數(shù)學(xué)建模五步法與靈敏分析

1、靈敏度分析簡介：研究與分析一個系統(tǒng)（或模型）的狀態(tài)或輸出變化對系統(tǒng)參數(shù)或周圍條件變化的敏感程度的方法。在最優(yōu)化方法中經(jīng)常利用靈敏度分析來研究原始數(shù)據(jù)不準確或發(fā)生變化時最優(yōu)解的穩(wěn)定性。通過靈敏度分析還可以決定哪些參數(shù)對系統(tǒng)或模型有較大的影響。因此，靈敏度分析幾乎在所有的運籌學(xué)方法中以及在對各種方案進行評價時都是很重要的。用途：主要用于模型檢驗和推廣。簡單來說就是改變模型原有的假設(shè)條件之后，所得到的結(jié)果會發(fā)生多大的變化。舉例（建模五步法）：一頭豬重200磅，每天增重5磅，飼養(yǎng)每天需花費45美分。豬的市場價格為每磅65美分，但每天下降1美分，求出售豬的最佳時間。建立數(shù)學(xué)模型的五個步驟：1. 提出問題

2、2. 選擇建模方法3. 推到模型的數(shù)學(xué)表達式4. 求解模型5. 回答問題第一步：提出問題將問題用數(shù)學(xué)語言表達。例子中包含以下變量：豬的重量w（磅），從現(xiàn)在到出售豬期間經(jīng)歷的時間t（天），t天內(nèi)飼養(yǎng)豬的花費C（美元），豬的市場價格p（美元/磅），出售生豬所獲得的收益R（美元），我們最終要獲得的凈收益P（美元）。還有一些其他量，如豬的初始重量200磅。（建議先寫顯而易見的部分）豬從200磅按每天5磅增加（w磅）=（200磅）+（5磅/天）*（t天）飼養(yǎng)每天花費45美分（C美元）=（0.45美元/天）*（t天）價格65美分按每天1美分下降（p美元/磅）=（0.65美元/磅）-（0.01美元/磅）*（

3、t天）生豬收益（R美元）=（p美元/磅）*（w磅）凈利潤（P美元）=（R美元）-（C美元）用數(shù)學(xué)語言總結(jié)和表達如下：參數(shù)設(shè)定：t=時間（天）w=豬的重量（磅）p=豬的價格（美元/磅）C=飼養(yǎng)t天的花費（美元）R=出售豬的收益（美元）P=凈收益（美元）假設(shè)：w=200+5tC=0.45tR=p*wP=R-Ct=0目標：求P的最大值第二步：選擇建模方法本例采用單變量最優(yōu)化問題或極大極小化問題第三步：推導(dǎo)模型的數(shù)學(xué)表達式子P=R-C （1）R=p*w （2）C=0.45t （3）得到R=p*w-0.45tp=0.65-0.01t （4）w=200+5t （5）得到P=（0.65-0.01t)(200

4、+5t)-0.45t令y=P是需最大化的目標變量，x=t是自變量，現(xiàn)在我們將問題轉(zhuǎn)化為集合S=x:x=0上求函數(shù)的最大值：y=f（x）=（0.65-0.01x)(200+5x)-0.45x （1-1）第四步：求解模型用第二步中確定的數(shù)學(xué)方法解出步驟三。例子中，要求（1-1）式中定義的y=f（x）在區(qū)間x=0上求最大值。下圖給出了（1-1）的圖像和導(dǎo)數(shù)（應(yīng)用幾何畫板繪制）。在x=8為全局極大值點，此時f（8）=133.20。因此（8，133.20）為f在整個實軸上的全局極大值點，同時也是區(qū)間x=0上的最大值點。第五步：回答問題根據(jù)第四步，8天后出售生豬的凈收益最大，可以獲得凈收益133.20美元

5、。只要第一步中的假設(shè)成立，這一結(jié)果正確。數(shù)學(xué)建模五步方法總結(jié)：第一步：提出問題（1） 列出問題中涉及的變量，包括適當(dāng)?shù)膯挝?；?） 注意不要混淆變量和常量；（3） 列出你對變量所做的全部假設(shè)，包括等式和不等式；（4） 檢查單位從而保證你的假設(shè)有意義；（5） 用準確的數(shù)學(xué)術(shù)語給出問題的目標。第二步：選擇建模方法（1） 選擇解決問題的一個一般的求解方法；（2） 一般地，這一步的成功需要經(jīng)驗，技巧和熟悉相關(guān)文獻。第三步：推導(dǎo)模型的數(shù)學(xué)表達式（1） 將第一步中得到的問題重新表達成第二步選定的建模方法所需要的形式；（2） 將第一步中的一些變量名改成與第二步所用的記號一致；（3） 記下任何補充假設(shè)，這些假

