結(jié)構(gòu)動力學(xué)3課件

1、結(jié)構(gòu)動力學(xué)結(jié)構(gòu)動力學(xué) 第三章：單自由度體系的自由振動 第3章 單自由度體系的自由振動 自由振動：結(jié)構(gòu)受到擾動離開平衡位置以后， 不再受任何外力影響的振動過程。 運動方程：擾動的表現(xiàn)： 0kuucum )0(),0(00uuuutt第3章 單自由度體系的自由振動 3.1 無阻尼自由振動 無阻尼：c=0 自由振動：p(t)=0運動方程：初始條件： 0 kuum )0(),0(00uuuutt3.1 無阻尼自由振動 設(shè)無阻尼自由振動解的形式為： 其中：s 為待定系數(shù)； A 為常數(shù)系數(shù)方程：兩個虛根： stAetu)(0kuum 0)(2stAekmsnnisis21,mkin，122/nmks3.1

2、 無阻尼自由振動 運動方程的通解為： 指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)的關(guān)系：運動方程的解：A，B待定常數(shù)，由初始條件確定。stAetu)(nnisis21,tititstsnneAeAeAeAtu212121)(xixexixeixixsincossincostBtAtunnsincos)(3.1 無阻尼自由振動 將位移 和速度帶入初始條件：得待定常數(shù)為：tBtAtunnsincos)(tBtAtunnnncossin)(BuuAuuntt)0()0(00nuBuA)0(),0(3.1 無阻尼自由振動 體系無阻尼自由振動的解 其中無阻尼振動是一個簡諧運動（Simple harmonic motion） n

3、自振頻率。 tututunnnsin)0(cos)0()(mkn3.1 無阻尼自由振動 圖3.1 無阻尼體系的自由振動 22)0()0()(maxnmuutuunnT23.1 無阻尼自由振動 結(jié)構(gòu)自振頻率和自振周期 自振頻率：Natural frequency (of vibration) 自振周期：Natural Period (of vibration) 結(jié)構(gòu)的重要動力特性 3.1 無阻尼自由振動 結(jié)構(gòu)自振頻率和自振周期及其關(guān)系 自振圓頻率： (單位：弧度/秒, rad/s)自振周期： (單位：秒, sec)自振頻率： (單位：周/秒, 赫茲, Hz)mknnnT22nnf 第3章 單自由

4、度體系的自由振動 3.2 有阻尼自由振動 運動方程：初始條件： 0kuucum )0(),0(00uuuutt3.2 有阻尼自由振動 令u(t)=est，代入運動方程 得： 0kuucum 222 , 1)2(2nmcmcsmkn3.2 有阻尼自由振動 u(t)=est 當(dāng)： 體系不發(fā)生往復(fù)的振動 當(dāng)： 體系產(chǎn)生往復(fù)的振動 使： 成立的阻尼c稱為臨界阻尼 臨界阻尼記為ccr： 0)2(22nmc222 , 1)2(2nmcmcs0)2(22nmc0)2(22nmckmmcncr223.2 有阻尼自由振動 圖3.2 臨界阻尼體系的自由振動 3.2 有阻尼自由振動 1. 臨界阻尼和阻尼比 臨界阻尼

5、：體系自由振動反應(yīng)中不出現(xiàn)往復(fù)振動 所需的最小阻尼值。臨界阻尼完全由結(jié)構(gòu)的剛度和質(zhì)量決定的常數(shù)。阻尼比：阻尼系數(shù)c和臨界阻尼ccr的比值， 用表示 kmmcncr22ncrmccc23.2 有阻尼自由振動 1. 臨界阻尼和阻尼比 （1）當(dāng)1時，稱為低阻尼（Under damped）， 結(jié)構(gòu)體系稱為低阻尼體系；（2）當(dāng)1時，稱為臨界阻尼（Critically damped）；（3）當(dāng)1時，稱為過阻尼（Over damped）， 結(jié)構(gòu)體系稱為過阻尼體系。 對于鋼結(jié)構(gòu)： 鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)： 左右01. 0地震（中小強(qiáng)度）左右脈動（微振）左右05. 003. 03.2 有阻尼自由振動 臨界阻尼和阻尼比圖

