題解第5章數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念

1、習(xí)題5.11.為了解2010年云南省某師范學(xué)院新生的每月消費(fèi)情況，調(diào)查了該校50名新生。試問(wèn)：（1）研究的總體是什么？（2）研究的樣本是什么？（3）樣本容量是多少？解（1）總體為該師范學(xué)院所有新生的每月消費(fèi)。（2）樣本為50名該師范學(xué)院新生的每月消費(fèi)。（3）樣本容量為50。2.某廠生產(chǎn)的燈泡使用壽命X服從參數(shù)為的指數(shù)分布，為了研究其平均壽命，從中抽取一個(gè)樣本容量為n的樣本（X1,X2LXn）,試寫出該樣本的密度函數(shù)。解因?yàn)榭傮w的密度函數(shù)為fXeX，X0,0，X0.所以，樣本（XXqLXn）的密度函數(shù)為nfXi,X2LXnf(Xi)iinXieii，Xi,X2LXn0，其余.0,3.設(shè)某廠大量生

2、產(chǎn)某種產(chǎn)品，其次品率p未知，每m件產(chǎn)品包裝為一盒，為了檢查產(chǎn)品的質(zhì)量，任意抽取n盒，查其中的次品數(shù)，試在這個(gè)統(tǒng)計(jì)問(wèn)題中說(shuō)明什么是總體，樣本以及它們的分布。解總體X表示一盒產(chǎn)品中的產(chǎn)次品數(shù),X服從參數(shù)是m,p的二項(xiàng)分布。這是由于產(chǎn)品的批量很大，次品率為p，從大批產(chǎn)品中取m件，可以認(rèn)為每件產(chǎn)品的取出是相互獨(dú)立的，從而次品數(shù)服從二項(xiàng)分布。樣本（XK,Xn）表示所抽取的n盒產(chǎn)品中的次品數(shù)。由樣本的獨(dú)立性與代表性得（XK,Xn）的聯(lián)合分布列為P（XiXi,.,XnXn）=P（XiXi）P（Xn焉）=Cmx1px1（1p）mx1LCmxnpxn（1p）mxnn=CmXipXi（ip）mXi.ii4.從總體

3、中抽取了一個(gè)容量為5的樣本，樣本值為（5,3,i,2,0），試求的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)。解經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)為0,x3,15，3x1,25，1x0,FnxQ35,0x2,45,2x5,5.研究某地區(qū)小學(xué)五年級(jí)男生身高的分布,（單位：cm）1,x5.150.3146.2140.6139.7147.9143.0143.1142.7127.7154.4142.7141.2126.4130.3146.3146.8142.7137.6136.9122.7131.8147.7135.8134.8139.1139.9132.3134.7138.4136.6136.2141.6141.0138.4145.1141.4139

4、.9140.6140.2131.0150.4142.7144.3136.4134.5132.3152.7148.1139.6138.9136.1135.9140.3137.3134.6145.2128.2135.9140.2136.6139.5136.7139.8129.1141.4139.5136.2138.4138.1132.9142.9144.7138.8138.3135.3140.6142.2152.1142.4142.7136.2135.0154.3147.9141.3143.8138.1139.7127.4146.0155.8141.2146.4139.4140.8127.7150

5、.7160.3148.5147.5抽取了100名男生進(jìn)行測(cè)量。得到如下數(shù)據(jù)取a122，b162,試將區(qū)間a,b8等分，作出頻數(shù)、頻率分布表和頻率直方圖。162122解根據(jù)題設(shè)要求知各小區(qū)間的長(zhǎng)度為225，經(jīng)統(tǒng)計(jì)計(jì)算可得下面的頻數(shù)、8頻率（及頻率密度）分布表：組序分組區(qū)間組中值頻數(shù)頻率頻率密度1122,127124.520.020.0042127,132129.580.080.0163132,137134.5210.210.0424137,142139.5340.340.0685142,147144.5200.20.046147,152149.590.090.0187152,157154.550

