高等量子力學(xué)chapter3

1、第三章第三章: : 角動量理論角動量理論空間轉(zhuǎn)動及角動量算符對易關(guān)系剛體的轉(zhuǎn)動，若繞著同一個軸轉(zhuǎn)動是彼此對易的，而繞著不同軸轉(zhuǎn)動彼此不對易數(shù)學(xué)上，三維空間轉(zhuǎn)動用實正交矩陣表示考慮矢量，轉(zhuǎn)動后為),(zyxVVVVV33zyxzyxVVVRVVV其中為實正交矩陣R33IRRRRTT顯然222222zyxzyxVVVVVV例：繞z軸轉(zhuǎn)動角1000cossin0sincos)(zR繞z軸的無窮小轉(zhuǎn)動100021021)(22zR同理210210001)(22xR210010021)(22yR先繞y軸轉(zhuǎn)動，再繞x軸轉(zhuǎn)動，則2222121021)()(yxRR忽略項)(2o先繞x軸轉(zhuǎn)動，再繞y軸轉(zhuǎn)動，則

2、2222121021)()(xyRR因此IRRRRRzxyyx)(0000000)()()()(222因為IRany)0(所以)0()()()()()(2anyzxyyxRRRRRR上式說明經(jīng)典力學(xué)中矢量空間轉(zhuǎn)動的不可對易性量子力學(xué)中的無窮小空間轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動前狀態(tài)為 , 轉(zhuǎn)動后為 , 則|R| )(|RDR轉(zhuǎn)動算符 是幺正算符)(RD由前面空間平移及時間演化算符的討論, 類比可推知, 與轉(zhuǎn)動對應(yīng)的力學(xué)量算符應(yīng)為角動量算符考慮繞方向軸 的無窮小轉(zhuǎn)動, 則dnJidnD)(1), (n 例: 繞z軸轉(zhuǎn)動角22221)exp()(1lim)(zzzNzzJiJiJNJiDN前面證明繞y軸轉(zhuǎn)動再繞x軸轉(zhuǎn)動

3、，與先繞x軸再y軸，兩者之差等價于繞z軸轉(zhuǎn)211)21)(21 ()21)(21 (2222222222222zxxyyyyxxiJJiJJiJJiJJiJ推出zyxJiJJ,同理可證：xzyJiJJ,yxzJiJJ,即kijkjiJiJJ,角動量的基本對易關(guān)系結(jié)論：(1). 為繞x, y, z軸轉(zhuǎn)動的生成元；(2). 角動量算符的基本對易關(guān)系說明了繞不同軸的轉(zhuǎn)動并不對易 zyxJJJ,自旋1/2粒子的空間轉(zhuǎn)動自旋1/2粒子的自旋算符滿足角動量對易關(guān)系zyxSSS,kijkjiSiSS,表示矩陣為2S為Pauli矩陣0110 x00iiy1001z考慮繞z軸轉(zhuǎn)動角，則態(tài)矢量| )(|zRD其中

4、)exp()(zziSD算符的期待值xS| )()(|zxzRxRxDSDSS需計算)exp()exp(zxziSSiS利用Baker-Hausdorff公式, , ,!)(, ,! 2)(,)exp()exp(2ABBBBniABBiABiABiABinsincos)! 3()! 21 ( , ,)(! 31, ,)(! 21,)()exp()exp(32,32yxyxxzzzxzzxzxzxzSSSSSSSSiSSSiSSiSiSSiS則所以sincos|yxRxRxSSSS同理cossinyxySSS而 與 對易zS)(zDzzSS在轉(zhuǎn)動變換下, 自旋算符的期待值構(gòu)成三維空間的一個矢量l

5、lklkSRS 即為描述該轉(zhuǎn)動的 實正交矩陣的矩陣元klR33 下面分析態(tài)矢量的變化任意態(tài) 可表示為|其中 為 本征態(tài), 則| ,|zS| )exp(2/2/iizeeiS相因子出現(xiàn) 產(chǎn)生一個有趣的性質(zhì):2/當(dāng)空間轉(zhuǎn)動 角, 即 時,22|)2(zR態(tài)矢量出現(xiàn)一個負(fù)號!中子干涉實驗研究轉(zhuǎn)動2PRL35, 1053(1975)角動量算符的本征態(tài)和本征值由角動量對易關(guān)系kijkjiJiJJ,可導(dǎo)出有關(guān)角動量的所有性質(zhì)定義算符2222zyxJJJJ則0,2iJJ),(zyxi Proof: 例如0)()()()(,2222yxxyxyyxyzyzyyxzxzxxzzyxzJJiJiJJJiJiJJJ

