快速傅里葉變換(FFT)

1、第四章快速傅里葉變換（FFT）主要內(nèi)容DIT-FFT算法 DIF-FFT算法IFFT算法Chirp-FFT算法線性卷積的FFT算法4.1 引言FFT: Fast Fourier Transform1965年，Cooley-Turky 發(fā)表文章機器計算傅里葉級數(shù)的一種算法，提出FFT算法，解決DFT運算量太大，在實際使用中受限制的問題。FFT的應用。頻譜分析、濾波器實現(xiàn)、實時信號處理等。DSP芯片實現(xiàn)。TI公司的TMS 320c30，10MHz時鐘，基2-FFT1024點FFT時間15ms。典型應用：信號頻譜計算、系統(tǒng)分析等)()(kXnxDFT )()()(nynhnxFFTnhnyIFFTF

2、FTnx)()()( 系統(tǒng)分析系統(tǒng)分析 頻譜分析與功率譜計算頻譜分析與功率譜計算4.2 直接計算DFT的問題及改進途徑10)()(NnknNWnxkX10)(1)(NkknNWkXNnx1、 DFT與與IDFT( )Nx n點有限長序列2、DFT與與IDFT運算特點運算特點復數(shù)乘法復數(shù)乘法復數(shù)加法復數(shù)加法一個一個X(k)NN 1N個個X(k)(N點點DFT)N 2N (N 1)10( )NnkNnx n Wajbcjdacbdj adcb同理：同理：IDFT運算量與運算量與DFT相同。相同。實數(shù)乘法實數(shù)乘法實數(shù)加法實數(shù)加法一次復乘一次復乘42一次復加一次復加2一個一個X (k) 4N2N+2

3、(N 1)=2 (2N 1)N個個X (k)(N點點DFT)4N 22N (2N 1)3、降低DFT運算量的考慮nkNW 的特性*()() ()nknkN n kn N kNNNNWWWW對稱性()() nkN n kn N kNNNWWW周期性 nkmnkNmNWW可約性/nknk mNN mWW0/2(/2) 11Nk NkNNNNWWWW 特殊點：2jnknkNNWeNknkNNWWnNnkNNWW2jmnkmNe221NjjNee FFT算法分類算法分類:q 時間抽選法時間抽選法DIT: Decimation-In-Timeq 頻率抽選法頻率抽選法DIF: Decimation-In-

4、FrequencyFFTDFTDFTDFTDFT算法的基本思想： 利用系數(shù)的特性，合并運算中的某些項， 把長序列短序列，從而減少其運算量。4.3 按時間抽?。―IT）的FFT算法1、算法原理設序列點數(shù) N = 2L，L為整數(shù)。 若不滿足，則補零12/.210) 12()()2()(21Nrrxrxrxrx，（Decimation In Time）將序列將序列x(n)按按n的奇偶分成兩組：的奇偶分成兩組：N為為2的整數(shù)冪的的整數(shù)冪的FFT算法稱算法稱基基-2FFT算法算法。將N點DFT定義式分解為兩個長度為N/2的DFT10)()()(NnknNWnxnxDFTkXkrNnNrrkNnNrWrx

5、Wrx)12(12/0212/0) 12()2( 為奇為偶 )(12/02/2)(2/12/0121)()(kXNrrkNkNkXrkNNrWrxWWrx)()()(21kXWkXkXkN記：記： （1 1）rkNrkNWW2/2（這一步利用：（這一步利用： ）,0,1,./2 1r kN再利用周期性求再利用周期性求X(k)的后半部分的后半部分/22NkNkkNNNNWWWW 又)(2)()()(222112/02/112/0)2/(2/11kXkNXkXWrxWrxkNXNrrkNNrkNrNrkNkNrNWW2/)2/(2/)2()2()2()2(12/,.2 , 1 , 0)()()(2

6、)2/(121kNXWkNXkNXNkkXWkXkXkNNkN，12/,.2 , 1 , 0)()(21NkkXWkXkN，將上式表達的運算用一個專用“蝶形”信流圖表示。)(1kX)(2kX)()(21kXWkXkN)()(21kXWkXkNkNW1212( )( )( )()( )( )2kNkNX kX kW XkNX kX kW Xk0,1,.,/21kN注：注：a. 上支路為加法，下支路為減法；上支路為加法，下支路為減法； b. 乘法運算的支路標箭頭和系數(shù)。乘法運算的支路標箭頭和系數(shù)。用“蝶形結”表示上面運算的分解： 328N)0(x)1 (x)2(x)3(x)4(x)5(x)6(x)

