數(shù)值分析3-1研

1、1第三章第三章 非線性方程組求根非線性方程組求根引言引言不動點(diǎn)迭代法不動點(diǎn)迭代法牛頓法及其變形牛頓法及其變形求解非線性方程組的牛頓法求解非線性方程組的牛頓法電子工程應(yīng)用電子工程應(yīng)用例例3.1： 隧道二極管電路隧道二極管電路 實(shí)際電路通常包含線性和非線性元件，二極實(shí)際電路通常包含線性和非線性元件，二極管是一種最基本的非線性元件。管是一種最基本的非線性元件。2隧道二極管的電流隧道二極管的電流- -電壓關(guān)系電壓關(guān)系電壓電壓- -x, , 電流電流- -y y =g(x)3.1 引言引言3.1 引言引言3( )0Rg xxE ( )Exg xR ( )yg x ExyR 引言引言二次方程二次方程420

2、axbxc的根可以表示為的根可以表示為242bbacxa 方程求根，也是求方程左邊函數(shù)的零點(diǎn)方程求根，也是求方程左邊函數(shù)的零點(diǎn)各類方程均可表示為各類方程均可表示為( )0f x 若若f(x)是多項(xiàng)式是多項(xiàng)式 f(x)=a0+a1x+a2x2+anxn 5若若f(x)含三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等超越函數(shù)含三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等超越函數(shù)則方程則方程 f (x)=0 超越方程超越方程 例如：例如： x2-5x+2=02 2次代數(shù)方程次代數(shù)方程2x-5x+2=0超越方程超越方程3.1 引言引言則方程則方程 f (x)=0 n次代數(shù)方程次代數(shù)方程高于高于1次的代數(shù)方程和超越方程次的代數(shù)方程和超越方程 非線性方程

3、非線性方程 非線性方程求根非線性方程求根 f(x)=0 6非線性問題的求解，比線性問題復(fù)雜非線性問題的求解，比線性問題復(fù)雜x*y= f(x)Oxy若有若有x*，使，使 f(x*)=0成立，成立，則則 x*是方程是方程 f(x)=0 的的根根 或函數(shù)或函數(shù) f(x) 的的零點(diǎn)零點(diǎn)3.1 引言引言7若若 f(x) 可分解為可分解為 ),(*)()(xgxxxfm 其中其中 為正整數(shù)，且為正整數(shù)，且 m*()0.g x當(dāng)當(dāng)m=1時，稱時，稱 x* 為單根為單根 ；*(1)*()()()0,mf xfxfx()*()0.mfx當(dāng)當(dāng)m1時，稱時，稱 x* 為為m重根，或重根，或 x* 為為f(x)的的m

4、重零點(diǎn)。重零點(diǎn)。若若x* 為為f(x)的的m重零點(diǎn)，且重零點(diǎn)，且g(x)充分光滑，則充分光滑，則3.1 引言引言1. 對于高次代數(shù)方程對于高次代數(shù)方程(次數(shù)大于等于次數(shù)大于等于4)，不能用方，不能用方程系數(shù)的解析式表示程系數(shù)的解析式表示2. 對于超越方程，沒有求根公式對于超越方程，沒有求根公式 如何求根？如何求根？8本章內(nèi)容：本章內(nèi)容：非線性方程和方程組求非線性方程和方程組求根的近似值的各種根的近似值的各種數(shù)值方法數(shù)值方法3.1 引言引言9 方程求根，主要解決以下問題：方程求根，主要解決以下問題： 3. 根的精確化根的精確化1. 根的存在性（方程有無根？若有，有根的存在性（方程有無根？若有，有

