典型極坐標(biāo)參數(shù)方程練習(xí)習(xí)題帶答案

1、1極坐標(biāo)參數(shù)方程練習(xí)題極坐標(biāo)參數(shù)方程練習(xí)題1在直角坐標(biāo)系xOy中，直線C1：x2，圓C2：(x1)2(y2)21，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系(1)求C1，C2的極坐標(biāo)方程；(2)若直線C3的極坐標(biāo)方程為4(R R)，設(shè)C2與C3的交點(diǎn)為M，N，求C2MN的面積解：(1)因?yàn)閤cos，ysin，所以C1的極坐標(biāo)方程為cos2，C2的極坐標(biāo)方程為22cos4sin40.(2)將4代入22cos4sin40，得23 240，解得12 2，2 2.故12 2，即|MN| 2.由于C2的半徑為 1，所以C2MN的面積為12.4(2014遼寧，23，10 分，中)將圓x2y21 上每

2、一點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?2 倍，得曲線C.(1)寫出C的參數(shù)方程；(2)設(shè)直線l：2xy20 與C的交點(diǎn)為P1，P2，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求過線段P1P2的中點(diǎn)且與l垂直的直線的極坐標(biāo)方程解：(1)設(shè)(x1，y1)為圓上的點(diǎn)，經(jīng)變換為C上點(diǎn)(x，y)，依題意，得xx1，y2y1，由x21y211 得x2y221.即曲線C的方程為x2y241.故C的參數(shù)方程為xcost，y2sint(t為參數(shù))(2)由x2y241，2xy20解得x1，y0或x0，y2.2不妨設(shè)P1(1，0)，P2(0，2)，則線段P1P2的中點(diǎn)坐標(biāo)為12，1，所求直線斜率為k12，于

3、是所求直線方程為y112x12 .化為極坐標(biāo)方程，并整理得2cos4sin3，即34sin2cos.(2)(2015吉林長春二模，23，10 分)在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為cos3 1，M，N分別為曲線C與x軸，y軸的交點(diǎn)寫出曲線C的直角坐標(biāo)方程，并求M，N的極坐標(biāo)；設(shè)M，N的中點(diǎn)為P，求直線OP的極坐標(biāo)方程【解析】(1)將 2cos2sin兩邊同乘以，得 2(cos)2sin，化為直角坐標(biāo)方程為 2x2y，C2：cos1 化為直角坐標(biāo)方程為x1，聯(lián)立可解得x1，y2，所以曲線C1與C2交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(1，2)(2)cos3 1，co

4、scos3sinsin31.又xcos，ysin，12x32y1，即曲線C的直角坐標(biāo)方程為x 3y20.令y0，則x2；令x0，則y2 33.M(2，0)，N0，2 33.3M的極坐標(biāo)為(2，0)，N的極坐標(biāo)為2 33，2 .M，N連線的中點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為1，33 ，P的極角為6.直線OP的極坐標(biāo)方程為6(R R)注：極坐標(biāo)下點(diǎn)的坐標(biāo)表示不唯一【點(diǎn)撥】解答題(1)的關(guān)鍵是掌握直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)的方法；題(2)先轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)問題求解，再轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)(2013課標(biāo)，23，10 分)已知曲線C1的參數(shù)方程為x45cost，y55sint(t為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系

5、，曲線C2的極坐標(biāo)方程為2sin.(1)把C1的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程；(2)求C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)(0，02)【解析】 (1)將x45cost，y55sint消去參數(shù)t， 化為普通方程為(x4)2(y5)225，即C1：x2y28x10y160.將xcos，ysin代入x2y28x10y160，得28cos10sin160.所以C1的極坐標(biāo)方程為28cos10sin160.(2)C2的普通方程為x2y22y0.聯(lián)立C1，C2的方程x2y28x10y160，x2y22y0，解得x1，y1或x0，y2.4所以C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為2，4 ，2，2 .【點(diǎn)撥】本題主要考查圓的參數(shù)方程、極坐

6、標(biāo)方程和標(biāo)準(zhǔn)方程以及圓與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是將參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程求解(2012遼寧，23，10 分)在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C1：x2y24，圓C2：(x2)2y24.(1)在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中， 分別寫出圓C1，C2的極坐標(biāo)方程，并求出圓C1，C2的交點(diǎn)坐標(biāo)(用極坐標(biāo)表示)；(2)求圓C1與C2的公共弦的參數(shù)方程解： (1)由xcos，ysin，x2y22知圓C1的極坐標(biāo)方程為2， 圓C2的極坐標(biāo)方程為4cos.解2，4cos得2，3，故圓C1與圓C2的交點(diǎn)坐標(biāo)為2，3 ，2，3 .注：極坐標(biāo)系下點(diǎn)的表示不唯一(2)方法一： 由xcos，ysin