6、JJJJJJJJJJJJJJJJ彼此不對易，只能選擇其中之一與具有共同本征態(tài)zyxJJJ,2J設(shè) 與的共同本征態(tài)為，本征值分別為ba,|2JzJba ,baabaJ,|,|2babbaJz,|,|引入算符yxiJJJ為升降算符JJJJJJJzz,2,而0,2JJ考慮的物理意義？J),|)(,|),(),|(baJbbaJJJJbaJJzzz即作用于的本征矢，仍為的本征矢，本征值增加或減少，這是稱為升降算符的原因JzJzJJ作用于態(tài)矢量上不改變的本征值J2J),|(,|),|(22baJabaJJbaJJ所以態(tài)矢量為的共同本征態(tài)，本征值分別為和baJ,|zJJ,2abbacbaJ,|,|系數(shù)待定

7、c的本征值譜zJJ ,2 作用于態(tài) 次，將使的本征值增加，而本征值不變，但這個系列不是無窮的，對確定的本征值，的本征值存在一個上限，即Jba,|nzJna2JazJ2baProof:)(2122JJJJJJz0| ),|( | ),|(|21,|,|,21,|,2222baJbaJbaJJbabaJJbabaJJbaz因此存在 , 使maxb0,|maxbaJ0,|maxbaJJ而zzyxxyyxJJJJJJJiJJJJ2222)(所以0,|)(max22baJJJzz)(0maxmaxmax2maxbbabba同理:0,|minbaJzzJJJJJ22)(minminbba比較兩式得:max

8、minbb取 為正值, 則 取值范圍為maxbbmaxmaxbbb顯然 由 作用于 次得到max,|baJmin,|bannbbminmax 為正整數(shù)n2maxnb定義，則為整數(shù)或半整數(shù)2/maxnbjj 的最大本征值為zJj2J的本征值為2)1(jj定義，取值范圍為mb mjjjjm,1,1,共個12j因此 的本征值與本征態(tài)為zJJ ,2mjmmjJmjjjmjJz,|,|,|)1(,|22下面考慮角動量算符的矩陣表示mmjjzmmjjmmjJmjjjmjJmj22,| , ) 1(,| , 而 的矩陣元J) 1(,|,|,2222mmjjmjJJJmjmjJJmjzz令1,|,|mjCmj

9、Jjm) 1)()1() 1(|222mjmjmmjjCjm因此1,|) 1)(,|mjmjmjmjJ同理1,|)1)(,|mjmjmjmjJ所以矩陣元1, ) 1)(,| , mmjjmjmjmjJmj轉(zhuǎn)動算符的矩陣表示及Euler轉(zhuǎn)動繞方向軸 轉(zhuǎn)動 角所對應(yīng)的轉(zhuǎn)動算符n )exp()(nJ iRD其矩陣元mjnJ imjRDjmm,| )exp(| ,)()(稱為Wigner函數(shù)注意兩邊值相同，因為不同時,矩陣元為0jj因為 仍為 本征矢,本征值為mjRD,| )(2J2) 1(jj),|)()1(,|)(,|)(222mjRDjjmjJRDmjRDJ 構(gòu)成 矩陣, 稱為轉(zhuǎn)動算符的 維不可

10、約表示)()(RDjmm) 12 () 12 (jj12 j事實上 構(gòu)成一個群, 其恒等元為無轉(zhuǎn)動情況 , 為 恒等矩陣, 逆為0)()(RDj) 12 () 12 (jj兩個轉(zhuǎn)動 和 的乘積, 等價于轉(zhuǎn)動 1R2R21RR21)(2)(1)()()()(mjmmjmmjmmRRDRDRD轉(zhuǎn)動算符是幺正算符)()(*1RDRDmmmm考慮一個狀態(tài) , 轉(zhuǎn)動后mj,|mjRDmj,|)(,|)(RD不改變 值, 但一般改變 值jm)()(,|,| )(| ,|,| )(mjmmmRDmjmjRDmjmjmjRD 即為態(tài) 轉(zhuǎn)動后處于 的幾率幅)()(RDjmmmj,|,|mj表示空間轉(zhuǎn)動的另一種方

