數(shù)列解題技巧歸納總結(jié)---好5份

1、知識(shí)框架數(shù)列的概念函數(shù)角度理解數(shù)列的分類數(shù)列的通項(xiàng)公式數(shù)列的遞推關(guān)系等差數(shù)列等差數(shù)列的定義anan1等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an等差數(shù)列的求和公式&等差數(shù)列的性質(zhì)anamd(n2)a1(n1)dnn(n1)尹an)na2dapaq(mnpq)數(shù)列兩個(gè)基本數(shù)列a等比數(shù)列的定義-an-q(n2)an1等比數(shù)列的通項(xiàng)公式ana1qn1等比數(shù)列出anqa(1qn)1等比數(shù)列的求和公式Sn1q1q(q1na(q1)等比數(shù)列的性質(zhì)anamapaq(mnpq)公式法分組求和數(shù)列求和錯(cuò)位相減求和裂項(xiàng)求和倒序相加求和累加累積歸納猜想證明數(shù)列的應(yīng)用分期付款其他掌握了數(shù)列的基本知識(shí)，特別是等差、等比數(shù)列的定義、通

2、項(xiàng)公式、求和公式及性質(zhì)，掌握了典型題型的解法和數(shù)學(xué)思想法的應(yīng)用，就有可能在高考中順利地解決數(shù)列問(wèn)題。一、典型題的技巧解法1、求通項(xiàng)公式(1)觀察法。(2)由遞推公式求通項(xiàng)。對(duì)于由遞推公式所確定的數(shù)列的求解，通?？赏ㄟ^(guò)對(duì)遞推公式的變換轉(zhuǎn)化成等差數(shù)列或等比數(shù)列問(wèn)題。(1)遞推式為an+1=an+d及an+1=qan(d,q為常數(shù))例1、已知an滿足an+1=an+2,而且a1=1。求an。例1、解:an+1-an=2為常數(shù)，an是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列-an=1+2(n-1)即an=2n-11 .例2、已知an滿足an1-an，而ai2,求an=?2解:3=三是常數(shù)an2是以2為首項(xiàng)，公比為

3、9的等比數(shù)列(2)遞推式為an+1=an+f例3、已知an中ai(n)1,2an1an12，求an.4n1解：由已知可知an1(2n1)(2n1)2(右12n1)令n=1,2,，(n-1),代入得(n-1)個(gè)等式累加，即(a2-a1)+(a3-a2)+-+(an-an-1)=(1+c2l335.上門(mén)_L_的5(2n-12n-11ana1萬(wàn)(1彳)4n4n2說(shuō)明只要和f(1)+f(2)+f(n-1)(n-1)代入，可得n-1個(gè)等式累加而求an。(3)遞推式為an+1=pan+q(p,q為常數(shù))是可求的)就可以由an+1=an+f(n)以n=1,2,)例4、an中，a11,對(duì)于n>1(nN)

4、有an3an1解法一：由已知遞推式得an+1=3an+2,an=3an-1+2。兩式相減:因此數(shù)列an+1-an是公比為3的等比數(shù)列，其首項(xiàng)為n-1.an+1-an=4,3.an+1=3an+23an+2-an=4,3a2-a1=n-1an+1-an=3(an-an-1)(3X1+2)-1=4即an=23n-1-1解法二：上法得an+1-an是公比為3的等比數(shù)列，于是有：a2-a1=4,a3-a2=43,a4-a3=4-32,an-an-1=4-3n-2,把n-1個(gè)等式累加得：、_力=4(1+3+至f+空-a)=一_匕an=23n-1-1(4)遞推式為an+1=pan+qn(p,q為常數(shù))1例

