高代題庫試題與答案

1、一填空題(每小題三分共15分)1A,B為n階可逆矩陣，C=OO，則C1=2 A為n階矩陣，A=1，則(3A)1A*=3設f是一個n元負定的二次型，則二次型f的秩等于.4 設1,2,.n線性無關，W=L(1,2,.n)，則W的維數為。5 數量矩陣A=aE的特征根為。二單項選擇題(每小題三分共15分)1設A是mn矩陣,B是nm矩陣,則()(A) 當m>n時，必有行列式AB0(B) 當m>n時，必有行列式AB=0(C) 當n>m時，必有行列式AB0(D) 當n>m時，必有行列式ab=02設A，B，C均為n階矩陣，且秩A=ftB,貝U()(A) AB的秩與AC的秩不一定相等。(

2、B) AB的秩與AC的秩一定相等。(C) AB的秩與AC的秩一定不相等。(D) AB的秩一定不超過C的秩。3設向量空間V中含有r個向量，則下列結論成立的是()A)r=1;(B)r=2;(C)r=m(有限數)；(D)r=1或4 數域F上n維向量空間V有()個基(A) 1；(B)n；(C)n!;(D)無窮多.5 設向量空間W=(a,2a,3a)|aR,則W的基為：()(A) (1,2,3,);(B)(a,a,a);(C)(a,2a3a);(D)(1,0,0),(0,2,0),(0,0,3)三 (15分)2 2371 10X=1求X1 214四 （15分）把二此型f(,x2,x3)=x1x2+x1,

3、x3+x通過非退化線性替換化成平方和五 （15分）求由向量i生成的子空間與由向量i生成的子空間交的基和維數1)1(1,2,1,0)，2(1,1,1,1)2)1(2,1,0,1)，21,1,3,7)六（10分）求矩陣A=的特征值與特征向量七證明題（15分）1設A為n階矩陣，A3=2E,證明B=A2-2A+2E可逆，并求B12 設A,B都是n元正定矩陣，試證：A+B也是正定矩陣。3設U是n維向量空間V的非平凡子空間,證明：存在不止一個V的高等代數（下）試題（9）一填空題（每小題三分共15分）1 若A=a,貝UAA=.12342 A=1245，則秩A=。1 10123 t滿足寸二次型x2+4x；+x

4、；+2tx1x2+10x1x3+6x2x3為正定二次型。4 形如A=0a的矩陣（aF）作為M2（F）的子空間，a0其維數為。5設n階矩陣A滿足A=A，則A的特征根只有.二單項選擇題（每小題三分共15分）的1 A,B為n階矩陣，則下列式子成立的是（）（A）AB=A+B（B）（A+B）1=A1+B1（CAB=BA（D若AB=B+E貝U有BA=B+E2 A,B,C為n階矩陣，AB=BC=CA=EUA2+B2+C2=（）(A)3E(B)2E(C)E(D)0矩陣3設1,2,.S與1,2,.m均為向量空間V中向量，L(1,2,.n)=L(1,2,.S)，則下列結論成立的是()(A)S=m;(B)1,2,.

5、S可由1,2,.m線性表出；（C）1,2，S是L（1,2,.m）的一個基（D）1,2,.S線性相關時，必有1,2,.m也相關+4設W1，W2都是V的子空間，則下列結論成立的是（）(A) W1+(WW2)=W(B) W1+(WW2)=W+W2(C) W1+(WW2)=W1(D)W1+(WW2)=W25設A=5151，則A的特征根為（A）1（二重）?（B）5（二重）(C)-4，6?（D）1，5三（15分）122已知A=212,求AA,B為n階方陣，ABA=B1,證明秩（E-AB）+秩（E+AB=n.及(A*)1221四（15分）把二此型f(x1,x2,x3)=x12證明：若A為正定階矩陣，則A1也

6、為正定階矩陣。3設V1與V2是V的互不相同的非平凡子空間，且V=V1+V2，證明：存在+2x22+4x23+2x1x2+4x2x3通過非退化線性替換化成平方和五（15分）在PV的非平凡子空間WVi,1=1,2,使得V=WW中，求由向量i（I=1,2,3,4）生成的子空間的基與維數1=（2，0，1，2）2=（-1，1，0，3）3=(0，2，1，8）4=（5，-1，2，1）六(10分)求矩陣310A=410的特征值與特征向量482七證明題（15分）高等代數（下）試題（8）一填空題（每小題三分共15分）1 A二,B為秩等于2三階矩陣，則秩AB=。a?2a2a?2A=b1b2,B=b1b2,A=2,則

