第6章_數(shù)理統(tǒng)計的基本概念

1、 從本章起，我們轉(zhuǎn)入課程的第二部分從本章起，我們轉(zhuǎn)入課程的第二部分?jǐn)?shù)理統(tǒng)計學(xué)。數(shù)理統(tǒng)計學(xué)與概率論是兩個密切數(shù)理統(tǒng)計學(xué)。數(shù)理統(tǒng)計學(xué)與概率論是兩個密切聯(lián)系的姊妹學(xué)科。聯(lián)系的姊妹學(xué)科。 大體上可以這樣說，大體上可以這樣說，概率論是數(shù)理統(tǒng)計學(xué)的概率論是數(shù)理統(tǒng)計學(xué)的基礎(chǔ)，而數(shù)理統(tǒng)計學(xué)是概率論的重要應(yīng)用。基礎(chǔ)，而數(shù)理統(tǒng)計學(xué)是概率論的重要應(yīng)用。 數(shù)理統(tǒng)計學(xué)是這樣一門學(xué)科：它使用概率論和其它數(shù)學(xué)方法，研究怎樣收集怎樣收集（通過試驗(yàn)和觀察）帶有隨機(jī)誤差的數(shù)據(jù)，并在設(shè)定的模型（稱為統(tǒng)計模型）之下，對這種數(shù)據(jù)進(jìn)行分析分析（稱為統(tǒng)計分析），以對所研究的問題作出推推斷斷（稱為統(tǒng)計推斷）。 由于所收集的統(tǒng)計數(shù)據(jù)（資料）只

2、能反映事物的局部特征，數(shù)理統(tǒng)計的任務(wù)就在于從統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計的任務(wù)就在于從統(tǒng)計資料所反映的局部特征以概率論作為理論基礎(chǔ)資料所反映的局部特征以概率論作為理論基礎(chǔ)去推斷事物的整體特征。去推斷事物的整體特征。 總體、樣本和統(tǒng)計量總體、樣本和統(tǒng)計量 6.1.1 6.1.1 總體與樣本總體與樣本 在數(shù)理統(tǒng)計中,我們將研究對象的某項數(shù)量指標(biāo)的值的全體稱為總體總體,總體中的每個元素稱為個體個體. 比如，對電子元件我們主要關(guān)心的是其使用壽命.而該廠生產(chǎn)的所有電子元件的使用壽命取值的全體，就構(gòu)成了研究對象的全體，即總體，顯然它是一個隨機(jī)變量，常用X表示. 為方便起見，今后我們把總體與隨機(jī)變量為方便起見，今后我們把總

3、體與隨機(jī)變量X X等同起來看，等同起來看，即總體就是某隨機(jī)變量即總體就是某隨機(jī)變量X X可能取值的全體可能取值的全體. .它客觀上存在它客觀上存在一個分布，但我們對其分布一無所知，或部分未知，正一個分布，但我們對其分布一無所知，或部分未知，正因?yàn)槿绱耍庞斜匾獙傮w進(jìn)行研究因?yàn)槿绱?，才有必要對總體進(jìn)行研究. . 按機(jī)會均等的原則隨機(jī)地從客觀存在的總體中抽取一些個體進(jìn)行觀察或測試的過程稱為隨隨機(jī)抽樣機(jī)抽樣.從總體中抽出的部分個體,叫做總體的一個樣本樣本. 從總體中抽取樣本時,不僅要求每一個個體被抽到的機(jī)會均等（代表性代表性）,同時還要求每次的抽取是獨(dú)立的（獨(dú)立性獨(dú)立性）,即每次抽樣的結(jié)果不影響其

