橢圓離心率的解法

1、橢圓離心率的解法橢圓的幾何性質(zhì)中，對(duì)于離心率和離心率的取值范圍的處理，同學(xué)們很茫然，沒有方向性。題型變化很多，難以駕馭。以下，總結(jié)一些處理問題的常規(guī)思路，以幫助同學(xué)們理解和解決問題。一、 運(yùn)用幾何圖形中線段的幾何意義?；A(chǔ)題目：如圖，O為橢圓的中心，F(xiàn)為焦點(diǎn)，A為頂點(diǎn)，準(zhǔn)線L交OA于B，P、Q在橢圓上，PDL于D，QFAD于F,設(shè)橢圓的離心率為e，則e=e=e=e=e=DBFOBBBAPQ評(píng)：AQP為橢圓上的點(diǎn)，根據(jù)橢圓的第二定義得，。AO=a,OF=c,有；AO=a,BO= 有。題目1：橢圓 +=1(a>b >0)的兩焦點(diǎn)為F1 、F2 ，以F1F2為邊作正三角形，若橢圓恰好平分

2、正三角形的兩邊，則橢圓的離心率e？BAF2F1思路：A點(diǎn)在橢圓外，找a、b、c的關(guān)系應(yīng)借助橢圓，所以取AF2 的中點(diǎn)B，連接BF1 ,把已知條件放在橢圓內(nèi)，構(gòu)造F1BF2分析三角形的各邊長及關(guān)系。解：F1F2=2c BF1=c BF2=cc+c=2a e= = -1 變形1：橢圓 +=1(a>b >0)的兩焦點(diǎn)為F1 、F2 ，點(diǎn)P在橢圓上，使OPF1 為正三角形，求橢圓離心率？ OOOOOOOOOOOOOOOOOOOPF1F2 F2F22解：連接PF2 ,則OF2=OF1=OP,F1PF2 =90°圖形如上圖，e=-1 變形2: 橢圓 +=1(a>b >0)

3、的兩焦點(diǎn)為F1 、F2 ，AB為橢圓的頂點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)，且PF1 X軸，PF2 AB,求橢圓離心率？BAF2F1PO 解：PF1= F2 F1=2c OB=b OA=aPF2 AB = 又 b= a2=5c2 e=點(diǎn)評(píng)：以上題目，構(gòu)造焦點(diǎn)三角形，通過各邊的幾何意義及關(guān)系，推導(dǎo)有關(guān)a與c的 方程式，推導(dǎo)離心率。二、運(yùn)用正余弦定理解決圖形中的三角形題目2：橢圓 +=1(a>b >0)，A是左頂點(diǎn)，F(xiàn)是右焦點(diǎn)，B是短軸的一個(gè)頂點(diǎn)，ABF=90°，求e?FBAO 解：AO=a OF=c BF=a AB=a2+b2+a2 =(a+c)2 =a2+2ac+c2 a2-c2-ac=

4、0 兩邊同除以a2 e2+e-1=0 e= e=(舍去)變形：橢圓 +=1(a>b >0)，e=, A是左頂點(diǎn)，F(xiàn)是右焦點(diǎn)，B是短軸的一個(gè)頂點(diǎn)，求ABF？點(diǎn)評(píng)：此題是上一題的條件與結(jié)論的互換，解題中分析各邊，由余弦定理解決角的問題。答案：90°引申：此類e=的橢圓為優(yōu)美橢圓。性質(zhì)：1、ABF=90°2、假設(shè)下端點(diǎn)為B1 ,則ABFB1 四點(diǎn)共圓。3、焦點(diǎn)與相應(yīng)準(zhǔn)線之間的距離等于長半軸長?？偨Y(jié)：焦點(diǎn)三角形以外的三角形的處理方法根據(jù)幾何意義，找各邊的表示，結(jié)合解斜三角形公式，列出有關(guān)e的方程式。題目3：橢圓 +=1(a>b >0)，過左焦點(diǎn)F1 且傾斜角