5、5已知%中，31M,叫求廿"J略解在5的兩邊乘以2饃得浮3%)+L令%2則于是可得2 2nbn1n1nbn1bn-(bnbn1)由上題的解法，得：。32(-).-。U3(一)2(-)3 32n23說(shuō)明對(duì)于遞推式自.=+q可兩邊除以寸鼠，得鬻二q史與二，引輔助數(shù)列值)，0=%，得*1=為1后用qqq%qq(5)遞推式為an2pan1qan思路：設(shè)an2pan1qan,可以變形為：an2an1(an1an),0L十B=pR解得,B,口p=-q于是an+1-aan是公比為3的等比數(shù)列，就轉(zhuǎn)化為前面的類型。_2I則已知物®仲，=2,j二產(chǎn)產(chǎn)尹求.。,21解在心g+三1兩邊減去，得是

6、公比為首項(xiàng)為叼-%二1的等比數(shù)列口»一(6)遞推式為S與an的關(guān)系式關(guān)系;(2)試用n表不an。【例7】設(shè)faj前0項(xiàng)的和3二4-11r。(D求十與，的,Sn1Sn(anHni)L2n1('“n212an-X)2n1)12n上式兩邊同乘以2n+1得2n+1an+1=2nan+2則2，n是公差為2的等差數(shù)列。2nan=2+(n-1)-2=2n數(shù)列求和的常用方法：1、拆項(xiàng)分組法：即把每一項(xiàng)拆成幾項(xiàng)，重新組合分成幾組，轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列求和。2、錯(cuò)項(xiàng)相減法：適用于差比數(shù)列(如果an等差，bn等比，那么斗0叫做差比數(shù)歹U)即把每一項(xiàng)都乘以bn的公比q,向后錯(cuò)一項(xiàng)，再對(duì)應(yīng)同次項(xiàng)相減，轉(zhuǎn)化為

7、等比數(shù)列求和。3、裂項(xiàng)相消法：即把每一項(xiàng)都拆成正負(fù)兩項(xiàng)，使其正負(fù)抵消，只余有限幾項(xiàng)，可求和。適用于數(shù)列anan1一1.,和-=一-_，(其中an等差)可裂項(xiàng)為：anan1danan1)，aanJan1等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問(wèn)題:1、若等差數(shù)列an的首項(xiàng)a10,公差d0,則前n項(xiàng)和Sn有最大值。(i)若已知通項(xiàng)an,則Sn最大anan12(11)右已知Snpnqn,則當(dāng)n取最靠近-q-的非零自然數(shù)時(shí)Sn最大;2p2、若等差數(shù)列an的首項(xiàng)a10,公差d0,則前n項(xiàng)和Sn有最小值(i)若已知通項(xiàng)an,則Sn最小anan100；(ii)若已知Sn2一，pnqn,則當(dāng)n取最靠近-q-的非零自然數(shù)時(shí)Sn最

8、小;2p數(shù)列通項(xiàng)的求法：公式法：等差數(shù)列通項(xiàng)公式；等比數(shù)列通項(xiàng)公式。已知Sn(即31a2anf(n)求an,用作差法：anS,(n1)SnSn1,(n2)已知條件中既有f(n)求an,用作商法：anf(1),(nf(n)f(n1),1)(n2)0Sn還有an,有時(shí)先求Sn，再求3n；若an1anf(n)求an用累加法：ana1(n2)。(anan1)有時(shí)也可直接求(an1an2)an°I”(a2a1)已知a"f(n)求an,用累乘法：anananan1an1an2111aza1(na12)。已知遞推關(guān)系求an,用構(gòu)造法(構(gòu)造等差、等比數(shù)列)特力U地,(1)形如ankan1b

9、、ankan1bn(k,b為常數(shù))的遞推數(shù)列都可以用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為公比為k的等比數(shù)列后，再求an；形如ankan1kn的遞推數(shù)列都可以除以kn得到一個(gè)等差數(shù)列后，再求an。(2)形如anan1的遞推數(shù)列都可以用倒數(shù)法求通項(xiàng)。kanibk(3)形如an1an的遞推數(shù)列都可以用對(duì)數(shù)法求通項(xiàng)。(7)(理科)數(shù)學(xué)歸納法。(8)當(dāng)遇到an1an1d或曳'q時(shí)，分奇數(shù)項(xiàng)偶數(shù)項(xiàng)討論，結(jié)果可能是分段形式an1數(shù)列求和的常用方法：(1)公式法：等差數(shù)列求和公式；等比數(shù)列求和公式。(2)分組求和法：在直接運(yùn)用公式法求和有困難時(shí)，常將“和式”中“同類項(xiàng)”先合并在一起，再運(yùn)用公式法求和。(3)倒序相加法：若

