高中數(shù)學(xué)不等式習(xí)題及詳細(xì)答案

1、、選擇題51.已知x>-，則2A.最大值42.x>0,y>0,3.a>0,b>0C.4.第三章不等式2x4x+5f(x)=有(2x4B.最小值-4則(x+)2+(y+)2的最小值是(2y2xC.最大值1C.D.最小值1則下列不等式中不成立的是(a+b+12J2v'ab22L>a+b.abD.已知奇函數(shù)f(x)在(0,+)上是增函數(shù)，且的解集為(A.(1,0)U(1,+)C.(3,1)U(1,+3)D.11(a+b)(丄+丄)abf(1)=0,則不等式(31)U(0,(1,0)U(0,25.當(dāng)0vx<n時，函數(shù)f(x)=1+cos2x+8sinX

2、的最小值為(2sin2x1)B.23C.46.若實數(shù)a,b滿足a+b=2,則3a+3b的最小值是(A.18C.237.若不等式組x+3y>4，所表示的平面區(qū)域被直線3x+y<4部分，則k的值是(f(x)f(x)v01)4y=kx+分為面積相等的兩37-3A-4-3C.&直線x+2y+3=0上的點P在xy=1的上方，且P到直線2x+y6=0的距離為3.5，則點P的坐標(biāo)是().A.(5,1)B.(1,5)C.(7,2)9.已知平面區(qū)域如圖所示，z=mx+y(m>0)在平面區(qū)域內(nèi)取得最優(yōu)解(最大值)有無數(shù)多個，則m的值為().207B.20C.D.不存在110.當(dāng)x>

3、1時，不等式X+門>a恒成立，則實數(shù)aD.(2,7)的取值范圍是().B.2,+)C.3,+3)D.(,3、填空題"(xy+5)(x+y)>011. 不等式組所表示的平面區(qū)域的面積是9<x<3x+2y3w012. 設(shè)變量x,y滿足約束條件x+3y3>0,若目標(biāo)函數(shù)z=ax+y(a>0)僅在點(3,y1w00)處取得最大值，則a的取值范圍是.13. 若正數(shù)a,b滿足ab=a+b+3，貝Uab的取值范圍是.14. 設(shè)a,b均為正的常數(shù)且x>0,y>0,+b=1，則x+y的最小值為.xy15. 函數(shù)y=loga(x+3)1(a>0，且a

4、*1)的圖象恒過定點A，若點A在直線mx+ny+1=0上，其中mn>0,貝U丄+-的最小值為.mn16.某工廠的年產(chǎn)值第二年比第一年增長的百分率為p1，第三年比第二年增長的百分率為P2,若P1+P2為定值，則年平均增長的百分率P的最大值為.三、解答題217. 求函數(shù)y=x+7x+1°&>_i)的最小值.x+118. 已知直線I經(jīng)過點P(3,2)，且與x軸、y軸正半軸分別交于A,B兩點，當(dāng)AOB面積最小時，求直線I的方程.19. 某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)每噸甲產(chǎn)品要用A原料3噸，B原料2噸;生產(chǎn)每噸乙產(chǎn)品要用A原料1噸，B原料3噸，銷售每噸甲產(chǎn)品可獲得利潤

5、5萬元，銷售每噸乙產(chǎn)品可獲得利潤3萬元該企業(yè)在一個生產(chǎn)周期內(nèi)消耗A原料不超過13噸，B原料不超過18噸那么該企業(yè)可獲得最大利潤是多少？20. (1)已知xv5，求函數(shù)y=4x1+一的最大值；44x5參考答案1. D解析：由已知f(x)=x4x+5=(x2)+12x-42(x2)x_2)+丄12(x-2)xl2當(dāng)且僅當(dāng)x-2=丄，即x=3時取等號.x-22. C解析:(x+卻2+(y+F=x2+1x4X2x2+六+y2+4y+仝+y.lyx丿21/x2+七>24xx212=1,當(dāng)且僅當(dāng)x24x1-4xx=二時取等號;2y2+去4y2"4；2=1,當(dāng)且僅當(dāng)21y4y2y=時取等號;

6、2xx=2(x>0,y>0），當(dāng)且僅當(dāng)-=-,y2=x2時取等號.yxx2+承汁y2+2!+-+丄p1+1+2=4，前三個不等式的等號同時成立2時，原式取最小值，故當(dāng)且僅當(dāng)x=y='-時原式取最小值4.23. D解析:2ab方法一：特值法，如取a=4,b=1,代入各選項中的不等式，易判斷只有丄空>一aba+b不成立.方法二：可逐項使用均值不等式判斷A:a+b+2Jab+22ab=2.2，不等式成立.vablabYJab|11d111B：va+b>2ab>0,+丄>2一>o,相乘得(a+b)(+)>4成立.abVabab22C：va2+b2

7、=(a+b)2-2ab>(a+b)2-2；=2蘭辿；,I2丿i2丿22又JObW蘭衛(wèi)二>2,a二>a+b成立.2v'aba+bTabD:a+b>2ab=丄w1ab2、ab型w2ab=.ab，即空kabab2、abab不成立.4.D解析：因為f(x)是奇函數(shù)，則f(-x)=-f(x),f(x)_f(-x)v_2f£x)vo=xf(x)v0,滿足x與f(x)異xx號的x的集合為所求.因為f(x)在(0,+8)上是增函數(shù)，且f(1)=0,畫出f(x)在(0,+)的簡圖如圖，再根據(jù)f(x)是奇函數(shù)的性質(zhì)得到f(x)在(-,0)的圖象.由f(x)的圖象可知，當(dāng)且

