水文地質(zhì)流域盆地地理要素主成分分析實(shí)例

1、水文地質(zhì)流域盆地地理要素主成分分析實(shí)例  地理環(huán)境是多要素的復(fù)雜系統(tǒng)，在我們進(jìn)行地理系統(tǒng)分析時(shí)，多變量問(wèn)題是經(jīng)常會(huì)遇到的。變量太多，無(wú)疑會(huì)增加分析問(wèn)題的難度與復(fù)雜性，而且在許多實(shí)際問(wèn)題中，多個(gè)變量之間是具有一定的相關(guān)關(guān)系的。因此，我們就會(huì)很自然地想到，能否在各個(gè)變量之間相關(guān)關(guān)系研究的基礎(chǔ)上，用較少的新變量代替原來(lái)較多的變量，而且使這些較少的新變量盡可能多地保留原來(lái)較多的變量所反映的信息？事實(shí)上，這種想法是可以實(shí)現(xiàn)的，本節(jié)擬介紹的主成分分析方法就是綜合處理這種問(wèn)題的一種強(qiáng)有力的方法。第一節(jié) 主成分分析方法的原理主成分分析是把原來(lái)多個(gè)變量化為少數(shù)幾個(gè)綜合指標(biāo)的一種統(tǒng)計(jì)分析方法，從數(shù)學(xué)角度

2、來(lái)看，這是一種降維處理技術(shù)。假定有n個(gè)地理樣本，每個(gè)樣本共有p個(gè)變量描述，這樣就構(gòu)成了一個(gè)n×p階的地理數(shù)據(jù)矩陣：如何從這么多變量的數(shù)據(jù)中抓住地理事物的內(nèi)在規(guī)律性呢？要解決這一問(wèn)題，自然要在p維空間中加以考察，這是比較麻煩的。為了克服這一困難，就需要進(jìn)行降維處理，即用較少的幾個(gè)綜合指標(biāo)來(lái)代替原來(lái)較多的變量指標(biāo)，而且使這些較少的綜合指標(biāo)既能盡量多地反映原來(lái)較多指標(biāo)所反映的信息，同時(shí)它們之間又是彼此獨(dú)立的。那么，這些綜合指標(biāo)（即新變量)應(yīng)如何選取呢？顯然，其最簡(jiǎn)單的形式就是取原來(lái)變量指標(biāo)的線性組合，適當(dāng)調(diào)整組合系數(shù)，使新的變量指標(biāo)之間相互獨(dú)立且代表性最好。如果記原來(lái)的變量指標(biāo)為x1，x2

3、，xp，它們的綜合指標(biāo)新變量指標(biāo)為x1，x2，zm（mp)。則在（2)式中，系數(shù)lij由下列原則來(lái)決定：（1)zi與zj（ij；i，j=1，2，m)相互無(wú)關(guān)；（2)z1是x1，x2，xp的一切線性組合中方差最大者；z2是與z1不相關(guān)的x1，x2，xp的所有線性組合中方差最大者；zm是與z1，z2，zm-1都不相關(guān)的x1，x2，xp的所有線性組合中方差最大者。這樣決定的新變量指標(biāo)z1，z2，zm分別稱為原變量指標(biāo)x1，x2，xp的第一，第二，第m主成分。其中，z1在總方差中占的比例最大，z2，z3，zm的方差依次遞減。在實(shí)際問(wèn)題的分析中，常挑選前幾個(gè)最大的主成分，這樣既減少了變量的數(shù)目，又抓住了

4、主要矛盾，簡(jiǎn)化了變量之間的關(guān)系。從以上分析可以看出，找主成分就是確定原來(lái)變量xj（j=1，2，p)在諸主成分zi（i=1，2，m)上的載荷lij（i=1，2，m；j=1，2，p)，從數(shù)學(xué)上容易知道，它們分別是x1，x2，xp的相關(guān)矩陣的m個(gè)較大的特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量。第二節(jié) 主成分分析的解法主成分分析的計(jì)算步驟通過(guò)上述主成分分析的基本原理的介紹，我們可以把主成分分析計(jì)算步驟歸納如下：（1)計(jì)算相關(guān)系數(shù)矩陣在公式（3)中，rij（i，j=1，2，p)為原來(lái)變量xi與xj的相關(guān)系數(shù)，其計(jì)算公式為因?yàn)镽是實(shí)對(duì)稱矩陣（即rij=rji)，所以只需計(jì)算其上三角元素或下三角元素即可。（2)計(jì)算特征值與特