10、和式中到首尾距離相等的兩項(xiàng)和有其共性或數(shù)列的通項(xiàng)與組合數(shù)相關(guān)聯(lián)，則?？煽紤]選用倒序相加法，發(fā)揮其共性的作用求和(這也是等差數(shù)列前n和公式的推導(dǎo)方法).(4)錯(cuò)位相減法：如果數(shù)列的通項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)與一個(gè)等比數(shù)列的通項(xiàng)相乘構(gòu)成，那么常選用錯(cuò)位相減法(這也是等比數(shù)列前n和公式的推導(dǎo)方法).(5)裂項(xiàng)相消法：如果數(shù)列的通項(xiàng)可“分裂成兩項(xiàng)差”的形式，且相鄰項(xiàng)分裂后相關(guān)聯(lián)，那么常選用裂項(xiàng)相消法求和.常用裂項(xiàng)形式有:11，)；n(n1)nn1n(nk)k'nnk1112k2(k1)kk111111111()，k2k212k1k1kk1(k1)k1n(n1)(n2)(n1)(n2)(n1)!

11、11n!(n1)!2(.n)1.n2(、n.n1)、解題方法:求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法:1、公式法2、由Sn求an(n1時(shí)，a1S1,n2時(shí)，anSnSn1)3、求差(商)法111如：an滿足一a1三a2-an2n52221.解：n1時(shí)，一a1215,-a1142111一.一n2時(shí)，一a1a2-an12n15222n112得：$an22anan14(nn1,2(n1)2)練習(xí)1數(shù)列an滿足SnSn(注意到an1Sn1Sn代入得:Sn1又514,Sn是等比數(shù)列，Sn4nn2時(shí)，anSnSn13,4n14、疊乘法例如：數(shù)列an中，a13,亙_1'一，求anann1解：包aa2工1-21an

12、123nan3,an5、等差型遞推公式由anan1f(n)，a1a0,求an,用迭加法n2時(shí)，a2a1f(2)a3a2f(3)兩邊相加，得:anan1f(n)ana1f(2)f(3)f(n)ana。f(2)f(3)f(n)練習(xí)1數(shù)列an,a11,an3n1an1n2,求an1 c(an13n1)26、等比型遞推公式ancan1dc、d為常數(shù)，c0,c1,d0可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列，設(shè)anxcan1xcan1令(cl)xd,xand是首項(xiàng)為a1c1,c為公比的等比數(shù)列c1dn1a1cc1a1數(shù)列an滿足a19,3an1an4,求ann1/_4.、(an81)37、倒數(shù)法例如：a11,an1_2亙_,求

13、anan2由已知得:1an211an12an2an1an為等差數(shù)列,1a11,公差為/11,n1一-n1222.數(shù)列求和問(wèn)題的方法(1)、應(yīng)用公式法等差、等比數(shù)列可直接利用等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求和，另外記住以下公式對(duì)求和來(lái)說(shuō)是有益的。21 +3+5+(2n-1)=n口士4,5Mu+1乂2n+1)r+2+r+n=613+23+33【例8】求數(shù)歹U1,(3+5),(7+9+10),(13+15+17+19),前n項(xiàng)的和。1,解本題頭際是求各奇數(shù)的和，在數(shù)列的刖n項(xiàng)中，共有1+2+-+n=n(n1)個(gè)奇數(shù),2，最后一個(gè)奇數(shù)為：1+n(n+1)-1x2=n2+n-12因此所求數(shù)列的前n項(xiàng)的和為