4、他各次的抽樣結(jié)果,同時也不受其他各次抽樣結(jié)果的影響.這種抽樣方法稱為簡單隨機(jī)抽樣簡單隨機(jī)抽樣.由簡單隨機(jī)抽樣得到的樣本叫做簡單隨機(jī)樣本簡單隨機(jī)樣本.往后如不作特別說明,提到“樣本樣本”總是指簡單隨機(jī)樣本總是指簡單隨機(jī)樣本. . 從總體從總體X中抽取一個個體中抽取一個個體, ,就是對隨機(jī)變量就是對隨機(jī)變量X進(jìn)行一次試驗(yàn)進(jìn)行一次試驗(yàn). .抽取抽取n個個體就是對隨機(jī)變量個個體就是對隨機(jī)變量X進(jìn)行進(jìn)行n次試驗(yàn)次試驗(yàn), ,分別記為分別記為X1, X2, , Xn.則樣本就是則樣本就是n n維隨機(jī)變量維隨機(jī)變量(X1,X2,Xn).在一次抽樣以后在一次抽樣以后, , (X1, X2, ,Xn)就有了一組確

5、定的值就有了一組確定的值(x1, x2, ,xn),稱為稱為樣本觀樣本觀測值測值. .樣本觀測值樣本觀測值(x1, x2, ,xn)可以看成一個隨機(jī)試驗(yàn)的一可以看成一個隨機(jī)試驗(yàn)的一個結(jié)果個結(jié)果, ,它的一切可能結(jié)果的全體構(gòu)成它的一切可能結(jié)果的全體構(gòu)成一個一個樣本空間樣本空間. . 稱稱(X1, X2, ,Xn)為樣本，為樣本，n為為樣本容量樣本容量. .總體總體 樣本樣本 樣本觀察值樣本觀察值 理論分布理論分布 統(tǒng)計是從手中已有的資料統(tǒng)計是從手中已有的資料樣本觀察值，去推斷總樣本觀察值，去推斷總體的情況體的情況總體分布總體分布.樣本是聯(lián)系兩者的橋梁樣本是聯(lián)系兩者的橋梁.總體分布決定了樣本取值的

6、概率規(guī)律，也就是樣本取總體分布決定了樣本取值的概率規(guī)律，也就是樣本取到樣本觀察值的規(guī)律，因而可以用樣本觀察值去推斷到樣本觀察值的規(guī)律，因而可以用樣本觀察值去推斷總體總體.總體、樣本、樣本觀察值的關(guān)系總體、樣本、樣本觀察值的關(guān)系統(tǒng)計量的定義統(tǒng)計量的定義 設(shè)設(shè)X1，X2，Xn為來自總體為來自總體X的的樣本，稱樣本，稱不含未知參數(shù)的樣本的函數(shù)不含未知參數(shù)的樣本的函數(shù) g(X1，X2，Xn)為統(tǒng)計量為統(tǒng)計量 若若x1，x2，.，xn為樣本觀測值，則稱為樣本觀測值，則稱g(x1，x2，.，xn)為統(tǒng)計量為統(tǒng)計量g(X1，X2，Xn)的的觀測值觀測值.統(tǒng)計量是處理、分析數(shù)據(jù)的主要工具對統(tǒng)計量統(tǒng)計量是處理、

7、分析數(shù)據(jù)的主要工具對統(tǒng)計量的一個最基本的要求就是可以將樣本觀測值代入的一個最基本的要求就是可以將樣本觀測值代入進(jìn)行計算，因而不能含有任何未知的參數(shù)進(jìn)行計算，因而不能含有任何未知的參數(shù) 【例例】設(shè)設(shè)X1，X2，Xn是來自總體是來自總體X的樣本，的樣本，XN( ， 2)，其中，其中 、 2為未知參數(shù)，則為未知參數(shù)，則X1， min X1，X2，Xn 均為統(tǒng)計量，但諸如均為統(tǒng)計量，但諸如等均不是統(tǒng)計量，因它含有未知參數(shù)等均不是統(tǒng)計量，因它含有未知參數(shù) 或或 ,312121XX ,)(112 niiXn 1X 為了用概率的方法探討一個統(tǒng)計量在推斷總體為了用概率的方法探討一個統(tǒng)計量在推斷總體時的性能或把