11、式是采用歐拉角將轉(zhuǎn)動分為三步:歐拉轉(zhuǎn)動(1) 繞z軸轉(zhuǎn) 角；（y軸u軸）(2) 繞u 軸轉(zhuǎn)角； ( z 軸z軸）(3) 繞z軸轉(zhuǎn)動角（u軸y軸）xyzuzyx用 實正交矩陣表示33 )()()(),(zuzRRRR由于u 軸是y 軸繞z軸轉(zhuǎn)動 角得到, )()()()(1zyzuRRRR而z 軸是z 軸繞u 轉(zhuǎn)動 得到, 所以)()()()(1uzuzRRRR推出)()()()()()()()()()()()()()()()()()()(11zyzzzzyzzzuzuuzuzuzRRRRRRRRRRRRRRRRRRR所以三維空間轉(zhuǎn)動可表示為)()()(),(zyzRRRR對應(yīng)轉(zhuǎn)動算符)exp(

12、)exp()exp()()()(),(zyzzyziJiJiJDDDD其 維矩陣表示12jmjiJmjmmimjiJiJiJmjDyzyzjmm,| )exp(| ,)(exp,| )exp()exp()exp(| ,),()(算符中只剩下關(guān)于y軸的轉(zhuǎn)動算符定義mjiJmjdyjmm,|)exp(| ,)()(例如時，2/1jyyJ2mmdymm,21| )2exp(| ,21)()2/1(2cos2sin2sin2cos)()2/1(d角動量耦合和CG系數(shù)設(shè)有角動量和，彼此對易1J2J定義21JJJ容易證明它滿足角動量的對易關(guān)系kijkjiJiJJ,稱為總角動量設(shè)的本征態(tài)為zJJ121,11

13、,|mj的本征態(tài)為zJJ222,22,|mj對于確定的和，本征態(tài)共有個，由這些本征態(tài)可以構(gòu)造的本征態(tài)1j2j21212211,;,|,|,|mmjjmjmj) 12)(12(21jjzJJ,2由于0,2222122221JJJJJJJJzz所以和具有共同本征態(tài)zJJ,22221, JJ對具有確定的不變子空間，的本征態(tài)可表示為21, jjzJJ ,2mjjjmmjjmmjjmjjjmm,;,|,;,;,|,;,|212121,21212121變換矩陣 稱為Clebsch-Gordon系數(shù)它確定了耦合表象與無耦合表象基矢之間的關(guān)系.mjjjmmjj,;,|,;,212121將 CG系數(shù)簡記為mjm

14、mmjjjmmjj,|,;|,;212, 1212, 1將作用于等式兩邊，得zzzJJJ2121,2121,|,|,)(,|21mmmjmmmmmjmmm即21,2121210,|,|,)(mmmmmjmmmmm由于線性獨(dú)立，所以21,|mm0,|,)(2121mjmmmmm即21mmm0,|,21mjmm僅當(dāng)下面考慮CG系數(shù)的遞推關(guān)系將作用于等式兩邊21JJJ, 21212222, 212111112121,| , 1, | ) )(1(,| , , 1| ) )(1(1,| )(1(mmmmmjmmmmmjmjmjmmmmmjmjmjmjmj所以mjmmmjmjmjmmmjmjmjmmmj

15、mj,| 1,) 1)(,|, 1) 1)(1,|,)(1(21222221111121稱為關(guān)系式J),(21mm) 1,(21mm), 1(21mm J同樣，將作用，有Jmjmmmjmjmjmmmjmjmjmmmjmj,| 1,) 1)(,|, 1) 1)(1,|,)(1(21222211111212稱為關(guān)系式JJ),(21mm), 1(21mm ) 1,(21mm利用上述遞推關(guān)系式，可以將所有CG系數(shù)都用來表示jjjjj,|,11而系數(shù)不為零的條件：jjjjj,|,11212jjjj即2121jjjjj當(dāng)然CG系數(shù)也可以表示成對的表達(dá)式，因此給出條件：jjjjj,|,222112jjjjj

16、所以2121|jjjjj耦合表象中基矢的數(shù)目為:) 12)(12() 12(21|2121jjjjjjj這是因為耦合表象與無耦合表象空間維數(shù)相同通常CG系數(shù)都取實數(shù)，它們滿足正交歸一化條件2121,2121,2121, |,|, |,|,mmmmmmjjmjmmmjmmmjmmmmmjjmjmmmmmmjmmmjmmmmmjmjmm,|,| , ,|,| , 212121212211利用正交歸一化條件及遞推關(guān)系可以將所有CG系數(shù)都確定下來例如：對于，經(jīng)計算得到2/12j1221,21|21,211221,21|21,21111111jmjmjmjmjmjm即21,21|2121,21|2112

