小學(xué)奧數(shù)教程之-分解質(zhì)因數(shù)

1、【考點(diǎn)】分?jǐn)?shù)的拆分【難度】1星【題型】填空5-3-4.分解質(zhì)因數(shù).題庫(kù)教師版page1of7、質(zhì)因數(shù)與分解質(zhì)因數(shù)(1)(1) . .質(zhì)因數(shù)：如果一個(gè)質(zhì)數(shù)是某個(gè)數(shù)的約數(shù)，那么就說(shuō)這個(gè)質(zhì)數(shù)是這個(gè)數(shù)的質(zhì)因數(shù)(2)(2) . .互質(zhì)數(shù)：公約數(shù)只有1的兩個(gè)自然數(shù)，叫做互質(zhì)數(shù).(3)(3) . .分解質(zhì)因數(shù)：把一個(gè)合數(shù)用質(zhì)因數(shù)相乘的形式表示出來(lái)，叫做分解質(zhì)因數(shù)例如：30=2父3父5.其中2、3、5叫做30的質(zhì)因數(shù).又如12=2父2父3=22父3,2、3都叫做12的質(zhì)因數(shù),其中后一個(gè)式子叫做分解質(zhì)因數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)式，在求一個(gè)數(shù)約數(shù)的個(gè)數(shù)和約數(shù)的和的時(shí)候都要用到這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)式解質(zhì)因數(shù)往往是解數(shù)論題目的突破口，因?yàn)檫@樣可

2、以幫助我們分析數(shù)字的特征(4)(4) . .分解質(zhì)因數(shù)的方法：短除法212例如：2但，(匚是短除法的符號(hào))所以12=2x2x3;3、唯一分解定理任何一個(gè)大于1的自然數(shù)n都可以寫成質(zhì)數(shù)的連乘積，即:a102.ak為自然數(shù)，并且這種表示是唯一的.該式稱為n的質(zhì)因子分解式.例如：三個(gè)連續(xù)自然數(shù)的乘積是210,求這三個(gè)數(shù).分析：-210=2X3X5X7,可知這三個(gè)數(shù)是5、6和7.三、部分特殊數(shù)的分解111=3父37；1001=7父11父13；11111=41父271；10001=73父137；1995=3父5M7M19；1998=2父3M3M3M37；2007=33223；2008=222251；10

3、101=371337.模塊一、分?jǐn)?shù)的拆分例 11算式+工+工=1=1”中，不同的漢字表示不同的自然數(shù)，則希+望+杯”希望杯2.整數(shù)唯一分解定理：讓學(xué)生自己初步領(lǐng)悟任何一個(gè)數(shù)字都可以表示為xAX.XA的結(jié)構(gòu)，而且表達(dá)形式唯一知識(shí)點(diǎn)撥.分n=P1a1xp?Xp33x-xpak其中為質(zhì)數(shù),例題精講5-3-4.分解質(zhì)因數(shù).題庫(kù)教師版page2of7【關(guān)鍵詞】希望杯，五年級(jí)，初賽，第19題，6分【解析】三個(gè)分?jǐn)?shù)中一定有大于三分之一的，那個(gè)數(shù)是二分之一，剩下的兩個(gè)數(shù)必有一個(gè)大于四分之一，即是三分之一，那么剩下的只能是六分之一.希+望+杯=2+3+6=11【答案】1111例23個(gè)質(zhì)數(shù)的倒數(shù)之和是幽，則這3個(gè)

4、質(zhì)數(shù)之和為多少.1986【考點(diǎn)】分?jǐn)?shù)的拆分【難度】3星【題型】解答【解析】設(shè)這3個(gè)質(zhì)數(shù)從小到大為 a a、b、c,c,它們的倒數(shù)分別為工、二，計(jì)算它們的和時(shí)需通分，且通abc分后的分母為aMbMC,求和得到的分?jǐn)?shù)為二,如果這個(gè)分?jǐn)?shù)能夠約分，那么得到的分?jǐn)?shù)的分母為 a a、abcb、c c 或它們之間的積.現(xiàn)在和為竺包，分母1986=2m3父331,所以一定是a=2,b=3,c=331,1986檢驗(yàn)?黃足所以這3個(gè)質(zhì)數(shù)的和為2+3+331=336.【答案】23331=336【例 33一個(gè)分?jǐn)?shù)，分母是901,分子是一個(gè)質(zhì)數(shù).現(xiàn)在有下面兩種方法：分子和分母各加一個(gè)相同的一位數(shù)； 分子和分母各減一個(gè)相