5、為60°的直線交橢圓與AB兩點(diǎn)，若F1A=2BF1,求e?解：設(shè)BF1=m 則AF2=2a-am BF2=2a-m在AF1F2 及BF1F2 中，由余弦定理得：兩式相除 =e=題目4：橢圓 +=1(a>b >0)的兩焦點(diǎn)為F1 （-c，0）、F2 (c,0)，P是以F1F2為直徑的圓與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)，且PF1F2 =5PF2F1 ,求e?分析：此題有角的值，可以考慮正弦定理的應(yīng)用。解：由正弦定理： = = 根據(jù)和比性質(zhì)：= 變形得： = =ePF1F2 =75°PF2F1 =15° e= =點(diǎn)評(píng)：在焦點(diǎn)三角形中，使用第一定義和正弦定理可知e=變形1：橢

6、圓 +=1(a>b >0)的兩焦點(diǎn)為F1 （-c，0）、F2 (c,0)，P是橢圓上一點(diǎn)，且F1PF2 =60°，求e的取值范圍？分析：上題公式直接應(yīng)用。解：設(shè)F1F2P=，則F2F1P=120°-e= e<1變形2：已知橢圓+ =1 (t>0) F1F2 為橢圓兩焦點(diǎn)，M為橢圓上任意一點(diǎn)（M不與長軸兩端點(diǎn)重合）設(shè)PF1F2 =,PF2F1 =若<tan < tan <,求e的取值范圍？分析：運(yùn)用三角函數(shù)的公式，把正弦化正切。解;根據(jù)上題結(jié)論e= =e << <e<三、 以直線與橢圓的位置關(guān)系為背景，用設(shè)而不

7、求的方法找e所符合的關(guān)系式.題目5：橢圓 +=1(a>b >0)，斜率為1，且過橢圓右焦點(diǎn)F的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，+與=(3,-1)共線，求e?B(X2,Y2)A(X1,Y1)O法一：設(shè)A(x1,y1) ,B(x2,y2)(a2+b2)x2-2a2cx+a2c2-a2b2=0 x1+x2= y1+y2=-2c= +=(x1+x2,y1+y2)與（3，-1）共線，則-（x1+x2）=3(y1+y2)既 a2=3b2 e= 法二：設(shè)AB的中點(diǎn)N，則2=+ - 得：=- 1=- (-3) 既a2=3b2 e=四、 由圖形中暗含的不等關(guān)系，求離心率的取值范圍。題目6：橢圓 +=1(a&

8、gt;b >0)的兩焦點(diǎn)為F1 （-c，0）、F2 (c,0)，滿足1·2 =0的點(diǎn)M總在橢圓內(nèi)部，則e的取值范圍？F2MF1O分析：1·2 =0以F1F2 為直徑作圓，M在圓O上，與橢圓沒有交點(diǎn)。解：c<b a2=b2+c2 >2c2 0<e<題目7：橢圓 +=1(a>b >0)的兩焦點(diǎn)為F1 （-c，0）、F2 (c,0)，P為右準(zhǔn)線L上一點(diǎn)，F(xiàn)1P的垂直平分線恰過F2 點(diǎn)，求e的取值范圍？MPF2F1O分析：思路1,如圖F1P與 F2M 垂直，根據(jù)向量垂直，找a、b、c的不等關(guān)系。 思路2：根據(jù)圖形中的邊長之間的不等關(guān)系，求e解法一：F1 （-c，0） F2 (c,0) P(,y0 ) M(,)既(, ) 則1 =-( +c, y0 ) 2 =-( -c, ) 1·2 =0 ( +c, y0 ) ·( -c, )=0 ( +c)·( -c)+ =0a2-3c20 e<1解法2：F1F2=PF2=2c PF2-c 則2c-c 3c3c2a2 則e<1總結(jié)：對(duì)比兩種方法，不難看出法一具有代