數(shù)學物理方程試卷及答案

1、考試試題紙卷課程名稱數(shù)理方法專業(yè)班級2017題號一二三四五六七八九十總分題分201515152015100備注：學生不得在試題紙上答題(含填空題、選擇題等客觀題)、填空題(按順序?qū)⒄_答案填寫到答題本上。本大題共5小題，每小題4分，共20分)1每一個物理過程都處在特定的條件之下，常常使用一個偏微分方程和相應的初始條件和邊界條件對物理過程中的某個狀態(tài)的變化過程進行描述，形成一個(A)問題。偏微分方程只給定初始條件時稱為(B)問題。解的(C)稱為問題的適定性。2二階線性偏微分方程256xu5t0屬于(D)型方程。xt3以下說法：(1)第一類n階Bessel函數(shù)Jn(x)與第二類Bessel函數(shù)Yn

2、(x)是線性無關的;(2)半奇數(shù)階的第一類Bessel函數(shù)都是初等函數(shù)；(3)任意兩個第一類Bessel函數(shù)Jn(x)、Jn(x)都是線性相關的；(4)對任何正數(shù)n,limJn(x)0；x(5)n為整數(shù)時,Jn(0)0,n不為整數(shù)時，Jn(0)222一、巾ucucu4由波動萬程一232ttxx其中正確的有(E)。0確定的解u(x,t)依賴過(x,t)的兩條直線在x軸所截得的區(qū)間(F)上的初始條件u|t0(x),ut|t0(x),這兩條直線與x軸圍成的三角形區(qū)域稱為由依賴區(qū)間所確定的(G).X''X05邊值問題的固有值為(H)，固有函數(shù)為(I).X'|x00,X|xL0二

3、、（15分）用達朗貝爾公式求解半無界區(qū)域上弦振動定解問題:22uuc,2=2,0tx0,Ut0三、（15分）用分離變量法求解定解問題:u,u八t2=4-2,01,t0ux|xu|t0x00,Ux|x1sinx,ut|t四（15分）求解定解問題:ux2x0,x22te：0x1,t0五、（20分）I求證F（0的Fourier逆變換為f（x）2x14i=e；II用積分變換法求解下列定解問題:2utaUxxf(x,y),(u(x,0)(x),t0)六、（15分）I求證二階線性微分方程2一2xy''pxy'q(xr)y0(q0)都可在適當變量替換下化為Bessel方程。.22II

4、求解xy''3xy'4(x6)y0的通解。參考解答：一、填空題1. A|B初值(或Cauchy問題)C存在性、唯一性和穩(wěn)定性2. D雙曲3. E4. Fx-3t,x+t,G決定區(qū)域225. H-2)(n1,2,L)IXcos-(n1,2,L)4L22Luauxt0、解：無界區(qū)域上波動方程uttautt,t0的達朗貝爾公式為:u|t0(x),ut|t0(x)u(x,t)22(xat)(xat)21xat2axat()d對于本題所給半無界區(qū)域上的自由端點定解問題，只需對初始條件作偶延拓，即令:(x)x2,(x)|x|即可,a2，代入達朗貝爾公式得u(x)2x_2_2(x2t

5、)(x2t)22_xt4t,x2t1x2t22x2t|d225(x4t)42t解：設u(x,t)X(x)T(t),則X(x)T”(t)4X”(x)T(t),八十*曰冷aT''(t)X''(x)分離變量成為4T(t)X(x)則X''(x)X(x)0,X'(0)X'(1)0'、T''(t)4T(t)0解前一方程，得固有值nn22(n0,1,2,L)和固有函數(shù)X(x)cosnx,代入方程T”(t)4T(t)0中可得T(t)Acos2ntBsin2nt,(n1,2,3,L)由疊加原理，原方程有解u(x,t)(Anc

6、os2ntBnsin2nt)cosnx。n1考慮所給初值條件，有:sinxAncosnxn0Bn2ncosnx0n為奇數(shù)昌Tn為偶數(shù)'"°1則A0sinxdx1sinxcosnxdx024故，原問題的te斛為u(x,t)2cos4ntcos2nx。ni(4n1)四、解：首先，作變換u(x,t)v(x,t)w(x,t),將邊界齊次化，只需令w(x,t)xt(1)原定解問題就可化為t函數(shù)v(x,t)的定解問題：VtxVxx(1)txx2te,特別地，當2時泛定方程可進一步化為Vx|x00,v|x10,v|t00更簡單的形式vtvxxeto然后，對上述方程求由齊次泛定方程

7、導出的方程X''(x)X(x)0在邊界X'(0)X(1)0時的固有值1,2,L)利用常數(shù)變易法構(gòu)造滿足原泛定方程z1x221、/(n)(n1,2,L)和固有函數(shù)X(x)cos(n)x,(n22的解v(x,t)Tn(t)cos(nn11，、修-)x代入得:22Tme0s(n1由于14(1)“n1(2n1)cos(nTn'(t)4(1)n1et(2n1)Tn(0)解得Tn(t)32(1)n1(ete(2n1)(4_22(2n1)22)故原方程的解為:u(x,t)x2t32(1)n1©n1(2n1)(4(n-)22te2).:cos(n(2n1)22)2)五

8、、解：If(x)e2ejxd2(R)2土(2)e4dx24eII對所給初值問題關于變量x作Fourier變換，記U(,y)Fu(x,t),、ix,u(x,t)edx,并設f(x,t)的Fourier變換為F(,t),(x)的Fourier變換為dU(),得：dtU1t2UF.t2對其求解可得U(,t)()ea2ttoF(，t)eax2e4a2t(x)F-2a.t2xeT-)F-.d.2a,(t)進彳tFourier逆變換，并利用卷積性質(zhì),有:u(x,t)12at1T(x(x)2e4a2t(一d2a.t2一2.(x)ed2a.t)ed六、I證：令取則y'(x)代入方程若令p這是一個f(x2e.)e一2a.'(t12a.1td.0y(x)xP(x)f(x,tf(x2a24a2)e,t)e(t/,.q)P(t/Xq)Y(t),(tY'(t)t1Y(t),q,y''(x)(tY''(t)2t222xypxy'q(xr)y0中，變形為tY(t)21,Lp,方程成為：x2Y''(x)xY'(x)n階Bessel方程(n，4pr(p1)2/2)1Y'(t)(p2(x21p,II解：對所給方程，取p3,q4,r6得21