8、握推斷結(jié)論的置信程度，我們必時的性能或把握推斷結(jié)論的置信程度，我們必須要知道統(tǒng)計量的分布或近似分布須要知道統(tǒng)計量的分布或近似分布. .統(tǒng)計量的分統(tǒng)計量的分布，通常稱為布，通常稱為抽樣分布抽樣分布. . 先討論統(tǒng)計量的數(shù)字特征先討論統(tǒng)計量的數(shù)字特征. .122222*22, , ,16.3. , (1)2, .1nnnX XXXE XVar XE XVar XnnE SE Sn設(shè)（）是取自總體 的一個樣本，則（） ；（） =命題1112221112222112211222221111111111(2)()(2)1(2)112nnniiiiinnniiiiinnniiiiinniiiiniiiiE

9、 XEXE XnnnVar XVarXVar XnnnnSXXXX XXnnXXXnXnXXXXXnn證明： （）1n2222211222222122122222*22111 ( )( ) ( )( ) 1 ( ) ( ) 111()11nnniiiiniiiiniiinnE SEXXE XE XnnE XE XE XE XE XE XnVar XE XVar XE XnnnnnnnnnE SESEnn22nS1. 2分布分布（為簡便計，不通過（為簡便計，不通過分布，直接給出分布，直接給出 2 2分布分布定義定義 ） 命題命題6.3.2 設(shè)設(shè)X1，X2，Xn為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，它們都服從標(biāo)為

10、相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，它們都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)準(zhǔn)正態(tài)N(0，1)分布，則稱隨機(jī)變量分布，則稱隨機(jī)變量服從服從自由度自由度為為n的的 2分布分布，記為，記為 2 2(n) 此處自由度指此處自由度指 2中包含獨(dú)立變量的個數(shù)中包含獨(dú)立變量的個數(shù)可以證明，可以證明， 2(n)的概率密度為的概率密度為其中其中 ( )稱為伽馬函數(shù)，稱為伽馬函數(shù)，221niiX2122221,0( )2 ( )0,0nxnnx exfxx0,)(01 dxexx 2分布概率密度分布概率密度o o 圖圖6.1 2(n)分布的概率密度曲線分布的概率密度曲線可以看出，隨著可以看出，隨著n的增大圖形趨于的增大圖形趨于“平緩平緩”，其圖形下

11、區(qū)域，其圖形下區(qū)域的重心亦逐漸往右下移動的重心亦逐漸往右下移動 0, 00,)(21)(212222xxexxfxnnn 2分布具有下面性質(zhì)：分布具有下面性質(zhì)： (1) (可加性可加性) 設(shè)設(shè) 是兩個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且是兩個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且 (2) 設(shè)設(shè) 證明證明 (1) 由由 2分布的定義易得證明分布的定義易得證明 (2) 因?yàn)橐驗(yàn)?存在相互獨(dú)立、同分布于存在相互獨(dú)立、同分布于N(0，1)的隨機(jī)變量的隨機(jī)變量X1，X2，Xn，使，使則則)(),(),(212222122221221nnnn 則則 niiX122 221niiEEX21niiE X1niiD Xn2221, .2)(

12、,),(2222nDnEn ）（則則),(22n 由于由于Xi獨(dú)立，且注意到獨(dú)立，且注意到N(0，1)的四階矩為的四階矩為3，可得，可得 英國統(tǒng)計學(xué)家費(fèi)歇（英國統(tǒng)計學(xué)家費(fèi)歇（R.A.Fisher）曾證明，）曾證明，當(dāng)當(dāng)n較大時，較大時， 近似服從近似服從 221niiVarVar X4221 ( ) niiiE XE X(3 1)21nni)(22n ).1 , 12( nN 關(guān)于關(guān)于 2 2分布以及后面將要講到的分布以及后面將要講到的t t分布、分布、F F分布，分布，要求做到以下兩點(diǎn)：要求做到以下兩點(diǎn)：（1 1）從正向理解三種分布的定義，即三種分布）從正向理解三種分布的定義，即三種分布是由