7、2AB2223 實二次型f(x,x2,x3)=x1x2+4x1x3-62x3,x2,x3)=x1+2x1x2-2x2-x3的秩為;符號差為4 是向量空設間V中的一個向量，貝U的負向量由唯一確定。5齊次線性方程組（EA）x=o的R是A的征向量。二單項選擇題（每小題三分共15分）1 A,B,C都是n階矩陣，且ABC=I,則（）成立（A）CBA=I（B）BAC=I（C）ACB=I（D）BCA=I2 A,B為n階對稱矩陣，下列命題不正確的為（）（A）A+B對稱；（B）AB對稱；（C）Am+Bm對稱；（D）AB+BA寸稱。3 設向量空間V中含有r個向量，則下列結論成立的是（）(A)r=1；(B)r=2；

8、(C)r=m（有限數）；(D)r=1或4數域F上n維向量空間V有()個基(A)1；(B)n；(C)n!(D)無窮多1 55設A=51，則A的特征根為（）（A）1（二重）；（B）5（二重）；（C）-4，6；（D）1,5三 （15分）解矩陣方程XA=B+2X其中5 102 31340A=216B=012四（15分）f(x把二此型通過非退化線性替換化成平方和。五(15分)求由向量i生成的子空間與由向量i生成的子空間交的基和維數1(3,1,2,1)，2(0,1,0,2)1(1,0,1,3)，2(2,3,1,6)六 (10分)求矩陣4100130A=證明：如果V=V>V2，V1=V11V12，則V

9、=V11VV2.61的特征值與特征向量七 證明題(15分)1設A為n階矩陣，A0,且A=0,B為n階可逆矩陣，證明當AX=XB時，必有B=02設A實對稱矩陣，證明：當t充分大后，tE+A是正定矩陣。高等代數（下）試題a21A=b1b22a2a2B=b1b2A=2,則2A021211130-A2,B為秩等于2的三階矩陣，則秩AB=。23 二次型f(xi,x2,x3)=xi+2xix2+2x2x3則f的秩為。正慣性指標為o2224 t滿足寸二次型2x1+x2+5x3+2tx1x2-2x1x3+4x2x3為正定二次型。1aa.aa1a.a5Ann=aaa.1特征值為二單項選擇題(每小題三分共15分)

10、的2221 A,B,C為n階矩陣，AB=BC=CA=EMA+B+C=()(A) 3E(B)2E(C)E(D)O矩陣2設A為n階矩陣，A*是A的伴隨矩陣，則一定有()11(A) (A*)1=AA(B)A1=AA*1*A*1AA1*(C)AA=AA=AI(D)(A)=鬥A3設W，W2都是V的子空間，則不一定V的子空間的是（）(A)(1,2,3,)(B) (a,a,a)；(C)(a,2a3a)(D) (1,0,0),(0,2,0),(0,0,3)04設0是矩陣A的特征根，并且有A0，則01是的特征根(A)-A(B)/*A(C)A(D)A(A)WW(B)W1W2(C)W1+W(D)W1+Va5設向量空

11、間W=(a,2a,3a)(R,則w的基為:三（15分）1a12aa11n.n1n2.1A=aaa求A四（15分）把二此型22f（x1,x2,x3）=x1-3x2-2X1x2+2x1x3-6x2X3通過非退化線性替換化成平方和。五（15分）求由向量i生成的子空間與由向量i生成的子空間交的基和維數1(2,5,1,5)2(1,2,2,3)1(1,2,1,2)2(3,1,1,1)J3(1,01,1)六（10分）求矩遼陣210121A=012的特征值與特征向量七證明題(15'分)1設A,B為n階矩陣，A2=B2=1且A+B=0，證明（A+B不可逆。2為mn階實矩陣，B=E+A/A,證明：當0時，

