形，結(jié)合 你畫(huà)的圖形說(shuō)出它們有什么區(qū)別和聯(lián)系？你畫(huà)的圖形說(shuō)出它們有什么區(qū)別和聯(lián)系？ABCABC2021/3/96A AB BC C2021/3/97證明：證明：ABC 是等邊三角形，是等邊三角形， BC = =AC，BC = =AB A =B，A = =C A =B = =C A +B + +C = =180， A = =60 A =B = =C = =60細(xì)心觀察，探索性質(zhì)細(xì)心觀察，探索性質(zhì)已知：已知：ABC 是等邊三角形是等邊三角形 求證：求證：A =B =C = =60ABC2021/3/98符號(hào)語(yǔ)言：符號(hào)語(yǔ)言：

3、ABC 是等邊三角形，是等邊三角形，A =B = =C = =60細(xì)心觀察，探索性質(zhì)細(xì)心觀察，探索性質(zhì) 等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的性質(zhì)： 等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每一個(gè)角都等等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每一個(gè)角都等 于于60. .ABC2021/3/99A AB BC C2021/3/910? ?A AB BC C2021/3/911等邊三角形的性質(zhì)等邊三角形的性質(zhì)2.2.等邊三角形的內(nèi)角都相等等邊三角形的內(nèi)角都相等, ,且等于且等于60 60 3.等邊三角形等邊三角形各邊各邊上中線上中線,高和所對(duì)角的平高和所對(duì)角的平分線都三線合一分線都三線合一.4.等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，有

4、三條對(duì)稱軸等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，有三條對(duì)稱軸.1 .三條邊相等三條邊相等2021/3/912細(xì)心觀察，探索性質(zhì)細(xì)心觀察，探索性質(zhì)結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)，你能填出等邊三角形對(duì)應(yīng)結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)，你能填出等邊三角形對(duì)應(yīng) 的結(jié)論嗎？的結(jié)論嗎？ 2021/3/913細(xì)心觀察，探索性質(zhì)細(xì)心觀察，探索性質(zhì)結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)，你能填出等邊三角形對(duì)應(yīng)結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)，你能填出等邊三角形對(duì)應(yīng) 的結(jié)論嗎？的結(jié)論嗎？ 相等相等每個(gè)角都等于每個(gè)角都等于602021/3/914 相等相等每個(gè)角都等于每個(gè)角都等于60細(xì)心觀察，探索性質(zhì)細(xì)心觀察，探索性質(zhì)結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)，你能填出等邊三角形對(duì)應(yīng)結(jié)合等腰三角形的

5、性質(zhì)，你能填出等邊三角形對(duì)應(yīng) 的結(jié)論嗎？的結(jié)論嗎？ 是（三線合一）是（三線合一） 三條對(duì)稱軸三條對(duì)稱軸2021/3/915思考思考1一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角滿足什么條件是等一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角滿足什么條件是等 邊三角形？邊三角形？ 三個(gè)角都相等的三角形或者一個(gè)角為三個(gè)角都相等的三角形或者一個(gè)角為60的等腰三的等腰三 角形角形思考思考2一個(gè)等腰三角形滿足什么條件是等邊三角一個(gè)等腰三角形滿足什么條件是等邊三角 形？形？細(xì)心觀察，探索性質(zhì)細(xì)心觀察，探索性質(zhì)問(wèn)題等邊三角形除了用定義（即用邊）來(lái)判定以問(wèn)題等邊三角形除了用定義（即用邊）來(lái)判定以 外，能否利用角來(lái)判定呢？外，能否利用角來(lái)判定呢？2021/3/9

6、16A AB BC C2021/3/917符號(hào)語(yǔ)言：符號(hào)語(yǔ)言：在在ABC 中，中， A=B =C ， ABC 是等邊三角形是等邊三角形細(xì)心觀察，探索性質(zhì)細(xì)心觀察，探索性質(zhì)等邊三角形的判定定理等邊三角形的判定定理1：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形 C A B 2021/3/918證明：證明：A =B，B =C ，BC = =AC， AC = =ABAB = =BC = =AC ABC 是等邊三角形是等邊三角形已知：在已知：在ABC 中，中，A=B=C求證：求證：ABC 是等邊三角形是等邊三角形細(xì)心觀察，探索性質(zhì)細(xì)心觀察，探索性質(zhì)C A B 2021/3/919A

