博弈論與信息經(jīng)濟(jì)學(xué) 第三章 不完全信息靜態(tài)博弈

1、博弈論任課教師：南京航空航天大學(xué) 經(jīng)管學(xué)院 李幫義 教授博弈論與信息經(jīng)濟(jì)學(xué)第三章 不完全信息靜態(tài)博弈1，阿克羅夫：1970，檸檬市場(chǎng)：質(zhì)量不確定性與市場(chǎng)機(jī)制2，信貸市場(chǎng)、旅游市場(chǎng)3，不確定性：主觀+客觀不完全信息博弈例：市場(chǎng)進(jìn)入阻撓博弈：不完全信息40，50-10，030，80-10，1000，3000，3000，4000，400在位者高成本情況低成本情況默許斗爭(zhēng)默許斗爭(zhēng)進(jìn)入者進(jìn)入不進(jìn)入 如果在位者是高成本，給定進(jìn)入者進(jìn)入，在位者的最優(yōu)選擇是默許；如果在位者是低成本，給定進(jìn)去者進(jìn)入，在位者的最優(yōu)選擇是斗爭(zhēng)。由于進(jìn)入者并不知道在位者究竟是高成本還是低成本，進(jìn)入者的最優(yōu)依賴于它在多大程度上認(rèn)為在位

2、者是高成本的或低成本的。假定進(jìn)入者認(rèn)為在位者是高成本的概率是p，低成本的概率是（1-p）。進(jìn)入者選擇進(jìn)入的期望利潤是40p+(-10) (1-p) 0 p1/5.海薩尼轉(zhuǎn)換 對(duì)于不完全信息靜態(tài)博弈，我們首先介紹一種稱為“海薩尼轉(zhuǎn)換”的思想。海薩尼1967年提出了一種對(duì)得益不了解轉(zhuǎn)化為對(duì)類型不了解思路的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步將不完全信息靜態(tài)博弈轉(zhuǎn)化為完全但不完美信息動(dòng)態(tài)博弈進(jìn)行分析的思路，被稱為“海薩尼轉(zhuǎn)換”。海薩尼轉(zhuǎn)換 海薩尼提出的處理不完全信息博弈的方法是，引入一個(gè)虛擬的參與人“自然”；自然首先行動(dòng)決定參與人的特征，參與人知道自己的特征，其他參與人不知道。N高低進(jìn)入者p1-p不進(jìn)入進(jìn)入不進(jìn)入進(jìn)入在位

3、者在位者(0,300)(40,50)(-10,0)(0,400)(30,80)(-10,100)合作斗爭(zhēng)合作斗爭(zhēng)上例市場(chǎng)進(jìn)入阻撓博弈就可以轉(zhuǎn)換為如圖的完全但不完美信息博弈。*完美信息博弈：如果博弈樹的所有信息集都是單結(jié)的。海薩尼轉(zhuǎn)換 海薩尼轉(zhuǎn)換已成為處理不完全信息博弈的標(biāo)準(zhǔn)方法。 將一個(gè)參與人所擁有的所有私人信息（即所有不是共同知識(shí)的信息）被稱為該參與人的。一般地，用 表示參與人 的類型，它屬于一個(gè)可能的類型集 。 類型依賴：每一個(gè)人的行動(dòng)都依賴于它的類型。 通過海薩尼轉(zhuǎn)換，博弈開始時(shí)，所有參與人對(duì)“自然”的行動(dòng)有一致的信念，即都知道所有參與人類型的概率分布函數(shù) 。此即“”。iiinp,.,1

4、海薩尼轉(zhuǎn)換用 表示除 之外的所有參與人的類型組合。這樣， 。我們稱),(111niiii),(),.,(1iin)(iiip為參與人i的條件概率，即給定參與人i屬于類型i的條件下，他有關(guān)其他參與人屬于i的概率。根據(jù)條件概率規(guī)則，iiiiiiiiiiiippppp),(),()(),()(這里， 是邊緣概率。如果類型的分布是獨(dú)立的，)(ip)()(iiiipp不完全信息和貝葉斯納什均衡 貝葉斯納什均衡是完全信息靜態(tài)博弈納什均衡概念在不完全信息靜態(tài)博弈上的擴(kuò)展。不完全信息靜態(tài)博弈又稱為靜態(tài)貝葉斯博弈。 ：n人靜態(tài)貝葉斯博弈的戰(zhàn)略式表述包括：參與人的類型空間n,1，條件概率npp ,.,1，類型依存

5、戰(zhàn)略空間 nnAA,.,11，和類型依存支付函數(shù));,(),.,;,(1111nnnnaauaau參與人i知道自己的類型ii，條件概率)(iiiipp描述給定自己屬于 的情況下，參與人i有關(guān)其他參與人類型iii的不確定性。我們用,;,;,;,1111nnnnuuppAAG代表這個(gè)博弈。不完全信息和貝葉斯納什均衡 人不完全信息靜態(tài)博弈的時(shí)間順序?yàn)椋鹤匀唤o定類型向量 ，其中， ，參與人 觀察到 ，但參與人 （ ）只知道 ，觀察不到 ；參與人同時(shí)選擇行動(dòng)，參與人 從可行集 中選擇行動(dòng) ， 人的行動(dòng)組合為 ；參與人 的支付函數(shù)為 。注意，在上面的定義中，雖然參與人 的類型是私人信息，但是，行動(dòng)空間和效

