剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理角動(dòng)量守恒定律

1、 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律l 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)軸上一點(diǎn)的角動(dòng)量剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)軸上一點(diǎn)的角動(dòng)量（自學(xué)）（自學(xué)） ：結(jié)結(jié) 論：論： 一般情況下，剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)軸上一點(diǎn)的角動(dòng)一般情況下，剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)軸上一點(diǎn)的角動(dòng)量并不一定沿角速度（即轉(zhuǎn)軸）的方向，而是與其量并不一定沿角速度（即轉(zhuǎn)軸）的方向，而是與其成一定夾角；成一定夾角；但對(duì)于質(zhì)量分布與幾何形狀有共同對(duì)但對(duì)于質(zhì)量分布與幾何形狀有共同對(duì)稱軸的剛體，當(dāng)繞該對(duì)稱軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，剛體對(duì)軸上任稱軸的剛體，當(dāng)繞該對(duì)稱軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，剛體對(duì)軸上任一點(diǎn)的角動(dòng)量與角速度的方向相同一點(diǎn)的角動(dòng)量與角速度的方向相同.現(xiàn)在討論力矩

2、對(duì)時(shí)間的積累效應(yīng)?，F(xiàn)在討論力矩對(duì)時(shí)間的積累效應(yīng)。 對(duì)于對(duì)于定軸轉(zhuǎn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)系定軸轉(zhuǎn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)系： 質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)點(diǎn)系：（質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理）（質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理）M dtdL外對(duì)點(diǎn)：對(duì)點(diǎn)：dLMdt外l 現(xiàn)在討論力矩對(duì)時(shí)間的積累效應(yīng)。現(xiàn)在討論力矩對(duì)時(shí)間的積累效應(yīng)。（定軸角動(dòng)量守恒定律）（定軸角動(dòng)量守恒定律）（可以不是剛體，也可以是一個(gè)或幾個(gè)剛體）（可以不是剛體，也可以是一個(gè)或幾個(gè)剛體）如果如果0M外，（角動(dòng)量守恒定律）（角動(dòng)量守恒定律）L 常量則則如果如果0zM ，常常量量 zL則則 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律1. 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)（對(duì)軸）的角動(dòng)量剛體定軸轉(zhuǎn)

3、動(dòng)（對(duì)軸）的角動(dòng)量ii iimLrv2. 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理Oirimivdd()ddLIMttzLIi iiirm r()2()i iim r=22112121dtLtLM tdLLLII221121dtLtLM tdLLL則則剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量慣量 保持不變，則保持不變，則I剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理2121dttM tII3 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒定律剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒定律0MLI 常量，則，則若若l 非剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理非剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理212211dttM tIIl 剛體角動(dòng)量定理：剛

4、體角動(dòng)量定理： 作用在剛體上的沖量矩等于剛體角動(dòng)量的增量。作用在剛體上的沖量矩等于剛體角動(dòng)量的增量。dtdLMzz 3 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒定律剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒定律0MLI 常量，則，則若若l 若系統(tǒng)對(duì)定軸的外力矩之和為零，則系統(tǒng)對(duì)此固定若系統(tǒng)對(duì)定軸的外力矩之和為零，則系統(tǒng)對(duì)此固定軸的角動(dòng)量守恒。軸的角動(dòng)量守恒。-對(duì)定軸的角動(dòng)量守恒對(duì)定軸的角動(dòng)量守恒 若剛體由幾部分組成，且都繞同一軸轉(zhuǎn)動(dòng)，若剛體由幾部分組成，且都繞同一軸轉(zhuǎn)動(dòng)， 但角動(dòng)量可在內(nèi)部傳遞。但角動(dòng)量可在內(nèi)部傳遞。c.0onstiiiMI，當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí) 角動(dòng)量守恒定律是自然界的一個(gè)基本定律角動(dòng)量守恒定律是自然界的一個(gè)基本定律.

