復(fù)變函數(shù)第4章

1、1第四章 級(jí)數(shù)第一節(jié)第一節(jié) 復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)第二節(jié)第二節(jié) 冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)第三節(jié)第三節(jié) 泰勒級(jí)數(shù)泰勒級(jí)數(shù)第四節(jié)第四節(jié) 洛朗級(jí)數(shù)洛朗級(jí)數(shù)2第二節(jié)第二節(jié) 冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)二、冪級(jí)數(shù)的斂散性二、冪級(jí)數(shù)的斂散性三、冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì)三、冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì)一、冪級(jí)數(shù)的概念一、冪級(jí)數(shù)的概念3一、冪級(jí)數(shù)的概念一、冪級(jí)數(shù)的概念 22100)()()(azcazccazcnnn.zczczcczcnnnnn 22101或或這種級(jí)數(shù)稱為這種級(jí)數(shù)稱為冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù).4二、冪級(jí)數(shù)的斂散性二、冪級(jí)數(shù)的斂散性1.收斂定理收斂定理(阿貝爾阿貝爾Abel定理定理)如果級(jí)數(shù)如果級(jí)數(shù) 0nnnzc)0(0 zz0zz 0zz 0zz

2、, z在在收斂收斂, z那末對(duì)那末對(duì)的的級(jí)數(shù)必絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)必絕對(duì)收斂, 如果如果在在級(jí)數(shù)發(fā)散級(jí)數(shù)發(fā)散, 那末對(duì)滿足那末對(duì)滿足的的級(jí)數(shù)必發(fā)散級(jí)數(shù)必發(fā)散.滿足滿足5xyo . .R收斂圓收斂圓收斂半徑收斂半徑冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù) 0nnnzc的收斂范圍是以原點(diǎn)為中心的圓域的收斂范圍是以原點(diǎn)為中心的圓域.2. 收斂圓與收斂半徑收斂圓與收斂半徑63. 收斂半徑的求法收斂半徑的求法方法方法: 比值法比值法( (定理二定理二) ):, 0lim 1 nnncc如果如果那末收斂半徑那末收斂半徑.1 R注意注意:nnncc1lim 存在且不為零存在且不為零 .定理中極限定理中極限說明說明: 0 0 RR如果如果7pn

3、nnnnncc)1(limlim1 . 11 R所以所以答案答案，因?yàn)橐驗(yàn)閜nnc1 課堂練習(xí)課堂練習(xí) 試求冪級(jí)數(shù)試求冪級(jí)數(shù) 1npnnz)( 為為正正整整數(shù)數(shù)p的收斂半徑的收斂半徑.pnn)11(1lim . 1 8 00)(nnnzzc定理四定理四設(shè)冪級(jí)數(shù)設(shè)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為的收斂半徑為,R那末那末(2)(zf在收斂圓在收斂圓Raz 內(nèi)的導(dǎo)數(shù)可將其冪內(nèi)的導(dǎo)數(shù)可將其冪級(jí)數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)得到級(jí)數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)得到, .)()(11 nnnaznczf即即是收斂圓是收斂圓Raz 內(nèi)的解析函數(shù)內(nèi)的解析函數(shù) . 0)()( nnnazczf它的和函數(shù)它的和函數(shù)(1)三、冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì)三、冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì)9

4、(3)(zf在收斂圓內(nèi)可以逐項(xiàng)積分在收斂圓內(nèi)可以逐項(xiàng)積分, 0.,d)(d )(ncnncRazczazczzf 01.)(1d)( nnnzaazncf 或或簡(jiǎn)言之簡(jiǎn)言之: 在收斂圓內(nèi)在收斂圓內(nèi), , 冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)解析冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)解析; 冪級(jí)數(shù)可逐項(xiàng)求導(dǎo)冪級(jí)數(shù)可逐項(xiàng)求導(dǎo), , 逐項(xiàng)積分逐項(xiàng)積分. .(常用于求和函數(shù)常用于求和函數(shù))即即10第三節(jié)第三節(jié) 泰勒級(jí)數(shù)泰勒級(jí)數(shù)一、泰勒定理二、將函數(shù)展開成泰勒級(jí)數(shù)三、典型例題11一、泰勒定理一、泰勒定理, 2, 1 , 0),(!10)( nzfncnn其中其中泰勒級(jí)數(shù)泰勒級(jí)數(shù)泰勒展開式泰勒展開式定理定理設(shè)設(shè))(zf在區(qū)域在區(qū)域D內(nèi)解析內(nèi)解析,0z