7、7(x)0(X) 1 (X)2(X)3(X)4(X)5(X)6(X)7(X1NW0NW2NW3NW)0(1X)1 (1X)2(1X)3(1X)0(2X)1 (2X(3)2X)2(2XDFTN點2DFTN點2分解后的運算量：分解后的運算量：復數(shù)乘法復數(shù)乘法復數(shù)加法復數(shù)加法一個一個N/2點點DFT(N/2)2N/2 (N/2 1)兩個兩個N/2點點DFTN2/2N (N/2 1)一個蝶形一個蝶形12N/2個蝶形個蝶形N/2N總計總計22/2/2/2NNN2/2 1/2N NNN運算量減少了近一半運算量減少了近一半進一步分解進一步分解MN2122MN2N4N由于由于 ， 仍為偶數(shù)，因此，兩個仍為偶數(shù)

8、，因此，兩個 點點DFTDFT又可同樣進一步分解為又可同樣進一步分解為4 4個個 點的點的DFTDFT。1314(2 )( )(21)( )xlx lxlx l0,1,.,/4 1lN13/2413/24( )( )( )()( )( )4kNkNX kXkWXkNX kXkWXk0,1,.,14Nk 02/NW12/NW)(3lx)(4lx)2(x)4(x)6(x)0(x)0(1X) 1 (1X)2(1X) 3(1X) 0(3X) 1 (3X)0(4X) 1 (4XDFTN點4DFTN點4“蝶形蝶形”信流圖表示信流圖表示 N點DFT分解為四個N/4點的DFTDFTN點4DFTN點4DFTN點

9、4DFTN點4)2(x)4( x)6( x)0( x) 1 ( x) 3 ( x)5(x)7( x0NW2NW0NW2NW1NW0NW2NW3NW)0(X) 1 (X)2(X) 3(X)4(X) 5(X)6(X)7(X)(.kX)(.nx 類似進一步分解類似的分解一直繼續(xù)下去，直到分解為最后的兩類蝶形運算為止(2點DFT).如上述N=8=23，N/4=2點中：1點點DFTx(0)1點點DFTx(4)X3(0)X3(1)02W進一步簡化為蝶形流圖：進一步簡化為蝶形流圖：0NWX3(0)X3(1)x(0)x(4)4()0()4()0()0(004/3xWxxWxXNN)4()0()4()0() 1

10、 (014/3xWxxWxXNN因此因此8 8點點FFTFFT時間抽取方法的信流圖如下時間抽取方法的信流圖如下)2(x)4(x)6(x)0(x) 1 ( x) 3 ( x)5(x)7(x0NW0NW0NW0NW第一級.0NW2NW0NW2NW 第二級.)(0kX1m)(1kX)(2kX)(3kX2m3m1NW0NW2NW3NW)0(X) 1 (X)2(X)3(X)4(X)5(X)6(X)7(X 第三級.FFT運算量與運算特點 1 N=2L時，共有L=log2N級運算；每一級有N/2個蝶形結。2每一級有N個數(shù)據(jù)中間數(shù)據(jù)），且每級只用到本級的轉(zhuǎn)入中間數(shù)據(jù)，適合于迭代運算。3計算量： 每級N/2次復

11、乘法，N次復加。（每蝶形只乘一次，加減各一次）。共有L*N/2=N/2log2N 次復乘法；復加法L*N=Nlog2N 次。與直接DFT定義式運算量相比(倍數(shù)) N2/(Nlog2N) 。當 N大時，此倍數(shù)很大。222()2()loglog2FFmDFTNNNmFFTNN比較比較DFT 參考參考P150 表表4-1 圖圖4-6可以直觀看出，當點數(shù)可以直觀看出，當點數(shù)N越大時，越大時，F(xiàn)FT的優(yōu)點更突出。的優(yōu)點更突出。按時間抽取FFT蝶形運算特點 1、關于FFT運算的混序與順序處理（位倒序處理） 由于輸入序列按時間序位的奇偶抽取，故輸入序列是混序的，為此需要先進行混序處理?；煨蛞?guī)律： x(n)按

12、n位置進行碼位（二進制）倒置規(guī)律輸入，而非自然排序，即得到混序排列。所以稱為位倒序處理。位倒序?qū)崿F(xiàn)：（1）DSP實現(xiàn)采用位倒序?qū)ぶ罚?）通用計算機實現(xiàn)可以有兩個方法：一是嚴格按照位倒序含義進行；二是倒進位的加N/2。倒位序倒位序自然序自然序00000000100410010102201011063011001141001015510101136110111771112 102( )()x nnn n n倒位序倒位序例計算 ， 。計算 點FFT。用時間抽取輸入倒序算法，問倒序前寄存器的數(shù) 和倒序后 的數(shù)據(jù)值？2)(nnx31.2 , 1 , 0n32N)13( x)13( x16913)13(2