8、僅當(dāng)x(-1,0)U(0,1)時，x與f(x)異號.5. Cn,解析：由0vxv，有sinx>0,cosx>0.22221+cos2x+8sinx2cosx+8sinxcosx,4sinxf(x)=+sin2x2sinxcosxsinxcosx>2J泌竺蟲=4,當(dāng)且僅當(dāng)摯=空広，即tanx=丄時，取“=”.sinxcosxsinxcosx20vxv1存在x使tanx=，這時f(x)min=4.6. B解析：a+b=2，故3a+3b>2、3a3b=23ab=6，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時取等號.故3a+3b的最小值是6.7. A解析：不等式組表示的平面區(qū)域為如圖所示陰影部分AB

9、C.x+3y=43x+y=44得A(1,1)，又B(0,4),C(0,).3由于直線y=kx+44-過點C(0,-)，設(shè)它與直線33x+y=4的交點為D,1則由SAbcd=SaaBC2，知D為AB的中點，即xDyD75=kx-+4,k=223xo+2y0+3=0,解析：設(shè)P點的坐標(biāo)為(xo,yo)，則x0y01<0，|2xo+yo65=3/5.Xo=5,”0=1.點P坐標(biāo)是(5,1).9. B解析：當(dāng)直線mx+y=z與直線AC平行時，線段AC上的每個點都是最優(yōu)解.kAC=223551720m=，即m=.202010. D11解析：由x+=(x1)+1,x1x1x>1,1'x

10、1>0,則有(x1)+1>2、(X1)x1+1=3,、填空題11. 24.解析：不等式(xy+5)(x+y)>0可轉(zhuǎn)化為兩個二元一次不等式組.(xy+5)(x+y)>00<xw3xy+5>0xy+5<0二x+y>0或x+y<00wx<30wx<3這兩個不等式組所對應(yīng)的區(qū)域面積之和為所求.(第11題)第一個不等式組所對應(yīng)的區(qū)域如圖,第二個不等式組所對應(yīng)的區(qū)域不存在.圖中A(3,8),B(3,3),C(0,5)，陰影部分的面積為3(11+5)=24.212. 丿aa>.解析：若z=ax+y(a>0)僅在點(3,0)處取得

11、最大值，則直線z=ax+y的傾斜角一定小于直線x+2y3=0的傾斜角，直線z=ax+y的斜率就一定小于直線x+2y3=0的斜率，可得：一av1，即卩a>1.2213. ab>9.解析：由于a,b均為正數(shù)，等式中含有ab和a+b這個特征，可以設(shè)想使用旦>ab2構(gòu)造一個不等式.ab=a+b+3>2.ab+3，即ab>2.ab+3(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時等號成立)，(,ab)22.ab3>0,(.ab3)(.ab+1)>0,二.ab>3，即ab>9(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=3時等號成立).14. (a+.b)2.解析：由已知電,均為正數(shù),xyx+y=(x+y)

12、(a+b)=a+b+竺+bx>a+b+2xyxyaybX=a+b+2、,b,xy廣aybx即x+y>(Ja+e)2，當(dāng)且僅當(dāng)JxyabI=1lxy即，x=aIab時取等號.y=blab15. 8.解析：因為y=logax的圖象恒過定點(1,0)，故函數(shù)y=loga(x+3)1的圖象恒過定點A(2,1)，把點A坐標(biāo)代入直線方程得m(2)+n(1)+1=0,即2m+n=1,而由mn>0知,4m均為正，mn+-=(2m+n)(+-)=4+如>4+2他=8，當(dāng)且僅當(dāng)mnmnmn*mnn=4mm=1m=即f時取等號.2m+n=1In=216.P.2解析：設(shè)該廠第一年的產(chǎn)值為a,由

13、題意，a(1+p)2=a(1+pd(1+P2)，且1+P1>0,1+P2>0,所以a(1+p)2=a(1+pj(1+P2)wa1+p1+1+p22=a1+p1+p2解得'22衛(wèi)亡陛，當(dāng)且僅當(dāng)1+5=1+p2，即卩尸p2時取等號所以p的最大值是衛(wèi)亡.22三、解答題17.解：令x+1=t>0，貝Ux=t1,(t1)2+7(t1)+10t2+5t+4+丄44匸門y=t+5>2t+5=9,ttt't當(dāng)且僅當(dāng)t=4，即t=2,x=1時取等號，故x=1時，y取最小值9.t18.解：因為直線I經(jīng)過點P（3,2）且與x軸y軸都相交,故其斜率必存在且小于0.設(shè)直線I的斜率

14、為k,則I的方程可寫成y2=k（x3），其中kv0.2令x=0,貝Uy=23k;令y=0,貝Ux=+3.y（第18題）kSaaob=丄(23k)(-+3)=2k212+(9k)+(半)>Sxaob有最小值12,所求直線方程為A原料用量B原料用量甲產(chǎn)品x噸3x2x乙產(chǎn)品y噸y3y（第18題）=12，當(dāng)且僅當(dāng)（一9k）=（-），即k=-時,k32=2(x3)，即2x+3y12=0.319解：設(shè)生產(chǎn)甲產(chǎn)品x噸，生產(chǎn)乙產(chǎn)品y噸，則有關(guān)系:x>0y>0一則有，目標(biāo)函數(shù)z=5x+3yj3x+y<132x3y<18作出可行域后求出可行域邊界上各端點的坐標(biāo)，可知當(dāng)x=3,y=4時可獲得最大利潤為27萬元.20.解：(1)Txv5,44x5v0,故54x>0.y=4x1+14x5=(54x+15-4x54x+15-4x12(ix=2,y<2+4=2,當(dāng)且僅當(dāng)54x=1一，即x=1或x=-（舍）時，等號成立,5-4x2故當(dāng)x=1時，ymax=2.19(2)/x>0,y>0,+-=1,xy19y9xJy9xx+y=