6、.050.018157,162159.510.010.002頻率直方圖如下:6.某公司對(duì)其250名職工上班所需時(shí)間進(jìn)行調(diào)查，下面是其不完整的頻率分布表:所需時(shí)間（單位：分）頻率0100.1010200.24203030400.1840500.14（1）試將頻率分布表補(bǔ)充完整；（2）該公司上班所需時(shí)間在半小時(shí)以內(nèi)有多少人？解（1）完整的頻率分布表為：所需時(shí)間（單位：分）頻率0100.1010200.2420300.3430400.1840500.14（2）該公司上班所需時(shí)間在半小時(shí)以內(nèi)有:0.10.240.34250170（人）7.根據(jù)調(diào)查，某集團(tuán)公司的中層管理人員的月薪數(shù)據(jù)如下（單位：百元）5

7、271634138433839726455526667585645564769試畫出莖葉圖。解根據(jù)所給數(shù)據(jù)，可以作出莖葉圖如下:習(xí)題5.21.設(shè)總體X服從泊松分布其中未知，(X1,X2,LXn)為取自X的一個(gè)樣(1)試指出X!X2，maxX1,K,Xn，Xn23,(XnX1)中哪些是統(tǒng)計(jì)量，那些不是?8.經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)作為分布函數(shù)其類型是離散型的嗎？如果是，寫出其對(duì)應(yīng)的分布列。解經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)作為分布函數(shù)其類型是離散型的，它所對(duì)應(yīng)的分布列為取值X1X2X3概率111nnn(2)當(dāng)樣本容量n5，且0,1,0,1,1為樣本的一個(gè)樣本值時(shí)，試計(jì)算樣本均值和樣本方差。2解(1)X,X2，max(X1,K,

8、Xn),(XnXJ是統(tǒng)計(jì)量，Xn3，不是統(tǒng)計(jì)量。13(2)樣本均值X010110.6；552222222樣本方差s-010110.60.24.512.證明：對(duì)于容量為2的樣本值(人必)，其樣本方差為s-(x1x2).4證明因?yàn)闉閄X1X1X2X1X222，X-Ix2X2X-iXXX222所以s21(X1X)2(X2X)221x-ix22x2捲22(丁)T)(XiX2)2.43. 設(shè)(X,K,Xn)是從均勻分布U(1,1)中抽取的樣本，試求E(X)和Var(X).解因?yàn)閄U(1,1)則E(X)0,Var(X)1/3,所以E(X)0,Var(X)1/3n.4. 設(shè)(X1,K,X3o)是從均勻分布U

9、(0,5)中抽取的樣本，試求樣本均值X的漸進(jìn)分布。解因?yàn)閄:U(0,5)則E(X)5/2,Var(X)25/12，所以從總體中抽取樣本容量為30的樣本，其樣本均值的漸進(jìn)分布為X:N(5/2,5/72).5. 設(shè)(X1,K,X25)是從二點(diǎn)分布b(1,p)中抽取的樣本，試求樣本均值X的漸進(jìn)分布。解因?yàn)閄:b(1,p)則E(X)p,Var(X)pq，所以從總體中抽取樣本容量為25的樣本，其樣本均值的漸進(jìn)分布為X:N(p,pq/25).6. 設(shè)(X1,K,X10)是從正態(tài)分布N(12,9)中抽取的樣本，試求樣本均值X的標(biāo)準(zhǔn)差。解因?yàn)閄:N(12,9)，所以從總體中抽取樣本容量為10的樣本，其樣本均值

