快速傅里葉變換(FFT)

1、第四章快速傅里葉變換（FFT）主要內(nèi)容DIT-FFT算法 DIF-FFT算法IFFT算法Chirp-FFT算法線性卷積的FFT算法4.1 引言FFT: Fast Fourier Transform1965年，Cooley-Turky 發(fā)表文章機(jī)器計(jì)算傅里葉級(jí)數(shù)的一種算法，提出FFT算法，解決DFT運(yùn)算量太大，在實(shí)際使用中受限制的問(wèn)題。FFT的應(yīng)用。頻譜分析、濾波器實(shí)現(xiàn)、實(shí)時(shí)信號(hào)處理等。DSP芯片實(shí)現(xiàn)。TI公司的TMS 320c30，10MHz時(shí)鐘，基2-FFT1024點(diǎn)FFT時(shí)間15ms。典型應(yīng)用：信號(hào)頻譜計(jì)算、系統(tǒng)分析等)()(kXnxDFT )()()(nynhnxFFTnhnyIFFTF

2、FTnx)()()( 系統(tǒng)分析系統(tǒng)分析 頻譜分析與功率譜計(jì)算頻譜分析與功率譜計(jì)算4.2 直接計(jì)算DFT的問(wèn)題及改進(jìn)途徑10)()(NnknNWnxkX10)(1)(NkknNWkXNnx1、 DFT與與IDFT( )Nx n點(diǎn)有限長(zhǎng)序列2、DFT與與IDFT運(yùn)算特點(diǎn)運(yùn)算特點(diǎn)復(fù)數(shù)乘法復(fù)數(shù)乘法復(fù)數(shù)加法復(fù)數(shù)加法一個(gè)一個(gè)X(k)NN 1N個(gè)個(gè)X(k)(N點(diǎn)點(diǎn)DFT)N 2N (N 1)10( )NnkNnx n Wajbcjdacbdj adcb同理：同理：IDFT運(yùn)算量與運(yùn)算量與DFT相同。相同。實(shí)數(shù)乘法實(shí)數(shù)乘法實(shí)數(shù)加法實(shí)數(shù)加法一次復(fù)乘一次復(fù)乘42一次復(fù)加一次復(fù)加2一個(gè)一個(gè)X (k) 4N2N+2

3、(N 1)=2 (2N 1)N個(gè)個(gè)X (k)(N點(diǎn)點(diǎn)DFT)4N 22N (2N 1)3、降低DFT運(yùn)算量的考慮nkNW 的特性*()() ()nknkN n kn N kNNNNWWWW對(duì)稱性()() nkN n kn N kNNNWWW周期性 nkmnkNmNWW可約性/nknk mNN mWW0/2(/2) 11Nk NkNNNNWWWW 特殊點(diǎn)：2jnknkNNWeNknkNNWWnNnkNNWW2jmnkmNe221NjjNee FFT算法分類算法分類:q 時(shí)間抽選法時(shí)間抽選法DIT: Decimation-In-Timeq 頻率抽選法頻率抽選法DIF: Decimation-In-

4、FrequencyFFTDFTDFTDFTDFT算法的基本思想： 利用系數(shù)的特性，合并運(yùn)算中的某些項(xiàng)， 把長(zhǎng)序列短序列，從而減少其運(yùn)算量。4.3 按時(shí)間抽取（DIT）的FFT算法1、算法原理設(shè)序列點(diǎn)數(shù) N = 2L，L為整數(shù)。 若不滿足，則補(bǔ)零12/.210) 12()()2()(21Nrrxrxrxrx，（Decimation In Time）將序列將序列x(n)按按n的奇偶分成兩組：的奇偶分成兩組：N為為2的整數(shù)冪的的整數(shù)冪的FFT算法稱算法稱基基-2FFT算法算法。將N點(diǎn)DFT定義式分解為兩個(gè)長(zhǎng)度為N/2的DFT10)()()(NnknNWnxnxDFTkXkrNnNrrkNnNrWrx

