2.1羅爾中值定理ppt課件

1、4.1.1 羅爾中值定理羅爾中值定理 現(xiàn)在我們開始討論函數(shù)導(dǎo)數(shù)的更進一步的結(jié)果，由于這些結(jié)果現(xiàn)在我們開始討論函數(shù)導(dǎo)數(shù)的更進一步的結(jié)果，由于這些結(jié)果都與某一個區(qū)間內(nèi)的某一個中間點處的導(dǎo)數(shù)值有關(guān)，所以，把都與某一個區(qū)間內(nèi)的某一個中間點處的導(dǎo)數(shù)值有關(guān)，所以，把這些結(jié)果統(tǒng)稱為中值定理這些結(jié)果統(tǒng)稱為中值定理 。本段要介紹的羅爾定理就是其中。本段要介紹的羅爾定理就是其中一一 個較簡單的結(jié)果。個較簡單的結(jié)果。 定理定理1羅爾定理）羅爾定理） 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f(x)在區(qū)間在區(qū)間a,b上有定義，假如上有定義，假如 （1函數(shù)函數(shù) f(x)在閉區(qū)間在閉區(qū)間a，b上連續(xù)；上連續(xù)； （2函數(shù)函數(shù) f(x)在開區(qū)間在開區(qū)

2、間a，b內(nèi)可導(dǎo)；內(nèi)可導(dǎo)； （3函數(shù)函數(shù) f(x)在區(qū)間兩端點處的函數(shù)值相等，即在區(qū)間兩端點處的函數(shù)值相等，即 f(a)= f(b); 則在則在a，b內(nèi)至少存在一個點內(nèi)至少存在一個點 a b，使得，使得 f ()=0 . 證明：根據(jù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)證明：根據(jù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間a,b上上必有最大值必有最大值M和最小值和最小值m，即存在，即存在 x1 ， x2 a,b， 使得使得 f(x1)=M ， f(x2)= m， 以下分兩種情況：以下分兩種情況：(1) M = m; (2) M m 來討論。來討論。 （1當(dāng)當(dāng)M = m時，函數(shù)時，函數(shù) f(x)在區(qū)間在

3、區(qū)間a,b上為常數(shù)，于是它的導(dǎo)上為常數(shù)，于是它的導(dǎo)數(shù)在開區(qū)間數(shù)在開區(qū)間a，b內(nèi)恒為內(nèi)恒為 0，因此定理結(jié)論成立。，因此定理結(jié)論成立。 （2當(dāng)當(dāng)M m 時，由條件時，由條件f(a)= f(b) 可知，函數(shù)的最大值和最可知，函數(shù)的最大值和最小值中至少有一個是在開區(qū)間內(nèi)取得，不妨設(shè)函數(shù)的最大值在小值中至少有一個是在開區(qū)間內(nèi)取得，不妨設(shè)函數(shù)的最大值在開區(qū)間內(nèi)取得，即開區(qū)間內(nèi)取得，即 x1 (a,b)，使得，使得 f(x1)=M 。根據(jù)函數(shù)可導(dǎo)。根據(jù)函數(shù)可導(dǎo)性的條件，函數(shù)在性的條件，函數(shù)在 x1 處的導(dǎo)數(shù)一定存在。現(xiàn)在我們證明處的導(dǎo)數(shù)一定存在?，F(xiàn)在我們證明 f(x1)=0。 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定

4、義，xxfxxfxxfxxfxxfxxfxfxxx)()(lim)()(lim)()(lim)(1101101101 由于由于 f(x1)=M 為函數(shù)的最大值，所以為函數(shù)的最大值，所以 同理同理 從而從而 即存在即存在 = x1 (a,b)，a b，使得，使得 f ()=0 綜合綜合1）、（）、（2即知定理結(jié)論成立。即知定理結(jié)論成立。 羅爾定理的幾何解釋羅爾定理的幾何解釋: 當(dāng)曲線方程滿足羅爾定理的要求當(dāng)曲線方程滿足羅爾定理的要求 時，在區(qū)間內(nèi)至少存在一點時，在區(qū)間內(nèi)至少存在一點 ， 使得該點的切線的斜率為零，換使得該點的切線的斜率為零，換 句話說，該點的切線平行于句話說，該點的切線平行于 x