5、為為D 內(nèi)的一內(nèi)的一d為為0z到到D的邊界上各點(diǎn)的最短距離的邊界上各點(diǎn)的最短距離, 那末那末點(diǎn)點(diǎn),dzz 0時(shí)時(shí), 00)()(nnnzzczf成立成立,當(dāng)當(dāng)12說明說明:1.1.任何解析函數(shù)在一點(diǎn)的泰勒級(jí)數(shù)是唯一的任何解析函數(shù)在一點(diǎn)的泰勒級(jí)數(shù)是唯一的. . 2. 如果如果 f (z)在在z0解析解析, , 則使則使 f (z)在在z0的的泰勒展泰勒展開式成立的圓域的半徑開式成立的圓域的半徑 R等于從等于從z0到到 f (z)的距的距z0最近一個(gè)奇點(diǎn)最近一個(gè)奇點(diǎn) 的距離的距離, , 即即R=| z0|. 13二、將函數(shù)展開成泰勒級(jí)數(shù)二、將函數(shù)展開成泰勒級(jí)數(shù)常用方法常用方法: 直接法和間接法直接

6、法和間接法. .1.直接法直接法:,2,1 ,0, )(!10)( nzfncnn. )( 0展開成冪級(jí)數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)在在將函數(shù)將函數(shù)zzf由泰勒展開定理計(jì)算系數(shù)由泰勒展開定理計(jì)算系數(shù)14例如，例如，. 0 的泰勒展開式的泰勒展開式在在求求 zez),2,1 ,0(,1)(0)( neznz故有故有 02! 21nnnznznzzze, 在復(fù)平面內(nèi)處處解析在復(fù)平面內(nèi)處處解析因?yàn)橐驗(yàn)閦e. R所以級(jí)數(shù)的收斂半徑所以級(jí)數(shù)的收斂半徑,)( )(znzee 因?yàn)橐驗(yàn)?5仿照上例仿照上例 , ,)!12()1(! 5! 3sin1253 nzzzzznn)( R,)!2()1(! 4! 21cos242

7、 nzzzznn)( R. 0 cos sin 的泰勒展開式的泰勒展開式在在與與可得可得 zzz162. 間接展開法間接展開法 : 借助于一些已知函數(shù)的展開式借助于一些已知函數(shù)的展開式 , 結(jié)合解析結(jié)合解析函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì), 冪級(jí)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)冪級(jí)數(shù)運(yùn)算性質(zhì) (逐項(xiàng)求導(dǎo)逐項(xiàng)求導(dǎo), 積分積分等等)和其它數(shù)學(xué)技巧和其它數(shù)學(xué)技巧 (代換等代換等) , 求函數(shù)的泰勒展求函數(shù)的泰勒展開式開式.17例如，例如， . 0 sin 的泰勒展開式的泰勒展開式在在利用間接展開法求利用間接展開法求 zz)(21sinizizeeiz 012)!12()1(nnnnz 00!)(!)(21nnnnniznizi18附

8、附: 常見函數(shù)的泰勒展開式常見函數(shù)的泰勒展開式,! 21)102 nnnznznzzze,111)202 nnnzzzzz,) 1() 1(111)302 nnnnnzzzzz,)!12()1(! 5! 3sin)41253 nzzzzznn)1( z)1( z)( z)( z19,)!2()1(! 4! 21cos)5242 nzzzznn)( z,1)1(32)1ln()6132 nzzzzznn 011)1(nnnnz)1( z 32! 3)2)(1(! 2)1(1)1( )7zzzz ,!)1()1( nznn )1( z20例例1 1. )1 (1 2的的冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)展展開開成成把把