5、Wrx)12(12/0212/0) 12()2( 為奇為偶 )(12/02/2)(2/12/0121)()(kXNrrkNkNkXrkNNrWrxWWrx)()()(21kXWkXkXkN記：記： （1 1）rkNrkNWW2/2（這一步利用：（這一步利用： ）,0,1,./2 1r kN再利用周期性求再利用周期性求X(k)的后半部分的后半部分/22NkNkkNNNNWWWW 又)(2)()()(222112/02/112/0)2/(2/11kXkNXkXWrxWrxkNXNrrkNNrkNrNrkNkNrNWW2/)2/(2/)2()2()2()2(12/,.2 , 1 , 0)()()(2

6、)2/(121kNXWkNXkNXNkkXWkXkXkNNkN，12/,.2 , 1 , 0)()(21NkkXWkXkN，將上式表達(dá)的運(yùn)算用一個(gè)專用“蝶形”信流圖表示。)(1kX)(2kX)()(21kXWkXkN)()(21kXWkXkNkNW1212( )( )( )()( )( )2kNkNX kX kW XkNX kX kW Xk0,1,.,/21kN注：注：a. 上支路為加法，下支路為減法；上支路為加法，下支路為減法； b. 乘法運(yùn)算的支路標(biāo)箭頭和系數(shù)。乘法運(yùn)算的支路標(biāo)箭頭和系數(shù)。用“蝶形結(jié)”表示上面運(yùn)算的分解： 328N)0(x)1 (x)2(x)3(x)4(x)5(x)6(x)

7、7(x)0(X) 1 (X)2(X)3(X)4(X)5(X)6(X)7(X1NW0NW2NW3NW)0(1X)1 (1X)2(1X)3(1X)0(2X)1 (2X(3)2X)2(2XDFTN點(diǎn)2DFTN點(diǎn)2分解后的運(yùn)算量：分解后的運(yùn)算量：復(fù)數(shù)乘法復(fù)數(shù)乘法復(fù)數(shù)加法復(fù)數(shù)加法一個(gè)一個(gè)N/2點(diǎn)點(diǎn)DFT(N/2)2N/2 (N/2 1)兩個(gè)兩個(gè)N/2點(diǎn)點(diǎn)DFTN2/2N (N/2 1)一個(gè)蝶形一個(gè)蝶形12N/2個(gè)蝶形個(gè)蝶形N/2N總計(jì)總計(jì)22/2/2/2NNN2/2 1/2N NNN運(yùn)算量減少了近一半運(yùn)算量減少了近一半進(jìn)一步分解進(jìn)一步分解MN2122MN2N4N由于由于 ， 仍為偶數(shù)，因此，兩個(gè)仍為偶數(shù)

8、，因此，兩個(gè) 點(diǎn)點(diǎn)DFTDFT又可同樣進(jìn)一步分解為又可同樣進(jìn)一步分解為4 4個(gè)個(gè) 點(diǎn)的點(diǎn)的DFTDFT。1314(2 )( )(21)( )xlx lxlx l0,1,.,/4 1lN13/2413/24( )( )( )()( )( )4kNkNX kXkWXkNX kXkWXk0,1,.,14Nk 02/NW12/NW)(3lx)(4lx)2(x)4(x)6(x)0(x)0(1X) 1 (1X)2(1X) 3(1X) 0(3X) 1 (3X)0(4X) 1 (4XDFTN點(diǎn)4DFTN點(diǎn)4“蝶形蝶形”信流圖表示信流圖表示 N點(diǎn)DFT分解為四個(gè)N/4點(diǎn)的DFTDFTN點(diǎn)4DFTN點(diǎn)4DFTN點(diǎn)