12、B為正定階矩陣3 A為n階實反對稱矩陣，即A/=-A，證明：若是矩陣A的特征根，0則-也是矩陣A的特征根高等代數(下)試題填空題(每小題三分共15分)1 A為n階矩陣，A*是A的伴隨矩陣，貝UAA*=。4523412201111-A22223 實二次型f(x1,x2,x3)=x1+2X1X2-2x2-x3的秩為;符號差為4 數域F上任意n維向量空間V都可表為一維子空間的直和25 設n階矩陣A滿足A=A，則A的特征根只有。二單項選擇題(每小題三分共15分)1設A是3矩陣,則2A等于()(A)-2A(B)2A(C)-8A(D8A2 A,B，C都是n階矩陣，且ABC=I,則()成立(A)CBA=I(

13、B)BAC=I(C)ACB=I(D)BCA=I3 設1,2,.S與1,2,.m均為向量空間V中向量，L(1,2,.n)=L(1,2,.S)，則下列結論成立的是()(A)S=m;(B)仆2S可由2m線性表出;(C)1,2,.S是L(1,2,.m)的一個基(D)1,2,.S線性相關時，必有1,廠m也相關4設向量空間W=(a,2a,3a)aR,則W的基為:(A)(1,2,3,)(C)(a,2a3a)(B) (a,a,a)；(D)(1,0,0),(0,2,0),(0,0,3)0003001322001OOO-A設5則A的特征根是(A)1(四重);(B)1(二重)，2(二重)(C) 2(二重)，3(二重

14、);(D)1(二重)，2,3三(15分)*1設A是A的伴隨矩陣，X滿足AX=A+2X,求矩陣X,其中A=1111111四 （15分）把二此型f（,x2,x3）=2x1x2+2x1,x3-6x2x3通過非退化線性替換化成平方和。五 （10分）在P4中，求由向量i（I=1,2,3,4）生成的子空間的基與維數1 （2,1,3,1），2（1,2,0,1）3(1,1,3,0)，4(1,1,1,1)六(15分）求矩陣122311A=221的特征值與特征向量七證明題（15分）1設A為n階反對稱矩陣，（即AT=-A）,E-A,E+A皆可逆,2 如果A1-Am是n階正定矩陣，k1-km是正數,證明：kiAi+k

15、mAm也是正定矩陣。3 證明：每一個n維向量空間V都可表為n個一維子空間的直和高等代數（下）試題一填空題（每小題三分共15分）EnO1 A=EnEn,En為門階單位矩陣，則A1=。21 *2 A為n階矩陣，A=，則（3A）A=。3正定二次型的特征根都是。4設1,2,n線性無關，w=L（1,2,.n），則W的維數為5 齊次線性方程組（EA）x=0的R是A的特征向量。二單項選擇題（每小題三分共15分）1設A是mn矩陣,B是nm矩陣,則（）（A）當m>n時，必有行列式AB0（B）當m>n時，必有行列式AB=0（C）當n>m時，必有行列式AB0（D）當n>m時，必有行列式AB=

16、02 A,B為3階矩陣，A=（,22,33）B=（,2,3）,，2，3三維列向量，A=18,B=2,AB=（）3設向量空間V中含有r個向量，則下列結論成立的是（）（A）r=1；（B）r=2；（C）r=m（有限數）；（D）r=1或4設仆|21S與1121m均為向量空間V中向量，L(1121.n=L(11“.S），則下列結論成立的是（）(A)S=m;(B)1121.S可由1121.m線性表出；(C)1121S是L(112,.m）的一個基(D)112,.S線性相關時，必有112,.m也相關5設向量空間W=（a,2a,3a）aR,則W的基為:(B)(a,a,a)；(D)(1,0,0),(0,2,0),

17、(0,0,3)（A）（1,2,3,）（C）（a,2a3a）三（15分）解矩陣方程XA=B+2X其中5 102 31340A=2=(0,2,1,8)6B=0=(2,0，1,2)2四(15分)把二此型f(x1,x2,x3)=x2 221 +2x2+4x3+2x1x2+4x2x3通過非退化線性替換化成平方和五（15分）在P4中，求由向量i（1=1,2,3,4）生成的子空間的基與維數2=(-1,1,0,3)4=(5,-1,2,1)的特征值與特征向量七證明題（15分）1設A為n階反對稱矩陣,(即at=-a),E-A,E+A皆可逆,2 設A，B都是n元正定矩陣，試證：A+B也是正定矩陣。3 設U是n維向量