9、函函數(shù)數(shù)zz 解解 nnzzzz) 1(11121 z三、典型例題三、典型例題, 11)1(12 zzz上有一奇點(diǎn)上有一奇點(diǎn)在在由于由于,1內(nèi)處處解析內(nèi)處處解析且在且在 z,的冪級(jí)數(shù)的冪級(jí)數(shù)可展開成可展開成 z21 zz11)1 (12. 1,)1(321112 znzzznn上式兩邊逐項(xiàng)求導(dǎo)上式兩邊逐項(xiàng)求導(dǎo),22例例2 2. 0 )1ln( 泰勒展開式泰勒展開式處的處的在在求對(duì)數(shù)函數(shù)的主值求對(duì)數(shù)函數(shù)的主值 zz分析分析, 1 , 1 )1ln( 是它的一個(gè)奇點(diǎn)是它的一個(gè)奇點(diǎn)平面內(nèi)是解析的平面內(nèi)是解析的向左沿負(fù)實(shí)軸剪開的向左沿負(fù)實(shí)軸剪開的在從在從 z. 1 的冪級(jí)數(shù)的冪級(jí)數(shù)內(nèi)可以展開成內(nèi)可以展

10、開成所以它在所以它在zz 如圖如圖,1 Ro1 1xy23zzzzzznnnd)1(d11000 即即 1)1(32)1ln(132nzzzzznn1 z 將展開式兩端沿將展開式兩端沿 C 逐項(xiàng)積分逐項(xiàng)積分, 得得解解zz 11)1ln( 02) 1() 1(1nnnnnzzzz)1( z, 0 1 的曲線的曲線到到內(nèi)從內(nèi)從為收斂圓為收斂圓設(shè)設(shè)zzC 24例例3 3. 231)( 的的冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)展展開開成成把把函函數(shù)數(shù)zzzf 解解231121231zz )23()23(231 212 nzzz 1322223232321nnnzzz,2301 nnnnz. 32, 123 zz即即25例例

11、4 4.cos2的的冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)求求z解解),2cos1(21cos2zz 因?yàn)橐驗(yàn)?! 6)2(! 4)2(! 2)2(12cos642zzzz zzzz! 62! 42! 221664422)2cos1(21cos2zz 所以所以 zzzz! 62! 42! 2216543226第四節(jié)第四節(jié) 洛朗級(jí)數(shù)洛朗級(jí)數(shù)二、洛朗級(jí)數(shù)的概念三、函數(shù)的洛朗展開式一、問題的引入四、典型例題27一、問題的引入一、問題的引入問題問題: . , )( 00的冪級(jí)數(shù)的冪級(jí)數(shù)是否能表示為是否能表示為不解析不解析在在如果如果zzzzf :10 內(nèi)內(nèi)在圓環(huán)域在圓環(huán)域 z例如，例如，10)1(1)( zzzzzf及及在在都

12、不解析都不解析,但在圓環(huán)域但在圓環(huán)域10 z及及110 z內(nèi)都是解析的內(nèi)都是解析的.)1(1)(zzzf ,111zz 28所以所以)1(1)(zzzf ,121 nzzzz即即在在)(zf10 z內(nèi)可以展開成級(jí)數(shù)內(nèi)可以展開成級(jí)數(shù).內(nèi)內(nèi)，在在圓圓環(huán)環(huán)域域110 z也可以展開成級(jí)數(shù)：也可以展開成級(jí)數(shù)：)1(1)(zzzf .)1()1()1(1)1(121 nzzzz nzzzz)1()1()1(1112 )1(1111zz29nnnzzc)(. 10 雙邊冪級(jí)數(shù)雙邊冪級(jí)數(shù)負(fù)冪項(xiàng)部分負(fù)冪項(xiàng)部分正冪項(xiàng)部分正冪項(xiàng)部分主要部分主要部分解析部分解析部分同時(shí)收斂同時(shí)收斂收斂收斂 nnnnzzc)(0nnn

13、nnnzzczzc)()(0001 302.結(jié)論結(jié)論:的的收收斂斂區(qū)區(qū)域域?yàn)闉殡p雙邊邊冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)nnnzzc)(0 .201RzzR 圓環(huán)域圓環(huán)域1R2R.0z常見的特殊圓環(huán)域常見的特殊圓環(huán)域: :2R.0z200Rzz 1R.0z 01zzR 00zz.0z31二、洛朗級(jí)數(shù)的概念二、洛朗級(jí)數(shù)的概念定理定理內(nèi)內(nèi)處處處處解解析析，在在圓圓環(huán)環(huán)域域設(shè)設(shè) )( 201RzzRzf ,)()(0nnnzzczf Cnnzfic d)()(21 10其中其中),1,0( nC為圓環(huán)域內(nèi)繞為圓環(huán)域內(nèi)繞 的任一正向簡(jiǎn)單閉曲線的任一正向簡(jiǎn)單閉曲線. 0z為洛朗系數(shù)為洛朗系數(shù).內(nèi)內(nèi)可可展展開開成成洛洛朗朗級(jí)級(jí)