9、4DFTN點(diǎn)4)2(x)4( x)6( x)0( x) 1 ( x) 3 ( x)5(x)7( x0NW2NW0NW2NW1NW0NW2NW3NW)0(X) 1 (X)2(X) 3(X)4(X) 5(X)6(X)7(X)(.kX)(.nx 類似進(jìn)一步分解類似的分解一直繼續(xù)下去，直到分解為最后的兩類蝶形運(yùn)算為止(2點(diǎn)DFT).如上述N=8=23，N/4=2點(diǎn)中：1點(diǎn)點(diǎn)DFTx(0)1點(diǎn)點(diǎn)DFTx(4)X3(0)X3(1)02W進(jìn)一步簡(jiǎn)化為蝶形流圖：進(jìn)一步簡(jiǎn)化為蝶形流圖：0NWX3(0)X3(1)x(0)x(4)4()0()4()0()0(004/3xWxxWxXNN)4()0()4()0() 1

10、 (014/3xWxxWxXNN因此因此8 8點(diǎn)點(diǎn)FFTFFT時(shí)間抽取方法的信流圖如下時(shí)間抽取方法的信流圖如下)2(x)4(x)6(x)0(x) 1 ( x) 3 ( x)5(x)7(x0NW0NW0NW0NW第一級(jí).0NW2NW0NW2NW 第二級(jí).)(0kX1m)(1kX)(2kX)(3kX2m3m1NW0NW2NW3NW)0(X) 1 (X)2(X)3(X)4(X)5(X)6(X)7(X 第三級(jí).FFT運(yùn)算量與運(yùn)算特點(diǎn) 1 N=2L時(shí)，共有L=log2N級(jí)運(yùn)算；每一級(jí)有N/2個(gè)蝶形結(jié)。2每一級(jí)有N個(gè)數(shù)據(jù)中間數(shù)據(jù)），且每級(jí)只用到本級(jí)的轉(zhuǎn)入中間數(shù)據(jù)，適合于迭代運(yùn)算。3計(jì)算量： 每級(jí)N/2次復(fù)

11、乘法，N次復(fù)加。（每蝶形只乘一次，加減各一次）。共有L*N/2=N/2log2N 次復(fù)乘法；復(fù)加法L*N=Nlog2N 次。與直接DFT定義式運(yùn)算量相比(倍數(shù)) N2/(Nlog2N) 。當(dāng) N大時(shí)，此倍數(shù)很大。222()2()loglog2FFmDFTNNNmFFTNN比較比較DFT 參考參考P150 表表4-1 圖圖4-6可以直觀看出，當(dāng)點(diǎn)數(shù)可以直觀看出，當(dāng)點(diǎn)數(shù)N越大時(shí)，越大時(shí)，F(xiàn)FT的優(yōu)點(diǎn)更突出。的優(yōu)點(diǎn)更突出。按時(shí)間抽取FFT蝶形運(yùn)算特點(diǎn) 1、關(guān)于FFT運(yùn)算的混序與順序處理（位倒序處理） 由于輸入序列按時(shí)間序位的奇偶抽取，故輸入序列是混序的，為此需要先進(jìn)行混序處理?；煨蛞?guī)律： x(n)按

12、n位置進(jìn)行碼位（二進(jìn)制）倒置規(guī)律輸入，而非自然排序，即得到混序排列。所以稱為位倒序處理。位倒序?qū)崿F(xiàn)：（1）DSP實(shí)現(xiàn)采用位倒序?qū)ぶ罚?）通用計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)可以有兩個(gè)方法：一是嚴(yán)格按照位倒序含義進(jìn)行；二是倒進(jìn)位的加N/2。倒位序倒位序自然序自然序00000000100410010102201011063011001141001015510101136110111771112 102( )()x nnn n n倒位序倒位序例計(jì)算 ， 。計(jì)算 點(diǎn)FFT。用時(shí)間抽取輸入倒序算法，問(wèn)倒序前寄存器的數(shù) 和倒序后 的數(shù)據(jù)值？2)(nnx31.2 , 1 , 0n32N)13( x)13( x16913)13(2