13、x5232 N210)01101()13(102)22()10110(48422)13(2x解：倒序前解：倒序前 倒序倒序 倒序為倒序為 倒序后倒序后 DIT FFT中最主要的蝶形運算實現(xiàn)（1）參與蝶形運算的兩類結點（信號）間“距離”（碼地址）與其所處的第幾級蝶形有關；第m級的“結距離”為 (即原位計算迭代）（2）每級迭形結構為，12m)2(,.2 , 1LNLmrNmmmmmrNmmmmWkXkXkXWkXkXkX)2()()2()2()()(1111111q 蝶形運算兩節(jié)點的第一個節(jié)點為蝶形運算兩節(jié)點的第一個節(jié)點為k值，表值，表示成示成L位二進制數(shù)，左移位二進制數(shù)，左移L m位，把右邊位，

14、把右邊空出的位置補零，結果為空出的位置補零，結果為r的二進制數(shù)。的二進制數(shù)。2( )2L mrk（3） 的確定：的確定： 第第m級的級的r取值：取值：rNWkNWDIT算法的其他形式流圖輸入倒位序輸出自然序輸入自然序輸出倒位序輸入輸出均自然序相同幾何形狀輸入倒位序輸出自然序輸入自然序輸出倒位序參考參考P154-155時間抽取、時間抽取、 輸入自然順序、輸入自然順序、 輸出倒位序的輸出倒位序的FFTFFT流圖流圖 11111111X(0)x(0)X(4)x(1)X(2)x(2)X(6)x(3)X(1)x(4)X(5)x(5)X(3)x(6)X(7)x(7)1111 例例 用用FFT算法處理一幅算

15、法處理一幅NN點的二維圖像，如用每秒可點的二維圖像，如用每秒可做做10萬次復數(shù)乘法的計算機，當萬次復數(shù)乘法的計算機，當N=1024時，問需要多少時間時，問需要多少時間（不考慮加法運算時間）？（不考慮加法運算時間）？ 解解 當當N=1024點時，點時，F(xiàn)FT算法處理一幅二維圖像所需復數(shù)乘算法處理一幅二維圖像所需復數(shù)乘法約為法約為 次，僅為直接計算次，僅為直接計算DFT所需時間的所需時間的10萬萬分之一。分之一。 即原需要即原需要3000小時，現(xiàn)在只需要小時，現(xiàn)在只需要2 分鐘。分鐘。 722210log2NN4.4 按頻率抽?。―IF）的FFT算法與DIT-FFT算法類似分解，但是抽取的是X(k

16、)。即分解X(k)成奇數(shù)與偶數(shù)序號的兩個序列。設： N = 2L，L 為整數(shù)。將X(k)按k的奇偶分組前，先將輸入x(n)按n的順序分成前后兩半：（Decimation In Frequency)一、算法原理一、算法原理12/12/0)()()(NNnnkNNnnkNWnxWnxkX12/0)(212/02)()(NnknNNNnnkNNWnxWnx12/022/)()(NnnkNNkNNWnxWnxkNkNW) 1(2/2 10( )( 1)2NknkNnNx nx nW 0,1,.,1kN下面討論：的)(12,2kXrrk12/02/212/022) 1 ()()()()()2(NnnrN

17、NNnrnNNWnxnxWnxnxrX12/02/212/0)12(2)2()()()()() 12(NnnrNnNNNnnrNNWWnxnxWnxnxrX按按k k的奇偶將的奇偶將X(k)X(k)分成兩部分：分成兩部分：顯然：顯然：。點的對應兩個DFTNrXrX2/) 12(),2(nNNNWnxnxnxnxnxnx)()()()()()(2221)()(2NnxnxnNNNWnxnxnxnx)()()()(22nNW令：令：用蝶型結構圖表示為：用蝶型結構圖表示為：x1(0)x1(1)-1x1(2)x1(3)-1x2(0)x2(1)-1x2(2)x2(3)-1N/2點DFTN/2點DFTx(