18、空間V的非平凡子空間，證明：存在不止一個V的子空間W使得v=uw高等代數（下）試題（4）一填空題（每小題三分共15分）11 若A=A，貝uA=.2設A為n階矩陣，秩A=n-1,B非零，n階矩陣，AB=O,則秩B=。2223 t滿足寸二次型x1+4x2+x3+2tx1x2+10x1x3+6x2x3為正定二次型。0a4 形如A=a0的矩陣（aF）作為M2（F）的子空間，其維數為<5 數量矩陣A=aE的特征根為。二單項選擇題（每小題三分共15分）的1A1B為Jn階矩陣，則下列式子成立的是()AB|A|B(E)=1+11(F)(A+B)1A1f1=A+B(GAB=BA(H若AB=B+E貝U有BA

19、=B+E2222 A,B，C為n階矩陣，AB=BC=CA=EUA+B+C=()(A)3E(B)2E(C)E(D)O矩陣3設11S與11廠m均為向量空間V中向量，L(112,-n)=L(1121S)，則下列結論成立的是()(A) S=m;(B)1121S可由1121m線性表出；(C) 1121S是L(1121m)的一個基(D) 1121S線性相關時，必有1121m也相關+4設W，W2都是V的子空間，則下列結論成立的是()(A)W+(WW2)=WW2(B) W1+(WW2)=W+W(C) W+(WW2)=W(D)W1+(WW2)=W25設A=，則A的特征根為（A）1（二重）；（B）5（二重）（C）

20、-4，6；（D）1，5三（15分）1a12aa1n.n1n2A=aaa.1求A1四（15分）把二此型22f(x1,x2,x3)=x1-3x2-2x1x2+2x1x3-6x2x3通過非退化線性替換化成平方和。五(15分)求由向量i生成的子空間與由向量i生成的子空間交的基和維數1)1(1,2,1,0)，2(1,1,1,1)2 )1(2,1,0,1)，2(1,1,3,7)六 (10分)求矩陣1231的特征值與特征向量A=22七 證明題（15分）3 211設A為n階矩陣，A=2E,證明B=A-2A+2E可逆，并求B2設A是實對稱矩陣，證明：當t充分大后，tE+A是正定矩陣3設V1與V2是V的互不相同的

21、非平凡子空間，且V=Vi+V2，證明：存在V的非平凡子空間WVi，1=1,2,使得V=WW2高等代數(下)試題一填空題(每小題三分共15分)1221設A為n階矩陣，A=2(B+E),且A=A，則B=。a22a2a22 A=blb2,B=blb2,A=2,則2AB=。223 二次型f(x1,x2,x3)=x1-2x1x2+x2+3x1x3的矩陣是4 是向量空設間V中的一個向量，貝U的負向量由唯一確定。5 設是F4的兩個線性變換,=(x1,x2,x3,x4),()=(0,x1,x2,x3)貝卩2()=。二單項選擇題(每小題三分共15分)2221 A,B,C為n階矩陣，AB=BC=CA=EMA+B+

22、C=()(A)3E(B)2E(C)E(D)O矩陣2 A,B為n階對稱矩陣，下列命題不正確的為()(A)A+B對稱；(B)AB對稱；(C)Am+Bm對稱；(D)AB+BA寸稱。3 復數域C對于數的乘法與加法可以構成()上的向量空間(A)復數域C;(B)實數域C;(C)有理數域Q;(D)任意數域F4 數域F上n維向量空間V有()個基(A)1;(B)n；(C)n!;(D)無窮多5數域F上n維向量空間的維數為r,11nV,且任意V中向量可由112,.n線性表出,則下列結論成立的是(D)r>n(C)(15分)2 31 021四(15分)把二此型f(x1,x2,x證明：每一個n維向量空間V都可表為n

23、個一維子空間的直和)=x1x2+x1x3+x2x3通過非退化線性替換化成平方和。五(15分)求由向量i生成的子空間與由向量i生成的子空間交的基和維數1(3,1,2,1)，2(0,1,0,2)1(1,0,1,3)，2(2,3,1,6)六(10分)求矩陣210121A=012的特征值與特征向量七證明題(15分)1設A為n階矩陣，A0,且Am=0,B為n階可逆矩陣,證明當AX=XB時，必有B=012 設A,B都是n元正定矩陣，試證：A也是正定矩陣。高等代數(下)試題一填空題(每小題三分共15分)1221 設A為n階矩陣，A=2(B+I),且A=A,貝UB=。2A=°11,B為秩等于2的三階

