矢量分析與場論第四版謝樹藝習題答案解析

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上習題1 解答1寫出下列曲線的矢量方程，并說明它們是何種曲線。解： ，其圖形是平面上之橢圓。 ，其圖形是平面與圓柱面之交線，為一橢圓。2設有定圓與動圓，半徑均為，動圓在定圓外相切而滾動，求動圓上一定點所描曲線的矢量方程。解：設點的矢徑為，與軸的夾角為；因有則故4求曲線的一個切向單位矢量。解：曲線的矢量方程為則其切向矢量為 模為 于是切向單位矢量為6求曲線在處的一個切向矢量。解：曲線矢量方程為 切向矢量為在處， 7.求曲線 在對應于 的點M處的切線方程和法平面方程。 解：由題意得曲線矢量方程為在的點M處，切向矢量于是切線方程為于是法平面方程為，即 8求曲線上的這樣的點，使

2、該點的切線平行于平面。解：曲線切向矢量為， 平面的法矢量為，由題知 得。將此依次代入式，得故所求點為 習題2 解答1說出下列數(shù)量場所在的空間區(qū)域，并求出其等值面。解：場所在的空間區(qū)域是除外的空間。等值面為，這是與平面平行的空間。場所在的空間區(qū)域是除原點以外的的點所組成的空間部分。等值面為，當時，是頂點在坐標原點的一族圓錐面（除頂點外）；當時，是除原點外的平面。2求數(shù)量場經(jīng)過點的等值面方程。解：經(jīng)過點等值面方程為，即，是除去原點的旋轉(zhuǎn)拋物面。3已知數(shù)量場，求場中與直線相切的等值線方程。 解：設切點為，等值面方程為，因相切，則斜率為 ，即點在所給直線上，有解之得故4求矢量的矢量線方程。解 矢量線滿

3、足的微分方程為， 或 有解之得5.求矢量場通過點的矢量線方程。解 矢量線滿足的微分方程為由，按等比定理有即解得故矢量線方程為又求得故所求矢量線方程為習題3 解答1求數(shù)量場在點處沿的方向?qū)?shù)。解：因，其方向余弦為在點處有所以2求數(shù)量場在點處沿曲線朝增大一方的方向?qū)?shù)。解：所求方向?qū)?shù)，等于函數(shù)在該點處沿曲線上同一方向的切線方向?qū)?shù)。曲線上點M所對應的參數(shù)為,從而在點M處沿所取方向，曲線的切向方向?qū)?shù)為，其方向余弦為又。于是所求方向?qū)?shù)為3求數(shù)量場在點處沿哪個方向的方向?qū)?shù)最大？解： 因， 當時，方向?qū)?shù)最大。即函數(shù)沿梯度方向的方向?qū)?shù)最大最大值為。4.畫出平面場中的等值線，并畫出場在與點處的梯度

4、矢量，看其是否符合下面事實：（1）梯度在等值線較密處的模較大，在較稀處的模較??；（2）在每一點處，梯度垂直于該點的等值線，并指向增大的方向。解：所述等值線的方程為：其中第一個又可以寫為為二直線，其余的都是以軸為實軸的等軸雙曲線（如下圖,圖中）由于故由圖可見，其圖形都符合所論之事實。5用以下二法求數(shù)量場在點處沿其矢徑方向的方向?qū)?shù)。 直接應用方向?qū)?shù)公式； 作為梯度在該方向上的投影。解：點P的矢徑其模其方向余弦為又所以 故 6，求數(shù)量場在點與點處梯度的大小和方向余弦。又問在哪些點上梯度為0？解：其模依次為：于是的方向余弦為的方向余弦為求使之點，即求坐標滿足之點，由此解得故所求之點為7通過梯度求曲

5、面上一點處的法線方程。解：所給曲面可視為數(shù)量場的一張等值面，因此，場在點處的梯度，就是曲面在該點的法矢量，即 故所求的法線方程為8求數(shù)量場在點處等值面朝軸正向一方的法線方向?qū)?shù)。 解：因梯度與夾角為鈍角，所以沿等值面朝軸正向一方的法線方向?qū)?shù)為 習題 41.設S為上半球面求矢量場向上穿過S的通量?！咎崾荆鹤⒁釹的法矢量n與r同指向】解：2.設S為曲面求流速場在單位時間內(nèi)下側(cè)穿S的流量Q。解： 其中D為S在xOy面上的投影區(qū)域：用極坐標計算，有3.設S是錐面在平面的下方部分，求矢量場向下穿出S的通量。解：略4.求下面矢量場A的散度。（1）（2）（3）解：（1）（2）（3）5.求在給定點處的值：（