18、0)x(7)x(1)x(2)x(3)x(4)x(5)x(6)X1(0)=X(0)X2(0)=X(1)X1(1)=X(2)X1(2)=X(4)X1(3)=X(6)X2(1)=X(3)X2(2)=X(5)X2(3)=X(7)1NW0NW2NW3NW311411/2( )( )(/4)( ) ( )(/4)nNx nx nx nNx nx nx nNW0,1,.,14Nn 313414( )(2 ) ( )( )(21)( )X kXkDFT x nX kXkDFT x n0,1,.,14Nk N/2仍為偶數(shù)，進一步分解：仍為偶數(shù)，進一步分解：N/2 N/4x3(0)x3(1)-1-1x4(0)x4

19、(1)N/4點DFTN/4點DFTx1(0)x1(1)x1(2)x1(3)X3(0)=X1(0)=X(0)X4(0)=X1(1)=X(2)X3(1)=X1(2)=X(4)X4(1)=X1(3)=X(6)0/2NW1/2NWq 按照以上思路繼續(xù)分解，即一個按照以上思路繼續(xù)分解，即一個N/2的的DFT分解成兩個分解成兩個N/4點點DFT，直到只計算，直到只計算2點的點的DFT，這就是，這就是DIF-FFT算法。算法。2個個1點的點的DFT蝶形流圖蝶形流圖 進一步簡化為蝶形流圖：進一步簡化為蝶形流圖：1點點DFTx3(0)1點點DFTx3(1)X(0)X(4)02W02WX(0)X(4)x3(0)x

20、3(1)2(x)4(x)6(x)0(x)1(x)3(x)5(x)7(x)0(X)1(X)2(X)3(X)4(X)5(X)6(X)7(X0NW0NW1NW2NW3NW0NW0NW0NW2NW0NW2NW0NW1m第一級： 2m第二級：3m第三級：二、按頻率抽取FFT蝶形運算特點1）原位計算1111( )( )( )( )( )( )mmmrmmmNXkXkXjXjXkXj WrNW1( )mXk1( )mXj( )mXk( )mXj-1L級蝶形運算，每級級蝶形運算，每級N/2個蝶形，每個蝶形結構：個蝶形，每個蝶形結構：m表示第表示第m級迭代，級迭代，k，j表示數(shù)據(jù)所在的行數(shù)表示數(shù)據(jù)所在的行數(shù)2）

21、蝶形運算）蝶形運算對對N=2L點點FFT，輸入自然序，輸出倒位序，輸入自然序，輸出倒位序，兩節(jié)點距離：兩節(jié)點距離：2L-m=N / 2m1111( )( )2( )22mmmmrmmmNmmNXkXkXkNNXkXkXkW第第m級運算：級運算：q 蝶形運算兩節(jié)點的第一個節(jié)點為蝶形運算兩節(jié)點的第一個節(jié)點為k值，表示值，表示成成L位二進制數(shù)，左移位二進制數(shù)，左移m-1位，把右邊空出的位，把右邊空出的位置補零，結果為位置補零，結果為r的二進制數(shù)。的二進制數(shù)。rNW 的確定12( )2mrk存儲單元存儲單元輸入序列輸入序列x(n) : N個存儲單元個存儲單元rNW系數(shù)系數(shù) ：N / 2個存儲單元個存儲

22、單元三、三、DIT與與DIF的異同的異同q 基本蝶形不同基本蝶形不同2log2FNmN2logFaNNq DIT: 先復乘后加減先復乘后加減q DIF: 先減后復乘先減后復乘q 運算量相同運算量相同q 都可原位運算都可原位運算q DIT和和DIF的基本蝶形互為轉(zhuǎn)置的基本蝶形互為轉(zhuǎn)置4.5 IDFT的FFT算法（FFT應用一） 一、從定義比較分析knNNkWkXNkXIDFTnx10)(1)()(10)()()(NnknNWnxnxDFTkX與與DFT的比較：的比較： 1）、旋轉(zhuǎn)因子）、旋轉(zhuǎn)因子WN-kn 的不同；的不同； 2）、結果還要乘）、結果還要乘 1/N。 )(10*10*)(1)(1)

23、()(kXDFTknNNkknNNkWkXNWkXNkXIDFTnx二、實現(xiàn)算法二、實現(xiàn)算法直接使用直接使用FFT程序的算法程序的算法*)(1)(kXDFTNnx共軛共軛FFT共軛共軛乘乘1/ N( )X k*( )Xk( )x n直接調(diào)用直接調(diào)用FFT子程序計算子程序計算IFFT的方法：的方法：4.6 線性調(diào)頻Z變換（Chirp-Z變換）算法 （FFT應用二）單位圓與非單位圓采樣單位圓與非單位圓采樣（a） 沿單位圓采樣沿單位圓采樣; (b) 沿沿AB弧采樣弧采樣 ooooABX(ej)RezRezjImzjImzAB(a)(b)X(ej) 螺線采樣螺線采樣 0jImzRezo0A01.0zM