10、的分布為X:N(12,9/10),即X的標(biāo)準(zhǔn)差為僞.7. 設(shè)總體X為離散均勻分布，分布列P(XXi)1/3,i1,2,3.從中抽取容量為3的樣本(X1,X2,X3)，分別寫出次序統(tǒng)計(jì)量X(1),X(2),X(3)的分布列，驗(yàn)證次序統(tǒng)計(jì)量X(1),X,X(3)不獨(dú)立。解從總體中抽取容量為3的樣本(X1,X2,X3)，其一切可能觀測(cè)值(X1,X2,X3)取值有3327種，對(duì)應(yīng)有x(1),x(2),x(3)的觀測(cè)值，且取每一組觀測(cè)值的概率相同。所以X(1)012X(2)012p1971P7137272727272727x(3)012P1719272727從而可求x（1）,x（2）的聯(lián)合分布列為因?yàn)镻

11、（X（1）即X和X（2）8.設(shè)總體X(1產(chǎn)遂2)01207/279/273/27104/273/272001/27而P（X（1）0)P(x(2)0)19,27270,x（2）0）兩者不等。27是不獨(dú)立的。X的密度函數(shù)為P(x)c2c3x,0x1,現(xiàn)從中抽取容量為5的樣本，試計(jì)算P(x(2)1/2).解總體X的分布函數(shù)為F(x)0,x1,1.由疋理（5。2o5）得出X（2）的密度函數(shù)P2(x)5!(21)!(52)!F(x)211F(x)52p(x)20x323x(1x3)3560x(1對(duì)于x的其它值p2（x）0,于是P(X(2)1/2)1/25060x(1x3)3dxy)3dy1/8020y(

12、10.1207.7次，測(cè)得溫度（C）為:9.用熱敏電阻測(cè)溫儀間接測(cè)量地?zé)峥碧骄诇囟?，重?fù)測(cè)量112.0113.4111.2112.0114.5112.9113.6解令：yt10（x112）（xi表示原數(shù)據(jù)，y表示新數(shù)據(jù)）得到新數(shù)據(jù)計(jì)算這組數(shù)據(jù)的均值與方差。140則所以原數(shù)據(jù)的值為新數(shù)據(jù)方差為-8025916.0148025916810112112.82sy2Yi（y）22216（8）g02142（8）2o22529110.57原數(shù)據(jù)方差為2Sx2Sy102110.571001.1057.10.有一個(gè)頻數(shù)分布表如下:區(qū)間組中值頻數(shù)（145,155）1504（155,165）1608（165,1

13、75）1706（175,185）1802試求該樣本的樣本均值、樣本標(biāo)準(zhǔn)差、樣本偏差和樣本峰度。解樣本均值為x%f1%f2fmzvn1504160817061802=163.20由于26650妬右xf22fm1502416028170261802220從而樣本方差為s2X2fi%f2.%fm(%f1%f2.%mfm)281s()81nn于是樣本標(biāo)準(zhǔn)差為s9.樣本三階中心距為b(%x)3a(%x)3f2l(%x)3fmn(150163)34(160163)38(170163)36(180163)3220144所以樣本偏度為1b33/2b2b3(s)3144930.19753樣本峰度b43b223b

14、31481730.74.2(s)4911.對(duì)下列數(shù)據(jù)構(gòu)造箱線圖：472425447377341369412419400382366425399398423384418392372418374385439428429428430413405381403479381443441433419379386387解根據(jù)所給數(shù)據(jù)可以算得樣本最小值為X341，382384樣本第一4分位數(shù)X°.252383，樣本中位數(shù)X05405412408.5，X052428428樣本第三4分位數(shù)X°.752428,樣本最大值為X(n)479.由此，可以作出箱線圖如下:X（1）341?25383X0.5

15、408.5428X（n）47912.樣本的k階原點(diǎn)矩，k階中心矩的觀察值與總體的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)的矩有什么關(guān)系,根據(jù)這種關(guān)系你能說(shuō)明樣本均值，樣本方差與總體均值，總體方差之間的聯(lián)系嗎？解經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)所對(duì)應(yīng)的分布列為取值X1X2.Xn概率111nnn設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為上面所述的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)，則由上面的分布列知經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)的k階原點(diǎn)矩，k階中心矩分別為特別E(X)1n-XiXni11nkkE（X）Xi,ni1kEXEXEXXk-nn（XX）ki1它們正好分別是樣本k階原點(diǎn)矩和k階中心矩的觀察值，另一方面，驗(yàn)分布函數(shù)是總體分布函數(shù)的一個(gè)良好近似，因此，經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)的矩就應(yīng)該是總體相應(yīng)矩的近似?；?/p>