6、用函數(shù)的結(jié)構(gòu)是共同知識(shí)。換句話說，盡管其他參與人并不知道參與人 的類型 ，但是，他們知道參與人 的行動(dòng)空間和支付函數(shù)是如何依賴于參與人 的類型的。 n),(1niiiiji)|(jjjpii)(iiAian),(1naa ai);,(iiiiauaiiiii不完全信息和貝葉斯納什均衡：在靜態(tài)貝葉斯 博弈中，純策略貝葉斯納什均衡純策略貝葉斯納什均衡是一個(gè)類型依存策略組合 ，其中，每個(gè)參與人 在給定自己的類型 和其他參與人依存策略 的情況下最大化自己的預(yù)期效用函數(shù) 。換句話說，策略組合 是一個(gè)貝葉斯納什均衡，如果對(duì)每一參與人 及 的類型集 中的每一個(gè) ， 滿足 亦即，沒有參與人愿意改變自己的策略，

7、即使這種改變只涉及一種類型下的一個(gè)行動(dòng)。 ,;,;,;,1111nnnnuuppAAG)(,),()(11nnaaaii)(iiaiuiE)(,),()(11nnaaaiiii)(iia)|();(,),(,),(,),(max111111iiinniiiiiiAapaaaaauiiiii貝葉斯均衡的應(yīng)用舉例1.不完全信息庫諾特模型策？時(shí)，兩個(gè)企業(yè)將如何決為當(dāng)概率高成本低成本有兩個(gè)類型。：企業(yè)。其中：企業(yè)，已知：市場(chǎng)總供給2214543)(,021)(,01)(22221221221121121112121acccqqaqqqqccqqaqqqqqqapqqHL貝葉斯均衡的應(yīng)用舉例HLctqq

8、qqqttqqtqqtqqqcq21211122122212224321)45(21)(21,4345)()(22），高成本（，低成本求導(dǎo)得：，高成本，低成本其中令解：企業(yè)2：貝葉斯均衡的應(yīng)用舉例企業(yè)1：245,2411,31)21211 (21)(121)(121)(1)(122122121121112122111HLHLHLHLqqqqqqqqqqqqEqqqqqq代入，聯(lián)合解得：求導(dǎo)得：高成本：低成本：貝葉斯均衡的應(yīng)用舉例2.一階招標(biāo)拍賣 一級(jí)密封價(jià)格拍賣（the first-price sealed auction）是許多拍賣方式中的一種。在這種拍賣中，投標(biāo)人（bidders）同時(shí)將自

9、己的出價(jià)寫下來裝入一個(gè)信封，密封后交給拍賣人，拍賣人打開信封，出價(jià)最高者是贏家(獲得拍賣品)，并按他的出價(jià)支付。這里，每個(gè)投標(biāo)人的策略是根據(jù)自己對(duì)物品的評(píng)價(jià)和對(duì)其他投標(biāo)人評(píng)價(jià)的判斷來選擇自己的出價(jià)，贏者的支付是他對(duì)物品的評(píng)價(jià)減去他的出價(jià)，其他投標(biāo)人的支付為零。 貝葉斯均衡的應(yīng)用舉例 首先考慮兩個(gè)投標(biāo)人的情況， 。令 是投標(biāo)人 的出價(jià)， 為拍賣品對(duì)投標(biāo)人 的價(jià)值。假定 只有 自己知道，因而 是投標(biāo)人 的類型，但兩個(gè)投標(biāo)人都知道 獨(dú)立地取自定義在區(qū)間 上的均勻分布函數(shù)。投標(biāo)人 的支付為2 , 1i0ibiiiviiviiviv1,0ijijiiijiiiijiibbbbbvbbbvvbbu如果如果

10、如果,0, )(,);,(21貝葉斯均衡的應(yīng)用舉例iiijiiiiiiijiiijjiiijjiiijjiiiijjijjijjjiijjjijjjjjiiiiiivvbaacavcvbavvbcabbvvbbPbvvbbPbvucabcabvPvbbPvvcabvcavbbvcavb21021,212121)()(21)(1 ,0綜上所述，由于求導(dǎo)得：又則：現(xiàn)假設(shè)：貝葉斯均衡的應(yīng)用舉例3.不完全信息情況下公共產(chǎn)品的提供 在第一章我們?cè)懻撨^完全信息下公共產(chǎn)品的資源提供問題?，F(xiàn)在來討論不完全信息下公共產(chǎn)品的自愿提供問題。1-c1,1-c21-c1,11,1-c20,0參與人2提供不提供參與人1