5、同的一位數(shù).用其中一種方法組成一個(gè)新分?jǐn)?shù)， 新分?jǐn)?shù)約分后是工.那么原來(lái)分?jǐn)?shù)的分子是多少.13【考點(diǎn)】分?jǐn)?shù)的拆分【難度】3星【題型】解答【解析】因?yàn)樾路謹(jǐn)?shù)約分后分母是13,而原分母為901,由于901-13=694,所以分母是加上9或者減去4.若是前者則原來(lái)分?jǐn)?shù)分子為7X70-9=481，但481=13父37,不是質(zhì)數(shù)；若是后者則原來(lái)分?jǐn)?shù)分子是69x7+4=487,而487是質(zhì)數(shù).所以原來(lái)分?jǐn)?shù)分子為487.【答案】487【例 4 4】將 1 1 到 9 9 這 9 9 個(gè)數(shù)字在算式1J-LJ=的每一個(gè)括號(hào)內(nèi)各填入一個(gè)數(shù)字，使得算式成立，并（）（）（1）且要求所填每一個(gè)括號(hào)內(nèi)數(shù)字均為質(zhì)數(shù)？【考點(diǎn)】

6、分?jǐn)?shù)的拆分【難度】4星【題型】填空【解析】本題中括號(hào)內(nèi)所填的數(shù)字要求為個(gè)位質(zhì)數(shù)，那么只能是2,3,5,7.將原始代入字母分析有b-d=吐史一,即有cbad=1,那么很容易發(fā)現(xiàn)只有acacac321=o753535【例 5 5】求滿足條件1+1=1的 a a、b b 的值（a a、b b 都是四位數(shù)）.ab1001【考點(diǎn)】分?jǐn)?shù)的拆分【難度】4星【題型】解答【解析】取1001的兩個(gè)不同約數(shù)x、y（x7=1o符合原式的填法為1=xy=x.y10011001(xy)1001(xy)1001(xy)(13,77).所以我們依次取x、y為上面所列的數(shù)對(duì)中的數(shù)，代入a、b的表達(dá)式，得到本題的答案:a=800

7、8,2574,2860,2184,9282,6930b=1144,1638,1540,1848,1122,11703a=8008,2574,2860,2184,9282,6930b=1144,1638,1540,1848,1122,1170111【鞏固】若=其中 a a、b b 都是四位數(shù)，且 ab,anmn),),有：1m-n_mn_11NN(mn)N(m-n)N(m-n)AB本題10的約數(shù)有：1,10,2,5.一，1121211例如：選1和2,有：=+=十；1010(12)10(12)10(12)3015從上面變化的過(guò)程可以看出，如果取出的兩組不同的 m m 和 n n, ,它們的數(shù)值雖然

8、不同，但是如果 m m 和 n n的比值相同，那么最后得到的 A A 和 B B 也是相同的.本題中，從10的約數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)，共有2C4+4=10種，但是其中比值不同的只有5組：(1,1);(1,2);(1,5);(1,10);(2,5),所以本題共可拆分成5組.具體的解如下：a,b)a,b)是1200412004(12)2+2004(12)160121+3006146761+35071200412004(12)2+2004(12)160121+3006,、111(11020205-3-4,分解質(zhì)因數(shù).題庫(kù)教師版page3of711111111111=個(gè)一=下一-=-一手一二一干一=丁102

9、02011110126014351530145【題型】填空11457212018304051358191545457212018304051358191545【例9 9】已知等式工=1+工其中a,15ab【考點(diǎn)】分?jǐn)?shù)的拆分【難度】5星b是非零自然數(shù)，求a+b的最大值?！绢}型】填空5-3-4.分解質(zhì)因數(shù).題庫(kù)10的約數(shù)有1、2、5、10,我們可選2和5:5-210-10(5-2)-10(5-2)另外的解讓學(xué)生去嘗試練習(xí).10(5-2)一6-15(2)110111+20201111+1101121+601111+=+1435153010615【例7 7】如果2009【考點(diǎn)】分?jǐn)?shù)的拆分【關(guān)鍵詞】10