5、幾個根？）幾個根？）2. 根的隔離（根的分布）根的隔離（根的分布）3.1 引言引言不動點(diǎn)迭代法不動點(diǎn)迭代法-迭代格式的構(gòu)造迭代格式的構(gòu)造迭代的斂散性條件迭代的斂散性條件迭代法的局部收斂性迭代法的局部收斂性迭代法的收斂速度迭代法的收斂速度牛頓法牛頓法牛頓法的局部收斂性牛頓法的局部收斂性3.23.2 迭代法迭代法不動點(diǎn)迭代法不動點(diǎn)迭代法-迭代格式的構(gòu)造迭代格式的構(gòu)造迭代的斂散性條件迭代的斂散性條件迭代法的局部收斂性迭代法的局部收斂性迭代法的收斂速度迭代法的收斂速度牛頓法牛頓法牛頓法的局部收斂性牛頓法的局部收斂性3.23.2 迭代法迭代法3.2 迭代法迭代法基本思想：基本思想：逐次逼近逐次逼近用某個

6、固定公式反復(fù)校正根的近似值，從而得到一用某個固定公式反復(fù)校正根的近似值，從而得到一個近似根的序列個近似根的序列 xk ，使該序列的極限為方程的根。，使該序列的極限為方程的根。12 是一種常用的計算技術(shù)是一種常用的計算技術(shù) 將一個計算過程反復(fù)進(jìn)行將一個計算過程反復(fù)進(jìn)行 構(gòu)造有效的迭代格式構(gòu)造有效的迭代格式 選取合適的迭代初值選取合適的迭代初值 對迭代格式進(jìn)行收斂性分析對迭代格式進(jìn)行收斂性分析3.2.1 迭代法迭代法-迭代格式的構(gòu)造迭代格式的構(gòu)造已知方程已知方程 f (x) = 0 在區(qū)間在區(qū)間a,b 內(nèi)有一根內(nèi)有一根 f(x)=0 x=(x) （同解方程）（同解方程）若存在若存在 x*，使使 x

7、*=(x*)，則則 x*是方程是方程 f(x)=0 的根（也稱為的根（也稱為(x) 的的不動點(diǎn)不動點(diǎn)）13任取任取0 , xa b 代入遞推公式代入遞推公式1(),0,1,2kkxxk 得序列得序列012,xxx 記為記為 xk14當(dāng)當(dāng)k 若序列若序列xk有極限有極限x*，且且(x)在在x*附近連續(xù)附近連續(xù)時時x*=(x*)1(),0,1,2kkxxk 迭代格式迭代格式(x)迭代函數(shù)迭代函數(shù)迭代序列迭代序列xk迭代收斂迭代收斂k 時，時，xk有極限有極限x*迭代發(fā)散迭代發(fā)散*0 xx 時，時，xk無極限無極限此種求根方法此種求根方法稱為稱為不動點(diǎn)迭代法不動點(diǎn)迭代法（簡單迭代法簡單迭代法）。）。

8、1limlim ()kkkkxx (lim)kkx f(x*)=0可得可得3.2.1迭代法迭代法-迭代格式的構(gòu)造迭代格式的構(gòu)造151(),0,1,2kkxxk 不動點(diǎn)迭代法是一種逐次逼近法，其基本思想是將不動點(diǎn)迭代法是一種逐次逼近法，其基本思想是將隱式方程隱式方程( )0f x 歸結(jié)為一組顯式的計算公式歸結(jié)為一組顯式的計算公式即：迭代過程實(shí)質(zhì)上是一即：迭代過程實(shí)質(zhì)上是一個逐步顯式化的過程個逐步顯式化的過程x0y = x( )yx x1x2x*(x0, y0)(x1, y1)( )xx ( )yxyx 3.2.1迭代法迭代法-迭代格式的構(gòu)造迭代格式的構(gòu)造輸入：輸入：x0, f(x), phi(x

9、); 輸出：輸出：x.k = 0; er=1; while |f(x0)| epsi1 或或 er epsi2 x = phi(x0); er = |x-x0|; x0 = x; k = k+1;end16算法：不動點(diǎn)迭代法算法：不動點(diǎn)迭代法3.2.1 迭代格式的構(gòu)造迭代格式的構(gòu)造例例3.2：求方程：求方程 在區(qū)間在區(qū)間1, 2內(nèi)的根。內(nèi)的根。以不同的方式得到方程的等價形式，并研究相應(yīng)以不同的方式得到方程的等價形式，并研究相應(yīng)的不動點(diǎn)迭代法的收斂情況。的不動點(diǎn)迭代法的收斂情況。17324100 xx解：將原方程化為與其等價的方程解：將原方程化為與其等價的方程形式一：形式一：迭代函數(shù)為迭代函數(shù)為