13、哪些分布衍生出來的，什么樣的隨機(jī)變量是由哪些分布衍生出來的，什么樣的隨機(jī)變量服從上述三種分布；服從上述三種分布；（2 2）從逆向理解三種分布的定義，即如果某隨機(jī)變量）從逆向理解三種分布的定義，即如果某隨機(jī)變量服從上述三種分布之一種，則該隨機(jī)變量可以寫成什服從上述三種分布之一種，則該隨機(jī)變量可以寫成什么樣的表達(dá)式（哪種隨機(jī)變量的衍生式）么樣的表達(dá)式（哪種隨機(jī)變量的衍生式）. .至于服從上述三種分布的隨機(jī)變量的密度函數(shù)形式不要至于服從上述三種分布的隨機(jī)變量的密度函數(shù)形式不要求記憶。求記憶。2. t分布分布命題命題6.3.3 設(shè)設(shè)X N(0，1)，Y 2(n)，X與與Y獨(dú)立，則稱隨機(jī)變獨(dú)立，則稱隨機(jī)

14、變量量 服從自由度為的服從自由度為的t分布分布，又稱為學(xué)生氏分布，又稱為學(xué)生氏分布(Student distribution)，記為記為T t(n)可以證明可以證明t(n)的概率密度為的概率密度為 圖圖6-2 t分布的概率密度曲線分布的概率密度曲線nYXT xnxnnnxfnt,1221)(212 圖圖6.2 t分布的概率密度曲線分布的概率密度曲線顯然顯然t分布的概率密度分布的概率密度是是x的偶函數(shù)，圖的偶函數(shù)，圖6.2 描繪了描繪了n = 1，3，7時時t(n)的概率密度曲線作為比較，還描繪了的概率密度曲線作為比較，還描繪了N(0，1)的概率密度曲線的概率密度曲線 xnxnnnxfnt,12

15、21)(212 可看出，隨著可看出，隨著n的增大，的增大，t(n)的概率密度曲線與的概率密度曲線與N(0，1)的概率的概率密密度曲線越來越接近度曲線越來越接近可以證明可以證明t分布具有下面性質(zhì)：分布具有下面性質(zhì)：即當(dāng)即當(dāng)n趨向無窮時趨向無窮時,t(n)近似于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布近似于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1) 一般地，一般地，若若n 30，就可認(rèn)為，就可認(rèn)為t(n)基本與基本與N(0，1)相差無幾了另外，經(jīng)簡相差無幾了另外，經(jīng)簡單積分可知，若單積分可知，若 則則 nexfxt,21)(22 ( )X t n2 0(1), (2)2E XnVar Xnn3. F分布分布命題命題6.3.4 設(shè)設(shè)X 2(m)

16、，Y 2(n)，且，且X與與Y獨(dú)立，稱隨機(jī)變量獨(dú)立，稱隨機(jī)變量 服從自由度為服從自由度為(m，n)的的F分布分布，記為，記為FF(m，n)m, n分別稱為第一分別稱為第一自由度和第二自由度自由度和第二自由度.可以證明其概率密度函數(shù)為可以證明其概率密度函數(shù)為:o XmFYn21222,0( )1220,0mmmnFmnmxnxfxmnmxnx 圖圖6.3 F分布的概率密度曲線分布的概率密度曲線 由由F分布的定義分布的定義容易看出，容易看出， 若若F F(m，n)，則，則1/F F(n，m)X mFY n 在統(tǒng)計推斷（區(qū)間估計和假設(shè)檢驗(yàn)）中，已知總體在統(tǒng)計推斷（區(qū)間估計和假設(shè)檢驗(yàn)）中，已知總體X

17、X的分布及某概率值的分布及某概率值，需要知道，需要知道X X小于等于哪個數(shù)的小于等于哪個數(shù)的概率為概率為，這個數(shù)稱為，這個數(shù)稱為X X的的分位數(shù)，也就是，分位數(shù)，也就是， 設(shè)設(shè)XX( (n n)()(為某種分布，為某種分布，n n為有關(guān)自由度為有關(guān)自由度) )， 001,1/2的分位數(shù)，需利用對稱性間接查的分位數(shù)，需利用對稱性間接查1/2的分位數(shù)，對稱的分位數(shù)，對稱性指的是以下三個性指的是以下三個關(guān)系式，根據(jù)這三個分布的定義和特點(diǎn)很容關(guān)系式，根據(jù)這三個分布的定義和特點(diǎn)很容易得到易得到.1111,( , )( , )uuttF mnFnm0.990.05(3)(5,4),(3,7)FF12222