7、 AB BC C2021/3/920細(xì)心觀察，探索性質(zhì)細(xì)心觀察，探索性質(zhì)等邊三角形的判定定理等邊三角形的判定定理2： 有一個(gè)角為有一個(gè)角為60的等腰三角形是等邊三角形的等腰三角形是等邊三角形 C A B 符號(hào)語(yǔ)言：符號(hào)語(yǔ)言：在在ABC 中，中，BC = =AC，A = =60，ABC 是等邊三角形是等邊三角形2021/3/921等邊三角形的判定定理等邊三角形的判定定理1： 三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形等邊三角形的判定定理等邊三角形的判定定理2： 有一個(gè)角為有一個(gè)角為60的等腰三角形的等腰三角形 細(xì)心觀察，概括歸納細(xì)心觀察，概括歸納判定等邊三角形的方法：判定等

8、邊三角形的方法：從邊的角度：從邊的角度：等邊三角形的定義；等邊三角形的定義；從角的角度：從角的角度：等邊三角形的兩條判定定理等邊三角形的兩條判定定理 2021/3/922等邊三角形的判定方法等邊三角形的判定方法: :1.1.三邊相等的三角形是等邊三角形三邊相等的三角形是等邊三角形. .2.三個(gè)內(nèi)角都等于三個(gè)內(nèi)角都等于60 （或三個(gè)內(nèi)（或三個(gè)內(nèi)角都相等）的三角形是等邊三角形角都相等）的三角形是等邊三角形.3.有一個(gè)內(nèi)角等于有一個(gè)內(nèi)角等于60 的等腰三角的等腰三角形是等邊三角形形是等邊三角形.2021/3/923例例4 等邊三角形等邊三角形ABC的周長(zhǎng)等于的周長(zhǎng)等于21，求：（求：（1）各邊的長(zhǎng)；

9、）各邊的長(zhǎng)； （2）各角的度數(shù)。）各角的度數(shù)。解：（1）ABBCCA， 又 ABBCCA21（已知）ABBCCA21/37（）（2）ABBCCA，（已知），（已知）A BC60（等邊三角形的每個(gè)內(nèi)角都等于（等邊三角形的每個(gè)內(nèi)角都等于60） ABC2021/3/924、下列四個(gè)說(shuō)法中，不正確的有（、下列四個(gè)說(shuō)法中，不正確的有（ ）（A）0個(gè)（個(gè)（B）1個(gè)（個(gè)（C）2個(gè)（個(gè)（D）3個(gè)個(gè)三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形。三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形。有兩個(gè)角等于有兩個(gè)角等于60的三角形是等邊三角形。的三角形是等邊三角形。有一個(gè)角是有一個(gè)角是60的等腰三角形是等邊三角形。的等腰三角形是等邊三角形。

10、有兩個(gè)角相等的等腰三角形是等邊三角形。有兩個(gè)角相等的等腰三角形是等邊三角形。、等邊三角形的對(duì)稱軸有（、等邊三角形的對(duì)稱軸有（ ）（A）1條（條（B）2條（條（C）3條（條（D）4條條、等邊三角形中，高、中線、角平分線共有（、等邊三角形中，高、中線、角平分線共有（ ）（A）3條（條（B）6條（條（C）9條（條（D）7條條 （選擇）（選擇）2021/3/925（1 1）在邊）在邊ABAB，ACAC，分別截取，分別截取AD=AEAD=AE（2 2）ADE=60ADE=60，D D，E E分別在邊分別在邊ABAB，ACAC上上（3 3）過(guò)邊）過(guò)邊ABAB上上D D點(diǎn)，作點(diǎn)，作DEBCDEBC，交，交