6、3.3 低阻尼、臨界阻尼和高阻尼體系的自由振動曲線 3.2 有阻尼自由振動 2.低阻尼體系（Underdamped Systems） 將：代入： 得： 低阻尼體系滿足初始條件的自由振動解：其中：D阻尼體系的自振頻率 nmc222 , 11nnis222 , 1)2(2nmcmcssin)0()0(cos)0()(tuutuetuDDnDtn21nDsteu 22112nnDTTDDT23.2 有阻尼自由振動 2.低阻尼體系（Underdamped Systems） D阻尼體系的自振頻率 TD阻尼體系的自振周期n和Tn分別為無阻尼體系的自振頻率和自振周期(1) 阻尼的存在使體系自由振動的自振頻率

7、變小(2) 阻尼的存在使體系的自振周期變長。當(dāng)1時，自振周期TD=。 21nD21nDTT3.2 有阻尼自由振動 2.低阻尼體系（Underdamped Systems）現(xiàn)場實測：D 和 TD理論計算：n 和 Tn工程中結(jié)構(gòu)的阻尼比在15%之間，一般不超過20%，因此可以用有阻尼與無阻尼計算結(jié)果接近。21nD21nDTT圖3.5 阻尼對自振頻率和自振周期的影響3.2 有阻尼自由振動 (1) 低阻尼體系的阻尼對結(jié)構(gòu)自由振動的影響很大，因而，合理地確定體系的阻尼是結(jié)構(gòu)動力問題研究中的一項重要工作。(2) 由于阻尼對體系的衰減自由振動曲線影響大，通過對體系衰減曲線的分析，可以有效地分辨出不同體系的阻

8、尼比。 3.2 有阻尼自由振動 3.運動的衰減和阻尼比的測量 相鄰振動峰值比： )12exp()exp()()(21DnDiiiiTTtutuuu3.2 有阻尼自由振動 3.運動的衰減和阻尼比的測量 對數(shù)衰減率: 阻尼比計算公式：小阻尼時計算公式：)12exp()exp()()(21DnDiiiiTTtutuuu2112lniiuu2)2(1223.2 有阻尼自由振動 3.運動的衰減和阻尼比的測量 相隔j周的振動峰值比： 對數(shù)衰減率：阻尼比：J50% 振幅衰減至50%所需的次數(shù)2jjijiiiiijiieuuuuuuuu1211jiiuujln1jiiuujln21%50%50%5011. 0

9、2ln21, 2ln1JJJ3.2 有阻尼自由振動 4.自由振動試驗 阻尼比的測量（當(dāng)20%時）： 用位移記錄： 用加速度記錄：結(jié)構(gòu)的自振周期TD的測量： 用相鄰振幅的時間間隔來計算： jiiuujln21jiiuuj ln213.2 有阻尼自由振動 4.自由振動試驗 算例3.1 用自由振動法研究一單層框架結(jié)構(gòu)的性質(zhì)，用一鋼索給結(jié)構(gòu)的屋面施加P=73kN的水平力，使框架結(jié)構(gòu)產(chǎn)生st=5.0cm的水平位移，突然切斷鋼索，讓結(jié)構(gòu)自由振動，經(jīng)過2.0sec，結(jié)構(gòu)振動完成了4周循環(huán)，振幅變?yōu)?.5cm。從以上數(shù)據(jù)計算： 阻尼比； 無阻尼自振周期Tn； 等效剛度k； 等效質(zhì)量m； 阻尼系數(shù)c； 位移振幅

