工程力學精華版,感謝勤勞的老師4

1、彎曲變形彎曲內(nèi)力彎曲內(nèi)力 梁：梁：以彎曲變形為主要變形的桿件。以彎曲變形為主要變形的桿件。 變形特點：變形特點：原為直線的軸線變?yōu)榍€。原為直線的軸線變?yōu)榍€。 受力特點：受力特點：垂直于軸線的橫向力或軸線平面內(nèi)的力偶。垂直于軸線的橫向力或軸線平面內(nèi)的力偶。 MMABF平面彎曲：平面彎曲：當所有外力當所有外力( (或者外力的合力或者外力的合力) )都都作用于作用于縱向?qū)ΨQ面內(nèi)時，桿件的軸縱向?qū)ΨQ面內(nèi)時，桿件的軸線在對稱面內(nèi)彎曲成一條平線在對稱面內(nèi)彎曲成一條平面曲線。也稱為面曲線。也稱為對稱彎曲對稱彎曲。本章討論受彎桿件橫截面上的內(nèi)力。本章討論受彎桿件橫截面上的內(nèi)力。 AB對稱軸對稱軸縱對稱面縱

2、對稱面梁的軸線梁的軸線P1P2RARB梁變形后的軸線梁變形后的軸線與外力在同一平與外力在同一平面內(nèi)面內(nèi)xmm一梁在載荷作用下，由平衡方一梁在載荷作用下，由平衡方程，可求得支反力。這樣，就可以程，可求得支反力。這樣，就可以進一步研究各橫截面上的內(nèi)力。進一步研究各橫截面上的內(nèi)力。截面法，取左段為研究對象截面法，取左段為研究對象 0yF1RSFFFA0OM)(1RaxFxFMAFs剪力剪力， M彎矩彎矩。 也可取右段為研究對象。也可取右段為研究對象。0S1RFFFA0)(R1xFaxFMA為了使無論取左段為研究對象，還是取右段為研究對象，求為了使無論取左段為研究對象，還是取右段為研究對象，求得同一截

3、面上的剪力和彎矩，不但數(shù)值相同而且符號也一樣，把得同一截面上的剪力和彎矩，不但數(shù)值相同而且符號也一樣，把剪力和彎矩的符號規(guī)定與梁的變形聯(lián)系起來，規(guī)定如下：剪力和彎矩的符號規(guī)定與梁的變形聯(lián)系起來，規(guī)定如下：在一般情況下，梁橫截面上的剪力和彎矩是隨橫截面位置不在一般情況下，梁橫截面上的剪力和彎矩是隨橫截面位置不同而變化的。如果橫截面在梁軸線上的位置用橫坐標同而變化的。如果橫截面在梁軸線上的位置用橫坐標 x 表示，則表示，則各橫截面上的剪力和彎矩可表示為橫坐標各橫截面上的剪力和彎矩可表示為橫坐標 x 的函數(shù)，即的函數(shù)，即)(SSxFF )(xMM 即為即為剪力方程剪力方程和和彎矩方程彎矩方程。 以平

4、行于梁軸的橫坐標以平行于梁軸的橫坐標 x 表示橫截面的位置，以縱坐標表示表示橫截面的位置，以縱坐標表示相應截面上的剪力或彎矩。這種圖線分別稱為相應截面上的剪力或彎矩。這種圖線分別稱為剪力圖剪力圖和和彎矩圖彎矩圖。與繪制軸力圖或扭矩圖一樣，也可用圖線表示梁的各橫截面與繪制軸力圖或扭矩圖一樣，也可用圖線表示梁的各橫截面上剪力和彎矩沿軸線變化的情況。上剪力和彎矩沿軸線變化的情況。直接計算梁的任一橫截面上的剪力和彎矩。直接計算梁的任一橫截面上的剪力和彎矩。 ( (1) ) 某橫截面上的剪力，在數(shù)值上等于該橫截面左側或者右側某橫截面上的剪力，在數(shù)值上等于該橫截面左側或者右側梁上外力的代數(shù)和。該橫截面左側

