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文檔簡介
1、數(shù)列方法大全一、求通項(xiàng)公式各種數(shù)列問題在很多情形下,就是對數(shù)列通項(xiàng)公式的求解。特別是在一些綜合性比較強(qiáng)的數(shù)列問題中,數(shù)列通項(xiàng)公式的求解問題往往是解決數(shù)列難題的瓶頸。類型1an1anf(n)解法:把原遞推公式轉(zhuǎn)化為an1anf(n),利用累加法(逐差相加法)求解。1例1.已知數(shù)列an滿足a1-,an1ann,求an。2變式:已知數(shù)列2中為1,且a2k=a2k1+(1)K,a2k+1=a2k+3k,其中k=1,2,3,(I)求a3,as;(II)求an的通項(xiàng)公式類型2an1f(n)ana一“解法:把原遞推公式轉(zhuǎn)化為理anf(n),利用累乘法(逐商相乘法)求解。例2:已知數(shù)列an滿足a12n一,an
2、1an,求an。3n1(n1)an1變式:(2004,全國I,理15.)已知數(shù)列an,滿足a1=1,ana12a23a3一1(n>2),則an的通項(xiàng)an類型3an1panq(其中p,q均為常數(shù),(pq(p1)0)。解法(待定系數(shù)法):把原遞推公式轉(zhuǎn)化為:an1tp(ant),其中t-q,再利用1p換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解。例3:已知數(shù)列an中,a11,an12an3,求an.類型4an1panqn(其中p,q均為常數(shù),(pq(p1)(q1)0)。(或an1panrqn淇中p,q,r均為常數(shù))。解法:一般地,要先在原遞推公式兩邊同除以qn1,得:TE?胃引入輔助數(shù)列qnqqnqbn(其中b
3、n多),得:bn1bn。再待定系數(shù)法解決。qqq511n1例4:已知數(shù)列an中,a1-,an1-an(-),求an。類型5遞推公式為an2pan1qan(其中p,q均為常數(shù))。(待定系數(shù)法):先把原遞推公式轉(zhuǎn)化為stpstqan2san1t(an1san)其中s,t滿足一an,求ano3f(an1)消去Sn(n2)或與2例5:已知數(shù)列an中,a11,a22,an2-an13類型6遞推公式為Sn與an的關(guān)系式。(或Snf(an)解法:這種類型一般利用S(n1)一,、an與anSnSn1f(an)SnSn1(n2)Snf(SnSn1)(n2)消去a0進(jìn)行求解。例6:已知數(shù)列an前n項(xiàng)和Sn4an(
4、1)求an1與an的關(guān)系;(2)求通項(xiàng)公式an.類型7an1pananb(p10,a0)解法:這種類型一般利用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列,即令an1x(n1)yp(anxny),與已知遞推式比較,解出x,y,從而轉(zhuǎn)化為anxny是公比為p的等比數(shù)列。例7:設(shè)數(shù)列an:a14,an3an12n1,(n2),求an.類型8an1pan(p0,an0)解法:這種類型一般是等式兩邊取對數(shù)后轉(zhuǎn)化為an1panq,再利用待定系數(shù)法求解。12例8:已知數(shù)列an中,a11,an1an(a0),求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.a類型9an1fna解法:這種類型一般是等式兩邊取倒數(shù)后換元轉(zhuǎn)化為g(n)anh(n)an1panq
5、°a例9:已知數(shù)列a4滿足:an,a11,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。3an11a4例10:已知數(shù)列an滿足性質(zhì):對于nN,an1,且a13,求an的通項(xiàng)2an3公式.類型10an1anpnq或an1anpqn解法:這種類型一般可轉(zhuǎn)化為a2n1與a2n是等差或等比數(shù)列求解。例11:(I)在數(shù)列an中,a11,an16nan,求an(II)在數(shù)列an中,“1,anan13n,求an類型11周期型解法:由遞推式計(jì)算出前幾項(xiàng),尋找周期。1 、2an,(0an)2 6例12:右數(shù)列an滿足an1,若a1,則a?。的值為172an1,(-an1)2二、求和數(shù)列是高中代數(shù)的重要內(nèi)容,又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的