5、 軸軸.oxyy=f(x)ax1 )0(,0)()(lim110 xxxfxxfx)0(,0)()(lim110 xxxfxxfx0)()(lim)(1101xxfxxfxfxbMf(a)f(b) 例例 1 不用求出函數(shù)不用求出函數(shù) f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)的導(dǎo)數(shù)，說明的導(dǎo)數(shù)，說明方程方程 f (x)=0 有幾個實根，并指出它們所在的區(qū)間。有幾個實根，并指出它們所在的區(qū)間。 解：由于函數(shù)解：由于函數(shù) f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5) 在整個實數(shù)軸上連在整個實數(shù)軸上連續(xù)、可導(dǎo)，并且續(xù)、可導(dǎo)，并且 f(1)= f(2)=f(3)=f(

6、4)= f(5)=0，分別在區(qū)間，分別在區(qū)間 (1,2), (2,3), (3,4), (4,5) 內(nèi)應(yīng)用羅爾定理，可得方程內(nèi)應(yīng)用羅爾定理，可得方程 f (x)=0 至少有至少有4個實根，但由于個實根，但由于f (x)是一個是一個4次多項式，至多有次多項式，至多有4個實根，因個實根，因而，方程而，方程 f (x)=0 只有只有4個實根，并且分別位于區(qū)間個實根，并且分別位于區(qū)間 (1,2), (2,3), (3,4), (4,5) 內(nèi)。內(nèi)。 例例 2 設(shè)設(shè) 試證方程試證方程 在區(qū)間在區(qū)間(0,1)內(nèi)至少有一個實根。內(nèi)至少有一個實根。 證明：記證明：記 那么那么 f(0)=f(1)=0，從，從而存

7、在而存在01,使得使得 ,021naaa,02121nnxnaxaa,)(221nnxaxaxaxf.02)(121nnnaaaf4.1.2 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 本段要介紹的拉格朗日中值定理是一本段要介紹的拉格朗日中值定理是一 個重要的中值定理，它個重要的中值定理，它可以看作是羅爾中值定理的推廣?？梢钥醋魇橇_爾中值定理的推廣。 定理定理 2拉格朗日定理）拉格朗日定理） 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f(x)在在a,b上有定義，假如上有定義，假如 （1函數(shù)函數(shù) f(x)在閉區(qū)間在閉區(qū)間a，b上連續(xù)；上連續(xù)； （2函數(shù)函數(shù) f(x)在開區(qū)間在開區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)；內(nèi)可導(dǎo)； 則在則在(a，b)內(nèi)至少

8、存在一個點內(nèi)至少存在一個點 a b，使得，使得 證明：為了證明定理的結(jié)論，構(gòu)造輔助函數(shù)證明：為了證明定理的結(jié)論，構(gòu)造輔助函數(shù) 則容易驗證，函數(shù)則容易驗證，函數(shù)(x)在閉區(qū)間在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，在開區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間 (a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且滿足內(nèi)可導(dǎo)，且滿足(a) = (b) = 0 , 由羅爾定理，則在由羅爾定理，則在(a，b)內(nèi)內(nèi)至少至少abafbff)()()()()()()()()(axabafbfafxfx 存在一個點存在一個點 a 0,試證試證 證明：設(shè)函數(shù)證明：設(shè)函數(shù) f(x)=ln(1+x) ,取區(qū)間為取區(qū)間為 0，x ，則函數(shù)在區(qū)間，則函數(shù)在區(qū)間 0，x上連續(xù)，在上連續(xù)，在0

9、，x內(nèi)可導(dǎo)，并且內(nèi)可導(dǎo)，并且 f(0)=0， f(x)=ln(1+x)， 在區(qū)間在區(qū)間0，x內(nèi)應(yīng)用拉格朗日中值定理，可得內(nèi)應(yīng)用拉格朗日中值定理，可得 由于由于 所以所以 于是于是 （ 證畢）證畢）.)1ln(1xxxx.)1ln(11)(xxf.11111x.1)1ln(11xxx.)1ln(1xxxx 例例 2 試證試證 |sin x -sin y| | x - y | 證明：設(shè)證明：設(shè) x y的情況，類似地可以證明；而當(dāng)?shù)那闆r，類似地可以證明；而當(dāng) x = y 時是顯然成立時是顯然成立的。這樣綜合即知，對任意的的。這樣綜合即知，對任意的 x, y 不等式均成立。不等式均成立。 練習(xí)：練習(xí)：