5、梁上的外力向上取正值，向下梁上外力的代數(shù)和。該橫截面左側梁上的外力向上取正值，向下取負值；該橫截面右側梁上的外力向上取負值，向下取正值。取負值；該橫截面右側梁上的外力向上取負值，向下取正值。 ( (2) ) 某橫截面上的彎矩，在數(shù)值上等于該橫截面左側或者右側某橫截面上的彎矩，在數(shù)值上等于該橫截面左側或者右側梁上外力對該橫截面形心取矩的代數(shù)和。該橫截面左側梁上的外梁上外力對該橫截面形心取矩的代數(shù)和。該橫截面左側梁上的外力對截面形心取矩順時針為正值，逆時針為負值；該橫截面右側力對截面形心取矩順時針為正值，逆時針為負值；該橫截面右側梁上的外力對截面形心取矩逆時針為正值，順時針為負值。梁上的外力對截面

6、形心取矩逆時針為正值，順時針為負值。 口訣：口訣：左上右下，剪力為正；左順右逆，彎矩為正左上右下，剪力為正；左順右逆，彎矩為正。 例：例：列剪力方程和彎矩方程，并作剪力圖和彎矩圖。列剪力方程和彎矩方程，并作剪力圖和彎矩圖。 解：解：1.1.計算計算支反力支反力 00RlFFbMAB00RFalFMBAlFaFlFbFBA/RR2.2.剪力方程和彎矩方程剪力方程和彎矩方程 )0()(SaxlFbxF)0()(axxlFbxMAC段：段： xFRAFRBx)()(SlxalFaxF)()()(lxaxllFaxMCB段：段： 剪力方程和彎矩方程剪力方程和彎矩方程 )0()(SaxlFbxF)0()

7、(axxlFbxM)()(SlxalFaxF)()()(lxaxllFaxM3.3.作作剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖( (設設 a b ) ) lFabMlFbFmaxmaxS例如：例如：AC和和DB段。段。 橫截面上有彎矩又有剪力。橫截面上有彎矩又有剪力。稱為稱為橫力彎曲橫力彎曲( (剪切彎曲剪切彎曲) )。 例如：例如：CD段。段。 橫截面上有彎矩沒有剪力。橫截面上有彎矩沒有剪力。稱為稱為純彎曲。純彎曲。 彎曲應力彎曲應力 中性軸：中性軸：中性層與梁的橫截面的交線，垂直于梁的縱向?qū)ΨQ中性層與梁的橫截面的交線，垂直于梁的縱向?qū)ΨQ面。（橫截面繞中性軸轉動）面。（橫截面繞中性軸轉動）設想梁由平行

8、于軸線的眾設想梁由平行于軸線的眾多縱向纖維組成，由底部纖維多縱向纖維組成，由底部纖維的伸長連續(xù)地逐漸變?yōu)轫敳坷w的伸長連續(xù)地逐漸變?yōu)轫敳坷w維的縮短，中間必定有一層纖維的縮短，中間必定有一層纖維的長度不變。維的長度不變。中性層：中性層：中間既不伸長也中間既不伸長也不縮短的一層纖維。不縮短的一層纖維。純彎曲時正應力的計算公式：純彎曲時正應力的計算公式：設橫截面的對稱軸為設橫截面的對稱軸為y 軸，向下為軸，向下為正，中性軸為正，中性軸為 z 軸（位置未定）。軸（位置未定）。非靜定問題由幾何關系、物理關系、靜力學關系求解純彎曲時正應力的計算公式：純彎曲時正應力的計算公式：zIyM 一點的應力是拉應力或壓

9、應力，也可由彎曲變形直接判定。一點的應力是拉應力或壓應力，也可由彎曲變形直接判定。以中性層為界，梁在凸出的一側受拉，凹入的一側受壓。以中性層為界，梁在凸出的一側受拉，凹入的一側受壓。雖然橫力彎曲與純彎曲存在這些差異，但是應用純彎曲時正雖然橫力彎曲與純彎曲存在這些差異，但是應用純彎曲時正應力計算公式來計算橫力彎曲時的正應力，所得結果誤差不大，應力計算公式來計算橫力彎曲時的正應力，所得結果誤差不大，足以滿足工程中的精度要求。且梁的跨高比足以滿足工程中的精度要求。且梁的跨高比 l/h 越大，其誤差越小。越大，其誤差越小。IyMzmaxmax ymax當中性軸為對稱軸時，橫截面上的當中性軸為對稱軸時，