10、衰減到0.5cm時所需的振動周數(shù)。3.2 有阻尼自由振動 4.自由振動試驗 解： 計算阻尼比 ui=5.0cm，j=4，ui+j=2.5cm 代入方程： 得： 結(jié)構(gòu)屬于小阻尼體系 jiiuujln21%)76. 2(0276. 05 . 25ln813.2 有阻尼自由振動 4.自由振動試驗 解： 計算無阻尼自振周期Tn (振動周次：4；時間：2秒) 有阻尼自振周期： 無阻尼自振周期： 對于小阻尼體系，自振周期近似等于無阻尼自振周期 sec5 . 040 . 2DTsec5 . 04998. 00276. 015 . 0122DnTT3.2 有阻尼自由振動 4.自由振動試驗 解： 計算等效剛度k

11、 (外荷載P=73kN，靜位移st=0.05m) 等效質(zhì)量mmkNmkNPkst146005. 073/2nkmtm24. 9)57.12(14602sec57.125 . 022radTnn3.2 有阻尼自由振動 4.自由振動試驗 解： 阻尼系數(shù)c mkNk14600276. 0tm24. 9mskNkmc41. 624. 9146020276. 0)2(mkcmcccncr223.2 有阻尼自由振動 4.自由振動試驗 解： 位移振幅衰減到0.5cm時所需的振動周數(shù) cmuji5 . 00276. 0cmui5jiiuujln21周周 1328.135 . 05ln0276. 021ln21

12、jiiuujjiiuujln213.3自由振動過程中的能量 SDOF體系中能量來源:初始位移和初始速度體系初始時刻具有的總能量:任意t時刻體系的總能量:其中,質(zhì)點的動能EK和彈簧的應(yīng)變能ES ： 22)0(21)0(21umukEI22)(21)(21tukEtumEskSKEEE3.3自由振動過程中的能量 無阻尼體系中的能量: 無阻尼體系自由振動過程中的總能量守恒，不隨時間變化，等于初始時刻輸入的能量。 22)(21)(21tukEtumEsktututunnnsin)0(cos)0()(222sin)0(cos)0(21cos)0(sin)0(21tutukEtutumEnnnsnnnnk

13、IskEumukEEE22)0(21)0(213.3自由振動過程中的能量 有阻尼體系中的能量: 在0至t時刻由粘性阻尼耗散的能量ED為： 阻尼在體系振動過程中始終在消耗能量隨著， t體系中的總能量將完全被阻尼所消耗當(dāng)t時，ED= EI dtucdtuucdufEttDD020)(3.4 庫侖（Coulomb）阻尼自由振動 圖3.9 具有庫侖摩擦阻尼的彈簧質(zhì)點體系 (b)：(c)：其中 -特解 -無阻尼自由振動頻率Fkuum FnnutBtAtusincos)(11Fkuum FnnutBtAtusincos)(22kFuF/mkn/3.4 庫侖（Coulomb）阻尼自由振動 設(shè)在初始時刻t=0

14、初始條件為：在第一個半周循環(huán)（0tTn/2）：由初始條件： 振動解：一個余弦函數(shù)，振幅為u(0)uF，但其中軸向上偏移uF 當(dāng)t=/n(=Tn/2)時，質(zhì)點達(dá)到負(fù)向最大值 ：FnnutBtAtusincos)(110,)0(00ttuuu0,)0(11BuuAFnFnFtutuutu/0,cos)0()(0/2)0()/(nFnuuuu3.4 庫侖（Coulomb）阻尼自由振動 在第二個半周循環(huán)（Tn/2tTn）：在時刻t=Tn/2的條件為：由初始條件： 振動解：振動的振幅為u(0)3uF，但其中軸向下偏移uF 當(dāng)t=2/n(=Tn)時：Fuutu4)0()(FnnutBtAtusincos)(220,3)0(22BuuAFnnFnFtutuutu/2/,cos3)0()(0/2)0()/(nFnuuuu3.4 庫侖（Coulomb）阻尼自由振動 在第三個半周循環(huán)（Tt3Tn/2）：在每一周