數(shù)列解題方法大全

1、數(shù)列方法大全一、求通項(xiàng)公式各種數(shù)列問題在很多情形下，就是對數(shù)列通項(xiàng)公式的求解。特別是在一些綜合性比較強(qiáng)的數(shù)列問題中，數(shù)列通項(xiàng)公式的求解問題往往是解決數(shù)列難題的瓶頸。類型1an1anf(n)解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為an1anf(n),利用累加法(逐差相加法)求解。1例1.已知數(shù)列an滿足a1-,an1ann,求an。2變式：已知數(shù)列2中為1,且a2k=a2k1+(1)K,a2k+1=a2k+3k,其中k=1,2,3,(I)求a3,as；(II)求an的通項(xiàng)公式類型2an1f(n)ana一“解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為理anf(n),利用累乘法(逐商相乘法)求解。例2：已知數(shù)列an滿足a12n一,an

2、1an，求an。3n1(n1)an1變式：(2004,全國I,理15.)已知數(shù)列an,滿足a1=1,ana12a23a3一1(n>2),則an的通項(xiàng)an類型3an1panq(其中p,q均為常數(shù)，(pq(p1)0)。解法(待定系數(shù)法)：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為：an1tp(ant),其中t-q,再利用1p換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解。例3：已知數(shù)列an中，a11,an12an3,求an.類型4an1panqn(其中p,q均為常數(shù)，(pq(p1)(q1)0)。(或an1panrqn淇中p,q,r均為常數(shù))。解法：一般地，要先在原遞推公式兩邊同除以qn1,得：TE?胃引入輔助數(shù)列qnqqnqbn(其中b

3、n多)，得：bn1bn。再待定系數(shù)法解決。qqq511n1例4：已知數(shù)列an中，a1-,an1-an(-)，求an。類型5遞推公式為an2pan1qan(其中p,q均為常數(shù))。(待定系數(shù)法)：先把原遞推公式轉(zhuǎn)化為stpstqan2san1t(an1san)其中s，t滿足一an，求ano3f(an1)消去Sn(n2)或與2例5：已知數(shù)列an中，a11,a22,an2-an13類型6遞推公式為Sn與an的關(guān)系式。(或Snf(an)解法：這種類型一般利用S(n1)一,、an與anSnSn1f(an)SnSn1(n2)Snf(SnSn1)(n2)消去a0進(jìn)行求解。例6：已知數(shù)列an前n項(xiàng)和Sn4an(

4、1)求an1與an的關(guān)系；(2)求通項(xiàng)公式an.類型7an1pananb(p10,a0)解法：這種類型一般利用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列，即令an1x(n1)yp(anxny),與已知遞推式比較，解出x,y,從而轉(zhuǎn)化為anxny是公比為p的等比數(shù)列。例7:設(shè)數(shù)列an:a14,an3an12n1,(n2),求an.類型8an1pan(p0,an0)解法：這種類型一般是等式兩邊取對數(shù)后轉(zhuǎn)化為an1panq,再利用待定系數(shù)法求解。12例8：已知數(shù)列an中，a11,an1an(a0),求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.a類型9an1fna解法：這種類型一般是等式兩邊取倒數(shù)后換元轉(zhuǎn)化為g(n)anh(n)an1panq

5、°a例9：已知數(shù)列a4滿足：an,a11,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。3an11a4例10：已知數(shù)列an滿足性質(zhì)：對于nN,an1，且a13,求an的通項(xiàng)2an3公式.類型10an1anpnq或an1anpqn解法：這種類型一般可轉(zhuǎn)化為a2n1與a2n是等差或等比數(shù)列求解。例11：(I)在數(shù)列an中，a11,an16nan,求an(II)在數(shù)列an中，“1,anan13n，求an類型11周期型解法：由遞推式計(jì)算出前幾項(xiàng)，尋找周期。1 、2an,(0an)2 6例12：右數(shù)列an滿足an1，若a1,則a?。的值為172an1,(-an1)2二、求和數(shù)列是高中代數(shù)的重要內(nèi)容，又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的

