數列函數的極限

1、第二講.授課題目（章節(jié)）§1.1 數列的極限 §1.3 函數的極限.教學目的與要求1. 理解數列極限與函數極限的概念；明確極限是描述變量的變化趨勢；了解極限的定義中的的含義2. 理解極限的性質.教學重點與難點：重點：數列極限與函數極限的概念難點：極限的定義.講授內容：§1.1數列極限的定義一 列極限的定義定義：設為一數列，如果存在常數a，對于任意給定的正數（不論它多么小），總存在正整數N，使得n>N時,不等式都成立,那么就常數a是數列的極限,或者稱數列收斂與a,記為.如果不存在這樣的常數a,就說數列沒有極限,或者說數列是 發(fā)散的,習慣上也說不存在.例1.證明

2、數列2,的極限是1.證:小于任意給定的正數,只要.所以,則當n>N時,就有<,即例2.設證明等比數列的極限是0.證:,因為 要使取自然對數,得,取時,就有.二 斂數列的性質定理1（極限的唯一性）：如果收斂，則它的極限唯一證明用反證法.假設同時有.因為時,不等式都成立.同理,因為時,不等式都成立.取(這式子表示中較大的那個數),則當時,(2)式及(3)式會同時成立.但由(2)式有由(3)式有,這是不可能的.這矛盾證明了本定理的斷言.數列的有界性概念定義：對于數列,如果存在著正數M,使得對于一切都滿足不等式,則稱數列是有界的;如果這樣的正數M不存在,就說數列是無界的.定理2（收斂數列的

3、有界性）如果收斂，則數列一定有界定理3：（收斂數列的保號性）如果且a>0（或a<0）那么存在正整數N>0，當n>N時，都有>0（或<0）推論：如果從某項起有0（或0）且子數列的概念：在數列中任意抽取無限多項并保持這些項在原數列中的先后次序,這樣得到的一個數列稱為原數列的子數列(或子列).設在數列中,第一次抽取,第二次在后抽取,第三次在后抽取,這樣無休止地抽取下去,得到一個數列,這個數列就是的一個子數列.定理4.（收斂數列與其子數列間的關系）如果收斂于a，則它的任一子數列也收斂，且極限也是a§1.3 函數的極限一、函數極限的定義1.自變量趨于有限值時

4、函數的極限定義1：設函數的某一去心鄰域內有定義.如果存在常數A,對于任意給定的正數(不論它多么小),總存在正數,使得當x滿足不等式時,對應的函數值都滿足不等式,那么常數A就叫做函數時的極限,記作.例1. 證明證明:這里,函數在點x=1是沒有定義的餓，但是函數當是的極限存在或不存在與它并無關系.事實上,約去非零因子x-1，就化為 ，因此，只要取，那么當時，就有所以 單側極限的概念：上述時函數的極限概念中，x是既從的左側也從的右側趨于的.但有時只能或只需考慮x僅從的左側趨于(記作)的情形,或x僅從的右側趨于(記作)的情形.在的情形,x在的左側,.在的定義中,把改為,那么A就叫做函數當時的左極限,記

5、作或.類似的,在的定義中,把改為,那么A就叫做函數當時的右極限,記作或.右極限與左極限統稱為單側極限.解:仿例3可證當時的左極限而右極限,因為左極限和右極限存在但不相等,所以不存在. 2.自變量趨于無窮大時函數的極限定義2：設函數當大于某一正數時有定義.如果存在常數A,對于任意給定的正數(不論它多么小),總存在著正數X,使得當x滿足不等式時,對應的函數值都滿足不等式,那么常數A就叫做函數當時的極限,記作或.定義2可簡單地表達為:時有.例3:證明證：時，不等式成立.因這個不等式相當于或由此可知,如果取,那么當成立.這就證明了一 數極限的性質：定理1（函數極限的唯一性）：如果存在，則這極限必唯一定

6、理2（函數極限的局部有界性）:如果,那么存在常數M>0和,使得當.證:因為=A,所以取=1,則時,有,記則定理2就獲證明.定理3（函數極限的局部保號性）:如果,而且,那么存在常數,使得當時,有).如果=A，而且A>0（或A<0），那么存在常數>0，使得當時，有f (x )>0 ( 或f (x ) <0 )推論：如果在的某去心鄰域內而且，那么,定理4（函數極限與數列極限的關系）如果極限存在，為函數f (x)的定義域內任意收斂于的數列，且滿足：，那么相應的函數列必收斂，且.小結與提問：小結：極限定義是本講的難點，必須結合極限的直觀描述和集合解釋弄懂其本質。要逐步掌握放大法的技巧。提問：思考題