10、32410 xxxx321( )410 xxxx則迭代格式為則迭代格式為321410kkkkxxxx3.2.1 迭代格式的構(gòu)造迭代格式的構(gòu)造以初值以初值 x0=1.5 代入，迭代代入，迭代4次的結(jié)果為次的結(jié)果為18k012341.5-0.8756.732-469.7kx81.03 10顯然，繼續(xù)迭代下去已經(jīng)沒有必要顯然，繼續(xù)迭代下去已經(jīng)沒有必要因?yàn)榈Y(jié)果的絕對值顯然會越來越大，且正負(fù)值因?yàn)榈Y(jié)果的絕對值顯然會越來越大，且正負(fù)值交替出現(xiàn)，不可能趨于某個定數(shù)交替出現(xiàn)，不可能趨于某個定數(shù)這種不收斂的迭代過程稱作是這種不收斂的迭代過程稱作是發(fā)散發(fā)散的的3.2.1 迭代格式的構(gòu)造迭代格式的構(gòu)造形式二

11、：將原方程形式二：將原方程 改寫成改寫成考慮所求的根為正根，方程可化為考慮所求的根為正根，方程可化為1923410 xx3 1/21(10)2xx迭代格式為迭代格式為3 1/211(10)2kkxx 13221( )10-2xx 即即324100 xx3.2.1 迭代格式的構(gòu)造迭代格式的構(gòu)造取初值取初值 x0=1.5，多次迭代可得，多次迭代可得20k01238201.51.28695381.40254081.34545841.36541011.3652302kx迭代迭代8次，近似解便已穩(wěn)定在次，近似解便已穩(wěn)定在1.365上。迭代上。迭代收斂！收斂！原方程可轉(zhuǎn)化成多種等價形式，有多種迭代格式原方

12、程可轉(zhuǎn)化成多種等價形式，有多種迭代格式有的收斂，有的發(fā)散有的收斂，有的發(fā)散只有只有收斂收斂的迭代格式才有意義的迭代格式才有意義不動點(diǎn)迭代法不動點(diǎn)迭代法-迭代格式的構(gòu)造迭代格式的構(gòu)造迭代的斂散性條件迭代的斂散性條件迭代法的局部收斂性迭代法的局部收斂性迭代法的收斂速度迭代法的收斂速度牛頓法牛頓法牛頓法的局部收斂性牛頓法的局部收斂性3.23.2 迭代法迭代法22問題：問題： 如何判斷迭代格式是否收斂？如何判斷迭代格式是否收斂？ 誤差怎樣估計？誤差怎樣估計？ 如何構(gòu)造如何構(gòu)造收斂的收斂的迭代格式？迭代格式？3.2.2 不動點(diǎn)的存在性與迭代法的收斂性不動點(diǎn)的存在性與迭代法的收斂性233.2.2 不動點(diǎn)的

13、存在性與迭代法的收斂性不動點(diǎn)的存在性與迭代法的收斂性x0y = x( )yx ( )x 迭代函數(shù)迭代函數(shù)( )xx ( )yxyx x1x2x*x0y = x( )yx x1x2x*(x0, y0)(x1, y1)(x0, y0)(x1, y1)kkkkyxyx1() 1()kkxx 如果如果 , 且滿足兩個條件且滿足兩個條件: ; 24,)(1baCx ( )axb 1| )(| Lx 則：則：(1) 方方 程程 x =(x) 在在a,b上有唯一根；上有唯一根； (2) 對任意對任意 x0 a, b , 迭代格式迭代格式 產(chǎn)生的序列產(chǎn)生的序列 xk 收斂到收斂到 x*1()kkxx *1|1