6、基礎(chǔ).在高考和各種數(shù)學(xué)競賽中都占有重要的地位.數(shù)列求和是數(shù)列的重要內(nèi)容之一,除了等差數(shù)列和等比數(shù)列有求和公式外,利用求和公式求和是數(shù)列求和的最基本最重要的方法大部分?jǐn)?shù)列的求和都需要一定的技巧類型1.利用常用求和公式求和:等差數(shù)列求和公式:Snn(&an)2、等比數(shù)列求和公式:Snna1a1(1aanq3、nShkk1(n21)4、Snk21n(n6例1已知10g3x10g23例2設(shè)Sn=1+2+3+nnCN,求f(n)Sn(q1)(q1)(2n1)的前(n32)Sn11)5、Snn項(xiàng)和.的最大值.nk3k112弓n(n1)n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法,這種方類型2.錯(cuò)位相減法求和:這種方法是
7、在推導(dǎo)等比數(shù)列的前法主要用于求數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和,其中an卜bn分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.例3求和:Sn13x5x27x3(2n1)xn1例4求數(shù)列2:,g,2n,前n項(xiàng)的和.nnn*nnn2222類型3.倒序相加法求和:這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法,就是將一個(gè)數(shù)列倒過來排列(反序),再把它與原數(shù)列相加,就可以得到n個(gè)(a1an).2_2一sin88sin89的值.2.2一.2_例5求sin1sin2sin3類型4.分組法求和:有一類數(shù)列,既不是等差數(shù)列,也不是等比數(shù)列,若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開,可分為幾個(gè)等差、等比或常見的數(shù)列,然后分別求和,再將其合并即可1,1r1例6求數(shù)列的
8、刖n項(xiàng)和:11,4,7,n-y3n2,aaa類型5.裂項(xiàng)相消法:這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用.裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列.通項(xiàng)分中的每項(xiàng)(通項(xiàng))分解,然后重新組合,使之能消去一些項(xiàng),最終達(dá)到求和的目的解(裂項(xiàng))如:(3)(5)anf(n1)1n(n1)f(n)(2)sin1cosncos(n1)an(2n)2(2n1)(2ntan(n1)1)/111(一22ntannan1n(n1)(n2)2n(n1)(n1)(n-2)(6)ann21n(n1)2n2(n1)n1n(n1)2n(n1)2n,則Sn1(n1)2n例7求數(shù)列的前n項(xiàng)和.例8在數(shù)列an中,an,又bn2,求數(shù)列bn的刖n項(xiàng)an
9、an1的和.一1例9求證:cos0cos1cos1cos2cos12/cos88cos89sin1類型6.合并法求和:針對一些特殊的數(shù)列,將某些項(xiàng)合并在一起就具有某種特殊的性質(zhì),-2Sn(n1,2,).證明:nS.因此,在求數(shù)列的和時(shí),可將這些項(xiàng)放在一起先求和,然后再求例10求cos1°+cos2°+cos3°+cos178°+cos179°的值.例11在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中,若a5a69,求10g3a110g3a210g3a10的值.類型7.利用數(shù)列的通項(xiàng)求和:先根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)及特征進(jìn)行分析,找出數(shù)列的通項(xiàng)及其特征,然后再利用數(shù)列的通項(xiàng)揭
10、示的規(guī)律來求數(shù)列的前n項(xiàng)和,是一個(gè)重要的方法例12求1111111111之和.n個(gè)1例13已知數(shù)列an:an,求(n1)(anan1)的值.(n1)(n3)n1三、課后作業(yè)11 .數(shù)歹Uan的刖n項(xiàng)為55且211,an1-Sn(n1,2,3,)3(1)求a2,a3,a4的值及數(shù)列a1的通項(xiàng)公式.求a?a,a2n2 .數(shù)列%的前n項(xiàng)和記為Sn,已知a11,%11*3 .已知數(shù)列an的前n項(xiàng)為Sn,Sn-(an1)(nN)3(1)求a1,a2;求證:數(shù)列an是等比數(shù)列.11,、4 .已知數(shù)列an輛足科一,an1an,求an.2nn5 .已知數(shù)列an滿足,a12,an1nan,求an.3n1511一一6 .已知數(shù)列an中,a-,an1-an(-),求an.6327 .已知數(shù)列an滿足:anan1,a11,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式3an118 .等比數(shù)歹Ua的前n項(xiàng)和Sn2n1,求a;
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