18、(,.,)(0,1)1,(0, )(1),6.3.1nnnXXXXNXNnSnXnS設(shè)是來自總體的一個(抽樣分布基本樣本 則樣本均值，樣本定理)方差并且 與相互獨(dú)立.定理一、單個正態(tài)總體的抽樣分布一、單個正態(tài)總體的抽樣分布 推論推論6.3.1 設(shè)(X1,X2,Xn)是來自總體XN(,2)的一個樣本,則2*22122()(1)(2)(1)niniXXnSn2*2(1);nnXS S樣本均值 與樣本方差（修正） ()相互獨(dú)立*()=-1 (1)nnXnXnt nSS2122(,.,)(6.3.2,),nnX XXXNXS 設(shè)是來自總體的一個樣本與 分別為其樣本均值與樣本推方差論則) 1 , 0()

19、(/, ),(2NXnnXnNX即因?yàn)?*22122()(1)(1)niniXXnSn又證明：證明：且它們表示的隨機(jī)變量是相互獨(dú)且它們表示的隨機(jī)變量是相互獨(dú)立的立的, ,故故*22()/ (1)(1)(1)nnnXXnXnTt nSSnSn解：解： ) 1 , 0(/2NnXnX(0.05) (1 0.95)/2 0.975n ) 1 . 0|(|XPnnXnP/21 . 0/2/21 . 0)05. 0()05. 0 (nn95. 01)05. 0(2n所以解解 ：*22(101)(9)4nS*2*2*2999(2.622)2.62215.8995 ,444nnnP SPSPS 查表得 20

20、.25(9)5.899則有 *2(2.622) 0.75nP S 由于二、兩個正態(tài)總體下的抽樣分布二、兩個正態(tài)總體下的抽樣分布12211*2211121222*22211,(,.,)(,):11,()1( ,.,)(,),11,()1mmmimiiinnniniiiXYX XXXNXXSXXmmY YYYNYYSYYnn 設(shè)總體 與 相互獨(dú)立是來自總體的一個樣本是來自總體的一個樣本122212() ()(0,1)/XYNmn結(jié)論結(jié)論1：證證 明明:221212(,)(,)XNYNmn由于與獨(dú)立221212(,)X YNmn所以122212()()(0,1)/XYNmn因此12() () (2)

21、11wXYt mnSmn *2*2212(1)(1)2mnWmSnSSmn其中 注注: :此結(jié)論只有在兩個總體的方差相等時才成立此結(jié)論只有在兩個總體的方差相等時才成立. .122*2112122*22,(,.,)(,2(6.3.4),;( ,.,)(,):),;mmnnXYX XXXNXSY YYYNYS 設(shè)總體 與 相互獨(dú)立是來自總體的一個樣本與分別為其樣本結(jié)均值與修正樣本方差是來自總體的一個樣本與分別為其樣本均值與修正推論樣本方差論則21(,)XNm12()()(0,1)11XYUNmn22(,)YNn1*222(1)(1)mmSm2*222(1)(1)nnSn*2*222222(1)(1

22、)(2)mnmSnSVm n 12() () (2)/(2)11wX YUTt m nVm nSmn 證明證明: (1)因?yàn)樗?2)因?yàn)?3)故所以2*222112222*2221211(1,1)1mmnnmSSnFF mnnSmS*21*22(1,1)mnSFF mnS特別,當(dāng)12 = 22時,有122*2111122*2222,(,.,)(,),;( ,.,)(,)3,;:mmnnXYX XXXNSY YYYNS 設(shè)總體結(jié)論（推論6.3.3）與 相互獨(dú)立是來自總體的一個樣本為其修正樣本方差是來自總體的一個樣本為其修正樣本方差 則證明證明： 1*2221(1)(1)mmSm2*2222(1)(1)nnSn2*2121*222(1)/ (1)(1,1)(1)/ (1)nmmSmF mnnSn12*222*221(1,1)mnSF mnS由F分布的構(gòu)造知 即 由于且相互獨(dú)立2211222121()(,)()3.miinjj