2021年高考甲卷-文科數(shù)學試題（含解析）

1、2021年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（全國甲卷）文科數(shù)學一、選擇題1.設(shè)集合，則（ ）A.B.C.D.答案：B解析：依題意可知，所以.2.為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟情況，對該地農(nóng)戶家庭年收入進行抽樣調(diào)查，將農(nóng)戶家庭年收入的調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖：根據(jù)此頻率分布直方圖，下面結(jié)論不正確的是（ ）A.該地農(nóng)戶家庭年收入低于萬元的農(nóng)戶比率估計為B.該地農(nóng)戶家庭年收入不低于萬元的農(nóng)戶比率估計為C.估計該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值不超過萬元D.估計該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于萬元至萬元之間答案：C解析：A.低于萬元的比率估計為，正確.B.不低于萬元的比率估計為，正確.C.平均值為萬元，不正確

2、.D.萬到萬的比率為，正確.3.已知，則（ ）A.B.C.D.答案：B解析：.4.下列函數(shù)中是增函數(shù)的是（ ）A.B.C.D.答案：D解析：，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，故A，B，C錯誤；在上單調(diào)遞增，故D正確.5.點到雙曲線的一條漸近線的距離為（ ）A.B.C.D.答案：A解析：雙曲線的漸近線為，則點到雙曲線的一條漸近線的距離為.6.青少年視力是社會普遍關(guān)注的問題，視力情況可借助視力表測量，通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)和小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)滿足.已知某同學視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為，則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)約為（）（ ）A.B.C.D.答案：C解析：代入，知，故.7

3、.在一個正方體中，過頂點的三條棱的中點分別為，該正方體截去三棱錐后，所得多面體的三視圖中，正視圖如圖所示，則相應(yīng)的側(cè)視圖是（ ）A.B.C.D.答案：D解析：由題可得直觀圖，如下圖.故選D.8.在中，已知，則（ ）A.B.C.D.答案：D解析：由余弦定理可得，解得.9.記為等比數(shù)列的前項和.若，則（ ）A.B.C.D.答案：A解析：由等比數(shù)列的性質(zhì)可知：成等比數(shù)列，即成等比數(shù)列，所以，即，故選A.10.將個和個隨機排成一行，則個不相鄰的概率為（ ）A.B.C.D.答案：C解析：求出所有的排列數(shù)，先將個排成一排，有個空位，當每個空位排一個，即從個空位中選個，有種排法，此時個不相鄰；當兩個相鄰時，

4、即從個空位中選出一個來排兩個，有種選法，從而總的排法數(shù)有個，再根據(jù)古典概型概率公式可得概率，故選C.11.若，則（ ）A.B.C.D.答案：A解析：.又.如圖，.12.設(shè)是定義域為的奇函數(shù)，且.若，則（ ）A.B.C.D.答案：C解析：是定義在上的奇函數(shù)，周期為的周期函數(shù).二、填空題13.若向量滿足，則 .答案：解析：，.14.已知一個圓錐的底面半徑為，其體積為，則該圓錐的側(cè)面積為 .答案：解析：圓錐底面半徑，體積，則圓錐的高，則母線長，則圓錐的側(cè)面積.15.已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，則 .答案：解析：由圖可知，由，所以.16.已知，為橢圓的兩個焦點，為上關(guān)于坐標原點對稱的兩點，且，則四邊形

5、的面積為 .答案：解析：答案：解析：如圖，由及橢圓對稱性可知，四邊形為矩形.設(shè)，則，得.所以，四邊形面積為.三、解答題17.甲、乙兩臺機床生產(chǎn)同種產(chǎn)品，產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級品和二級品，為了比較兩臺機床產(chǎn)品的質(zhì)量，分別用兩臺機床各生產(chǎn)了件產(chǎn)品，產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計如下表：（1）甲機床、乙機床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級品的頻率分別是多少？（2）能否有的把握認為甲機床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異？附：，答案：見解析解析：（1）由表格數(shù)據(jù)得：甲機床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級品的頻率為；乙機床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級品的頻率為；（2）由題意.所以有的把握認為甲機床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異.18.記為數(shù)列的前項和，已知，

6、且數(shù)列是等差數(shù)列，證明：是等差數(shù)列.答案：見解析解析：為等差數(shù)列，設(shè)公差為.，即.，.，即，又同樣滿足通項公式，所以是等差數(shù)列.19已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)面AA1B1B為正方形ABBC2，E，F(xiàn)分別為AC和CC1的中點，BFA1B1(1)求三棱錐FEBC的體積；(2)已知D為棱A1B1上的點，證明：BFDE答案：見解析；解析；（1），則.又則.,.（2）連，取中點連，由為，的中點，則，又，則共面，故面.又在側(cè)面中，則又，則.20.設(shè)函數(shù)，其中.（1）討論的單調(diào)性；（2）若的圖象與軸沒有公共點，求的取值范圍.答案：見解析解析：（1），當時函數(shù)單調(diào)遞減，當時，函數(shù)單調(diào)遞增.在上遞減

7、，在上遞增，（2）當時，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性可知若與無交點時即.化簡可得即.所以參數(shù)的取值范圍為21.拋物線的頂點為坐標原點，焦點在軸上，直線交于，兩點，且，已知點，且與相切.（1）求，的方程；（2）設(shè)，是上的三個點，直線，均與相切，判斷直線與的位置關(guān)系，并說明理由.答案：見解析解析：（1），.（2）設(shè)，.，所以.，所以.所以，是方程的兩根.又，所以.所以，即直線與相切.22.在直角坐標系中，以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）將的極坐標方程化為直角坐標方程；（2）設(shè)點的直角坐標為，為上的動點，點滿足，寫出的軌跡的參數(shù)方程，并判斷與是否有公共點.答案：見解析解析：（1）.（2）設(shè)，由.又在上，所以.則為為圓心，半徑為的圓，所以所以，兩圓