11、提供不提供假定公共產(chǎn)品的好處（每人1單位）是共同知識(shí)，但每人的提供成本只有自己知道（成本 是參與人 的類型）。 和 具有相同的、獨(dú)立的定義在 上的分布函數(shù)，且是共同知識(shí)。ici1c2c,cc貝葉斯均衡的應(yīng)用舉例 是從 到0，1的一個(gè)函數(shù)，其中0表示不提供，1表示提供。參與人 的支付函數(shù)為： )(iica,cciiiijiicaaacaau),max(),(21貝葉斯均衡是一組戰(zhàn)略組合 ，使得對(duì)于每一個(gè) 和每一個(gè)可能的 ，戰(zhàn)略 最大化參與人 的期望效用函數(shù) 。令 為均衡狀態(tài)下參與人 提供的概率。最大化行為意味著，只有當(dāng)參與人 預(yù)期參與人 不提供時(shí)，參與人 才會(huì)考慮自己是否提供。因?yàn)閰⑴c人 不提供

12、的概率是 ，參與人 提供的預(yù)期收益是 ，因此只有當(dāng) 時(shí)，參與人 才會(huì)提供，即如果 ， ；如果 ， 。 ).,.(21aaiic(.)iai),(iijiijccaauEc1jjjcaPzjjiiiij)1(jz)1 (1jzjizc1jizc11)(iicajizc10)(iica貝葉斯均衡的應(yīng)用舉例 這就意味著，存在一個(gè)分割點(diǎn) 使得只有當(dāng) 時(shí)，參與人 才會(huì)提供。類似的，存在一個(gè) 使得只有當(dāng) 時(shí)，參與人 才會(huì)提供。ic,iicccijc,jjcccjcccic1)(iica0)(iicacjc1)(jjca0)(jjca jjjjicFccPzc111同理： ijcFc1由上兩式可得： iic

13、FFc11貝葉斯均衡的應(yīng)用舉例3203213221121121)(,2,0iiiiiiiiiicccacccccFc，假設(shè)：1212信息不完全時(shí)，公共物品提供的概率：954)34(422/32/3貝葉斯均衡的應(yīng)用舉例信息完全的情況下：1-c1,1-c21-c1,11,1-c20,0參與人2提供不提供參與人1提供不提供若c11,c21 類似斗雞博弈。若c11,c21,c21 類似囚徒困境。1212信息完全時(shí)，公共物品提供的概率3/4.貝葉斯均衡的應(yīng)用舉例4.雙方叫價(jià)拍賣 在雙方叫價(jià)拍賣（double auction）中，同一物品的潛在賣方和買方同時(shí)叫價(jià)，賣方報(bào)價(jià)同時(shí)買方出價(jià)。然后，拍賣人選擇一個(gè)

14、價(jià)格 使市場(chǎng)出清：所有報(bào)價(jià)低于 的賣方賣出，所有報(bào)價(jià)高于 的買方買進(jìn)；且價(jià)格為 時(shí)的總供給等于總需求。 賣者提供該商品的成本是 ，該商品對(duì)買者的價(jià)值是 ，買者和賣者同時(shí)選擇出價(jià)和要價(jià)，分別為pppp 1 , 0c1 ,0v。和賣者的效用均為，沒有交易發(fā)生；買者如果。買者的效用是賣者的效用是上成交；，雙方在如果；和02/)(,2/)(2/)(1 , 01 , 0bsbsbbssbsbsbsppppvucppuppppppp貝葉斯均衡的應(yīng)用舉例 現(xiàn)在考慮不完全信息下，即只有賣者知道 ，只有買者知道 （因而 是賣者的類型， 是買者的類型）。假定 和 在 上均勻分布，分布函數(shù)是共同知識(shí)。 在這個(gè)貝葉斯

15、博弈中，賣者的戰(zhàn)略（要價(jià)） 是 的函數(shù) ；買者的戰(zhàn)略（要價(jià)） 是 的函數(shù) 。戰(zhàn)略組合 是一個(gè)貝葉斯均衡，如果下列兩個(gè)條件成立：ccccvvvv 1 , 0sp cpsbp vpb ),(vpcpbs cppPcppcpEpvvppvpPcpvpvpEpcpsbsbsbpbsbsbbspsbs(21max)(21max買者最優(yōu)：賣者最優(yōu)：貝葉斯均衡的應(yīng)用舉例現(xiàn)假定： ccpsss vvpbbb cppcppppvpPdxxpvpvpEppvPpvPpvpPpvbbsbsbbbbsspbbssbpbsbbbsbbbbssbbsbbbbbsbbs3231)(2121max)(211,) 1 , 0）（求導(dǎo)得：代入賣者的目標(biāo)函數(shù)：上均勻分布。在上均勻分布，因此，在因?yàn)樨惾~斯均衡的應(yīng)用舉例 vppppvpcppPdxxcppcpEppcPcpPcppPpcssssbsbbpsbsbpssbsssbssbssbsbssssbbs3231)(2121max)(211, 1 , 0求導(dǎo)得：代