6、設(shè)是為了使第一步中描述的問題與第二步中選定的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)相適應(yīng)而做出的。第四步：求解模型（1） 將第二步中所選用的一般求解過程應(yīng)用于第三步得到表達式的特定問題；（2） 注意你的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，檢查是否有錯誤，你的答案是否有意義；（3） 采用適當(dāng)?shù)募夹g(shù)，計算機代數(shù)系統(tǒng)，圖形工具，數(shù)值計算的軟件等，都能擴大你能解決問題的范圍，并能減少計算錯誤。第五步：回答問題（1） 用非技術(shù)性的語言將第四步的結(jié)果重新表述；（2） 避免數(shù)學(xué)符號和術(shù)語；（3） 能理解出處提出的問題的人就應(yīng)該能理解你給出的答案。靈敏度分析數(shù)據(jù)是由測量，觀察有時甚至完全猜測得到的，因此，我們要考慮數(shù)據(jù)不準確的可能性。上例中，生豬現(xiàn)在的重量，現(xiàn)在的

7、價格，每天飼養(yǎng)花費都很容易測量，而且有相當(dāng)大的確定性。但是豬的生長率則不那么確定，而價格的下降率則確定性更低，記r為價格的下降率，現(xiàn)在假設(shè)r的實際值不同，對幾個不同的r值重復(fù)前面的求解過程，我們會對問題的解關(guān)于r的敏感程度有所了解。下表給出了幾個不同r值求出的計算結(jié)果。根據(jù)表格繪制圖形，我們可以看到售豬的最優(yōu)時間對參數(shù)r很敏感。r（美元/天）x（天）0.00815.00.00911.10.0108.00.0115.50.0123.3對靈敏度的更系統(tǒng)的分析是將r視為未知參數(shù)，按前面的步驟求解，寫出p=0.65-rt。得到y(tǒng)=f（x）=（0.65-rx）（200+5x）-0.45x。使得導(dǎo)數(shù)為0，

8、得到x=（7-500r）/25r，當(dāng)x=0時，只要0r=0時，得到g=3.769。我們將靈敏度數(shù)據(jù)用相對改變量表示，例如：r下降10%導(dǎo)致了x增加了39%，而g下降了10%導(dǎo)致了x下降了34%。如果x的改變量x，則x/x表示相對改變量。如果r改變了r，導(dǎo)致了x有x的改變量，則相對改變量的比值為（x/x）/（r/r），令r0，我們有（x/x）/（r/r）（dx/dr）*（r/x）。我們稱這個極限值為x對r的靈敏度，即為S（x，r）。在售豬問題中，r=0.01和x=8得到dx/dr=-7/25r2=-2800，因此S（x，r）=(dx/dr)*(r/x)=-2800*(0.01/8)=-7/2，即

9、若r增加2%，則x下降7%。由于dx/dg=245/2g2=4.9,我們有S（x，g）=(dx/dg)*(g/x)=4.9*（5/8）=3.0625。于是豬的生長率增加1%，會導(dǎo)致大約等待3%的時間再將豬售出。靈敏度分析的成功應(yīng)用要有較好的判斷力，通常即不可能對模型中的每個參數(shù)都計算靈敏度分析，也沒有特別的要求。我們需要選擇那些有較大不確定性的參數(shù)進行靈敏度分析。對靈敏度系數(shù)的解釋還要依賴與參數(shù)的不確定程度，主要問題是數(shù)據(jù)的不確定程度影響答案的置信度。在這個問題中，我們通常認為豬的生長率g比價格下降率r更可靠。如果我們觀察了豬或者其他類似動物在過去的生長情況，則g有25%的誤差會是很不尋常的，

10、但對r的估計有25%的誤差則不足為奇。數(shù)學(xué)模型的穩(wěn)健性一個數(shù)學(xué)模型稱為穩(wěn)健的，是指即使這個模型不完全精確，由其導(dǎo)出的結(jié)果也是正確的。在實際問題中，我們不會有絕對準確的信息，即使能夠建立一個完美的精確模型，我們也可能采取較為簡單和易于處理的方法。出于數(shù)學(xué)處理的方便和簡化的目的，常常要做一些假設(shè)，建模者有責(zé)任要考察這些假設(shè)是否太特殊，以致使模型的結(jié)果無效。上例中我們主要是假設(shè)豬的重量和每磅的價格都是時間線性函數(shù)。假設(shè)一年后，豬的重量為200+5*365=2025磅，賣出收益為0.65-0.01*365=-3美元/磅。一個更為實際的模型應(yīng)該考慮到這些函數(shù)的非線性性，又考慮到隨著時間的推移不確定性的增加?？疾焓圬i問題中的線性假設(shè)。基本方程為P=pw-0.45t。如果模型初始數(shù)據(jù)和假設(shè)沒有與實際相差太遠，則售豬的最佳時間應(yīng)該有令P求導(dǎo)為0得到。計算后有pw+pw=0.45，得到只要豬價比飼養(yǎng)的費用增長快，就應(yīng)暫時不賣出。其中，pw為價格下降帶來的損失，pw為豬增重而增加的價值?？紤]更一般的模型的情況，豬的未來增長和