7、得圓C1與C2交點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為(1， 3)， (1， 3)故圓C1與C2的公共弦的參數(shù)方程為x1，yt( 3t 3)或參數(shù)方程寫成x1，yy， 3y 3方法二：將x1 代入xcos，ysin，得cos1，從而1cos.于是圓C1與C2的公共弦的參數(shù)方程為5x1，ytan33 .5(2015河北邯鄲二模，23，10 分)已知圓C的極坐標(biāo)方程為2cos，直線l的參數(shù)方程為x1232t，y1212t(t為參數(shù))，點(diǎn)A的極坐標(biāo)為22，4 ，設(shè)直線l與圓C交于點(diǎn)P，Q.(1)寫出圓C的直角坐標(biāo)方程；(2)求|AP|AQ|的值解：(1)因?yàn)閳AC的極坐標(biāo)方程為2cos，所以22cos，將其轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)

8、方程為x2y22x，即(x1)2y21.(2)由點(diǎn)A的極坐標(biāo)22，4 得直角坐標(biāo)為A12，12 .將直線l的參數(shù)方程x1232t，y1212t(t為參數(shù))代入圓C的直角坐標(biāo)方程(x1)2y21，得t2312t120.設(shè)t1，t2為方程t2312t120 的兩個根，則t1t212，所以|AP|AQ|t1t2|12.2(2015課標(biāo)，23，10 分，中)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1：xtcos，ytsin，(t為參數(shù)，t0)，其中 0.在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2：2sin，C3：2 3cos.(1)求C2與C3交點(diǎn)的直角坐標(biāo)；6(2)若C1與C2相交于點(diǎn)A，C1與C3相

9、交于點(diǎn)B，求|AB|的最大值解：(1)曲線C2的直角坐標(biāo)方程為x2y22y0，曲線C3的直角坐標(biāo)方程為x2y22 3x0.聯(lián)立x2y22y0，x2y22 3x0，解得x0，y0或x32，y32.所以C2與C3交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(0，0)和32，32 .(2)曲線C1的極坐標(biāo)方程為(R R，0)，其中 0.因此A的極坐標(biāo)為(2sin，)，B的極坐標(biāo)為(2 3cos，)所以|AB|2sin2 3cos|4|sin3|.當(dāng)56時，|AB|取得最大值，最大值為 4.3(2015陜西，23，10 分，易)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為x312t，y32t(t為參數(shù))，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極

10、軸建立極坐標(biāo)系，C的極坐標(biāo)方程為2 3sin.(1)寫出C的直角坐標(biāo)方程；(2)P為直線l上一動點(diǎn)，當(dāng)P到圓心C的距離最小時，求P的直角坐標(biāo)解：(1)由2 3sin，得22 3sin，從而有x2y22 3y，7所以x2(y 3)23.(2)設(shè)P312t，32t，又C(0， 3)，則|PC|312t232t 32t212，故當(dāng)t0 時，|PC|取得最小值，此時，P點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(3，0)5(2014課標(biāo)，23，10 分，中)在直線坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，半圓C的極坐標(biāo)方程為2cos，0，2 .(1)求C的參數(shù)方程；(2)設(shè)點(diǎn)D在C上，C在D處的切線與直線l

11、：y 3x2 垂直，根據(jù)(1)中你得到的參數(shù)方程，確定D的坐標(biāo)解：(1)C的普通方程為(x1)2y21(0y1)可得C的參數(shù)方程為x1cost，ysint(t為參數(shù)，0t)(2)設(shè)D(1cost，sint)由(1)知C是以G(1，0)為圓心，1 為半徑的上半圓因?yàn)镃在點(diǎn)D處的切線與l垂直，所以直線GD與l的斜率相同，tant 3，t3.故D的直角坐標(biāo)為1cos3，sin3 ，即32，32 .7(2013課標(biāo)，23，10 分，中)已知動點(diǎn)P，Q都在曲線C：x2cost，y2sint(t為參數(shù))上，對應(yīng)參數(shù)分別為t與t2(02)，M為PQ的中點(diǎn)(1)求M的軌跡的參數(shù)方程；(2)將M到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離