17、1,21|1111mmjmmjjmjj21,21|2121,21|21121,21|1111mmjmmjjmjj從轉(zhuǎn)動算符的角度考慮兩個角動量相加可以證明轉(zhuǎn)動算符矩陣元與CG系數(shù)之間存在一個重要的關(guān)系式)(,;,| , ;,;,|,;,)()()(212121212121)()(222111RDmjjjmmjjmjjjmmjjRDRDjmmjmmjmmjmm其中2121|jjjjjProof:等式左邊為在無耦合表象中的表示)(RD)()(,| )(|,| )(|, ;,| )(|,;,)()(2222111121212121222111RDRDmjRDmjmjRDmjmmjjRDmmjjjmm

18、jmm而在耦合表象中, ;,| , ;,)(,;,|,;, ;,| , ;, ;,| )(|,;,;,|,;, ;,| )(|,;,212121)(212121212121212121212121212121mjjjmmjjRDmjjjmmjjmmjjmjjjmjjjRDmjjjmjjjmmjjmmjjRDmmjjjjjmmjmjmjmjm)(,;,| , ;,;,|,;,)(212121212121RDmjjjmmjjmjjjmmjjjmmjmm應(yīng)用舉例：利用,*)(0| ),(124)0,(mllmYlD及上面的公式，可以得到公式mlllmmllllllllllYYYdmlmlml,;,|

19、,;,0 ,;,| 0 , 0 ;,) 12 (4) 12)(12 (),(),(),(212121212121*2211角動量耦合最簡單的例子：兩個自旋1/2粒子的自旋耦合21, SS總自旋21SSS可證kijkjiSiSS,在無耦合表象中，共同本征態(tài)為zzSSSS212221,21,|mm即| ,| ,| ,|在耦合表象中的共同本征態(tài)為zSSSS,22221Triplet態(tài)|1, 1|)|(|210, 1|1, 1|msmsmsSinglet態(tài))|(|210,0|msEPR佯謬和Bell不等式考慮兩個自旋1/2電子構(gòu)成的自旋單態(tài))|(|21|S其中代表電子1的z方向自旋向上，電子2的z方向

20、自旋向下，反之。|測量任意一個電子的z方向自旋， 向上的幾率為50,向下的幾率也為50%若先測量電子1， 得到自旋向上， 則|S進(jìn)一步測量電子2，測量值肯定為向下考慮兩個相反方向運(yùn)動的自旋1/2粒子觀察者A測量粒子1，觀察者B測量粒子2A測量值為Sz為+ B測量值為Sz為-； 若A不測量，則 B測量值 Sz50%為+， 50%為-；盡管A與B可能相距遙遠(yuǎn)，但似乎B的測量結(jié)果依賴于A有沒有測量！自旋量子化也可以按x軸方向)|(|21|)|(|21|zzxzzx自旋單態(tài)可表示成：)|(|21|xxxxS與z方向量子化完全類似，說明對自旋單態(tài)， 空間各個方向是各向同性的考慮A測量粒子1的Sz或Sx，

21、B測量粒子2的Sx若A測量Sz為+， 則B測量Sx為50%+, 50%-;若A測量Sx為某一確定值，則B測量Sx也得到一個確定值;若A不測量， 則B的測量Sx為50%+, 50%-;上述分析說明B的測量結(jié)果取決于A如何測量，是測量Sz還是測量Sx.盡管A與B之間空間上分離且沒有相互作用。這反映了量子力學(xué)某種程度上的非定域性。Einstein是不承認(rèn)非定域的理論的，他認(rèn)為:假如系統(tǒng)A和B在空間上是分離的（類空間隔），則對A的操作不應(yīng)該影響到B的性質(zhì)。Einstein, Podolsky and Rosen 在1935年寫了一篇文章來討論量子力學(xué)中的定域性問題，認(rèn)為量子力學(xué)描述是不完備的，對量子力