10、橫截面上的最大正應力最大正應力為為yymaxymaxZCyIWZZmax 稱為抗彎截面模量稱為抗彎截面模量WZWzMmax對于寬為對于寬為 b ，高為，高為 h 的矩形截面的矩形截面maxyIWzz對于直徑為對于直徑為 D 的圓形截面的圓形截面maxyIWzz對于內(nèi)外徑分別為對于內(nèi)外徑分別為 d 、D 的空心圓截面的空心圓截面maxyIWzz2/12/3hbh62bh2/64/4DD323D2/64/ )1 (44DD)1 (3243D對于中性軸不是對稱軸的橫截面？對于中性軸不是對稱軸的橫截面？求得相應的最大正應力求得相應的最大正應力yzycmaxytmaxyMIZMy例：例：T字形截面鑄鐵梁

11、如圖。鑄鐵許用拉應力字形截面鑄鐵梁如圖。鑄鐵許用拉應力 =30MPa, 許用壓許用壓應力應力 =160 MPa。已知中性軸位置。已知中性軸位置 y1 = 52 mm，截面對形心軸，截面對形心軸 z 的慣性矩為的慣性矩為 Iz=763 cm4。試校核梁的強度。試校核梁的強度。tc解：解： 1.1.計算支反力計算支反力 kN5 . 2AFkN5 .10BF2.2.繪彎矩圖繪彎矩圖 mkN4BMmkN5 . 2CMFBFAmkN4BMmkN5 . 2CM3.3.強度校核強度校核 B截面：截面： C截面：截面： zBIyM1max, t4833m10763m)1088)(mN104(zCIyM2max

12、, t故該梁滿足強度條件。故該梁滿足強度條件。 tMPa1 .46MPa8 .284833m10763m)1052)(mN104(MPa3 .27zBIyM2max, cc4833m10763m)1088)(mN105 . 2(t按強度條件設計梁時，主要是根據(jù)梁的彎曲正應力強度條件按強度條件設計梁時，主要是根據(jù)梁的彎曲正應力強度條件 WMmaxmax由上式可見，要提高梁的彎曲強度，即降低最大正應力，可以從由上式可見，要提高梁的彎曲強度，即降低最大正應力，可以從兩個方面來考慮，一是合理安排梁的受力情況，以降低最大彎矩兩個方面來考慮，一是合理安排梁的受力情況，以降低最大彎矩 Mmax 的數(shù)值；二是

13、采用合理的截面形狀，以提高彎曲截面系數(shù)的數(shù)值；二是采用合理的截面形狀，以提高彎曲截面系數(shù)W 的數(shù)值。的數(shù)值。提高彎曲強度的措施提高彎曲強度的措施 1 合理安排梁的受力情況合理安排梁的受力情況 合理安排作用在梁上的荷載，可以降低梁的最大彎矩。合理安排作用在梁上的荷載，可以降低梁的最大彎矩。 合理布置梁的支座，同樣也可以降低梁的最大彎矩。合理布置梁的支座，同樣也可以降低梁的最大彎矩。 2 采用合理的截面形狀采用合理的截面形狀 在截面面積一定時，環(huán)形截面比圓形截面合理，矩形截面比在截面面積一定時，環(huán)形截面比圓形截面合理，矩形截面比圓形截面合理，矩形截面豎放比平放合理，工字形截面比矩形截圓形截面合理，

14、矩形截面豎放比平放合理，工字形截面比矩形截面合理。面合理。3另外，截面是否合理，還應考慮材料的特性。另外，截面是否合理，還應考慮材料的特性。對抗拉和抗壓強度相等的材料制成的梁，宜采用中性軸為其對抗拉和抗壓強度相等的材料制成的梁，宜采用中性軸為其對稱軸的截面，例如，工字形、矩形、圓形和環(huán)形截面等。對稱軸的截面，例如，工字形、矩形、圓形和環(huán)形截面等。 對抗拉和抗壓強度不相等的材料制成的梁，宜采用中性軸偏對抗拉和抗壓強度不相等的材料制成的梁，宜采用中性軸偏于受拉一側的截面。于受拉一側的截面。 彎曲變形彎曲變形彎曲變形物理量：撓度與轉角彎曲變形物理量：撓度與轉角撓度：在圖示坐標系中撓度：在圖示坐標系中