10、(1) 試證試證 |cos x -cos y| | x - y |. (2) 試證試證 |arctg x -arctg y| | x - y |. .sinsincos)(xyxyf.1sinsinxyxy4.1.3 柯西中值定理柯西中值定理 本段要介紹的柯西中值定理可以看作是拉格朗日中值定理的推本段要介紹的柯西中值定理可以看作是拉格朗日中值定理的推廣。廣。 定理定理 3柯西中值定理）柯西中值定理） 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f(x), g(x)在在a,b上有定義，如上有定義，如果它們滿足果它們滿足 （1函數(shù)函數(shù) f(x)， g(x)在閉區(qū)間在閉區(qū)間a，b上連續(xù)；上連續(xù)； （2函數(shù)函數(shù) f(x)， g(x

11、)在開區(qū)間在開區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且內(nèi)可導(dǎo)，且g(x) 0； 則在則在(a，b)內(nèi)至少存在一個點內(nèi)至少存在一個點 a b，使得，使得 證明：類似于定理證明：類似于定理2的證明，構(gòu)造輔助函數(shù)的證明，構(gòu)造輔助函數(shù) 則容易驗證，函數(shù)則容易驗證，函數(shù)(x)在閉區(qū)間在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，在開區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間 (a,b)()()()()()(agbgafbfgf)()()()()()()()()(agxgagbgafbfafxfx 內(nèi)可導(dǎo)，且滿足內(nèi)可導(dǎo)，且滿足(a) = (b) = 0 , 由羅爾定理，則在由羅爾定理，則在(a，b)內(nèi)至少存在一個點內(nèi)至少存在一個點 a b，使得，使得 ( ) = 0

12、, 即即 從而從而 （證畢）（證畢） 柯西中值定理的幾何意義柯西中值定理的幾何意義 設(shè)曲線方程為設(shè)曲線方程為 在區(qū)間內(nèi)至少存在一點在區(qū)間內(nèi)至少存在一點 ，使，使 得該點的切線平行于曲線兩端得該點的切線平行于曲線兩端 點點 ( g(a), f(a) )與與 (g(b), f(b) )0)()()()()()()(gagbgafbffoxyy=f(t)g(a)g() g(b)f(a)f(b)()()()()()(agbgafbfgfx=g(t)btatfytgx)()(f() 的連線，其斜率為的連線，其斜率為 例例 1 假設(shè)假設(shè) 0ab , 且函數(shù)且函數(shù) f(x)在閉區(qū)間在閉區(qū)間a，b上可微，試證

13、存上可微，試證存在一個點在一個點， a b，使得，使得 2 f(b) - f(a) = ( b2 - a2 ) f ( )。 證明：將上述結(jié)論的形式變?yōu)樽C明：將上述結(jié)論的形式變?yōu)?顯然，只需取函數(shù)顯然，只需取函數(shù) g(x) = x2 , 則函數(shù)則函數(shù) f(x)， g(x) 在區(qū)間在區(qū)間 a，b 上滿足定理上滿足定理3的條件，的條件， 應(yīng)用柯西中值定理，可得應(yīng)用柯西中值定理，可得 （ 證畢）證畢）)()()()()()(agbgafbfgfdxdyKt22)()(2)(abafbff22)()(2)()()(abafbffgf 例例 2 假設(shè)假設(shè) 0ab , 且函數(shù)且函數(shù) f(x)在閉區(qū)間在閉區(qū)間a，b上連續(xù)，在開區(qū)上連續(xù)，在開區(qū)間間a，b內(nèi)可微，試證存在一個點內(nèi)可微，試證存在一個點， a b，使得，使得 f(b) - f(a) = ( lnb - lna ) f ( )。 證明：將上述結(jié)論的形式變?yōu)樽C明：將上述結(jié)論的形式變?yōu)?顯然，只需取函數(shù)顯然，只需取函數(shù) g(x) =ln x , 則函數(shù)則函數(shù) f(x)， g(x) 在區(qū)間在區(qū)間 a，b 上滿足定理上滿足定理3的條件，的條件， 應(yīng)用柯西中值定理，可得應(yīng)用柯西中值定理，可得 （ 證畢）證畢） 設(shè)設(shè) x