11、ACAC于于E E點(diǎn)點(diǎn)ABCDE2021/3/926證明：證明： ABC 是等邊三角形，是等邊三角形， A =B = =C = =60 DEBC， B = =ADE，C = =AED A=ADE = =AED ADE 是等邊三角形是等邊三角形動(dòng)腦思考，例題解析動(dòng)腦思考，例題解析例例1如圖，如圖，ABC 是等邊三角形，是等邊三角形，DEBC, , 分分別交別交AB，AC 于點(diǎn)于點(diǎn)D，E求證：求證：ADE 是等邊三角形是等邊三角形. . 追問(wèn)本題還有其他證法嗎？追問(wèn)本題還有其他證法嗎？ ABCDE2021/3/927證明：證明：ABC 是等邊三角形，是等邊三角形， A =ABC =ACB = =6

12、0 DEBC， ABC = =ADE， ACB =AED. . A =ADE = =AED. . ADE 是等邊三角形是等邊三角形. .動(dòng)腦思考，變式訓(xùn)練動(dòng)腦思考，變式訓(xùn)練變式變式1若點(diǎn)若點(diǎn)D、E 在邊在邊AB、AC 的延長(zhǎng)線上，且的延長(zhǎng)線上，且 DEBC，結(jié)論還成立嗎？，結(jié)論還成立嗎？ ADEBC2021/3/928動(dòng)腦思考，變式訓(xùn)練動(dòng)腦思考，變式訓(xùn)練變式變式2若點(diǎn)若點(diǎn)D、E 在邊在邊AB、AC 的反向延長(zhǎng)線上，的反向延長(zhǎng)線上，且且DEBC，結(jié)論依然成立嗎？，結(jié)論依然成立嗎？ 證明：證明： ABC 是等邊三角形，是等邊三角形， BAC =B = =C = =60 DEBC， B = =D，C

13、 = =E EAD =D = =E ADE 是等邊三角形是等邊三角形ADEBC2021/3/929這是兩個(gè)等邊三角形,那么請(qǐng)移動(dòng)三根火柴,將此圖變成四個(gè)等邊三角形.提示:此題并不難,如果外部不能解決,那么 想想里面吧.2021/3/930A AB BC C三個(gè)角都相等，且都為三個(gè)角都相等，且都為6060三線合一三線合一三條邊都相等三條邊都相等軸對(duì)稱圖形，有三條對(duì)稱軸軸對(duì)稱圖形，有三條對(duì)稱軸2021/3/931A AB BC C2021/3/932BACD將兩個(gè)含有30的直角三角板如圖擺放在一起你能借助這個(gè)圖形,找到RtABC的直角邊BC與斜邊AB之間的數(shù)量關(guān)系嗎?2021/3/933ABC與A

14、DC關(guān)于AC軸對(duì)稱ABADABD是等邊三角形又ACBDBCDC1/2AB你還能用其他方法證明嗎?BACD2021/3/934在直角三角形中,如果一個(gè)銳角等于30那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.A）30BC在直角ABC中A30AC2BC2021/3/935下圖是屋架設(shè)計(jì)圖的一部分,點(diǎn)D是斜梁AB的中點(diǎn),立柱BC、 DE垂直于橫梁AC,AB7.4m,A30立柱BC 、 DE要多長(zhǎng)?ABDEC2021/3/936解:DEAC, BCAC, A30可得 2BCAB, 2DEAD BC1/2 7.43.7m又 AD1/2 ABDE1/2 AD1/2 3.71.85m答:立柱BC的長(zhǎng)是3.7m,DE的長(zhǎng)

15、是1.85m.2021/3/937 1 如圖,在ABC 中C=90,B=15,AB的垂直平分線交BC于D,交AB于M,且BD=8,求AC之長(zhǎng).MCBDA2021/3/938 2 如圖,在ABC 中,AB=AC, A=120,AB的垂直平分線 MN交BC于M,交AB于N, 求證:CM=2BMNMCBA2021/3/9392、在RtABC 中， 如果B 0 ， A 30 ，CD是高， （1）BD=1，則BC、AB各等于多少； （2）求證：BD=1/2BC=1/4AB解（1）由已知可求得 BD= 30 于是在RtADC 與RtBDC 中用本定理得BC=2，AB=4 （2）在RtADC 與RtBDC運(yùn)用本定理 BD=1/2BC BC=1/2AB BD=1/2BC=1/4AB