13、x5232 N210)01101()13(102)22()10110(48422)13(2x解：倒序前解：倒序前 倒序倒序 倒序?yàn)榈剐驗(yàn)?倒序后倒序后 DIT FFT中最主要的蝶形運(yùn)算實(shí)現(xiàn)（1）參與蝶形運(yùn)算的兩類結(jié)點(diǎn)（信號(hào)）間“距離”（碼地址）與其所處的第幾級(jí)蝶形有關(guān)；第m級(jí)的“結(jié)距離”為 (即原位計(jì)算迭代）（2）每級(jí)迭形結(jié)構(gòu)為，12m)2(,.2 , 1LNLmrNmmmmmrNmmmmWkXkXkXWkXkXkX)2()()2()2()()(1111111q 蝶形運(yùn)算兩節(jié)點(diǎn)的第一個(gè)節(jié)點(diǎn)為蝶形運(yùn)算兩節(jié)點(diǎn)的第一個(gè)節(jié)點(diǎn)為k值，表值，表示成示成L位二進(jìn)制數(shù)，左移位二進(jìn)制數(shù)，左移L m位，把右邊位，

14、把右邊空出的位置補(bǔ)零，結(jié)果為空出的位置補(bǔ)零，結(jié)果為r的二進(jìn)制數(shù)。的二進(jìn)制數(shù)。2( )2L mrk（3） 的確定：的確定： 第第m級(jí)的級(jí)的r取值：取值：rNWkNWDIT算法的其他形式流圖輸入倒位序輸出自然序輸入自然序輸出倒位序輸入輸出均自然序相同幾何形狀輸入倒位序輸出自然序輸入自然序輸出倒位序參考參考P154-155時(shí)間抽取、時(shí)間抽取、 輸入自然順序、輸入自然順序、 輸出倒位序的輸出倒位序的FFTFFT流圖流圖 11111111X(0)x(0)X(4)x(1)X(2)x(2)X(6)x(3)X(1)x(4)X(5)x(5)X(3)x(6)X(7)x(7)1111 例例 用用FFT算法處理一幅算

15、法處理一幅NN點(diǎn)的二維圖像，如用每秒可點(diǎn)的二維圖像，如用每秒可做做10萬(wàn)次復(fù)數(shù)乘法的計(jì)算機(jī)，當(dāng)萬(wàn)次復(fù)數(shù)乘法的計(jì)算機(jī)，當(dāng)N=1024時(shí)，問(wèn)需要多少時(shí)間時(shí)，問(wèn)需要多少時(shí)間（不考慮加法運(yùn)算時(shí)間）？（不考慮加法運(yùn)算時(shí)間）？ 解解 當(dāng)當(dāng)N=1024點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)時(shí)，F(xiàn)FT算法處理一幅二維圖像所需復(fù)數(shù)乘算法處理一幅二維圖像所需復(fù)數(shù)乘法約為法約為 次，僅為直接計(jì)算次，僅為直接計(jì)算DFT所需時(shí)間的所需時(shí)間的10萬(wàn)萬(wàn)分之一。分之一。 即原需要即原需要3000小時(shí)，現(xiàn)在只需要小時(shí)，現(xiàn)在只需要2 分鐘。分鐘。 722210log2NN4.4 按頻率抽?。―IF）的FFT算法與DIT-FFT算法類似分解，但是抽取的是X(k

16、)。即分解X(k)成奇數(shù)與偶數(shù)序號(hào)的兩個(gè)序列。設(shè)： N = 2L，L 為整數(shù)。將X(k)按k的奇偶分組前，先將輸入x(n)按n的順序分成前后兩半：（Decimation In Frequency)一、算法原理一、算法原理12/12/0)()()(NNnnkNNnnkNWnxWnxkX12/0)(212/02)()(NnknNNNnnkNNWnxWnx12/022/)()(NnnkNNkNNWnxWnxkNkNW) 1(2/2 10( )( 1)2NknkNnNx nx nW 0,1,.,1kN下面討論：的)(12,2kXrrk12/02/212/022) 1 ()()()()()2(NnnrN

