隨機(jī)變量的均值和方差

1、隨機(jī)變量的均值和方差自主梳理1離散型隨機(jī)變量的均值與方差若離散型隨機(jī)變量X的概率分布為Xx1x2xixnPp1p2pipn(1)均值E(X)_為隨機(jī)變量X的均值或_，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的_(2)方差2V(X)_xpi2為隨機(jī)變量X的方差，它刻畫了隨機(jī)變量X與其均值E(X)的_，其_為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差，即.2均值與方差的性質(zhì)(1)E(aXb)_.(2)V(aXb)_(a，b為實(shí)數(shù))3兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值、方差(1)若X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)_，V(X)_.(2)若XB(n，p)，則E(X)_，V(X)_.1若ab，則E()aE()b，V()a2V()2若B(n，p)，則E()np

2、，V()np(1p)自我檢測(cè)1若隨機(jī)變量X的分布列如下表，則E(X)_.X012345P2x3x7x2x3xx2.已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，且E(X)2.4，V(X)1.44，則二項(xiàng)分布的參數(shù)n，p的值分別為_(kāi)和_3(2010·課標(biāo)全國(guó)改編)某種種子每粒發(fā)芽的概率都為0.9，現(xiàn)播種了1 000粒，對(duì)于沒(méi)有發(fā)芽的種子，每粒需要再補(bǔ)種2粒，補(bǔ)種的種子數(shù)記為X，則X的數(shù)學(xué)期望為_(kāi)4(2011·浙江)某畢業(yè)生參加人才招聘會(huì)，分別向甲、乙、丙三個(gè)公司投遞了個(gè)人簡(jiǎn)歷假定該畢業(yè)生得到甲公司面試的概率為，得到乙、丙兩公司面試的概率均為p，且三個(gè)公司是否讓其面試是相互獨(dú)立的，記X為該畢業(yè)生

3、得到面試的公司個(gè)數(shù)若P(X0)，則隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)_.5隨機(jī)變量的概率分布如下：101Pabc其中a，b，c成等差數(shù)列若E()，則V()_.探究點(diǎn)一離散型隨機(jī)變量的期望與方差的求法例1袋中有20個(gè)大小相同的球，其中記上0號(hào)的有10個(gè)，記上n號(hào)的有n個(gè)(n1,2,3,4)現(xiàn)從袋中任取一球，表示所取球的標(biāo)號(hào)(1)求的概率分布、期望和方差；(2)若ab，E()1，V()11，試求a，b的值變式遷移1編號(hào)1,2,3的三位學(xué)生隨意入座編號(hào)為1,2,3的三個(gè)座位，每位學(xué)生坐一個(gè)座位，設(shè)與座位編號(hào)相同的學(xué)生的個(gè)數(shù)是X.(1)求隨機(jī)變量X的概率分布；(2)求隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望和方差探究點(diǎn)二二項(xiàng)分

4、布的期望與方差例2A、B是治療同一種疾病的兩種藥，用若干試驗(yàn)組進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn)每個(gè)試驗(yàn)組由4只小白鼠組成，其中2只服用A，另2只服用B，然后觀察療效若在一個(gè)試驗(yàn)組中，服用A有效的小白鼠的只數(shù)比服用B有效的多，就稱該試驗(yàn)組為甲類組設(shè)每只小白鼠服用A有效的概率為，服用B有效的概率為. (1)求一個(gè)試驗(yàn)組為甲類組的概率；(2)觀察3個(gè)試驗(yàn)組，用表示這3個(gè)試驗(yàn)組中甲類組的個(gè)數(shù)，求的概率分布和數(shù)學(xué)期望變式遷移2(2010·泰州模擬)在一次抗洪搶險(xiǎn)中，準(zhǔn)備用射擊的方法引爆從橋上游漂流而下的一巨大汽油罐已知只有5發(fā)子彈備用，且首次命中只能使汽油流出，再次命中才能引爆成功，每次射擊命中率都是，每次命中與

5、否互相獨(dú)立(1)求油罐被引爆的概率；(2)如果引爆或子彈打光則停止射擊，設(shè)射擊次數(shù)為，求的概率分布及的數(shù)學(xué)期望探究點(diǎn)三離散型隨機(jī)變量期望與方差的實(shí)際應(yīng)用例3購(gòu)買某種保險(xiǎn)，每個(gè)投保人每年度向保險(xiǎn)公司交納保費(fèi)a元，若投保人在購(gòu)買保險(xiǎn)的一年度內(nèi)出險(xiǎn)，則可以獲得10 000元的賠償金假定在一年度內(nèi)有10 000人購(gòu)買了這種保險(xiǎn)，且各投保人是否出險(xiǎn)相互獨(dú)立已知保險(xiǎn)公司在一年度內(nèi)至少支付賠償金10 000元的概率為10.999104.(1)求一投保人在一年度內(nèi)出險(xiǎn)的概率p；(2)設(shè)保險(xiǎn)公司開(kāi)辦該項(xiàng)險(xiǎn)種業(yè)務(wù)除賠償金外的成本為50 000元，為保證盈利的期望不小于0，求每位投保人應(yīng)交納的最低保費(fèi)(單位：元)變