14、(2)、分解轉(zhuǎn)化法對(duì)通項(xiàng)進(jìn)行分解、組合，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列求和?！纠?求和S=1(n2-1)+2(n2-22)+3-(n2-32)+n(n2-n2)解S=n2(1+2+3+n)-(13+23+33+n3)(3)、倒序相加法適用于給定式子中與首末兩項(xiàng)之和具有典型的規(guī)律的數(shù)列，采取把正著寫(xiě)與倒著寫(xiě)的兩個(gè)和式相加，然后求和。例10、求和：Sn3C：6C；m3nC：例10、解Sn0?C03C；6CnHI3nCnn-1Sn=3n,2(4)、錯(cuò)位相減法如果一個(gè)數(shù)列是由一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘構(gòu)成的，可把和式的兩端同乘以上面的等比數(shù)列的公比，然后錯(cuò)位相減求和.例11、求數(shù)列1,3x,5x2

15、，,(2n-1)xn-1前n項(xiàng)的和.解設(shè)Sn=1+3+5x2+(2n-1)xn-1.(2)x=0時(shí)，Sn=1.(3)當(dāng)xw0且xw1時(shí)，在式兩邊同乘以x得xSn=x+3x2+5x3+(2n-1)xn,-，得(1-x)Sn=1+2x+2x2+2x3+2xn-1-(2n-1)xn.上八一人12h(1-n-L)n由公式知S.=-+=一(2為-1-X1-K=(1-a-(5)裂項(xiàng)法：把通項(xiàng)公式整理成兩項(xiàng)(式多項(xiàng))差的形式，然后前后相消。常見(jiàn)裂項(xiàng)方法：例12、求和1?53?75?9III(2n1)(2n3)1i-1)(2口4可了£口-27十(2口T)(2n11111一+>+5375111一

16、十,一十91注：在消項(xiàng)時(shí)一定注意消去了哪些項(xiàng)，還剩下哪些項(xiàng)，一般地剩下的正項(xiàng)與負(fù)項(xiàng)一樣多。在掌握常見(jiàn)題型的解法的同時(shí)，也要注重?cái)?shù)學(xué)思想在解決數(shù)列問(wèn)題時(shí)的應(yīng)用。二、常用數(shù)學(xué)思想方法1.函數(shù)思想運(yùn)用數(shù)列中的通項(xiàng)公式的特點(diǎn)把數(shù)列問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題解決?！纠?3】等差數(shù)列an的首項(xiàng)a1>0,前n項(xiàng)的和為Sn,若S=Sk(lwk)問(wèn)n為何值時(shí)S最大?解依題意，設(shè)f(G=也如+口"2"&-f(a)=扣：+(流一；).此函數(shù)以n為自變量的二次國(guó)此函數(shù)以n為自變量的二次皆生a1>0Sl=Q(lwk),d<0故此二次函數(shù)的圖像開(kāi)口向下f(l)=f(k)/.當(dāng)濕=時(shí)f

17、(宜)最大，f(n)中，nEN3J1+k，當(dāng)1十k為偶數(shù)時(shí)，n=時(shí)，最大。當(dāng)14k為奇數(shù)時(shí)，口=上/1時(shí)當(dāng)最大.2.方程思想一【例14】設(shè)等比數(shù)列但口前門(mén)項(xiàng)和為Sn,若&+與=24,求數(shù)列的公比q。分析本題考查等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)及推理能力。解:依題意可知qw1。;如果q=1,則S3=3a1,S6=6a1,&=9a1。由此應(yīng)推出a1=0與等比數(shù)列不符。-qw1，有中i-q%(1-q6)2%(1-q)，)1-qi-q整理得q3(2q6-q3-1)=0.1q0此題還可以作如下思考：3.換元思想【例15】求證：證明S6=S3+q3S=(1+q3)5°S9=S3+q3S6=S(

