一變上限定積分ppt課件

1、假設(shè)假設(shè) x 是區(qū)間是區(qū)間 a, b上恣意一點，定積分上恣意一點，定積分 xattfd)(表示曲線表示曲線 y = f (x) 在部分區(qū)間在部分區(qū)間 a, x 上曲邊梯形上曲邊梯形AaxC 的面積，的面積，如圖中陰影部分所示的面積如圖中陰影部分所示的面積. 當(dāng)當(dāng) x 在在區(qū)間區(qū)間 a, b 上變化時上變化時,陰影部分的曲邊梯形面陰影部分的曲邊梯形面積也隨之變化，積也隨之變化， 所以變所以變上限定積分上限定積分 xattfd)(yxy = f (x)axbOACB是上限變量是上限變量 x 的函數(shù)的函數(shù).記作記作 (x)， 即即).(d)()(bxattfxxa (x)定理定理 1 1 假設(shè)函數(shù)假

2、設(shè)函數(shù) f (x) f (x) 在區(qū)間在區(qū)間 a, b a, b 上延續(xù)，上延續(xù)，那么變上限定積分那么變上限定積分 xattfxd)()( 在區(qū)間在區(qū)間 a, b 上可導(dǎo)，上可導(dǎo)，并且它的導(dǎo)數(shù)等于被積函數(shù)，并且它的導(dǎo)數(shù)等于被積函數(shù)，即即).(d)()(xfttfxxa 證按導(dǎo)數(shù)定義，證按導(dǎo)數(shù)定義，.)()(lim0即即可可證證xfxxx 給自變量給自變量 x 以增量以增量 x，x + x a, b， 由由 (x) 的的定義得對應(yīng)的函數(shù)定義得對應(yīng)的函數(shù) (x) 的量的量 (x)，即即 (x) = (x + x) - (x) xaxxattfttfd)(d)( xaxxxxattfttfttfd)

3、(d)(d)(.d)( xxxttfx + xACbBy = f (x)xyxaO (x)根據(jù)積分中值定理知道，在根據(jù)積分中值定理知道，在 x 與與 x + x 之之 間間至少存在一點至少存在一點 x ， (x) xxxttfd)(xf )( 又由于又由于 f (x) 在區(qū)間在區(qū)間 a, b 上延續(xù)，上延續(xù)， 所以，當(dāng)所以，當(dāng) x 0 時有時有 x x， f (x) f (x)，從而有從而有 (x)xxx )(lim0 ).()(lim0 xff 故故).(d)(xfttfxxa 使使成立成立.定理定理 1 通知我們，通知我們， xxttfxd)()( 是函數(shù)是函數(shù) f (x) 在區(qū)間在區(qū)間

4、a, b 上的一個原函數(shù)，上的一個原函數(shù)， 這就一定了這就一定了延續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的，延續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的， 所以，所以，定理定理 1 也稱為原函數(shù)存在定理也稱為原函數(shù)存在定理.變上限定積分變上限定積分例例 1 1 xttx0,de)(2 已已知知求求 (x).解根據(jù)定理解根據(jù)定理 1，得，得 .ede)(220 xxttx 例例 2 0,d)13cos()(xttxF已已知知求求 F (x).解根據(jù)定理解根據(jù)定理 1，得，得 )(xF 0d)13cos(xtt xtt0d)13cos().13cos( x例例 3 xttx02,d)sin()( 設(shè)設(shè)求求 (x).解解 (x) xxt

5、t02d)sin(xxxxtt)(d)sin(02 .sin21xx 例例 4 2,d13xxtty設(shè)設(shè)解解.ddxy求求xydd xxxtt2d13 xaxxatttt2d1d133 xxaxxatttt2d1d133xxxxttx)(d11203322 .12163xxx 定理定理 2 2 假設(shè)函數(shù)假設(shè)函數(shù) f (x) f (x) 在區(qū)間在區(qū)間a, ba, b上上延續(xù)，延續(xù)，F(xiàn)(x) 是是 f (x) 在區(qū)間在區(qū)間 a, b 上任一原函數(shù)，上任一原函數(shù)，).()(d)(aFbFxxfba 那么那么證由定理證由定理 1 知道知道是是ttfxxad)()( f (x) 在在 a, b 上的一個

6、原函數(shù)，上的一個原函數(shù)， 又 由 題 設(shè) 知又 由 題 設(shè) 知道道 F(x) 也是也是 f (x) 在在 a, b 上一個原函數(shù)，上一個原函數(shù)， 由原由原函數(shù)的性質(zhì)得知，同一函數(shù)的兩個不同原函數(shù)只函數(shù)的性質(zhì)得知，同一函數(shù)的兩個不同原函數(shù)只相差一個常數(shù)，相差一個常數(shù)，即即把把 x = a 代入式中，代入式中，, 0d)()( ttfaaa 即即那么，常數(shù)那么，常數(shù) C = F(a)，于是得于是得. )(d)()( xaaFttfxF. )( d)()( xabxaCttfxF令令 x = b 代入上式中，代入上式中，移項，得移項，得).()(d)(aFbFttfba 再把積分變量再把積分變量 t

7、 換成換成 x，).()(d)(aFbFxxfba 為了今后運用該公式方便起見，把為了今后運用該公式方便起見，把 式右端的式右端的,)()()(baxFaFbF記作記作 這樣這樣 式就寫成如下方式：式就寫成如下方式：).()()(d)(aFbFxFxxfbaba 得得例例 5 5 計算以下定積分計算以下定積分. . 解解;d11)1(102xx .dtan)2(30 xx xxd11)1(102 10arctanx ;40arctan1arctan xxdtan)2(30 30|cos|ln x0cosln3cosln . 2ln 例例 6 6 計算以下定積分計算以下定積分. . 解解;de1e)1(11xxx .dcos)2(462xx xxxde1e)1(11 )e1(de1111xx 11)e1ln( x; 1e11ln)e1ln( xxdcos)2(462 xx d )2cos1(2146 46462d2cos41d21xxx462sin416421 x.834124 解把被積函數(shù)化簡解把被積函數(shù)化簡.例例 8 8 計算計算.dsinsin03xxx xxxdsinsin03 xxxd)sin1(sin02 .d|cos|sin0 xxx xxxxxxd)cos(sindcossin220 xxxxsindsinsindsin2