5、 內(nèi)力矩不改變系統(tǒng)的角動(dòng)量?jī)?nèi)力矩不改變系統(tǒng)的角動(dòng)量. 守守 恒條件恒條件:0M若若 不變，不變， 不變；若不變；若 變，變， 也變，但也變，但 不變不變.ILII3 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒定律剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒定律0MLI 常量，則，則若若討論討論exinMM 在在沖擊沖擊等問(wèn)題中等問(wèn)題中L常量常量 有許多現(xiàn)象都可以有許多現(xiàn)象都可以用用角動(dòng)量守恒角動(dòng)量守恒來(lái)說(shuō)明來(lái)說(shuō)明.自然界中存在多種守恒定律自然界中存在多種守恒定律2 動(dòng)量守恒定律動(dòng)量守恒定律2 能量守恒定律能量守恒定律2 角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量守恒定律2電荷守恒定律電荷守恒定律2質(zhì)量守恒定律質(zhì)量守恒定律2宇稱守恒定律等宇稱守恒定律等花

6、樣滑冰花樣滑冰跳水運(yùn)動(dòng)員跳水跳水運(yùn)動(dòng)員跳水vovoompTR圓圓錐錐擺擺子子彈彈擊擊入入桿桿ov以子彈和桿為系統(tǒng)以子彈和桿為系統(tǒng)機(jī)械能機(jī)械能不不守恒守恒 .角動(dòng)量守恒；角動(dòng)量守恒；動(dòng)量動(dòng)量不不守恒；守恒；以子彈和沙袋為系統(tǒng)以子彈和沙袋為系統(tǒng)動(dòng)量守恒動(dòng)量守恒；角動(dòng)量守恒；角動(dòng)量守恒；機(jī)械能機(jī)械能不不守恒守恒 .圓錐擺系統(tǒng)圓錐擺系統(tǒng)動(dòng)量動(dòng)量不不守恒；守恒；角動(dòng)量守恒；角動(dòng)量守恒；機(jī)械能守恒機(jī)械能守恒 .討討 論論子子彈彈擊擊入入沙沙袋袋細(xì)細(xì)繩繩質(zhì)質(zhì)量量不不計(jì)計(jì)下面幾種情況系統(tǒng)的動(dòng)量下面幾種情況系統(tǒng)的動(dòng)量、角動(dòng)量和機(jī)械能角動(dòng)量和機(jī)械能是否守恒？是否守恒？ 例例: 質(zhì)量很小長(zhǎng)度為質(zhì)量很小長(zhǎng)度為l 的均

7、勻細(xì)桿的均勻細(xì)桿,可繞過(guò)其中心可繞過(guò)其中心 O并與紙面垂直的軸在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)并與紙面垂直的軸在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng).當(dāng)細(xì)桿靜止于水平當(dāng)細(xì)桿靜止于水平位置時(shí)位置時(shí), 有一只小蟲(chóng)以速率有一只小蟲(chóng)以速率 垂直落在距點(diǎn)垂直落在距點(diǎn)O為 l/4 處處, 并并背離點(diǎn)背離點(diǎn)O 向細(xì)桿的端點(diǎn)向細(xì)桿的端點(diǎn)A 爬行爬行.設(shè)小蟲(chóng)與細(xì)桿的質(zhì)量均為設(shè)小蟲(chóng)與細(xì)桿的質(zhì)量均為m.問(wèn)問(wèn):欲使細(xì)桿以恒定的角速度轉(zhuǎn)動(dòng)欲使細(xì)桿以恒定的角速度轉(zhuǎn)動(dòng), 小蟲(chóng)應(yīng)以多大速率小蟲(chóng)應(yīng)以多大速率向細(xì)桿端點(diǎn)爬行向細(xì)桿端點(diǎn)爬行?0v220)4(1214lmmllmv0127lv 解解: 小蟲(chóng)與細(xì)桿的碰撞視為完全非彈性碰撞，碰小蟲(chóng)與細(xì)桿的碰撞視為完全非彈性碰

8、撞，碰撞前后系統(tǒng)角動(dòng)量守恒撞前后系統(tǒng)角動(dòng)量守恒l0712 v由角動(dòng)量定理由角動(dòng)量定理()dLd IdIMdtdtdttrmrmrmltmgrdd2)121(ddcos22即即考慮到考慮到t0012d7coscos()d2247rglgtttlvvv例：例：圓盤(pán)（圓盤(pán)（R，M），人（），人（m）開(kāi)始靜止，人）開(kāi)始靜止，人走一周，求盤(pán)相對(duì)地轉(zhuǎn)動(dòng)的角度走一周，求盤(pán)相對(duì)地轉(zhuǎn)動(dòng)的角度. 解：解： 系統(tǒng)對(duì)轉(zhuǎn)軸系統(tǒng)對(duì)轉(zhuǎn)軸角動(dòng)量守恒角動(dòng)量守恒21ImR人人 ，盤(pán)，盤(pán) dtd1dtd212I dI d2 1200I dI dMm212212IMR222Mmm1 1I22I0)(M = 0（對(duì)地的角位移）（對(duì)地的

