波利亞的解題理論PPT課件

1、沒有一道題可以解決得十全十美，總存在值得我們探究的地方。 美G. 波利亞*波利亞的生平*波利亞的數(shù)學(xué)教育觀*波利亞關(guān)于解題的研究美國著名數(shù)學(xué)家、教育家。出生于匈牙利的布達佩斯。早在中學(xué)時代，就顯示出卓越的數(shù)學(xué)才能，曾先后在布達佩斯、維也納、哥廷根、巴黎等地攻讀數(shù)學(xué)、物理學(xué)和哲學(xué)。1912年在布達佩斯獲約特沃斯洛倫得大學(xué)哲學(xué)博士學(xué)位。1914年，在蘇黎世瑞士聯(lián)邦理工學(xué)院任教,1928年任教授，1938年任數(shù)理學(xué)院院長。1940年移居美國，先在布朗大學(xué)任教。1942年后一直在斯坦福大學(xué)任教。1953年起，任該校退休教授。 波利亞的重要數(shù)學(xué)著作有怎樣解題、不等式(與哈代、李特伍德合著)、數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)多

2、卷、數(shù)學(xué)與猜想多卷、數(shù)學(xué)分析中的問題和定理(與塞格合著)、數(shù)學(xué)物理中的等周不等式(與塞格合著)等。 波利亞在眾多的數(shù)學(xué)分支：函數(shù)論、變分學(xué)、概率論、數(shù)論、組合數(shù)學(xué)以及計算數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域中都頗有建樹，共發(fā)表200多篇著名論文，以他的名字命名的波利亞計數(shù)定理則是近代組合數(shù)學(xué)的重要工具。波利亞還是杰出的數(shù)學(xué)教育家，他對數(shù)學(xué)思維一般規(guī)律的研究，堪稱是對人類思想寶庫的特殊貢獻。為了表彰波利亞對數(shù)學(xué)的杰出貢獻，1963年美國數(shù)學(xué)協(xié)會授予他以功勛獎(Distinguished Services Award),1968年美國教育電影圖書協(xié)會授予他以數(shù)學(xué)物理最高榮譽獎(Top Honor of Mathem

3、atics and Physics)。他并先后當(dāng)選為美國國家科學(xué)院院士和法國科學(xué)院通訊院士等。 一、波利亞的數(shù)學(xué)教育觀 1、中學(xué)數(shù)學(xué)教育的根本目的：“教會學(xué)生思考教會學(xué)生思考”；2、教師教學(xué)應(yīng)遵循學(xué)習(xí)過程的三個原則：主動學(xué)習(xí)主動學(xué)習(xí)：“學(xué)東西的最好方式是發(fā)現(xiàn)它”最佳動機最佳動機：對所學(xué)知識的興趣循序漸進循序漸進：探索，闡明，吸收3、數(shù)學(xué)教師具備兩方面的知識：數(shù)學(xué)內(nèi)容知識數(shù)學(xué)內(nèi)容知識；數(shù)學(xué)教學(xué)法知識數(shù)學(xué)教學(xué)法知識；一、波利亞的數(shù)學(xué)教育觀 4、給數(shù)學(xué)教師的十條建議： 1. 要對所講的課題有興趣; 2. 要懂得所講的課題; 3. 要懂得學(xué)習(xí)的途徑發(fā)現(xiàn); 4. 要觀察學(xué)生的臉色,弄清他們的期望和困難,

4、 置身于他們之中; 5. 不僅要傳授知識,而且要教給學(xué)生才智,思維的方式和工作習(xí)慣; 6. 要讓他們學(xué)習(xí)猜測; 7. 要讓他們學(xué)習(xí)證明; 8. 要找出手邊題目中那些對后來題目有用的特征; 9. 不要立即吐露你的全部秘密讓學(xué)生在你說出來之前先去猜,盡量讓他們自己找出來; 10. 要建議,不要強迫別人去接受.二、波利亞關(guān)于解題的研究 1 、弄清問題 （1）未知數(shù)是什么?已知數(shù)據(jù)是什么？條件是什么?滿足條件是否可能?要確定未知數(shù),條件是否充分?或者它是否不充分?或者是多余的?或者是矛盾的? （2）畫張圖,并引入適當(dāng)?shù)姆? （3）把條件的各部分分開,并把它們寫下來.2、擬定計劃（1）考慮以前是否見過

5、它? 是否見過相同的問題而形式稍有不同? 你是否知道一個可能用得上的定理?（2）考慮具有相同未知數(shù)或相似未知數(shù)的熟悉的問題.（3）能否利用它的結(jié)果或方法?為了利用它,是否引入某些輔助元素?（4）能否用不同的方法重新敘述它?（5）回到定義去.（6）如果你不能解決所提出的問題,可先解決一個與此有關(guān)的問題.（7）是否利用了所有的已知數(shù)據(jù)?是否利用了所有條件？是否考慮了包含在問題中的所有必要的概念?3. 實現(xiàn)計劃 （1）實現(xiàn)你的求解計劃,檢驗每一步驟. （2）你能否清楚地看出這一步驟是正確的?你能否證明這一步驟是正確的?4、回顧（1）能否檢驗這個論證?（2）你能否用別的方法導(dǎo)出結(jié)果?（3）能不能一下子

6、看出它來?（4）能不能把這結(jié)果或方法用于其他問題? 例 在ABC中，A、B、C的對邊分別是a、b、c且c=10，cosA/cosB=b/a=4/3，點P為ABC內(nèi)切圓上的一個動點求點P到頂點A、B、C的距離的平方和的最小值和最大值解題過程：第第1 1弄清問題弄清問題條件(已知)： (1) c=10； (2) cosA/cosB=b/a=4/3 ； (3)點P為ABC內(nèi)切圓上的動點問題(未知)：求點P到頂點A、B、C的距離的平方和的最小值和最大值第第2 2擬訂計劃擬訂計劃回憶原來有沒有見過同類問題(沒有)，但見過相關(guān)的問題：(1)已知三角形的某些邊角關(guān)系，判斷三角形的形狀、解三角形等(知三求一，

7、已知的三個邊角元素中至少有一個是邊)，題目基本符合(2)如果三角形可以確定，那么此題就是求這個三角形的某個特征曲線上的動點到三個頂點的距離的平方和的最值問題第第4 4回顧回顧（1）在方法上，本題是使用“解析法”解決三角問題的一個成功案例.（2）在數(shù)學(xué)思想上，本題是數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想的一個成功應(yīng)用.（3）在基礎(chǔ)知識的使用上，本題主要用到了“余弦定理”、“勾股定理”、“參數(shù)方程”和“三角函數(shù)的性質(zhì)”等.波利亞解題過程的四個階段:1. 弄清問題弄清問題認識、并對問題進行表征的過程 ，是成功解決問題的一個必要前提 2. 擬訂計劃擬訂計劃是探索解題思路的發(fā)現(xiàn)過程，是關(guān)鍵環(huán)節(jié)和核心內(nèi)容。3. 實現(xiàn)計劃實現(xiàn)計劃是思路打通之后具體實施信息資源的邏輯配置，“我們所需要的只是耐心” 4. 回顧回顧是最容易被忽視的階段，波利亞對其作。為解題的必要環(huán)節(jié)而固定下來，是一個有遠見的做法 .值得注意的四個方面(1)(1)只要學(xué)生按照這個過程去尋找解法，久而久之，不僅可以提高解題能力，而且還可以養(yǎng)成規(guī)范的思維習(xí)慣并不是所有的題目都要像表中那樣“面面俱到”(2)(2)解題教學(xué)中，