14、kkkLxxxxL (3)(4)*10|1kkLxxxxL (5)*1*lim()kkkxxxxx 定理定理3.1 不動點(diǎn)迭代全局收斂性定理不動點(diǎn)迭代全局收斂性定理25證：證：(1) 如何證如何證? 作函數(shù)作函數(shù) g (x) = x - (x). 由條件由條件 知知( )( )0g aaa ( )( )0g bbb ( )0g x 由條件由條件在在a,b內(nèi)至少存在一個根內(nèi)至少存在一個根( )1( )10gxxL g (x) 嚴(yán)格單調(diào)增嚴(yán)格單調(diào)增( )0g x 在在a,b內(nèi)至多只有一個根內(nèi)至多只有一個根 x* 所以，方程所以，方程 x=(x) 在在a,b上有唯一根上有唯一根 x*bxa)(|(

15、)|1xL 區(qū)間內(nèi)存在唯一根26(2)由由x0 a, b，及條件，及條件 知知 xk a, b (k=1,2,) 1*()()kkxxxx *1| |()()|kkxxxx *|,(0,1,2,)kL xxk*0|,(1,2,3,)kkxxLxxk1L *limkkxx *lim0kkxx（ ）bxa)(迭代序列收斂|( )|1xL *|()|kkxx 27(3) 由由*1|,(0,1,2,)kkxxL xxk *11| |kkkkxxxxxx而而*11|kkkxxxx*1|kkkL xxxx *11|1kkkxxxxL 11| |()|kkkkxxxx（ ）又又1|()|kkkxx （）*1

16、|,1,2,1kkkLxxxxkL k次迭代之后誤差估計1|,1,2,kkL xxk 28當(dāng)相鄰兩次迭代結(jié)果滿足條件當(dāng)相鄰兩次迭代結(jié)果滿足條件1|kkxx L較小時，可以用相鄰兩次較小時，可以用相鄰兩次迭代結(jié)果之差來控制迭迭代結(jié)果之差來控制迭代過程是否結(jié)束代過程是否結(jié)束若若L1，則不能用此條件控制迭代過程則不能用此條件控制迭代過程實(shí)際誤差為實(shí)際誤差為*1|11kkkLLxxxxLL 利用兩次迭代結(jié)果之差來估計誤差利用兩次迭代結(jié)果之差來估計誤差誤差事后估計式誤差事后估計式29(4)由由11|,1,2,kkkkxxL xxk112|kkkkxxL xx*1|1kkkLxxxxL *10|,1,2,

17、1kkLxxxxkL 利用首次迭代結(jié)果與初值之差來估計誤差。利用首次迭代結(jié)果與初值之差來估計誤差。誤差事前估計式誤差事前估計式223|kkLxx110|kLxx 首次迭代之后估計誤差30若給定精度為若給定精度為，則要求則要求可確定迭代次數(shù)可確定迭代次數(shù)k*10|1kkLxxxxL 10|(lnln)/ln1xxkLL 可知，可知，L L越小，收斂越快。越小，收斂越快。31由由*1*()()()()kkkkxxxxxx *1*(),0,1,2,kkkxxkxx *1*limlim()()kkkkkxxxxx 當(dāng)當(dāng)k 時，前后兩次迭代的誤差之比。時，前后兩次迭代的誤差之比。漸進(jìn)誤差估計式漸進(jìn)誤差估

18、計式(5)*1*lim()kkkxxxxx 迭代收斂速度32例例3-3： 用迭代法求方程用迭代法求方程2( )(1)10f xx x在區(qū)間在區(qū)間0,1 內(nèi)的一個實(shí)根，精確到內(nèi)的一個實(shí)根，精確到4位有效數(shù)字。位有效數(shù)字。解：解：2( )(1)10f xx x21(1)xx 21( )(1)xx 1( ) (1), (0) ,10,14x0,1，x 當(dāng)當(dāng)bxa)(滿足滿足定理定理3.1的的條件條件3.2.2 不動點(diǎn)的存在性與迭代法的收斂性不動點(diǎn)的存在性與迭代法的收斂性33(0)10f (1)30f1(1)( )(0)24x定理定理3.1的條件的條件未得到滿足。未得到滿足?？s小有根區(qū)間。用二分法?？s