9、角位移）例：例：圓盤(pán)質(zhì)量圓盤(pán)質(zhì)量M, ,半徑半徑R, ,J=MR2/2, ,轉(zhuǎn)軸光滑轉(zhuǎn)軸光滑, ,人的質(zhì)量人的質(zhì)量m, ,開(kāi)始時(shí)，開(kāi)始時(shí)，兩者靜止兩者靜止求：人在盤(pán)上沿邊求：人在盤(pán)上沿邊緣走過(guò)一周時(shí)，盤(pán)對(duì)地面轉(zhuǎn)過(guò)緣走過(guò)一周時(shí)，盤(pán)對(duì)地面轉(zhuǎn)過(guò)的角度的角度解：解：在走動(dòng)過(guò)程中在走動(dòng)過(guò)程中, ,人盤(pán)系統(tǒng)人盤(pán)系統(tǒng) L=const.設(shè)設(shè)任意任意時(shí)刻，人對(duì)盤(pán)時(shí)刻，人對(duì)盤(pán): ；盤(pán)對(duì)地；盤(pán)對(duì)地: 則有則有0)(2212MRmRMmm2220022dMmmdMmm24 Mml 作作 業(yè)：業(yè)： 7.4.3.l 思思 考：考： 7.4.1.例例: 已知均勻直桿已知均勻直桿( (l , ,M),),一端掛在光滑水平軸上

10、，開(kāi)始時(shí)靜止一端掛在光滑水平軸上，開(kāi)始時(shí)靜止在豎直位置，有一子彈（在豎直位置，有一子彈（m. .vo o) )水平射入而不復(fù)出。求桿與子彈水平射入而不復(fù)出。求桿與子彈一起運(yùn)動(dòng)時(shí)的角速度一起運(yùn)動(dòng)時(shí)的角速度. .解：解：子彈進(jìn)入到一起運(yùn)動(dòng)，瞬間完成子彈進(jìn)入到一起運(yùn)動(dòng)，瞬間完成.系統(tǒng)（子彈系統(tǒng)（子彈+棒）棒）外力：外力：重力、軸的作用力重力、軸的作用力對(duì)軸的力矩為零對(duì)軸的力矩為零角動(dòng)量守恒角動(dòng)量守恒動(dòng)量守恒？動(dòng)量守恒？201()3mlvmlvMllmMmv)3/(30()vl方向？方向？22121( )3IIImlMlvo00mlvI或或l 結(jié)合本章教材習(xí)題結(jié)合本章教材習(xí)題 7.3.6（打擊中心）（

11、打擊中心） ，在什么情況，在什么情況下，上頁(yè)例題中系統(tǒng)下，上頁(yè)例題中系統(tǒng)（子彈與桿）（子彈與桿）的動(dòng)量在碰撞打擊前后的動(dòng)量在碰撞打擊前后保持守恒？保持守恒？2022331()3mvmllvMl06/(34 )mvMm l2()3lv221221( ()33IIImlMl碰撞前后系統(tǒng)的動(dòng)量：碰撞前后系統(tǒng)的動(dòng)量：10Pmv2cPmvMv(2)vl12ppl 所以，系統(tǒng)所以，系統(tǒng)（子彈與桿）（子彈與桿）的相互作用力作用在打擊中心時(shí)，的相互作用力作用在打擊中心時(shí)，動(dòng)量在碰撞打擊前后保持守恒動(dòng)量在碰撞打擊前后保持守恒.023lmvI系統(tǒng)對(duì)軸的角動(dòng)量守恒系統(tǒng)對(duì)軸的角動(dòng)量守恒例：例：質(zhì)量為質(zhì)量為M，長(zhǎng)為，長(zhǎng)