12、d表示為的函數(shù)，并判斷M的軌跡是否過坐標(biāo)原點(diǎn)解：(1)依題意有P(2cos，2sin)，Q(2cos 2，2sin 2)，因此M(coscos 2，sinsin 2)M的軌跡的參數(shù)方程為8xcoscos 2，ysinsin 2(為參數(shù)，02)(2)M點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離dx2y2 22cos(02)當(dāng)時，d0，故M的軌跡過坐標(biāo)原點(diǎn)(2014課標(biāo)，23，10 分)已知曲線C：x24y291.直線l：x2t，y22t(t為參數(shù))(1)寫出曲線C的參數(shù)方程，直線l的普通方程；(2)過曲線C上任意一點(diǎn)P作與l夾角為 30的直線，交l于點(diǎn)A，求|PA|的最大值與最小值【思路導(dǎo)引】(1)由基本關(guān)系式可消參求

13、出普通方程；(2)把|PA|用參數(shù)來表示，從而求其最值【解析】(1)曲線C的參數(shù)方程為x2cos，y3sin(為參數(shù))直線l的普通方程為 2xy60.(2)曲線C上任意一點(diǎn)P(2cos，3sin)到l的距離為d55|4cos3sin6|.則|PA|dsin 302 55|5sin()6|，其中為銳角，且 tan43.當(dāng) sin()1 時，|PA|取得最大值，最大值為22 55.當(dāng) sin()1 時，|PA|取得最小值，最小值為2 55.(2013遼寧，23，10 分)在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系圓C1，直線C2的極坐標(biāo)方程分別為4sin，cos4 2 2.(1

14、)求C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)；(2)設(shè)P為C1的圓心，Q為C1與C2交點(diǎn)連線的中點(diǎn)，已知直線PQ的參數(shù)方程為9xt3a，yb2t31(tR R 為參數(shù))，求a，b的值【解析】(1)圓C1的直角坐標(biāo)方程為x2(y2)24，直線C2的直角坐標(biāo)方程為xy40.解x2（y2）24，xy40得x10，y14，x22，y22.所以C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)為4，2 ，2 2，4 .注：極坐標(biāo)系下點(diǎn)的表示不唯一(2)由(1)可得，P點(diǎn)與Q點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為(0，2)，(1，3)故直線PQ的直角坐標(biāo)方程為xy20.由參數(shù)方程可得yb2(xa)1b2xab21，所以b21，ab212，解得a1，b2.【點(diǎn)撥】解答本題

15、的關(guān)鍵是明確轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，即把極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)，把參數(shù)方程化為普通方程求解問題2011課標(biāo)全國，23，10 分)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為x2cos，y22sin(為參數(shù))，M是C1上的動點(diǎn)，P點(diǎn)滿足OP2OM，P點(diǎn)的軌跡為曲線C2.(1)求C2的方程；(2)在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，射線3與C1的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為A，與C2的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為B，求|AB|.解：(1)設(shè)P(x，y)，則由條件知Mx2，y2 .10由于M點(diǎn)在C1上，所以x22cos，y222sin，即x4cos，y44sin.從而C2的參數(shù)方程為x4cos，y44sin(為參數(shù))(2)C1

16、化為普通方程為x2(y2)24，故曲線C1的極坐標(biāo)方程為4sin，同理可得曲線C2的極坐標(biāo)方程為8sin.射線3與C1的交點(diǎn)A的極徑為14sin32 3，射線3與C2的交點(diǎn)B的極徑為28sin34 3.所以|AB|21|2 3.5(2014遼寧錦州一模，23，10 分)已知圓的極坐標(biāo)方程為24 2cos(4)60.(1)將極坐標(biāo)方程化為普通方程；(2)若點(diǎn)P(x，y)在該圓上，求xy的最大值和最小值解：(1)原方程變形為24cos4sin60，化直角坐標(biāo)方程為x2y24x4y60，即(x2)2(y2)22.(2)設(shè)圓的參數(shù)方程為x2 2cos，y2 2sin(為參數(shù))，點(diǎn)P(x，y)在圓上，則xy42sin4 .11所以xy的最大值為 6，最小值為 2.6(2015山西太原聯(lián)考，23，10 分)已知平面直角坐標(biāo)系xOy，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，點(diǎn)P的極坐標(biāo)為2 3，6 ，曲線C的極坐標(biāo)方程為22 3sin1.(1)寫出點(diǎn)P的直角坐標(biāo)及曲線C的直角坐標(biāo)方程；(2)若Q為曲線C上的動點(diǎn)，求PQ中