22、學(xué)提出質(zhì)疑，現(xiàn)稱為 EPR佯謬。(PR47, 777(1935)EPR分析兩個粒子組成的一維量子系統(tǒng)每個粒子的坐標(biāo)和動量算符不對易0,0,2211pxpx但坐標(biāo)算符差和動量算符之和對易0,2121ppxx因此存在兩粒子態(tài)是算符和的共同本征態(tài)|21xx 21pp 0|)(|)(2121ppaxx若兩粒子空間上分離，且沒有相互作用測量粒子1的坐標(biāo)為, 就可得到粒子2的坐標(biāo)為,0 xax 0測量粒子2的動量為, 則粒子1的動量為,0p0p這樣就可以同時得到兩個粒子的坐標(biāo)和動量的確定值，與量子力學(xué)中坐標(biāo)與動量不對易，不能同時有確定值矛盾。所以EPR認(rèn)為量子力學(xué)的描述是不完備的。Bohm的隱參數(shù)理論Bo

23、hm提出隱參數(shù)理論認(rèn)為量子力學(xué)中的測量仍然是經(jīng)典決定論的，但由于某些自由度我們不知道才表現(xiàn)出概率性.當(dāng)測量電子自旋態(tài)時，例如狀態(tài), 它是由參數(shù)（）來描述，其中是隱參數(shù)，對我們現(xiàn)在的技術(shù)無法測量z|, z)10(如果我們測量在偏離z軸角度方向上的自旋，結(jié)果是|1coscos022因此如果知道的值，則測量結(jié)果有確定的值。因為我們不知道的值，所以測量才表現(xiàn)出概率性， 與量子力學(xué)結(jié)果一致。Bell不等式J.S.Bell（在1964年）提出一個不等式，他從隱參數(shù)理論和定域論出發(fā)，導(dǎo)出兩個空間分離系統(tǒng)的測量結(jié)果相互關(guān)聯(lián)程度必須滿足的一個不等式。設(shè), 是沿空間任意兩個方向的單位矢量測量粒子1沿方向的自旋分量

24、, 測量值為測量粒子2沿方向的自旋分量, 測量值為ba,aa)(aAbb)(bB按隱參數(shù)理論，是隱參數(shù)的函數(shù)取值只有兩種可能性：)(),(bBaA1),(1),(bBaA由定域論，不存在相互超距作用，對粒子1的沿方向的測量結(jié)果，與無關(guān)；對粒子2的沿方向的測量結(jié)果與無關(guān)；a),(aAbb),(bBa設(shè)為隱參數(shù)的歸一化概率分布函數(shù))( 1)(d則粒子1在方向自旋分量與粒子2在方向自旋分量的關(guān)聯(lián)函數(shù)為aabbdbBaAbaC),(),()(),(設(shè)是另外兩個任意方向的單位矢量， 則有, badbBaAbBaAdbBaAbBaAdbBaAbBaAbaCbaC),(), (1), (),()(), ()

25、, (1),(),()(), (),(),(),()() ,(),(因為, 所以1| ),(| , 1| ),(|bBaA), () , (2),(), (1)(), (), (1)(|) ,(),(|baCbaCdbBaAdbBaAbaCbaC即有2| ), () , (| ) ,(),(|baCbaCbaCbaC稱為推廣的Bell不等式也可推出2| ) ,() , (), (),(|baCbaCbaCbaC稱為CHSH(Clauser-Horne-Shimony-Holt)不等式在自旋單態(tài)中，粒子1和粒子2沿同一方向的自旋總是相反，即對任意方向的 ,恒有：a),(),(aBaA因此有 ,

26、即處在自旋單態(tài)的兩個粒子自旋在同方向是100%負(fù)關(guān)聯(lián)1),(aaC令 , 則ba2| ), (1| ) ,(),(|bbCbaCbaC即), (1| ) ,(),(|bbCbaCbaC這是Bell給出的Bell不等式的原來的形式。下面說明Bell不等式和量子力學(xué)結(jié)果不相容當(dāng) 為自旋單態(tài)時S|0| )()2()1(S所以關(guān)聯(lián)函數(shù)abiiiSjiSjijiSSSSbabababababaCcos| )( | )( |),(,)1()1()2()1(其中 為 與 的夾角abab當(dāng) 時， , 完全負(fù)相關(guān)ba1),(baC代入Bell不等式， 有cos1|coscos|baabab 但此式并不是總能滿足

