浙江科技學(xué)院線性代數(shù)向量組的線性相關(guān)性與兩個(gè)向量組之間的關(guān)系

1、13.2向量組的線性相關(guān)性與兩向量組的線性相關(guān)性與兩個(gè)向量組之間的關(guān)系個(gè)向量組之間的關(guān)系定義定義1 1對(duì)于對(duì)于n維向量維向量12,m 12,mk kk如果存在一組數(shù)如果存在一組數(shù) 使使1122mmkkk稱稱 是向量組是向量組 的一個(gè)的一個(gè)線性組合線性組合， 12,m 或者或者 可由向量組可由向量組 線性表示線性表示。 12,m 一、向量組的線性相關(guān)性一、向量組的線性相關(guān)性mmxxx1122即線性方程組即線性方程組有解。有解。3給定向量組給定向量組12 :,mA 如果存在不全為零的數(shù)如果存在不全為零的數(shù)12,mk kk使使11220mmkkk則稱向量組則稱向量組A是是線性相關(guān)線性相關(guān)的；的；否則

2、稱向量組否則稱向量組A是是線性無關(guān)線性無關(guān)的。的。定義定義2 2即當(dāng)且僅當(dāng)即當(dāng)且僅當(dāng)120mkkk 時(shí)，時(shí)，11220mmkkk才成立才成立. .4線性相關(guān)線性相關(guān)向量組中至少有一個(gè)向量能由其余向量組中至少有一個(gè)向量能由其余m-1-1個(gè)向量線性表示個(gè)向量線性表示. .12,m 定理定理1 15若若11220mmkkk 其中其中,1,2,ik im 不全為不全為0 0。不妨設(shè)不妨設(shè) 10k ，則，則 32123111,mmkkkkkk 即即1 是向量組是向量組 23,m的線性組合，的線性組合，也即也即中必有一個(gè)向量能由其余中必有一個(gè)向量能由其余m-1個(gè)向量線性表示。個(gè)向量線性表示。 12,m 能

3、由其余能由其余m-1個(gè)向量線性表示，個(gè)向量線性表示， 不妨設(shè)不妨設(shè) m則則 112211,mmm 中若有一向量，中若有一向量， 12,m 即即112211( 1)0,mmm 所以所以12,m 線性相關(guān)。線性相關(guān)。6注注:1.1.單個(gè)向量單個(gè)向量0, （1 1）0,k 只有只有k取取0 0時(shí)才成立時(shí)才成立線性無關(guān)線性無關(guān). . 所以，單個(gè)向量所以，單個(gè)向量（2 2）0, k取任何值都成立取任何值都成立線性相關(guān)線性相關(guān). . 所以，單個(gè)向量所以，單個(gè)向量0,k 62.2. n維單位坐標(biāo)向量組維單位坐標(biāo)向量組12(1,0,0)(0,1,0)(0,0,1)n 線性無關(guān)線性無關(guān). .任一任一n維向量維向

4、量 可以由可以由 線性表示，線性表示， 12(,)na aa 12,n 事實(shí)上，事實(shí)上，1122.nnaaa 3.3.231224574xyzxyzxyz 通過方程組的初等變換，第三個(gè)方程的所有系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)全通過方程組的初等變換，第三個(gè)方程的所有系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)全化為化為0 0，所以這個(gè)方程在方程組中是，所以這個(gè)方程在方程組中是多余多余的，在解方程時(shí)，的，在解方程時(shí)，可以去掉它。可以去掉它。線性方程組有無多余方程相當(dāng)于方程組對(duì)應(yīng)的向量組中線性方程組有無多余方程相當(dāng)于方程組對(duì)應(yīng)的向量組中有無向量能由其余向量線性表示。有無向量能由其余向量線性表示。12 :,mA 線性相關(guān)線性相關(guān)4.4.11220mm

5、xxx 即即0Ax 有非零解有非零解812,m 線性無關(guān)線性無關(guān), ,，12,m 線性相關(guān)線性相關(guān). .定理定理2 2 能由能由線性表示線性表示，且表示法唯一，且表示法唯一.12,m 定理定理3 3若一個(gè)向量組中有一部分向量組線性相關(guān)若一個(gè)向量組中有一部分向量組線性相關(guān)整個(gè)向量組線性相關(guān)。整個(gè)向量組線性相關(guān)。如果一個(gè)向量組線性無關(guān)如果一個(gè)向量組線性無關(guān)它的任何一個(gè)部分向量組必線性無關(guān)。它的任何一個(gè)部分向量組必線性無關(guān)。推論推論1 1任意一個(gè)包含零向量的向量組必線性相關(guān)。任意一個(gè)包含零向量的向量組必線性相關(guān)。推論推論2 2例例1 1123(0,1,2,3) ,(2,2,3,1) ,( 1,2,1

6、,2) ,(2,1, 1, 2)TTTT 問問 是否可由是否可由 線性表示？線性表示？ 123, 無解。無解。11, 0)()( 133322211 xxx）（即即, 0)()() 332221131 xxxxxx（亦亦即即線性無關(guān)，故有線性無關(guān)，故有，因因321 . 0 , 0 , 0 322131xxxxxx證明：證明： 123,xxx設(shè)有設(shè)有1 122330,x bx bx b 使使 10111020,011 所以方程組只有零解所以方程組只有零解 1230,xxx 即即 123,b b b線性無關(guān)。線性無關(guān)。已知向量組已知向量組 線性無關(guān)，線性無關(guān)，例例2 2123, 112223331

7、,bbb 試證：試證： 線性無關(guān)。線性無關(guān)。123,b b b12P86 P86 定理定理2 2 ( )( , )AxbR AR A b有解1212(,)(, ) ，mmRRb向量向量 b 能由向量組能由向量組 A 線性表示線性表示12 :, mA13定義定義3 3設(shè)有兩個(gè)向量組設(shè)有兩個(gè)向量組12 ( ):,mI 12():,sII 若組（若組（I I ) ) 中的每個(gè)向量都能由組（中的每個(gè)向量都能由組（II II ) ) 線性表示，線性表示，則稱則稱向量組（向量組（I I ) )可由向量組（可由向量組（II II ) )線性表示線性表示; ;若兩個(gè)向量組可以若兩個(gè)向量組可以互相互相線性表示，

8、則稱這兩個(gè)向線性表示，則稱這兩個(gè)向量組量組等價(jià)等價(jià)。二、兩個(gè)向量組間的關(guān)系二、兩個(gè)向量組間的關(guān)系（1）反身性）反身性（2）對(duì)稱性）對(duì)稱性（3）傳遞性）傳遞性等價(jià)關(guān)系的性質(zhì)：等價(jià)關(guān)系的性質(zhì)：14若記若記12 (,),sA 12(,)tB B能由能由A線性表示，線性表示，即對(duì)每個(gè)向量即對(duì)每個(gè)向量(1,2, ),jjt 12,jjsjkkk存在數(shù)存在數(shù)使得使得1122jjjsjskkk1212,),jjssjkkk （12,)t （則則11121212221212,)ttsssstkkkkkkkkk （這一線性表示的這一線性表示的系數(shù)矩陣系數(shù)矩陣15P88 P88 定理定理4 4()( ,)R AR A B AXB 有解有解定理定理4 4向量組向量組B 能由向量組能由向量組A 線性表示線性表示12 :,sA 12:,tB( )( ,)R AR A B ()( )( ,)R AR BR A B推論推論與與等價(jià)等價(jià)12 :,sA 12:,tB16. 線性組合與線性表示的概念；線性組合與線性表示的概念；. 線性相關(guān)與線性無關(guān)的概