18、1+q3+q6),.由S3+Sg=2S9可彳22+q3=2(1+q3+q6),2q6+q3=0已知a,b,c是不為1的正數(shù)，x,y,zCR+,且a,b,c順次成等比數(shù)列。依題意令ax=by=cz=k-x=1ogak,y=logbk,z=logck1.b2=ac.a,b,c成等比數(shù)列(a,b,c均不為0)數(shù)學(xué)5（必修）第二章：數(shù)列提高訓(xùn)練C組一、選擇題數(shù)列an的通項(xiàng)公式an,則該數(shù)列的前（）項(xiàng)之和等于9。A.98B.99C.96.972.在等差數(shù)列an中,若S41,S8則a17a18a19a20的值為(A.12C.16173.在等比數(shù)列an中,a52a4a312A.1)n2C.62n(1)n2或

19、62n24.在等差數(shù)列an中,aa2a50200,a51a52a1002700,A.22.5B.21.5C.20.5D205.已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,若m1,且am1am1am0,S2m138,貝Um等于（A.38B.20C.10D.6.等差數(shù)列an,bn的前n項(xiàng)和分別為Sn,Tn,若呈Tn2n3n1，則嵬=bnA.23二、填空題2n13n2n13n2n3n已知數(shù)列中,2.已知數(shù)列的Sn3.三個(gè)不同的實(shí)數(shù)an1anan,則數(shù)列通項(xiàng)ana10即a12a,b,c成等差數(shù)列，且a,c,b成等比數(shù)列，則a:b:c4.在等差數(shù)列an中，公差d2,前100項(xiàng)的和S10045,則a1a3a5a99

20、5.若等差數(shù)列冊(cè)中，a3a7a108,a11a44,則§36.一個(gè)等比數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù),且它的任何一項(xiàng)都等于它的后面兩項(xiàng)的和，則公比三、解答題已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn32n，求an2.一個(gè)有窮等比數(shù)列的首項(xiàng)為1,項(xiàng)數(shù)為偶數(shù),如果其奇數(shù)項(xiàng)的和為85,偶數(shù)項(xiàng)的和為170,求此數(shù)列的公比和項(xiàng)數(shù)。3.數(shù)列l(wèi)g1000,lg(1000cos60°),lg(1000cos2600)，lg(1000ncos1on060工的前多少項(xiàng)和為最大?4.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn15913.(1)n1(4n3),求Si5S22S31的值。5.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,滿足Sn=2an-2n(

21、nCN)(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式an;b1(2)若數(shù)列bn滿足bn=log2(an+2),Tn為數(shù)列b的前n項(xiàng)和，求證Tn>-;an22參考答案（數(shù)學(xué)5必修）第二章提高訓(xùn)練C組選擇題1.Bann1、，n,8n,2J,3.2.，門(mén).n2.AS48n彷19,、彷1,88843,而84,8884,81210,n9988,56812,820S16，成等差數(shù)列SP1,3,5,7,9,a17a18a19a2082081693.D22a52a4a32a20,%a32a42a2,%(q1)2a2(q1)4.C5.C6.Ba32a2或q227001時(shí),2時(shí),20010,q2,1或1,當(dāng)q1時(shí)，an6；a

22、16,an6(n1a13,an3250d50,d1,S50a1a508,2al49damamam°,am(am82m12m1(&a2m1)8,2為1)n1650/萬(wàn)(a141,a12)0,am2,(1)na50)20.5(2m1)a2m38,2m200,19abn2an2bn2n122n12(a1a2n1)(b1b2n1)82n1T2n12(2n1)3(2n1)12n13n1填空題1.anan11,1an1an1口,1,一是以an1,為首項(xiàng)，以1為a1公差的等差數(shù)列,1an(n1)()、11)n,an一n1.100a8a9a。a11a)2S12S7122_2121(771)1003.4:1:(2)ac2b,c2ba,ab(2ba)2,a25ab4b24.10S100ab,a4b,c2b5.156a3a71002(a1a100)45,a1a10050一一、(a1a99)50八,0.420.9,a1a99a1a100d0.4,1012,a3+a.a4,a12,§313/"2