27、的。例如取 , 與 夾角都為 時，有 )90(oabbabba,o4522122上式顯然不成立。因此量子力學(xué)的結(jié)果不滿足Bell不等式光子糾纏態(tài)實驗上檢驗Bell不等式是否成立， 是利用光子的糾纏態(tài)，而不是自旋1/2粒子的糾纏態(tài)設(shè) 和 是光子的兩個相互垂直的線偏振態(tài)H|V|)|(|21|)|(|21|ViHLViHR對應(yīng)右旋和左旋圓偏振光兩個向相反方向運(yùn)動的光子可以處在量子糾纏態(tài))|(|21|)(BABAABHVVH利用光子的EPR對可以研究量子糾纏現(xiàn)象，最著名的是Aspect的實驗（PRL49, 91(1982)6. 密度矩陣和約化密度矩陣對不是孤立體系來說，例如孤立的量子系統(tǒng)中的某一部分，

28、則可能發(fā)生下列情況：1. 狀態(tài)不能用量子力學(xué)中的一個態(tài)矢量來描述;2. 隨時間的演化可能不是幺正的；考慮最簡單的一個例子：兩個量子位的系統(tǒng)量子位A和B,量子位A我們可以測量，而量子位B遠(yuǎn)離我們。它們的基矢分別是 和AA1| ,0|BB1| ,0|設(shè)它們處在量子態(tài)：BABAABba1 |1 |0 |0 |顯然量子位A和B是關(guān)聯(lián)的測量A得到 的概率為 A0 |2| aBAAB0|0|測量A得到 的概率為 A1 |2| bBAAB1|1|以上兩種情況，測量后B都在確定的狀態(tài)測量A得到 態(tài)，則B為 態(tài)測量A得到 態(tài)，則B為 態(tài)A0|B0|A1 |B1 | 在狀態(tài) 兩個量子位的狀態(tài)是完全相關(guān)的AB| 只

29、觀測A量子位的任意力學(xué)量可以表示為BAIM而 測量的期待值A(chǔ)AAAAABABABABABAABBAABMbMabaIMbaIM1 |1|0|0|)1 |1 |0|0|()|)(1|1|0|0(|22*可表示為)(AAAMtrM其中|11|00|22BBAAAba稱為量子位A的密度矩陣或密度算符 具有性質(zhì)：(1) 是厄米算符， (2) 是正定的，所有本征值大于等于零；(3)AAAAA1)(Atr 可理解為存在一組量子態(tài)，其中每一個量子態(tài)以確定的概率出現(xiàn)，即混合系綜的密度算符A上式表示： A量子位有兩個可能的量子態(tài)， 量子態(tài) 的概率為 量子態(tài) 的概率為AA1 | ,0|A0|20|ap A1 |2

30、1|bp 注意此時 表示的狀態(tài)與線性疊加態(tài)是不同的!A復(fù)合系統(tǒng)的密度算符考慮可以分解為兩個子系統(tǒng)A和B的復(fù)合量子系統(tǒng)(the bipartite quantum system)，Hilbert空間為BAHH 其中 的正交基矢組為 的正交基矢組為 AH|AiBH|B則， 的正交基矢組為 BAHH |BAi復(fù)合系統(tǒng)的任意量子態(tài)可以展開為,|iBAiABia其中,21|iia子系統(tǒng)A的觀測量 的期待值為BAIM)(|)| ()|)(|(|,*,*AAAAAjiijBAiiBABvjAjvABBAABAMtriMjaaiaIMjaIMM這里,|)(|jiAAjiABABBAjiaatr 是復(fù)合系統(tǒng)AB

31、的密度矩陣對子系統(tǒng)B求跡后得到的關(guān)于子系統(tǒng)A的密度矩陣，稱為約化密度矩陣A密度算符的性質(zhì)1. 是厄米算符， ;AAA2. 是正定的，對任意態(tài) , 有 AA|0|AAA3. , 因為1Atr,21|iiAatr可以將密度矩陣對角化，其所有本征值都是實數(shù)且大于等于0, 本征值之和為1aaaaAp|其中 ,10apaap1如果上式中包含至少兩項，則子系統(tǒng)A處于混合態(tài)，有AA2 表示 態(tài)是非相干疊加Aa|任意關(guān)于子系統(tǒng)A的力學(xué)量的期待值aaAaaAAAMpMtrM|)(如果 中只包含一項， 即A|AAA則有 , 子系統(tǒng)A處于純態(tài)，狀態(tài)可以用態(tài)矢量描述AA2張量算符及Wigner-Eckart定理前面討論了狀態(tài)在轉(zhuǎn)動變換下的變換)(,|)(,|)(| ,|,|)(,|mjmmmmjRDmjRDmjmjmjRDmj現(xiàn)設(shè)有一組算符共個kkqT