19、小有根區(qū)間。用二分法。32( )(1)xx 21( )(1)xx |( )|1xL 2( )(1)10f xx x1) (0.5)0.1250f0,0.5x ，(0)21 ，條件，條件不滿足不滿足，有根區(qū)間為，有根區(qū)間為0,0.5.3.2.2 不動點(diǎn)的存在性與迭代法的收斂性不動點(diǎn)的存在性與迭代法的收斂性342) (0.25)0.6093750f 0.25,0.5x ，(0.25)1.024 條件條件不滿足不滿足3) (0.375)0.2910156250f 0.375,0.5x 當(dāng)當(dāng)時時，( )(0.375)0.76931x條件條件滿足滿足 當(dāng)當(dāng)( ) (0.5), (0.375)0.4444

20、,0.5289x條件條件不滿足不滿足0.375,0.5 (0.5)0f (0.5)0f bxa)(3.2.2 不動點(diǎn)的存在性與迭代法的收斂性不動點(diǎn)的存在性與迭代法的收斂性354) (0.4375)0.09590f ( )(0.4375)0.67331x0.4375,0.5x 當(dāng)當(dāng)時時，條件條件滿足滿足( ) (0.5), (0.4375)0.4444,0.4839x條件條件滿足滿足根據(jù)定理根據(jù)定理3.1，對任意，對任意x0 0.4444,0.4839，此此迭代格式收斂。迭代格式收斂。0.4375,0.5 對于定理3.1，迭代初值必須同時滿足兩個條件，迭代格式才收斂。收斂條件要求較高。(0.5)

21、0f 3.2.2 不動點(diǎn)的存在性與迭代法的收斂性不動點(diǎn)的存在性與迭代法的收斂性36fi=inline(1/(x+1)2 );x0=0.46;er=1;k=0;while er0.00005 x=fi(x0) er=abs(x-x0); x0=x;k=k+1;end若取若取x00.46，k=13, x=0.46558659888486若取若取x00.45，k=15, x=0.465588677959703.2.2 不動點(diǎn)的存在性與迭代法的收斂性不動點(diǎn)的存在性與迭代法的收斂性不動點(diǎn)迭代法不動點(diǎn)迭代法-迭代格式的構(gòu)造迭代格式的構(gòu)造迭代的斂散性條件迭代的斂散性條件迭代法的局部收斂性迭代法的局部收斂性迭

22、代法的收斂速度迭代法的收斂速度牛頓法牛頓法牛頓法的局部收斂性牛頓法的局部收斂性3.23.2 迭代法迭代法3.2.3 迭代法的局部收斂性迭代法的局部收斂性定義定義 對于方程對于方程 x=(x) ，若在，若在 x*的某鄰域的某鄰域38Rx xx* 內(nèi)內(nèi)，對任意，對任意 x0 R，迭代格式，迭代格式1(),(0,1,2,)kkxxk 都收斂都收斂，則該迭代格式在，則該迭代格式在 x*的附近的附近 局部收斂局部收斂。39若若x0靠近根靠近根x*，可用，可用0()1x 來判斷迭代格式局部收斂或發(fā)散。來判斷迭代格式局部收斂或發(fā)散。0()1x 3.2.3 迭代法的局部收斂性迭代法的局部收斂性定理定理3.2

23、設(shè)方程設(shè)方程 x=(x) 有根有根x*，且在其某鄰域，且在其某鄰域*Sx xx 內(nèi)內(nèi), (x) 存在一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則存在一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則（1）當(dāng)）當(dāng) *()1x 時，此迭代格式局部收斂；時，此迭代格式局部收斂；（2）當(dāng)）當(dāng) *()1x 時，此迭代格式發(fā)散。時，此迭代格式發(fā)散?；貞洠号c定理回憶：與定理3.1的區(qū)別的區(qū)別403.2.3 迭代法的局部收斂性迭代法的局部收斂性證明：證明：(1) 設(shè)設(shè) 時，時， *0,Sxx 要證：要證：0( )xS 0,xS *( )()( )xxxx *( )() ,(, )( ,)xxxxx x 或*xx 即：即：0( )xS 定理定理3.1的條件得到滿足的條件得