10、1中學(xué),一AB【難度】分班考試A,B均為正整數(shù)，則 B B 最大是多少?【題型】填空從前面的例題我們知道，要將-按照如下規(guī)則寫成NN(m-n)N(m-n)N(m-n)AB如果要讓 B B 盡可能地大，實(shí)際上就是讓上面的式子中的m m 和 n n 都是N的約數(shù)。n n 盡可能地小而 m m 盡可能地大，因此應(yīng)當(dāng)m m 取最大的約數(shù)，而B=20092008n n 應(yīng)取最小的約數(shù)，因此m=2009,n=1,所以B=2009X2008.【考點(diǎn)】分?jǐn)?shù)的拆分例 88在下面的括號(hào)里填上不同的自然數(shù)，使等式成立.1111111+一+_10【考點(diǎn)】 分?jǐn)?shù)的拆分【難度】4星【解析】先選10的三個(gè)約數(shù)，比如5、則:

11、【題型】填空2和1,表示成連減式521和連加式5+2+1.111+1041020如果選10、5、2,那么有:804016111111036151734A85另外，對(duì)于這類題還有個(gè)方法, 就是先將單位分?jǐn)?shù)拆分，拆成兩個(gè)單位分?jǐn)?shù)的和或差，再將其中的一個(gè)單位分?jǐn)?shù)拆成兩個(gè)單位分?jǐn)?shù)的和或差，這樣就將原來(lái)的單位分?jǐn)?shù)拆成了3個(gè)單位分?jǐn)?shù)的和或差了.比如，要得到1111，一一，,110=,根據(jù)前面的拆分隨意選取一組，比如10121一，一十一,再選擇60其中的一個(gè)分?jǐn)?shù)進(jìn)行拆分，比如1111111一=一十,所以一二一十一十1213156101360156教師版page4of7【關(guān)鍵詞】華杯賽，決賽，第13題【答案】

12、256模塊四、分解質(zhì)因數(shù)的綜合應(yīng)用例 1010A,B B 都是整數(shù)，A A 大于 B B, ,且AMB=2009，那么 A-BA-B 的最大值為,最小值為?！究键c(diǎn)】【難度】【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯，3 3 年級(jí)，初賽【解析】2009=20091=2877=4941最大值為2009-1=2008最小值為49-41=8【答案】最大為2008,最小為8【例 1111】寫出所有數(shù)字和為 11,11,數(shù)字乘積為 2020 的四位偶數(shù)：.【考點(diǎn)】【難度】【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯，3 3 年級(jí)，初賽【解析】本題屬于數(shù)字拆分，目的就是講11拆成四個(gè)數(shù)字和，20拆成4個(gè)數(shù)字的乘積，需要確定的是個(gè)位數(shù)字為

13、偶數(shù)。根據(jù)拆分的特點(diǎn)應(yīng)該從20開始拆分。先將20分解質(zhì)因數(shù)為：20=2父2父5,所以各個(gè)數(shù)位數(shù)字乘積為20的數(shù)字有：2、2、5、1;4、5、1、1;數(shù)字和分別為10和11,符合條件的是4、5、1、1這四個(gè)數(shù)字組成的四位偶數(shù)，所以答案為1154、1514、5114這3個(gè)答案。【答案】1154、1514、5114【例 1212在做一道兩位數(shù)乘以兩位數(shù)的乘法題時(shí)，小馬虎把一乘數(shù)中的數(shù)字 5 5 看成 8,8,由此得乘積為 18721872.那么原來(lái)的乘積是多少？【考點(diǎn)】分解質(zhì)因數(shù)的綜合應(yīng)用【難度】3星【題型】解答【解析】1872=2X2X2X2X13=口口刈口，其中某個(gè)口為8,驗(yàn)證只有：1872=4