5、征向量首先解特征方程I-R=0求出特征值i（i=1，2，p)，并使其按大小順序排列，即12，p0；然后分別求出對(duì)應(yīng)于特征值i的特征向量ei（i=1，2，p)。（3)計(jì)算主成分貢獻(xiàn)率及累計(jì)貢獻(xiàn)率一般取累計(jì)貢獻(xiàn)率達(dá)85-95的特征值1，2，m所對(duì)應(yīng)的第一，第二，第m（mp)個(gè)主成分。（4)計(jì)算主成分載荷由此可以進(jìn)一步計(jì)算主成分得分：第三節(jié) 主成分分析應(yīng)用實(shí)例主成分分析實(shí)例對(duì)于某區(qū)域地貌-水文系統(tǒng)，其57個(gè)流域盆地的九項(xiàng)地理要素：x1為流域盆地總高度（m)x2為流域盆地山口的海拔高度（m)，x3為流域盆地周長(zhǎng)（m)，x4為河道總長(zhǎng)度（km)，x5為河表2-14  某57個(gè)流域盆地地理要素?cái)?shù)

6、據(jù)道總數(shù)，x6為平均分叉率，x7為河谷最大坡度（度)，x8為河源數(shù)及x9為流域盆地面積（km2)的原始數(shù)據(jù)如表2-14所示。張超先生（1984)曾用這些地理要素的原始數(shù)據(jù)對(duì)該區(qū)域地貌-水文系統(tǒng)作了主成分分析。下面，我們將其作為主成分分析方法在地理學(xué)研究中的一個(gè)應(yīng)用實(shí)例介紹給讀者，以供參考。表2-15相關(guān)系數(shù)矩陣 （1)首先將表2-14中的原始數(shù)據(jù)作標(biāo)準(zhǔn)化處理，由公式（4)計(jì)算得相關(guān)系數(shù)矩陣（見(jiàn)表2-15)。（2)由相關(guān)系數(shù)矩陣計(jì)算特征值，以及各個(gè)主成分的貢獻(xiàn)率與累計(jì)貢獻(xiàn)率（見(jiàn)表2-16)。由表2-16可知，第一，第二，第三主成分的累計(jì)貢獻(xiàn)率已高達(dá)86.5，故只需求出第一，第二，第三主

7、成分z1，z2，z3即可。表2-16  特征值及主成分貢獻(xiàn)率（3)對(duì)于特征值1=5.043，2=1.746，3=0.997分別求出其特征向量e1，e2，e3，并計(jì)算各變量x1，x2，x9在各主成分上的載荷得到主成分載荷矩陣（見(jiàn)表2-17)。表2-17  主成分載荷矩陣從表2-17可以看出，第一主成分z1與x1，x3，x4，x5，x8，x9有較大的正相關(guān)，這是由于這六個(gè)地理要素與流域盆地的規(guī)模有關(guān)，因此第一主成分可以被認(rèn)為是流域盆地規(guī)模的代表：第二主成分z2與x2有較大的正相關(guān)，與x7有較大的負(fù)相關(guān)，而這兩個(gè)地理要素是與流域切割程度有關(guān)的，因此第二主成分可以被認(rèn)為是流域侵蝕狀況的代表；第三主成分z3與x6有較大的正相關(guān)，而地理要素x6是流域比較獨(dú)立的特性河系形態(tài)的表征，因此，第三主成成可以被認(rèn)為是代表河系形態(tài)的主成分。以上分析結(jié)果表明，根據(jù)主成分載荷，該區(qū)域地貌-水文系統(tǒng)的九項(xiàng)地理要素可以被歸為三類，即流域