12、為l的均勻棒，如圖，若用水平力打擊在離軸下的均勻棒，如圖，若用水平力打擊在離軸下y處，求：軸反力處，求：軸反力解：軸反力設(shè)為解：軸反力設(shè)為xRyRxRyRyF由轉(zhuǎn)動(dòng)定理：由轉(zhuǎn)動(dòng)定理：dyFIdtyFtIt為作用時(shí)間為作用時(shí)間得到：得到：由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理：由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理：切向：切向：dtdlmRFx2法向：法向：22lmmgRy于是得到于是得到：FlyRx)231 ( mltyFmgRy32222)(9 例題例題 如圖所示，一質(zhì)量為如圖所示，一質(zhì)量為 m 的子彈以水平速度射入一靜止的子彈以水平速度射入一靜止懸于頂端長(zhǎng)棒的下端，穿出后速度損失懸于頂端長(zhǎng)棒的下端，穿出后速度損失3/4，求子彈穿出后，棒

13、，求子彈穿出后，棒的角速度的角速度 ，已知棒長(zhǎng)為，已知棒長(zhǎng)為 l ，質(zhì)量為，質(zhì)量為 M.003()4fdtm vvmv 子彈對(duì)棒的反作用力子彈對(duì)棒的反作用力 對(duì)棒的沖量矩為對(duì)棒的沖量矩為f ff 由0vvmlM解解 以以 f 代表棒對(duì)子彈的阻力，對(duì)于子彈有代表棒對(duì)子彈的阻力，對(duì)于子彈有 f ldtlf dtI003944mv lmvIMl思考題思考題： 1 1、此題可否用子彈和棒的總角動(dòng)量守恒來(lái)作？、此題可否用子彈和棒的總角動(dòng)量守恒來(lái)作？ 2 2、子彈和棒的總動(dòng)量在水方向上是否守恒？、子彈和棒的總動(dòng)量在水方向上是否守恒？ 3 3、若將桿換成軟繩系一質(zhì)量為、若將桿換成軟繩系一質(zhì)量為 M 的重物，

14、在的重物，在 水平方向上動(dòng)量是否守恒？水平方向上動(dòng)量是否守恒？ 4 4、機(jī)械能是否守恒？、機(jī)械能是否守恒？l 剛體的重心剛體的重心重心重心剛體處于不同方位時(shí)剛體處于不同方位時(shí),重力作用線都要通過(guò)的那一點(diǎn)重力作用線都要通過(guò)的那一點(diǎn). 如圖如圖,被懸掛剛體處于靜止被懸掛剛體處于靜止,C為重心為重心,因因C不動(dòng)不動(dòng),可視為可視為轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸.因?yàn)閯傮w靜止因?yàn)閯傮w靜止,所以諸體元重力對(duì)所以諸體元重力對(duì)C 軸合力矩為零軸合力矩為零.xzCiWyABDWCCABDW0)( ciixxWWzWziic gmWii 則重心坐標(biāo)與質(zhì)心坐標(biāo)同，但概念不同則重心坐標(biāo)與質(zhì)心坐標(biāo)同，但概念不同. 質(zhì)心是質(zhì)量質(zhì)心是質(zhì)量中心，

15、其運(yùn)動(dòng)服從質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理中心，其運(yùn)動(dòng)服從質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理. 重心是重力合力作重心是重力合力作用線通過(guò)的那一點(diǎn)用線通過(guò)的那一點(diǎn).WxWxiic WyWyiic 若取若取 典型例子典型例子例題例題如圖如圖(a)表示半徑為表示半徑為R的放水弧形閘門(mén)，可繞圖中的放水弧形閘門(mén)，可繞圖中左方質(zhì)點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，總質(zhì)量為左方質(zhì)點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，總質(zhì)量為m,質(zhì)心在距轉(zhuǎn)軸質(zhì)心在距轉(zhuǎn)軸 處，閘處，閘門(mén)及鋼架對(duì)質(zhì)點(diǎn)的總轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為門(mén)及鋼架對(duì)質(zhì)點(diǎn)的總轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 ,可用鋼絲可用鋼絲繩將弧形閘門(mén)提起放水，近似認(rèn)為在開(kāi)始提升時(shí)鋼架繩將弧形閘門(mén)提起放水，近似認(rèn)為在開(kāi)始提升時(shí)鋼架部分處于水平，弧形部分的切向加速度為部分處于水平，弧形部分的切向加速度為a=