17、NNnrnNNWnxnxWnxnxrX12/02/212/0)12(2)2()()()()() 12(NnnrNnNNNnnrNNWWnxnxWnxnxrX按按k k的奇偶將的奇偶將X(k)X(k)分成兩部分：分成兩部分：顯然：顯然：。點(diǎn)的對(duì)應(yīng)兩個(gè)DFTNrXrX2/) 12(),2(nNNNWnxnxnxnxnxnx)()()()()()(2221)()(2NnxnxnNNNWnxnxnxnx)()()()(22nNW令：令：用蝶型結(jié)構(gòu)圖表示為：用蝶型結(jié)構(gòu)圖表示為：x1(0)x1(1)-1x1(2)x1(3)-1x2(0)x2(1)-1x2(2)x2(3)-1N/2點(diǎn)DFTN/2點(diǎn)DFTx(

18、0)x(7)x(1)x(2)x(3)x(4)x(5)x(6)X1(0)=X(0)X2(0)=X(1)X1(1)=X(2)X1(2)=X(4)X1(3)=X(6)X2(1)=X(3)X2(2)=X(5)X2(3)=X(7)1NW0NW2NW3NW311411/2( )( )(/4)( ) ( )(/4)nNx nx nx nNx nx nx nNW0,1,.,14Nn 313414( )(2 ) ( )( )(21)( )X kXkDFT x nX kXkDFT x n0,1,.,14Nk N/2仍為偶數(shù)，進(jìn)一步分解：仍為偶數(shù)，進(jìn)一步分解：N/2 N/4x3(0)x3(1)-1-1x4(0)x4

19、(1)N/4點(diǎn)DFTN/4點(diǎn)DFTx1(0)x1(1)x1(2)x1(3)X3(0)=X1(0)=X(0)X4(0)=X1(1)=X(2)X3(1)=X1(2)=X(4)X4(1)=X1(3)=X(6)0/2NW1/2NWq 按照以上思路繼續(xù)分解，即一個(gè)按照以上思路繼續(xù)分解，即一個(gè)N/2的的DFT分解成兩個(gè)分解成兩個(gè)N/4點(diǎn)點(diǎn)DFT，直到只計(jì)算，直到只計(jì)算2點(diǎn)的點(diǎn)的DFT，這就是，這就是DIF-FFT算法。算法。2個(gè)個(gè)1點(diǎn)的點(diǎn)的DFT蝶形流圖蝶形流圖 進(jìn)一步簡(jiǎn)化為蝶形流圖：進(jìn)一步簡(jiǎn)化為蝶形流圖：1點(diǎn)點(diǎn)DFTx3(0)1點(diǎn)點(diǎn)DFTx3(1)X(0)X(4)02W02WX(0)X(4)x3(0)x

20、3(1)2(x)4(x)6(x)0(x)1(x)3(x)5(x)7(x)0(X)1(X)2(X)3(X)4(X)5(X)6(X)7(X0NW0NW1NW2NW3NW0NW0NW0NW2NW0NW2NW0NW1m第一級(jí)： 2m第二級(jí)：3m第三級(jí)：二、按頻率抽取FFT蝶形運(yùn)算特點(diǎn)1）原位計(jì)算1111( )( )( )( )( )( )mmmrmmmNXkXkXjXjXkXj WrNW1( )mXk1( )mXj( )mXk( )mXj-1L級(jí)蝶形運(yùn)算，每級(jí)級(jí)蝶形運(yùn)算，每級(jí)N/2個(gè)蝶形，每個(gè)蝶形結(jié)構(gòu)：個(gè)蝶形，每個(gè)蝶形結(jié)構(gòu)：m表示第表示第m級(jí)迭代，級(jí)迭代，k，j表示數(shù)據(jù)所在的行數(shù)表示數(shù)據(jù)所在的行數(shù)2）