14、8X39,1872=78X24滿足.當(dāng)為1872=48X39時(shí)，小馬虎錯(cuò)把5看成8,也就是錯(cuò)把45看成48,所以正確的乘積應(yīng)該是45M9=1755.當(dāng)為1872=7824時(shí)，小馬虎錯(cuò)把5看成8,也就是錯(cuò)把75看成78,所以正確的乘積應(yīng)該是75X24=1800.所以原來(lái)的積為1755或1800.【答案】1755或1800【例 1313】?jī)蓚€(gè)學(xué)生抄寫同一個(gè)乘法算式，兩個(gè)乘數(shù)都是兩位數(shù)，他們各抄錯(cuò)了一個(gè)數(shù)字，于是得到兩個(gè)不同的算式，但巧合的是，他們計(jì)算的結(jié)果都是 936936.如果正確的乘積不能被 6 6 整除，那么它等于多少？【考點(diǎn)】分解質(zhì)因數(shù)的綜合應(yīng)用【難度】4星【題型】解答【解析】注意936中

15、有質(zhì)因數(shù)13,故易見將其分解成兩個(gè)兩位數(shù)相乘的形式有13乂72,26父36,39乂24,52M18,78M12這5種可能，由于兩人各抄錯(cuò)了一個(gè)數(shù)字，因此兩人的算式中應(yīng)有兩個(gè)位置上的數(shù)5-3-4,分解質(zhì)因數(shù).題庫(kù)教師版page5of7【解析】易知,=+1515(mn)15(mn)15(mn)n是15的一對(duì)互質(zhì)的約數(shù)即可。令（mn）為互質(zhì)的一對(duì)數(shù)，現(xiàn)在要讓分母為1,只當(dāng)（m,當(dāng)（m,當(dāng)（m,當(dāng)（m,當(dāng)（m, n)=(3,111=十,此時(shí)，153030111=十,此時(shí)，156020111=十,此時(shí)， ,159018111一=+1,此時(shí),1524016115)時(shí)，1)3)5)時(shí),時(shí),時(shí),15)時(shí),15

16、40a+b=60;a+b=80;a+b=108;a+b=256;1+一，此時(shí)，a+b=64;所以，a+b的最大值為256。24字相同.經(jīng)枚舉可知,他們所抄錯(cuò)的算式可能是(13x72,18x52),(13x72,12x78),(26x36,24x39)或(52x18,12x78).對(duì)于第一種情況，兩人抄錯(cuò)的是第一個(gè)乘數(shù)的個(gè)位數(shù)字和第二個(gè)乘數(shù)的十位數(shù)字，正確的算式應(yīng)是13父52或18父72,后者乘積是6的倍數(shù)， 與題意不符， 故原算式應(yīng)為前者， 正確的乘法算式是13x52=676.對(duì)后三種情況作類似分析，可得出2x3=6種可能的原乘法算式，但它們的結(jié)果都是6的倍數(shù)，不合題意.因此676即為所求.【

17、答案】676676【例 1414】在射箭運(yùn)動(dòng)中，每射一箭得到的環(huán)數(shù)或者是“0 0”脫靶)，或者是不超過(guò) 1010 的自然數(shù).甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員各射了 5 5 箭，每人 5 5 箭得到的環(huán)數(shù)的積都是 1764,1764,但是甲的總環(huán)數(shù)比乙少 4 4 環(huán).求甲、乙的總環(huán)數(shù)各是多少？【考點(diǎn)】分解質(zhì)因數(shù)的綜合應(yīng)用【難度】4星【題型】解答【解析】應(yīng)對(duì)應(yīng)為5個(gè)小于10的自然數(shù)乘積.通常我們會(huì)考慮將1764的6個(gè)質(zhì)因數(shù)組合為5個(gè)因數(shù)，從而這5個(gè)因數(shù)一定都是大于1的， 于是得到了如下幾種分解情況1764=4X37X7=2X6MX7X7=22X977但是發(fā)現(xiàn)其中任何兩組的和的差均不是4.原因是我們忽略了在題目敘述