16、0.1g，g為為重力加速度重力加速度,不計(jì)摩擦不計(jì)摩擦,不計(jì)水浮力不計(jì)水浮力.297mRI R32圖圖(a) （1）求開(kāi)始提升時(shí)的瞬時(shí)，鋼絲繩對(duì)弧形閘門(mén)的拉力）求開(kāi)始提升時(shí)的瞬時(shí)，鋼絲繩對(duì)弧形閘門(mén)的拉力和質(zhì)點(diǎn)對(duì)閘門(mén)鋼架的支承力和質(zhì)點(diǎn)對(duì)閘門(mén)鋼架的支承力.（2）若以同樣加速度提升同樣重量的平板閘門(mén)）若以同樣加速度提升同樣重量的平板閘門(mén)圖圖(b)需拉力是多少？需拉力是多少？TF W圖圖(b) xyONFTFW圖圖(a) 解解（1）以弧形閘門(mén)及鋼架）以弧形閘門(mén)及鋼架為隔離體，受力如圖為隔離體，受力如圖(a)所示所示. 建立直角坐標(biāo)系建立直角坐標(biāo)系Oxy，TNcFFWma向向x及及y軸投影得軸投影得 根

17、據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定理根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定理xcxmaF NzmRRmgRF 2T9732 ycymaFmgF NT0 xcaRaz Razcy 32 起動(dòng)時(shí)起動(dòng)時(shí)根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理 即起動(dòng)瞬時(shí)繩對(duì)閘板的拉力為即起動(dòng)瞬時(shí)繩對(duì)閘板的拉力為 ，質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)O 對(duì)閘門(mén)鋼對(duì)閘門(mén)鋼架的支承力豎直向上，大小等于架的支承力豎直向上，大小等于29mg/90.mg9067TFW圖圖(b) mgFy9029N mgF9067T 0N xF(2) 用用 表示提升平板形閘門(mén)所用的拉力，對(duì)閘門(mén)應(yīng)用牛表示提升平板形閘門(mén)所用的拉力，對(duì)閘門(mén)應(yīng)用牛頓第二定律，得：頓第二定律，得：TFmgF1011T 比較上面結(jié)果，可見(jiàn)提升弧形閘門(mén)比較上

18、面結(jié)果，可見(jiàn)提升弧形閘門(mén)所用的拉力較小所用的拉力較小.mamgF T例題例題如圖表示一種用實(shí)驗(yàn)方法測(cè)量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的裝置。待如圖表示一種用實(shí)驗(yàn)方法測(cè)量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的裝置。待測(cè)剛體裝在轉(zhuǎn)動(dòng)架上，線的一端繞在轉(zhuǎn)動(dòng)架的輪軸上，測(cè)剛體裝在轉(zhuǎn)動(dòng)架上，線的一端繞在轉(zhuǎn)動(dòng)架的輪軸上，線與線軸垂直，輪軸的軸體半徑為線與線軸垂直，輪軸的軸體半徑為r，線的另一端通過(guò)定，線的另一端通過(guò)定滑輪懸掛質(zhì)量為滑輪懸掛質(zhì)量為m的重物，已知轉(zhuǎn)動(dòng)架慣量為的重物，已知轉(zhuǎn)動(dòng)架慣量為I0 ，并測(cè)得，并測(cè)得m自靜止開(kāi)始下落自靜止開(kāi)始下落 h 高度的時(shí)間為高度的時(shí)間為 t ,求待測(cè)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)求待測(cè)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量慣量I，不計(jì)兩軸承處的摩擦，不計(jì)滑輪和線的質(zhì)量，線，不計(jì)兩軸承處的摩擦，不計(jì)滑輪和線的質(zhì)量，線的長(zhǎng)度不變的長(zhǎng)度不變.hII0rm解解 分別以質(zhì)點(diǎn)分別以質(zhì)點(diǎn) m 和轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)和轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng) I+I0 作為研究對(duì)象，受力作為研究對(duì)象，受力分析如圖分析如圖.xyONF1TFT2FWmaFmg 2T )(01TIIrF 2T1TFF ra 221gth 022)12(IhgtmrI 例題例題 如圖所示，將一根質(zhì)量