14、數(shù)數(shù)在在那那末末Dzf )( 32說明說明:函數(shù)函數(shù))(zf在圓環(huán)域內(nèi)的在圓環(huán)域內(nèi)的洛朗展開式洛朗展開式)(zf在圓環(huán)域內(nèi)的在圓環(huán)域內(nèi)的洛朗洛朗(Laurent)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù). nnnzzczf)()(0 1) 2) 某一圓環(huán)域內(nèi)的解析函數(shù)展開為含有正、負(fù)某一圓環(huán)域內(nèi)的解析函數(shù)展開為含有正、負(fù)冪項(xiàng)的級(jí)數(shù)是唯一的，冪項(xiàng)的級(jí)數(shù)是唯一的， 這就是這就是 f (z) 的洛朗級(jí)數(shù)的洛朗級(jí)數(shù). 定理給出了將圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)展為洛朗級(jí)數(shù)定理給出了將圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)展為洛朗級(jí)數(shù)的一般方法的一般方法. .33三、函數(shù)的洛朗展開式三、函數(shù)的洛朗展開式1. 直接展開法直接展開法利用定理公式計(jì)算系數(shù)利用定理公式計(jì)算系

15、數(shù)nc), 2, 1, 0(d)()(2110 nzficCnn 然后寫出然后寫出.)()(0nnnzzczf 缺點(diǎn)缺點(diǎn): 計(jì)算往往很麻煩計(jì)算往往很麻煩.根據(jù)正、負(fù)冪項(xiàng)組成的的級(jí)數(shù)的唯一性根據(jù)正、負(fù)冪項(xiàng)組成的的級(jí)數(shù)的唯一性, 可可用代數(shù)運(yùn)算、代換、求導(dǎo)和積分等方法去展開用代數(shù)運(yùn)算、代換、求導(dǎo)和積分等方法去展開 .2. 間接展開法間接展開法34四、典型例題四、典型例題例例1 1 : )2)(1(1)( 在圓環(huán)域在圓環(huán)域函數(shù)函數(shù) zzzf;10)1 z;21)2 z.2)3 z內(nèi)是處處解析的內(nèi)是處處解析的,試把試把 f (z) 在這些區(qū)域內(nèi)展開成洛朗級(jí)數(shù)在這些區(qū)域內(nèi)展開成洛朗級(jí)數(shù).解解,)2(1)

16、1(1)(zzzf , 10 )1內(nèi)內(nèi)在在 z35oxy1,1 z由于由于 nzzzz2111則則2112121zz )( zf所以所以)1(2 zz 421212zz 2874321zz12 z從而從而 nnzzz2221212236 , 21 )2內(nèi)內(nèi)在在 z12oxyzzz111111 21111zzz1 z由由11 z2 z12 z且仍有且仍有 2112121zz nnzzz2221212237)( zf于是于是 21111zzz 2222121zz 842111121zzzzznn, 2 )3內(nèi)內(nèi)在在 z2oxy2 z由由12 z此時(shí)此時(shí)zzz211121 38 24211zzz,

17、121 zz此時(shí)此時(shí)仍有仍有zzz111111 21111zzz)( zf故故 24211zzz 21111zzz.731432 zzz39例例2 2, 0 內(nèi)內(nèi)在在 z. )( 2展開成洛朗級(jí)數(shù)展開成洛朗級(jí)數(shù)將將zezfz 解解 ! 4! 3! 21143222zzzzzzez ! 4! 3! 211122zzzz本例中圓環(huán)域的中心本例中圓環(huán)域的中心 z = 0 既是各負(fù)冪項(xiàng)的奇點(diǎn)既是各負(fù)冪項(xiàng)的奇點(diǎn),. 2的奇點(diǎn)的奇點(diǎn)也是函數(shù)也是函數(shù)zez40解解 ! 4! 3! 21143222zzzzzzez ! 4! 3! 211122zzzz本例中圓環(huán)域的中心本例中圓環(huán)域的中心 z = 0 既是各負(fù)冪項(xiàng)的奇點(diǎn)既是各負(fù)冪項(xiàng)的奇點(diǎn),