6、式遷移3(2010·江蘇)某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品甲產(chǎn)品的一等品率為80%，二等品率為20%；乙產(chǎn)品的一等品率為90%，二等品率為10%.生產(chǎn)1件甲產(chǎn)品，若是一等品則獲得利潤(rùn)4萬(wàn)元，若是二等品則虧損1萬(wàn)元；生產(chǎn)1件乙產(chǎn)品，若是一等品則獲得利潤(rùn)6萬(wàn)元，若是二等品則虧損2萬(wàn)元設(shè)生產(chǎn)各件產(chǎn)品相互獨(dú)立(1)記X(單位：萬(wàn)元)為生產(chǎn)1件甲產(chǎn)品和1件乙產(chǎn)品可獲得的總利潤(rùn)，求X的概率分布；(2)求生產(chǎn)4件甲產(chǎn)品所獲得的利潤(rùn)不少于10萬(wàn)元的概率練習(xí)一、填空題(每小題6分，共48分)1(2010·福州質(zhì)檢)已知某一隨機(jī)變量的概率分布如下，且E()6.3，則a的值為_(kāi).4a9P0.50.1b2

7、.設(shè)B(n，p)，若有E()12，V()4，則n、p的值分別為_(kāi)3隨機(jī)變量X的概率分布為X124P0.40.30.3則E(5X4)_.4(2010·成都畢業(yè)班第一次診斷)已知拋物線yax2bxc (a0)的對(duì)稱軸在y軸的左側(cè)，其中a、b、c3，2，1,0,1,2,3，在這些拋物線中，記隨機(jī)變量為“|ab|的取值”，則的數(shù)學(xué)期望E()_.5(2011·上海)馬老師從課本上抄錄一個(gè)隨機(jī)變量的概率分布列如下表：x123P(x)？??？請(qǐng)小牛同學(xué)計(jì)算的數(shù)學(xué)期望盡管“！”處完全無(wú)法看清，且兩個(gè)“？”處字跡模糊，但能斷定這兩個(gè)“？”處的數(shù)值相同據(jù)此，小牛給出了正確答案E()_.6設(shè)離散型

8、隨機(jī)變量X的可能取值為1,2,3,4.P(Xk)akb(k1,2,3,4)又X的均值E(X)3，則ab_.7(2010·遼寧改編)兩個(gè)實(shí)習(xí)生每人加工一個(gè)零件，加工為一等品的概率分別為和，兩個(gè)零件是否加工為一等品相互獨(dú)立，則這兩個(gè)零件中恰好有一個(gè)一等品的概率為_(kāi)8(2010·重慶)某籃球隊(duì)員在比賽中每次罰球的命中率相同，且在兩次罰球中至多命中一次的概率為，則該隊(duì)員每次罰球的命中率為_(kāi)二、解答題(共42分)9(14分)(2011·江西)某飲料公司招聘了一名員工，現(xiàn)對(duì)其進(jìn)行一次測(cè)試，以便確定工資級(jí)別公司準(zhǔn)備了兩種不同的飲料共8杯，其顏色完全相同，并且其中4杯為A飲料，另

9、外4杯為B飲料，公司要求此員工一一品嘗后，從8杯飲料中選出4杯A飲料若4杯都選對(duì)，則月工資定為3 500元；若4杯選對(duì)3杯，則月工資定為2 800元；否則月工資定為2 100元令X表示此人選對(duì)A飲料的杯數(shù)假設(shè)此人對(duì)A和B兩種飲料沒(méi)有鑒別能力(1)求X的概率分布；(2)求此員工月工資的期望10(14分)(2011·山東)紅隊(duì)隊(duì)員甲、乙、丙與藍(lán)隊(duì)隊(duì)員A、B、C進(jìn)行圍棋比賽，甲對(duì)A、乙對(duì)B、丙對(duì)C各一盤已知甲勝A、乙勝B、丙勝C的概率分別為0.6,0.5，0.5.假設(shè)各盤比賽結(jié)果相互獨(dú)立(1)求紅隊(duì)至少兩名隊(duì)員獲勝的概率；(2)用表示紅隊(duì)隊(duì)員獲勝的總盤數(shù)，求的概率分布和數(shù)學(xué)期望E()11(14分)現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目，對(duì)甲項(xiàng)目每投資十萬(wàn)元，一年后利潤(rùn)是1.2萬(wàn)元、1.18萬(wàn)元、1.17萬(wàn)元的概率分別為、；已知乙項(xiàng)目的利潤(rùn)與產(chǎn)品價(jià)格的調(diào)整有關(guān)，在每次調(diào)整中，價(jià)格下降的概率都是p(0<p<1)設(shè)乙項(xiàng)目產(chǎn)品價(jià)格在一年內(nèi)進(jìn)行2次獨(dú)立的