D3_3泰勒公式ppt課件

1、目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、幾個初等函數(shù)的麥克勞林公式二、幾個初等函數(shù)的麥克勞林公式 第三節(jié)一、泰勒公式的建立一、泰勒公式的建立三、泰勒公式的運(yùn)用三、泰勒公式的運(yùn)用 目的用多項(xiàng)式近似表示函目的用多項(xiàng)式近似表示函數(shù)數(shù).泰勒公式 第三章 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一、泰勒公式的建立一、泰勒公式的建立在講微分時有:0yfxxox 0000f xf xfxxxo xx 0000f xf xfxxxo xx)(xf)()(000 xxxfxf)(1xpx 的一次多項(xiàng)式的一次多項(xiàng)式特點(diǎn):)(01xp)(0 xf)(0 xf )(01xp0 x)(1xpxxy)(xfy O目錄 上頁 下頁 返回

2、結(jié)束 為了提高準(zhǔn)確度，我們思索用n次多項(xiàng)式來近似)(xf)(xpn0annxxaxxaxxa)()()(020201 f x要求滿足, )()(00 xfxpn, )()(00 xfxpn( )( )00()()nnnpxfx00(),af x10(),afx( )0()nfx1!nna 故)(xpn)(0 xf)(00 xxxfnnxxxf)(00)(1!n200)(xxxf 12!目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 公式公式 稱為稱為 的的 n 階泰勒公式階泰勒公式 .)(xf公式公式 稱為稱為n 階泰勒公式的拉格朗日余項(xiàng)階泰勒公式的拉格朗日余項(xiàng) .2. 泰勒泰勒(Taylor)中值定理中值定理

3、 :內(nèi)具有的某開區(qū)間在包含若),()(0baxxf1n直到階的導(dǎo)數(shù) ,),(bax時, 有)(xf)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf ( )00()()!nnfxxxn( )nRx其中(1)10( )( )()(1)!nnnfRxxxn那么當(dāng))0(之間與在xx泰勒 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 公式公式 稱為稱為n 階泰勒公式的佩亞諾階泰勒公式的佩亞諾(Peano) 余項(xiàng)余項(xiàng) .在不需求余項(xiàng)的準(zhǔn)確表達(dá)式時 , 泰勒公式可寫為)(xf)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(0nxxo)()(0nnxxoxR闡明：1留意到

4、2 當(dāng) n = 0 時, 泰勒公式變?yōu)?(xf)(0 xf)(0 xxf即為拉格朗日中值定理)0(之間與在xx目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 稱為麥克勞林稱為麥克勞林( Maclaurin )公式公式 ., 00 x那么有)(xf)0(fxf)0( (1)1()(1)!nnfxxn2!2)0(xf nnxnf!)0()(3在泰勒公式中假設(shè)取, ) 10(x記例例1. 求求lncosyx在4x處的帶有拉格朗日余項(xiàng)處的帶有拉格朗日余項(xiàng) 的的2階階泰勒公式.解解: 要求到要求到3階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )(xf)(0 xf)(00 xxxf(3)30( )()3!fxx200)(!2

5、)(xxxf 4f2ln21ln2,2 tanfxx 14f 2secfxx 2,4f 22sectanfxxx lncosx1ln224x24x321sectan34x目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、幾個初等函數(shù)的麥克勞林公式二、幾個初等函數(shù)的麥克勞林公式xxfe)() 1 (,e)()(xkxf),2, 1(1)0()(kfkxe1x!33x!nxn)(xRn!22x其中)(xRn!) 1( n) 10(1nxxe)(xf)0(fxf)0( (1)1()(1)!nnfxxn2!2)0(xf ( )(0)!nnfxn麥克勞林公式麥克勞林公式 ) 10(目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 212s

6、in()mx)sin( xxxfsin)()2( )( )kfx xsinx!33x!55x! ) 12(12mxm)(2xRm其中)(2xRm2k2sin)0()(kfk1) 1(m) 10(21mx(21)!m)(xf)0(fxf)0( (1)1()(1)!nnfxxn2(0)2!fxnnxnf!)0()() 10(麥克勞林公式麥克勞林公式 01,f 00,f 01,f 400,f目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 麥克勞林公式麥克勞林公式 ! )2(2mxmxxfcos)()3(類似可得xcos1!22x!44x)(12xRm其中)(12xRm! )22(m) 10(m) 1(22mx)(xf

7、)0(fxf)0( 1) 1(! ) 1()(nnxnxf2!2)0(xf nnxnf!)0()() 10(222cos()mx目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ) 1(,)1 ()()4(xxxf)()(xfk)1 (x1x2xnx)(xRn其中)(xRn11)1 (! ) 1()() 1(nnxxnn) 10(kxk)1)(1() 1() 1() 1()0()(kfk),2, 1(k!2 ) 1(! n) 1() 1(n)(xf)0(fxf)0( 1) 1(! ) 1()(nnxnxf2!2)0(xf nnxnf!)0()() 10(麥克勞林公式麥克勞林公式 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )

8、1()1ln()()5(xxxf知)1ln(xx22x33xnxn)(xRn其中)(xRn11)1 (1) 1(nnnxxn) 10(1) 1(n因此可得)()(xfkkkxk)1 (! ) 1() 1(1),2, 1(k)(xf)0(fxf)0( 1) 1(! ) 1()(nnxnxf2!2)0(xf nnxnf!)0()() 10(麥克勞林公式麥克勞林公式 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三、泰勒公式的運(yùn)用三、泰勒公式的運(yùn)用1. 利用泰勒公式求極限利用泰勒公式求極限2240coslim.xxxex由于解解:4x用泰勒公式將分子展到項(xiàng),cosx1!22x!44x5o x 2222522122!

9、xxxeo x 245128xxo x 454012limxxo xx112原式=目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 11)1 (! ) 1()() 1(nnxxnnnx! n) 1() 1(n)1 (x1x2x!2 ) 1() 10(2. 利用泰勒公式證明不等式利用泰勒公式證明不等式例例3. 證明證明).0(82112xxxx證證:21)1 (1xx21x2) 121(21!21x325)1)(221)(121(21!31xx) 10(3225)1 (161821xxxx)0(82112xxxx+目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 泰勒公式泰勒公式其中余項(xiàng))(0nxxo當(dāng)00 x時

10、為麥克勞林公式 .)(xf)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(xRn10)1()(! ) 1()()(nnnxxnfxR)0(之間與在xx目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 常用函數(shù)的麥克勞林公式常用函數(shù)的麥克勞林公式 ( P142 P144 ),ex, )1ln(x,sin x,cosx)1 (x3. 泰勒公式的運(yùn)用泰勒公式的運(yùn)用求極限 , 證明不等式 等.例如 泰勒多項(xiàng)式逼近泰勒多項(xiàng)式逼近12! ) 12() 1(9!917!715!513!311sinnnxxxxxxxn)(2nxo!33xxy!5!353xxxy!7!5!3753