15、, 向上為正向上為正, 向下為負向下為負。轉角：轉角： 逆時針轉向為正逆時針轉向為正,順時針轉向為負。順時針轉向為負。yxABCw(撓度撓度)C1q q (轉角轉角)F 撓曲線撓曲線：梁變形后的軸線稱為：梁變形后的軸線稱為撓曲線撓曲線。撓曲線方程撓曲線方程:式中式中, x為梁變形前軸線上任一點的橫坐標為梁變形前軸線上任一點的橫坐標, w為該為該點的撓度。點的撓度。( )wf xyxABCw(撓度撓度)C1q q (轉角轉角)撓曲線撓曲線F 撓度與轉角的關系：撓度與轉角的關系：tan( )wfxqqyxABCw(撓度撓度)C1q qq q (轉角轉角)F( ) M xwEI 梁的撓曲線近似微分方

16、程。梁的撓曲線近似微分方程。(Approximately differential equation of the deflection curve)稱為稱為近似近似的原因的原因: (1) 略去了剪力的影響略去了剪力的影響; (2)略略去了去了w2項。項。再積分一次再積分一次, 得得撓度方程撓度方程上式積分一次得上式積分一次得轉角方程轉角方程若為等截面直梁若為等截面直梁, 其抗彎剛度其抗彎剛度EI為一常量為一常量, 上式可改寫成上式可改寫成( )EIwM x 1( )dEIwM xxC 12( )ddEIwM xxxC xC 式中：積分常數(shù)式中：積分常數(shù)C1、C2可通過梁撓曲線的可通過梁撓曲線

17、的邊界邊界條件條件和變形的和變形的連續(xù)性條件連續(xù)性條件來確定。來確定。簡支梁簡支梁懸臂梁懸臂梁邊界條件邊界條件(boundary condition)ABwA0wB0ABwA0q qA0ABAB 連續(xù)性條件連續(xù)性條件(Continuity condition)在撓曲線的任一點上在撓曲線的任一點上, 有有唯一的撓度和轉角。如唯一的撓度和轉角。如:不可能不可能CCww CCq qq qc條件條件：由于梁的變形微小由于梁的變形微小, , 梁變形后其跨長的改變可略梁變形后其跨長的改變可略去不計去不計, , 且且梁的材料在線彈性范圍內(nèi)工作梁的材料在線彈性范圍內(nèi)工作, , 因而因而, , 梁的梁的撓度和轉

18、角均與作用在梁上的載荷成線性關系。撓度和轉角均與作用在梁上的載荷成線性關系。按疊加原理計算梁的撓度和轉角按疊加原理計算梁的撓度和轉角 在這種情況下在這種情況下, 梁在幾項載荷梁在幾項載荷 (如集中力、集中力如集中力、集中力偶或分布力偶或分布力)同時作用下某一橫截面的撓度和轉角同時作用下某一橫截面的撓度和轉角, 就就分別等于每項載荷單獨作用下該截面的撓度和轉角的分別等于每項載荷單獨作用下該截面的撓度和轉角的疊加疊加。此即為。此即為疊加原理疊加原理。按疊加原按疊加原理求理求A A點點轉角和轉角和C C點撓度。點撓度。 解、解、載荷分解載荷分解如圖如圖qqPP=+AAABBB Caa例例: :試利用

19、疊加法試利用疊加法, 求圖示抗彎剛度為求圖示抗彎剛度為EI的簡支的簡支梁跨中點的撓度梁跨中點的撓度wC。Bql/2ACl/2Bq/2ACBACq/2q/2解解：該梁上荷載可視為：該梁上荷載可視為正正對稱載荷對稱載荷與與反稱對載荷反稱對載荷兩兩種情況的疊加。種情況的疊加。(1) 正對稱載荷作用下正對稱載荷作用下4415(2)5384768CqlqlwEIEI (2) 反對稱荷載作用下反對稱荷載作用下在跨中在跨中C截面處截面處, 撓度撓度wC2等于零。等于零。BACq/2q/220Cw(3) 將相應的位移進行疊加將相應的位移進行疊加, 即得即得4125768CCCqlwwwEI 例例 用疊加法求梁

20、中點處的撓度。設用疊加法求梁中點處的撓度。設bl / 2 。l/2lABqbxdx解解：將均布荷載看作許多微集：將均布荷載看作許多微集中力中力dF組成組成2222ddw(34)48d(34)48CFxlxEIqx xlxEI dF = qdx2222203(34)()48482bCqqbwxlxdxlbEIEI dFC當b=l/2時,2422( / 2)35( / 2) 482768Cq lqlwllEIEI 例例 疊加法（疊加法（逐段剛化法逐段剛化法) )抗彎剛度為抗彎剛度為EIEI，求，求B處處的撓度與轉角、的撓度與轉角、C C處的轉角。處的轉角。=+PL1L2ABCBCPL2w1w2等價