21、蝶形運(yùn)算）蝶形運(yùn)算對(duì)對(duì)N=2L點(diǎn)點(diǎn)FFT，輸入自然序，輸出倒位序，輸入自然序，輸出倒位序，兩節(jié)點(diǎn)距離：兩節(jié)點(diǎn)距離：2L-m=N / 2m1111( )( )2( )22mmmmrmmmNmmNXkXkXkNNXkXkXkW第第m級(jí)運(yùn)算：級(jí)運(yùn)算：q 蝶形運(yùn)算兩節(jié)點(diǎn)的第一個(gè)節(jié)點(diǎn)為蝶形運(yùn)算兩節(jié)點(diǎn)的第一個(gè)節(jié)點(diǎn)為k值，表示值，表示成成L位二進(jìn)制數(shù)，左移位二進(jìn)制數(shù)，左移m-1位，把右邊空出的位，把右邊空出的位置補(bǔ)零，結(jié)果為位置補(bǔ)零，結(jié)果為r的二進(jìn)制數(shù)。的二進(jìn)制數(shù)。rNW 的確定12( )2mrk存儲(chǔ)單元存儲(chǔ)單元輸入序列輸入序列x(n) : N個(gè)存儲(chǔ)單元個(gè)存儲(chǔ)單元rNW系數(shù)系數(shù) ：N / 2個(gè)存儲(chǔ)單元個(gè)存儲(chǔ)

22、單元三、三、DIT與與DIF的異同的異同q 基本蝶形不同基本蝶形不同2log2FNmN2logFaNNq DIT: 先復(fù)乘后加減先復(fù)乘后加減q DIF: 先減后復(fù)乘先減后復(fù)乘q 運(yùn)算量相同運(yùn)算量相同q 都可原位運(yùn)算都可原位運(yùn)算q DIT和和DIF的基本蝶形互為轉(zhuǎn)置的基本蝶形互為轉(zhuǎn)置4.5 IDFT的FFT算法（FFT應(yīng)用一） 一、從定義比較分析knNNkWkXNkXIDFTnx10)(1)()(10)()()(NnknNWnxnxDFTkX與與DFT的比較：的比較： 1）、旋轉(zhuǎn)因子）、旋轉(zhuǎn)因子WN-kn 的不同；的不同； 2）、結(jié)果還要乘）、結(jié)果還要乘 1/N。 )(10*10*)(1)(1)

23、()(kXDFTknNNkknNNkWkXNWkXNkXIDFTnx二、實(shí)現(xiàn)算法二、實(shí)現(xiàn)算法直接使用直接使用FFT程序的算法程序的算法*)(1)(kXDFTNnx共軛共軛FFT共軛共軛乘乘1/ N( )X k*( )Xk( )x n直接調(diào)用直接調(diào)用FFT子程序計(jì)算子程序計(jì)算IFFT的方法：的方法：4.6 線性調(diào)頻Z變換（Chirp-Z變換）算法 （FFT應(yīng)用二）單位圓與非單位圓采樣單位圓與非單位圓采樣（a） 沿單位圓采樣沿單位圓采樣; (b) 沿沿AB弧采樣弧采樣 ooooABX(ej)RezRezjImzjImzAB(a)(b)X(ej) 螺線采樣螺線采樣 0jImzRezo0A01.0zM

24、1A0W01z0(M I)0zk=AW-k k=0, 1, , M-1 0000jjeWWeAAChirp-Z變換的線性系統(tǒng)表示變換的線性系統(tǒng)表示 x(n)g(n)h(n)1 / h(n)X(zn)由于系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)由于系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng) 可以想象為頻率可以想象為頻率隨時(shí)間隨時(shí)間(n)(n)呈線性增長(zhǎng)的復(fù)指數(shù)序列。在雷達(dá)系統(tǒng)中呈線性增長(zhǎng)的復(fù)指數(shù)序列。在雷達(dá)系統(tǒng)中, ,這這種信號(hào)稱為種信號(hào)稱為線性調(diào)頻信號(hào)（線性調(diào)頻信號(hào)（Chirp SignalChirp Signal），因此，這，因此，這里的變換稱為里的變換稱為線性調(diào)頻線性調(diào)頻Z Z變換變換。22)(nWnh一、基本算法思路一、基本算法思路