24、到滿足迭代格式迭代格式局部收斂局部收斂( )1x 4132( )(1)xx (0.4)0.72891 由定理由定理 3.2知，迭代格式知，迭代格式121(1)kkxx 局部收斂局部收斂迭代格式局部收斂迭代格式局部收斂*()1x 例例: 用迭代法求方程用迭代法求方程2( )(1)10f xx x在在x0=0.4附近附近的一個實(shí)根。的一個實(shí)根。解：解：21(1)xx 21( )(1)xx 42fi=inline(1/(x+1)2 );x0=0.4;er=1;k=0;while er0.00005 x=fi(x0) er=abs(x-x0); x0=x;k=k+1;end若取若取x00.4，k=19

25、, x=0.4655835827521503.2.3 迭代法的局部收斂性迭代法的局部收斂性不動點(diǎn)迭代法不動點(diǎn)迭代法-迭代格式的構(gòu)造迭代格式的構(gòu)造迭代的斂散性條件迭代的斂散性條件迭代法的局部收斂性迭代法的局部收斂性迭代法的收斂速度迭代法的收斂速度牛頓法牛頓法牛頓法的局部收斂性牛頓法的局部收斂性3.23.2 迭代法迭代法3.2.4 迭代法的收斂速度迭代法的收斂速度44定義：定義： 設(shè)序列設(shè)序列xk 收斂于收斂于x*， ek= xk - x*， (k=0,1,2,) 。若有非零常數(shù)若有非零常數(shù) c 和正和正整整數(shù)數(shù) p，使使1limkpkkece 則稱則稱序列序列xk p階階收斂。收斂。線性收斂：線

26、性收斂：p=1, 且且01c超線性收斂：超線性收斂：p1。其中，。其中，p=2，平方收斂平方收斂。序列的收斂階數(shù)越高序列的收斂階數(shù)越高,收斂速度越快。收斂速度越快。迭代格式產(chǎn)生的迭代格式產(chǎn)生的序列序列 p 階收斂階收斂，則稱此，則稱此迭代格式迭代格式 p階收斂階收斂。45例：例： 2個個迭代格式分別是線性收斂和平方收斂：迭代格式分別是線性收斂和平方收斂：11(1),(0,1,2,);2kkeke 121(2),(0,1,2,);2kkeke 其中，其中，0013ee，若要求精度，若要求精度1010, 估計迭代格式估計迭代格式收斂收斂所需的迭代次數(shù)。所需的迭代次數(shù)。3.2.4 迭代法的收斂速度迭

27、代法的收斂速度46解：解：（1）由）由101123kkeee 及10111 12322kkkkeee 1010ke 31.63k 應(yīng)迭代應(yīng)迭代32次次（2）由）由1021123kkeee 及1222211 1)22 2kkkeee （1010ke 3.73k 應(yīng)迭代應(yīng)迭代4次次021221221111( )( )( )2( )2236kkkkke47定理定理3.3：設(shè)設(shè)(x) 在在x* 附近的某鄰域內(nèi)有附近的某鄰域內(nèi)有p ( p 1 )階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且*(),xx *()0,x (1)*.,()0,px ()*()0px 則對一個任意靠近則對一個任意靠近x* 的初值，迭代公式的初值

28、，迭代公式1(),(0,1,2,)kkxxk p 階收斂，且階收斂，且*()*1*()lim!()pkpkkxxxpxx 如果如果p1，則，則 要求要求*()1x 3.2.4 迭代法的收斂速度迭代法的收斂速度483.2.4 迭代法的收斂速度迭代法的收斂速度證明證明：(1)設(shè)設(shè) 根據(jù)定理根據(jù)定理3.2，可以斷定迭代，可以斷定迭代過程過程 具有局部收斂性。具有局部收斂性。 *()0,x 1()kkxx 將將 在根在根 x*處做泰勒展開，利用條件處做泰勒展開，利用條件則有：則有： ()kx ()*()0px ()*( )()=+()!ppkkxxxxp （ ）*1(), (),kkxxxx ()*1