24、矩陣，則秩AB=。23 二次型f(x1,x2,x3)=x1+2x1x2+2x2x3則f的秩為<正慣性指標為。3011t34A=124的一個特征值為2,則t=1aaaa1aa5Ann=aaa.1特征值為二單項選擇題(每小題三分共15分)的1設A,B分別是mn,np矩陣，則§A是()(A)mp矩陣(B)pm矩陣(C)nn矩陣(D)nm矩陣2設A為n階矩陣，A*是A的伴隨矩陣，則一定有()1*A1IA*(A)AA=AA=AI(B)A=IAA11(C)(A-)1=Aa(D)(A*)1=AA1-3 W1,W2都是線性空間V的子空間，則下列關系式不一定成立的是()(A)W1W2W1,W1W

25、2W2(B)W1W1+W2,W2w+w(C)W1+WWW2,(D)W1ww+w04設特征根0是矩陣A的特征根，并且有A°01則是()1(A)-A(B)A*(C)A(D)A5 B為mn矩陣，則方程組BX=O只有零解是B，B=O為正定矩陣的()(A)充分條件(C)充分必要條件(B)必要條件(D非充分條件也非必要條件三(15分)*4設A是A的伴隨矩陣，X滿足AX=A+2X,求矩陣X,其中A=1四(15分把二此型f(x1,x2,x3)=x1x2+4x1x3-62x3通過非退化線性替換化成平方和。五(15分求由向量i生成的子空間與由向量i生成的子空間交的基和維數1(2,5,1,5)2(1,2,

26、2,3)1(1,2,1,2)2(3,1,1,1)3(1,01,1)六(10分)求矩陣4 100130A=361的特征值與特征向量七證明題(15分)1設A,B為n階矩陣，A2=B2=I,且A+B=0,證明(A+B不可逆。2 設A為mn階實矩陣，B=E+A/A，證明：當0時，B為正定矩陣。/03 A為n階實反對稱矩陣，即A=-A，證明：若是矩陣A的特征根,0則-也是矩陣A的特征根高等代數(下)試題一填空題(每小題三分共15分)1設A是一個n階方陣，且Am=0,則(E-A)(E+A+Am1)=2設A為n階矩陣，且秩A=r,P,Q為n階可逆矩陣，則秩(AQ=秩(APQ=3 二次型f(x1,x2,x3)

27、=-6x1x2的矩陣是4 設W1,W2是有限維線性空間V的子空間，W,W2,W1W2W+W2之間的維數公式為。5設。是矩陣A的一個特征根，且A0,則J是的一個特征根。二單項選擇題(每小題三分共15分1設A，B,C均為n階矩陣，則下列論斷正確的有()若AB=BA則(A) 若AB=AC貝UB=C(B) A(B+C=(B+CAmnmn(C) AA=A22(D) (A+B(A-B)=A-B2設A，B，C均為n階矩陣，且秩A=ftB,貝U()(A) AB的秩與AC的秩不一定相等。(B) AB的秩與AC的秩一定相等。(C) AB的秩與AC的秩一定不相等。(D) AB的秩一定不超過C的秩。3設W，W2都是V

28、的子空間，則不一定V的子空間的是()(A)WW(B)W1W2(C)W*W(D)W1+V4 設w=(a，0,0)aFW2=(0，b,c)b,cF、w3=(a，b，0)a，bF則下列結論不成立的是()3(A)dimW+W=F(B)W2+w是直和(C)W+W+W"=F(D)W1+W2是直和4設是向量空間V的一個線性變換，則下列結論成立的是()(A) 一定有特征根，從而有特征向量。(B) 有特征根，但無有特征向量。(C) 若有特征根，則一定有特征向量。D)不一定有特征根，但一定有特征向量15分)1221已知A=1*,求A及(A)四(15分)把二次型f(x1,x2,x3)=2x1x2+2x1,

29、x3-6x2x3通過非退化線性替換化成平方和。五(10分)在P4中，求由向量i(I=1,2,3,4)生成的子空間的基與維數1(2,1,3,1)，2(1,2,0,1)3 (1,1,3,0)，4(1,1,1,1)六(15分)A=求矩陣511602311的特征值與特征向量七證明題(15分)11設A,B為n階矩陣，且ABA=B，證明秩(E-AB)+秩(E+AB)=n2 如果A1-Am是n階正定矩陣，k1-km是正數,證明：kiAi+kmAm也是正定矩陣。3 證明：如果V=VV2,V>=WV12，則V=ViiV12V2.高等代數（下）答案1,E2,r3,5A14,dimW1+dimW2=dim(W