18、實(shí)際環(huán)境中還會(huì)有1環(huán)存在，從而要考慮含有因數(shù)1的另外2種情況1784=1X6X6X77=1X4X97X7.所以總的情況對(duì)應(yīng)的和依次為4+3+3+7+7=24,2+6+3+7+7=25,2+2+9+7+7=27,1+6+6+7+7=27,1+4+9+7+7=28.對(duì)應(yīng)的和中只有24,28相差4,所以甲的5箭環(huán)數(shù)為4、3、3、7、7,乙的5箭環(huán)數(shù)為1、4、9、7、7.所以甲的總環(huán)數(shù)為24,乙的總環(huán)數(shù)為28。【答案】甲的總環(huán)數(shù)為24,乙的總環(huán)數(shù)為28【例 1515】某校師生為貧困地區(qū)捐款 19951995 元.這個(gè)學(xué)校共有 3535 名教師，1414 個(gè)教學(xué)班.各班學(xué)生人數(shù)相同且多于 3030 人不

19、超過(guò) 4545 人.如果平均每人捐款的錢數(shù)是整數(shù)，那么平均每人捐款多少元？【考點(diǎn)】分解質(zhì)因數(shù)的綜合應(yīng)用【難度】3星【題型】解答【解析】這個(gè)學(xué)校最少有35+14X30=455名師生，最多有35+14X45=665名師生，并且?guī)熒側(cè)藬?shù)能整除1995.1995=35X133,在455665之間的約數(shù)只有5X133=665,所以師生總數(shù)為665人，則平均每人捐款1995田65=3元.【答案】3【例 1616】張老師帶領(lǐng)同學(xué)們?nèi)シN樹，學(xué)生的人數(shù)恰好等分成三組.已知老師和學(xué)生共種樹 312312 棵，老師與學(xué)生每人種的樹一樣多，并且不超過(guò) 1010 棵.問：一共有多少學(xué)生？每人種了幾棵樹？【考點(diǎn)】分解質(zhì)

20、因數(shù)的綜合應(yīng)用【難度】3星【題型】解答【解析】因?yàn)榭偪脭?shù)是每人種的棵數(shù)和人數(shù)乘積，而每個(gè)人種的棵數(shù)又不超過(guò)10所以通過(guò)枚舉法來(lái)解(注意人數(shù)是減去1后是3的倍數(shù))：1X312,3121=311不是3的倍數(shù)；2黑156,1561=155不是3的倍數(shù)；3M104,1041=103不是3的倍數(shù)；4M78,781=77不是3的倍數(shù)；6M52,521=51是3的倍數(shù)；8M39,39-1=38不是3的倍數(shù)；共有51個(gè)學(xué)生，每個(gè)人種了6棵樹.【答案】共有51個(gè)學(xué)生，每個(gè)人種了6棵樹【鞏固】某班同學(xué)在班主任老師帶領(lǐng)下去種樹，學(xué)生恰好平均分成三組，如果老師與學(xué)生每人種樹一樣多，共種了 10731073 棵，那么平

21、均每人種了棵樹？【考點(diǎn)】分解質(zhì)因數(shù)的綜合應(yīng)用【難度】3星【題型】解答【解析】因?yàn)榭偪脭?shù)是每人種的棵數(shù)和人數(shù)的乘積，所以首先想到的是把1073數(shù)相乘，一個(gè)數(shù)為人數(shù)一個(gè)數(shù)為每人種的棵數(shù)，1073=29父37,注意到人數(shù)是減去1是3倍數(shù)，所以人數(shù)是37均每人種了29棵?！敬鸢浮?9【例 1717】幼兒園里給小朋友分蘋果，420420 個(gè)蘋果正好均分。但今天剛好又新人園一位小朋友，這樣每個(gè)小朋友就要少分 2 2 個(gè)蘋果。原來(lái)有個(gè)小朋友。【考點(diǎn)】分解質(zhì)因數(shù)的綜合應(yīng)用【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯，6年級(jí)，決賽，第8題，10分5-3-4.分解質(zhì)因數(shù).題庫(kù)教師版page6of7【解析】420=22357=2210=3140=584=670=760=1042=1235=1430=1528二2021上式中只有14X30=(14+1)(30-2)=1528符合題意，所以原有14個(gè)小朋友?！敬鸢浮?414【例 1818】20062