29、( )()!ppkkxxxxp *()1*( )()!pkpkxxxxp 迭代過程為迭代過程為p階收斂階收斂 49(2) 若若*()0,()1,xx 且且線性收斂。線性收斂。定理定理3.1已證明已證明迭代法的收斂速度和迭代函數(shù)的選取有關(guān)迭代法的收斂速度和迭代函數(shù)的選取有關(guān)如何構(gòu)造高階迭代函數(shù)？如何構(gòu)造高階迭代函數(shù)？3.2.4 迭代法的收斂速度迭代法的收斂速度不動點(diǎn)迭代法不動點(diǎn)迭代法-迭代格式的構(gòu)造迭代格式的構(gòu)造迭代的斂散性條件迭代的斂散性條件迭代法的局部收斂性迭代法的局部收斂性迭代法的收斂速度迭代法的收斂速度牛頓法牛頓法牛頓法的局部收斂性牛頓法的局部收斂性3.3 牛頓法牛頓法513.3 牛頓法

30、牛頓法簡單迭代法（不動點(diǎn)迭代法）簡單迭代法（不動點(diǎn)迭代法）( )xx 不易得到收斂速度快的迭代函數(shù)，且可能發(fā)散不易得到收斂速度快的迭代函數(shù)，且可能發(fā)散牛頓法牛頓法：用線性方程近似代替非線性方程：用線性方程近似代替非線性方程f(x)=0可以方便地得到快速收斂的迭代公式可以方便地得到快速收斂的迭代公式52設(shè)方程設(shè)方程 f (x) = 0取取初值初值為為 x0 , 對函數(shù)對函數(shù) f(x) 作泰勒展開作泰勒展開200000()( )()()()()2!fxf xf xfxxxxx000()()()0f xfxxx若若 f (x0)0, 即可求解方程即可求解方程0100()()f xxxfx1x3.3.

31、1 牛頓迭代公式牛頓迭代公式000()()f xxxfx近似方程近似方程 f (x) = 053再把再把 x1 作為新的近似根，同樣處理作為新的近似根，同樣處理，可得，可得1211()()f xxxfx依此類推，可得到依此類推，可得到1(),(0,1,2,)()kkkkf xxxkfx 牛頓迭代公式牛頓迭代公式利用牛頓迭代公式求根的方法利用牛頓迭代公式求根的方法稱稱為為牛頓迭代法牛頓迭代法2x3.3.1 牛頓迭代公式牛頓迭代公式54牛頓法的幾何意義：牛頓法的幾何意義：000()()()yf xfxxx是曲線是曲線 y = f (x) 上過點(diǎn)上過點(diǎn)( x0 , f (x0) ) 處的切線方程處的

32、切線方程x0y = f(x)x1x2x*000()()()0yf xfxxxy 切線與切線與x軸的交點(diǎn)為軸的交點(diǎn)為0100()()f xxxfx1211()()f xxxfx000( )()()()f xf xfxxx55例例 用用牛頓法求方程牛頓法求方程xf xxe( )10在在x0=0.5附近附近的實(shí)根，的實(shí)根，精度要求精度要求0.5 10-4。解：解：xxfxexe( ) 牛頓迭代格式為牛頓迭代格式為1()()kkkkf xxxfx 取初值取初值 x00.5，計算得到計算得到-,(0,1,2,)1kxkkkxexkx 56k0123xk0.50.571020.567160.56714f=inline(x*exp(x) -1);f2=inline(exp(x)+x*exp (x) );x0=0.4;er=1;k=0;while er0.00005 x=x0-f(x0)/f2(x0) er=abs(x-x0); x0=x;k=k+1;end牛頓迭代法牛頓迭代法不動點(diǎn)迭代法不動點(diǎn)迭代法-迭代格式的構(gòu)造迭代格式的構(gòu)造迭代的斂散性條件迭代的斂散性條件迭代法的局部收斂性迭代法的局部收斂性迭代法的收斂速度迭代法的收斂速度牛頓法牛頓法牛頓法的局部收斂性牛頓法的局部收斂性3.3