21、等價等價等價PL1L2ABC剛化剛化AC段段PL1L2ABC剛化剛化BC段段PL1L2ABCM簡單超靜定梁簡單超靜定梁lABq要求解如圖所示的超靜定梁，可以以要求解如圖所示的超靜定梁，可以以B端的活動端的活動鉸支座為多余約束，將其撤除后而形成的懸臂鉸支座為多余約束，將其撤除后而形成的懸臂梁即為原超靜定梁的梁即為原超靜定梁的基本靜定梁基本靜定梁。 ABqFB為使基本靜定梁的受力為使基本靜定梁的受力及變形情況與原靜不定及變形情況與原靜不定梁完全一致，梁完全一致，還要求基還要求基本靜定梁滿足一定的變本靜定梁滿足一定的變形協(xié)調(diào)條件。形協(xié)調(diào)條件。 lABqABqFB 由于原靜不定梁在由于原靜不定梁在B端

22、端有活動鉸支座的約束，因有活動鉸支座的約束，因此，此，還要求基本靜定梁在還要求基本靜定梁在B端的撓度為零端的撓度為零，即，即 0Bw 此即應滿足的此即應滿足的變形協(xié)調(diào)條件變形協(xié)調(diào)條件( (或變形相容條件或變形相容條件) ) ABq建立補充方程建立補充方程0BBqBFwwwABFBwBFwBqABqFB由圖可見，由圖可見，B端的撓度端的撓度為零，可將其視為均布為零，可將其視為均布載荷引起的撓度載荷引起的撓度wBq與與未知支座反力未知支座反力FB引起的引起的撓度撓度wBF的疊加結果，的疊加結果，即即:ABqABFBwBFwBq48BqqlwEI 由由表表9.3查得查得力與變形力與變形間的物理關系間

23、的物理關系： 33BBFF lwEI34083BF lqlEIEI將其代入前式得：將其代入前式得： 即得補充方程即得補充方程 ABqFB38BFql由此解出多余約束反力：由此解出多余約束反力： 34083BF lqlEIEIlABq再利用平衡方程即可求得再利用平衡方程即可求得其他支座反力。其他支座反力。 0,0 xAxFF0,0yAyBFFqlFABqFBFAyMAFAx58AyFql2()0,02AABqlMMF lF218AMql一、選擇題一、選擇題1 1）梁發(fā)生平面彎曲時，其橫截面繞（）梁發(fā)生平面彎曲時，其橫截面繞（ ）旋轉。）旋轉。 A A、梁的軸線、梁的軸線 B B、截面對稱軸、截面

24、對稱軸 C C、中性軸、中性軸 D D、截面形心、截面形心2 2）已知某梁段的剪力圖）已知某梁段的剪力圖( (左圖左圖) )，則該梁段的分布荷載，則該梁段的分布荷載q為為( )( )。 A A、2KN/m B2KN/m B、1KN/m C1KN/m C、 - 2KN/m D- 2KN/m D、- 1KN/m- 1KN/m3 3）用積分法求圖示）用積分法求圖示( (右圖右圖) )梁的彎曲變形，邊界條件是：梁的彎曲變形，邊界條件是：( ) ( ) 。 A A、 y(0)=0, =0, y(L)=0 B B、 y(0)=0, y(L)=0 C C、 y(0)=0, y (L)=0 D D、 y(0)=0, y(L)=0二、填空題二、填空題1 1）用積分法求左圖所示梁的變形時，邊界條件為：）用積分法求左圖所示梁的變形時，邊界條件為： 、 、和、和 ； 連續(xù)條件為連續(xù)條件為 和和 。a2aABDP2 2）右圖所示梁，邊界條件為：）右圖所示梁，邊界條件為： ；連續(xù)條件為；連續(xù)條件為 。三、作圖題三、作圖題1 1）作左圖示懸臂梁的剪力圖和彎矩圖）作左圖示懸臂梁的剪力圖和彎矩圖 2 2）作右圖示梁的剪力圖和彎矩圖。）作右圖示梁的剪力圖和彎矩圖。