25、10)()()()()(MmmnxmhnhnxnyLMMd)1()(nMhnh2/LMmd4.7 線性卷積的FFT算法（FFT應(yīng)用三）若若L點(diǎn)點(diǎn)x(n)，M點(diǎn)點(diǎn)h(n)，則直接計(jì)算其線性卷積則直接計(jì)算其線性卷積y(n)需運(yùn)算量：需運(yùn)算量：若系統(tǒng)滿足線性相位，即：若系統(tǒng)滿足線性相位，即：則需運(yùn)算量：則需運(yùn)算量：FFT法：以圓周卷積代替線性卷積法：以圓周卷積代替線性卷積21mNML令 ( )01( )01x nnLx nLnN( )01( )01h nnMh nMnNN( )( )* ( )( ) ( )y nx nh nx nh n則 NN2log2NN2log2NN2log2)()() 1nh

26、FFTkH)()()2nxFFTkX)()()()3kXkHkY)()()4kYIFFTnyN總運(yùn)算量：總運(yùn)算量： 次乘法次乘法NNNmF2log23比較直接計(jì)算和比較直接計(jì)算和FFT法計(jì)算的運(yùn)算量法計(jì)算的運(yùn)算量22(1 3/2*log)dmFmMLKmNN22241 3/2*(1log)106logmMMKMMM223logmMKL討論：討論：ML12NMLM 則1）當(dāng)）當(dāng)1NMLL 則2）當(dāng)）當(dāng)mLK 需采用分段卷積重疊相加法重疊保留法ML x(n)長(zhǎng)度很長(zhǎng)時(shí)，將長(zhǎng)度很長(zhǎng)時(shí)，將x(n)分為分為L(zhǎng)長(zhǎng)的若干長(zhǎng)的若干小的片段，小的片段，L與與M可比擬?？杀葦M。nLiniLnxnxi，其它，01)

27、 1()()(iinxnx)()()()()(nhnxnyiinhnx)()(1 1、重疊相加法、重疊相加法iiny)( 則：則： 輸出：輸出：)()()(nhnxnyii1MLN其中：其中：可以用圓周卷積計(jì)算：可以用圓周卷積計(jì)算：MN2 選選 ，上面圓周卷積可用，上面圓周卷積可用FFTFFT計(jì)算。計(jì)算。 )()()(nhnxnyiiN 由于由于yi(n)長(zhǎng)度為長(zhǎng)度為N，而，而xi(n)長(zhǎng)度長(zhǎng)度L ，必有，必有M-1點(diǎn)重疊，點(diǎn)重疊， yi(n)應(yīng)相加才能構(gòu)成最后應(yīng)相加才能構(gòu)成最后y(n)的。的。iinyny)()(h(n)0N 1M 1x(n)0L2L3LnnnnnL 10 x0(n)N 10

28、 x1(n)L2L 1LN 13L 10 x2(n)2L2LN 1重疊相加法圖形重疊相加法圖形nnnN 10y0(n)x0(n) h (n)N2L2L N 100L N 1Ly1(n)x1(n) h (n)Ny2(n)x2(n) h (n)N和上面的討論一樣，和上面的討論一樣， 用用FFT法實(shí)現(xiàn)重疊相加法的步驟如下法實(shí)現(xiàn)重疊相加法的步驟如下: 計(jì)算計(jì)算N點(diǎn)點(diǎn)FFT， H(k)=DFTh(n)； 計(jì)算計(jì)算N點(diǎn)點(diǎn)FFT，Xi(k)=DFTxi(n)； 相乘，相乘，Yi(k)=Xi(k)H(k)； 計(jì)算計(jì)算N點(diǎn)點(diǎn)IFFT，yi(n)=IDFTYi(k)； 將各段將各段yi(n)（包括重疊部分）相加，（包括重疊部分）相加， 。重疊相加的名稱是由于各輸出段的重疊部分相加而得名的。重疊相加的名稱是由于各輸出段的重疊部分相加而得名的。 )()(0nynyii例例 已知序列已知序列xn=n+2,0 n 12, hn=1,2,1試試?yán)弥丿B相加法計(jì)算線性卷積利用重疊相加法計(jì)算線性卷積, 取取L=5 。yn=2, 7, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 41, 14解解: 重疊相加法重疊