30、1+W2)+dim(W1w2)122三（15分）已知A=212221122100解：（A日212010221001121009922010992210019991122A1:12A92211,C2,A3,A4,B5,C四(15分)求A1.2*及(A)112210003621040092214分1122=27(A*)1：12A27213-6x2x3把二次型f（x1,x2,x3)=2x1x2+2x1,x通過非退化線性替換化成平方和。解：二次型f（x1,x2,x3）的矩陣011212103103A=130230100100010110001001X1w1w2W3X2w1w22分X3W3五（10分）2

31、分在P4中，求由向量i（|=1,2,3,4生成的子空間的基與維數。20100220201112010001f(X21,x2,x3)=2w1-2w2-6w；200020006八6分1111100011(2,131),2(1,2,0,1)3 (113,0),4(1,1,1,1)211122112010解:30313011111001000000003110201，3，4是L(1，23維數為3六（15分）求矩陣511A=602311511解：62=（i3111100分431203分4）的一組基3分的特征值與特征向量3=06分矩陣的特征值與特征向量1=2=3=233x1x2x30解方程組6x12x22

32、x303分3x1x2x30A的特征向量為k1(1,3,0)+k2(0,1,1)七證明題(15分)1設A,B為n階矩陣，且ABA=B1，證明秩(E-AB)+秩(E+AB)=n證明：因為ABA=B1，所以ABAB=E(E-AB)(E+AB)=0秩(E-AB)+秩(E+AB)=n秩(E-AB)+秩(E+AB)秩(E-AB+E+AB)=n2所以，秩(E-AB)+秩(E+AB)=n1分2如果A1-Am是n階正定矩陣，k1-km是正數，證明：k1A1+kmAm也是正定矩陣。證明：A1Am是n階正定矩陣，所以XA,X0XAmX021分X(k1A1+kmAm)X02所以，k1A1+kmAm也是正定矩陣。3證明

33、：如果VVV2,V1=V11V12，則v=V11V12V2.證明：顯然有V=V11V12+V2.設1112+2=0因為(1112)+2=0，V=V1V2所以1112=0，2=0有因為，V1=V11V12，所以11=12=0從而，V=V11V12V2.高等代數（下）答案(2)一I2,23,324,65，1=1-(n-1)a,2=n=1-a二1B，2，A3C4，D5，C三（15分）設A*是A的伴隨矩陣，X滿足A*X=A1+2X，求矩陣X，其中111111A111A=10111101解：A=:20114分1011110*A=20113分1*1分X=A（A-2E)3111X=405分四（15分）把二此

34、型f（x1,x2,x3）=x1x2+4x1x3-62x3通過非退化線性替換化成平方和。10221032230100010解A=0013分002244P=f(x1,x121202,X100110,X=PY,123)=y2-4Y22+24y3五（15分）求由向量，生成的子空間與由向量i生成的子空間交的基和維數1(2,5,1,5)2(1,2,2,3)1(1,2,1,2)2(3,1,1,1)3(51,01,1)解:=X11+X22=-y11-y22-y334分解方組組的秩為46分所以dim(W1W2)=1，2分（53，119，-19，-134）是WW2的一組基。3分六（10分）A=O陣136矩求413

35、的特征值與特征向量解:2)=03分4 1001303 61矩陣的特征值與特征向量1=2=1,3=-20解方程組X13x110x22x26x22x110x20x-!5x203為6x23x30得A的征向量為k1(-2,1,0)T+k2(0,0,1)七證明題（15分）2設A,B為n階矩陣,2A=B=1且A+B=0,證明(A+B)不可逆。證明:AEEB=ABBAAB=AB（IA+IB所以（A+B=0，（A+B不可逆。2=0所以2設A為mn階實矩陣，B=證明：XBX=X（/E+AA)XEX0XA/AX=-1，XBX=X(E+A/A)X所以，當0時,3A為n階實反對稱矩陣,證明:EA=(-1)/E+AA,