6、1）（2）（3）解：（1）（2）（3）， 故。6.已知求。解：故 7求矢量場A從內(nèi)穿出所給閉曲面S的通量：（1）（2）解：（1）其中為S所圍之球域今用極坐標計算，有（2）。 習題五1 求一質(zhì)點在力場的作用下沿閉曲線從運動一周時所做的功。解：功 2.求矢量場沿下列曲線的環(huán)量：（1）圓周；（2）圓周。解：（1）令，則圓周的方程成為，于是環(huán)量（2）令，則圓周的方程成為，于是環(huán)量3.用以下兩種方法求矢量場在點M（1,2,3）處沿方向的環(huán)量面密度。（1）直接應用環(huán)量面密度的計算公式；（2）作為旋度在該方向上的投影。解：（1）故的方向余弦為又根據(jù)公式，環(huán)量面密度(2)于是 4用雅可比矩陣求下列矢量場的散度

7、和旋度。（1）（2）（3）解：（1）故有（2）故有（3）故有。5.已知求解：,有6.已知求解：故有 習題 六1.證明下列矢量場為有勢場，并用公式法和不定積分法求其勢函數(shù)。（1）（2）解：（1）記則所以A為有勢場。下面用兩種方法求勢函數(shù)：公式法： 不定積分法：因勢函數(shù)滿足，即有將第一個方程對積分，得對求導，得，與第二個方程比較，知于是從而再對求導，得與第三個方程比較，知，故所以（2）記則所以A為有勢場。下面用兩種方法求勢函數(shù)：公式法： 不定積分法：因勢函數(shù)滿足，即有將第一個方程對積分，得對求導，得，與第二個方程比較，知于是從而再對求導，得與第三個方程比較，知，故所以2.下列矢量場A是否保守場？若

8、是，計算曲線積分：（1），的起點為終點為（2），的起點為終點為解：（1）有故為保守場。因此，存在。按公式于是。（2）有故為保守場。因此，存在。按公式于是。3.求下列全微分的原函數(shù)：（1）（2）解：由公式（1） ；（2）。9.證明矢量場為調(diào)和場，并求其調(diào)和函數(shù)。解：，有故A為調(diào)和場。其調(diào)和函數(shù)由公式10.已知【提示：】解：則13.試證矢量場為平面調(diào)和場，并且：（1）求出場的力函數(shù)和勢函數(shù)；（2）畫出場的力線和等勢線的示意圖。證：記則有故為平面調(diào)和場。（1）由公式，并取其中，則勢函數(shù) 力函數(shù) （2）分別令與等于常數(shù)，就得到力線方程： ，等勢線方程： 二者均為雙曲線族，但對稱軸相差角。如上圖所示。

9、14.已知平面調(diào)和場的力函數(shù) ，求場的勢函數(shù)及場矢量.解：力函數(shù)與勢函數(shù)之間滿足以下關系：由有由此，又與前式相比可知所以故勢函數(shù)于是。場矢量 習題 八2 計算下列曲線坐標系中的拉梅系數(shù)。（1） 曲線坐標，它與直角坐標的關系是：（2）曲線坐標，它與直角坐標的關系是：解：（1）因曲線坐標系是正交的，根據(jù)有 于是 ，故拉梅系數(shù)為：，（或）。（2）因曲線坐標系不是正交的，故不能用上面的方法來求。根據(jù)按定義有由此得拉梅系數(shù)為：歡迎您的光臨，Word文檔下載后可修改編輯.雙擊可刪除頁眉頁腳.謝謝！希望您提出您寶貴的意見，你的意見是我進步的動力。贈語； 1、如果我們做與不做都會有人笑，如果做不好與做得好還會有人笑，那么我們索性就做得更好，來給人笑吧！ 2、現(xiàn)在你不玩命