24、1A0W01z0(M I)0zk=AW-k k=0, 1, , M-1 0000jjeWWeAAChirp-Z變換的線性系統(tǒng)表示變換的線性系統(tǒng)表示 x(n)g(n)h(n)1 / h(n)X(zn)由于系統(tǒng)的單位脈沖響應由于系統(tǒng)的單位脈沖響應 可以想象為頻率可以想象為頻率隨時間隨時間(n)(n)呈線性增長的復指數(shù)序列。在雷達系統(tǒng)中呈線性增長的復指數(shù)序列。在雷達系統(tǒng)中, ,這這種信號稱為種信號稱為線性調(diào)頻信號（線性調(diào)頻信號（Chirp SignalChirp Signal），因此，這，因此，這里的變換稱為里的變換稱為線性調(diào)頻線性調(diào)頻Z Z變換變換。22)(nWnh一、基本算法思路一、基本算法思路

25、10)()()()()(MmmnxmhnhnxnyLMMd)1()(nMhnh2/LMmd4.7 線性卷積的FFT算法（FFT應用三）若若L點點x(n)，M點點h(n)，則直接計算其線性卷積則直接計算其線性卷積y(n)需運算量：需運算量：若系統(tǒng)滿足線性相位，即：若系統(tǒng)滿足線性相位，即：則需運算量：則需運算量：FFT法：以圓周卷積代替線性卷積法：以圓周卷積代替線性卷積21mNML令 ( )01( )01x nnLx nLnN( )01( )01h nnMh nMnNN( )( )* ( )( ) ( )y nx nh nx nh n則 NN2log2NN2log2NN2log2)()() 1nh

26、FFTkH)()()2nxFFTkX)()()()3kXkHkY)()()4kYIFFTnyN總運算量：總運算量： 次乘法次乘法NNNmF2log23比較直接計算和比較直接計算和FFT法計算的運算量法計算的運算量22(1 3/2*log)dmFmMLKmNN22241 3/2*(1log)106logmMMKMMM223logmMKL討論：討論：ML12NMLM 則1）當）當1NMLL 則2）當）當mLK 需采用分段卷積重疊相加法重疊保留法ML x(n)長度很長時，將長度很長時，將x(n)分為分為L長的若干長的若干小的片段，小的片段，L與與M可比擬?？杀葦M。nLiniLnxnxi，其它，01)

27、 1()()(iinxnx)()()()()(nhnxnyiinhnx)()(1 1、重疊相加法、重疊相加法iiny)( 則：則： 輸出：輸出：)()()(nhnxnyii1MLN其中：其中：可以用圓周卷積計算：可以用圓周卷積計算：MN2 選選 ，上面圓周卷積可用，上面圓周卷積可用FFTFFT計算。計算。 )()()(nhnxnyiiN 由于由于yi(n)長度為長度為N，而，而xi(n)長度長度L ，必有，必有M-1點重疊，點重疊， yi(n)應相加才能構成最后應相加才能構成最后y(n)的。的。iinyny)()(h(n)0N 1M 1x(n)0L2L3LnnnnnL 10 x0(n)N 10

28、 x1(n)L2L 1LN 13L 10 x2(n)2L2LN 1重疊相加法圖形重疊相加法圖形nnnN 10y0(n)x0(n) h (n)N2L2L N 100L N 1Ly1(n)x1(n) h (n)Ny2(n)x2(n) h (n)N和上面的討論一樣，和上面的討論一樣， 用用FFT法實現(xiàn)重疊相加法的步驟如下法實現(xiàn)重疊相加法的步驟如下: 計算計算N點點FFT， H(k)=DFTh(n)； 計算計算N點點FFT，Xi(k)=DFTxi(n)； 相乘，相乘，Yi(k)=Xi(k)H(k)； 計算計算N點點IFFT，yi(n)=IDFTYi(k)； 將各段將各段yi(n)（包括重疊部分）相加，（包括重疊部分）相加， 。重疊相加的名稱是由于各輸出段的重疊部分相加而得名的。重疊相加的名稱是由于各輸出段的重疊部分相加而得名的。 )()(0nynyii例例 已知序列已知序列xn=n+2,0 n 12, hn=1,2,1試試利用重疊相加法計算線性卷積利用重疊相加法計算線性卷積, 取取L=5 。yn=2, 7, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 41, 14解解: 重疊相加法重疊