16、上面的分析可知，樣本均值，樣本方差分別是總體均值，總體方差的一個(gè)良好的近似。習(xí)題5.31假設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(0,1)，若P2X20.05,求的值。解從2分布定義知X22(1)P2X2PX20.05直接查表可得0.05(1)3.84，從而7.68.2.設(shè)X,K,Xm,YK,Yn相互獨(dú)立，且都服從N(0,1)分布，試證明222智F(m,n).m(YiY2LYn)證明由于Xi,K,Xm,Y,K,Yn相互獨(dú)立，且都服從N(0,1)分布,2222XY2120XYi1且XiX2LXm與YiY2LYn相互獨(dú)立，從而由F分布的生成知229i1922X1X2LXmmn(X1X2LXm)222222F(

17、m,n)Y1Y2LYnnm(Y1Y2LYn)23.證明：若Xt(n),則XF(1,n).證明由于Xt(n)根據(jù)t分布的生成知，存在兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量X1,X2，2X1N(0,1)，X2(n)，使得從而X2X12X2/n因?yàn)閄122(1),X222(n)，且X1與X2相互獨(dú)立，于是由F分布的生成知2XF(1,n).24. 設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(a,)，從中抽取出一個(gè)容量為25的樣本25222(X1,X2L,X25)，試求P(10.52(Xia)18.94).252(Xia)解由正態(tài)分布的性質(zhì)及2分布的生成知匸22(25),于是25222P(1052(Xia)18.94)i125(Xia)2

18、P(10.5218.94)0.9950.800.195.5. 某大型罐頭廠出口的鮮片蘑菇罐頭的凈重量服從正態(tài)分布N(a,2)，其中a184克，2.5克,今從中隨機(jī)抽取25個(gè)罐頭,(1)試求樣本均值X超過(guò)184.5克的概率;(2)若要以0.9713的概率保證X不低于某一額定重量b，試求b的值。解由題設(shè)條件可知N(184).4_2_XN(a,)，所以X25(1)P(X184.5)PX1841184.518411(1)0.1587.22(2)X184b184P(Xb)P2(b184)2(184b)11122由2(184b)=0.9713查表知2(184b)1.9,即b183.05(克).6.已知用卡

19、尺測(cè)量某物體的長(zhǎng)度，其結(jié)果服從均值為a(mm),標(biāo)準(zhǔn)差為2(mm)的正態(tài)分布，試求應(yīng)重復(fù)測(cè)量多少次，才能保證：(1) Xa0.1(mm)的概率不小于99.2%；2(2) E(Xa)0.1.4解假定重復(fù)測(cè)量n次，則依題設(shè)條件有XN(a,才).n(1)P(Xa0.1)p(頸Xa)°h)2(0.05需)1,222(0.05.、n)10.992(0.05.、n)0.996查表知0.05.n2.66，故n2831.2一44(2)因?yàn)镋(Xa)D(X),由一0.1知n40.nn7.在總體X:N(80,400)中隨機(jī)的抽取一容量為100的樣本，問(wèn)樣本均值與總體均值的差的絕對(duì)值大于3的概率是多大？2XN(,)n22=80,=20,n=100,即X400N(80,)N(80,4)100X80N(0,1).2解設(shè)X是樣本均值，因樣本中X1,X2,L,Xn相互獨(dú)立，且與X同分布，所以這里所以8.若總體X:N(0.1，試冋在因此X803P(X803)P(22)331()(-)22212(10.9332)0.1336.2)，假設(shè)要以99.7%的概率保證偏差X=0.5時(shí)，樣本容量n應(yīng)取多大?解