6、基礎(chǔ).在高考和各種數(shù)學(xué)競賽中都占有重要的地位.數(shù)列求和是數(shù)列的重要內(nèi)容之一，除了等差數(shù)列和等比數(shù)列有求和公式外,利用求和公式求和是數(shù)列求和的最基本最重要的方法大部分?jǐn)?shù)列的求和都需要一定的技巧類型1.利用常用求和公式求和：等差數(shù)列求和公式:Snn(&an)2、等比數(shù)列求和公式:Snna1a1(1aanq3、nShkk1(n21)4、Snk21n(n6例1已知10g3x10g23例2設(shè)Sn=1+2+3+nnCN，求f(n)Sn(q1)(q1)(2n1)的前(n32)Sn11)5、Snn項(xiàng)和.的最大值.nk3k112弓n(n1)n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，這種方類型2.錯(cuò)位相減法求和：這種方法是

7、在推導(dǎo)等比數(shù)列的前法主要用于求數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和，其中an卜bn分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.例3求和：Sn13x5x27x3（2n1）xn1例4求數(shù)列2：,g,2n,前n項(xiàng)的和.nnn*nnn2222類型3.倒序相加法求和：這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，就是將一個(gè)數(shù)列倒過來排列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個(gè)（a1an）.2_2一sin88sin89的值.2.2一.2_例5求sin1sin2sin3類型4.分組法求和：有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個(gè)等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可1,1r1例6求數(shù)列的

8、刖n項(xiàng)和：11,4,7,n-y3n2,aaa類型5.裂項(xiàng)相消法：這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用.裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列.通項(xiàng)分中的每項(xiàng)（通項(xiàng)）分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的解（裂項(xiàng)）如:(3)(5)anf(n1)1n(n1)f(n)(2)sin1cosncos(n1)an(2n)2(2n1)(2ntan(n1)1)/111(一22ntannan1n(n1)(n2)2n(n1)(n1)(n-2)(6)ann21n(n1)2n2(n1)n1n(n1)2n(n1)2n，則Sn1(n1)2n例7求數(shù)列的前n項(xiàng)和.例8在數(shù)列an中，an，又bn2,求數(shù)列bn的刖n項(xiàng)an

9、an1的和.一1例9求證：cos0cos1cos1cos2cos12/cos88cos89sin1類型6.合并法求和：針對一些特殊的數(shù)列，將某些項(xiàng)合并在一起就具有某種特殊的性質(zhì),-2Sn(n1,2，).證明:nS.因此，在求數(shù)列的和時(shí)，可將這些項(xiàng)放在一起先求和，然后再求例10求cos1°+cos2°+cos3°+cos178°+cos179°的值.例11在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若a5a69,求10g3a110g3a210g3a10的值.類型7.利用數(shù)列的通項(xiàng)求和：先根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)及特征進(jìn)行分析，找出數(shù)列的通項(xiàng)及其特征,然后再利用數(shù)列的通項(xiàng)揭

10、示的規(guī)律來求數(shù)列的前n項(xiàng)和，是一個(gè)重要的方法例12求1111111111之和.n個(gè)1例13已知數(shù)列an：an，求(n1)(anan1)的值.(n1)(n3)n1三、課后作業(yè)11 .數(shù)歹Uan的刖n項(xiàng)為55且211,an1-Sn(n1,2,3，)3(1)求a2,a3,a4的值及數(shù)列a1的通項(xiàng)公式.求a?a,a2n2 .數(shù)列%的前n項(xiàng)和記為Sn,已知a11,%11*3 .已知數(shù)列an的前n項(xiàng)為Sn,Sn-(an1)(nN)3(1)求a1，a2;求證：數(shù)列an是等比數(shù)列.11,、4 .已知數(shù)列an輛足科一,an1an，求an.2nn5 .已知數(shù)列an滿足,a12,an1nan,求an.3n1511一一6 .已知數(shù)列an中,a-,an1-an(-)，求an.6327 .已知數(shù)列an滿足：anan1,a11,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式3an118 .等比數(shù)歹Ua的前n項(xiàng)和Sn2n1,求a；