36、證明:B為正定矩陣即A/=-A，證明:A)/0時，B為正定矩陣0是矩陣0A的特征根，則-也是矩陣A的特征根0若是矩陣A的特征根，則也是矩陣A的特征根0高等代數（下）答案3-20O(0,0,xi,X2)1,E2,123,1,B,2,A3,A,4,B,5,A三（15分）223711011214X=求X223100110010心121001解：（AE）2分1100100431200111014分1003130103230013244分3133231324A=71114X=A=四（15分）把二此型f（X1,X2,X3）=X1X2+X1X3+x2X3通過非退化線性替換化成平方和。X1y1yX1y1y解：

37、令X3y33分f(X1,X2,X3)=222(y1y3)2-y2-y34分4分非退化線性替換為X1Z1Z2Z3X1Z1Z2Z3X3Z34f(x1,x2,x3)=z21-z2-Z3五（15分）求由向量生成的子空間與由向量i生成的子空間交的基和維數i(3,1,2,1)2(0,1,0,2)1(1,0,1,3)2(2,3,1,6)解：=x11+x22=-y11-y224解方組組的秩為34所以dim(W1W2)=1，21+2=122W1W2，31+2是WW2的一組基。2分分分分分六（10分）求矩陣210121A=012210121解：012=（2）（22)的特征值與特征向量2+2)=05分矩陣的特征值設

38、A為n階矩陣，A0,且=0，B為n階可逆矩陣,=2，2=2+-2，3=2-2，3解方程組得特征向量為1=(1，0,-1)，2=(1,-5/2，1)3=（1，2，1）5分A的特征向量為k11+k22+k332分七證明題（15分）AmX=XBm=0B可逆，所以必有X=02設A是n元正定矩陣，試證：證明：A可逆，存在可逆矩陣C使得TA=CC3分2分1A1也是正定矩陣。2分11T1=C1（CT）(C1)T)T(CT)證明證明：當AX=XB時，必有X=0AX=XB1所以，A1也是正定矩陣。證明：每一個n維向量空間V都可表為n個一維子空間的直和證明：設V為n維向量空間，而1,2，n為它的一組基，貝UL(i

39、)都是V的一維子空間，且L(1)+L(2)+.L(n)=L(1,2，n)=V2分而1,2，n為它的一組基，所以零向量的表示方法唯一2分故以上的和為直和所以，每一個n維向量空間V都可表為n個一維子空間的直和高等代數(下)答案12,22,3-5t04,15,a二1D,2,A3,三（15分）1a12aa1n.n1n2aaaA解：A=11a1a1A=四(15分)把二此型22f(x1,x2,x3)=x1-3x2-2x1x2+2x1x3-6x2x3通過非退化線性替換化成平方和。解：二次型f(x1,x2,x3)的矩陣111101133022130120100110010010A=00100110002000

40、3110011001222f(x1,x2,x3)=w1+2w2-3w3X1ww2X2w2W3X3W3五（15分）求由向量生成的子空間與由向量i生成的子空間交的基和維數1) i(1,2,1,0),2(1,1,1,1)2) 1(2,1,0,1),2(1,137)解：=X11+X22=-y11-y22所以dim(W1W2)=1，矩陣的特征值與特征向量1=2=1,3=-3解方組組的秩為3(5,-2，-3，-4)是WW2的一組基3分1+2=122W1W2，3分1+2是WW2的一組基。2分六（10分）122311求矩陣A=221的特征值與特征向量122311解：221=（3)3=03分分2x12x22x3

41、03%2x2X30解方程組，2x12x22x303A的特征向量為k(1,-2,1)2七證明題(15分)321設A為n階矩陣，A=2E,證明B=A-2A+2E可逆，并求B證明：B=A(A+2E)(A-E)A2A1=22分312A-E=E,(A-E)=A+A+E13A+8E=10E,(A+2日1=10(A2-2A+4E)2分1A2B12=10(A+A+E)2(A-2A+4E)21分2設A是實對稱矩陣,證明：當t充分大后，tE+A是正定矩陣。證明：A是實對稱矩陣，tE+A是實對稱矩陣,令f1(t),f2(t),，為tE+A的順序主子式,它們都是首項系數為1的多項式當t充分大后，f1(t),f2(t),-fn(t)0所以，當t充分大后，tE+A是正定矩陣。3設V1與V2是V的互不相同的非平凡子空間，且V=V1+V2，證明：存在V的非平凡子空間WVi,1=1,2,使得V=WW。證明：設V的一組基為1,2，nL(1,2,n)=V則L(i)都是V的一維子空間，2V=V1+V2W=L(1,2，r)V1,w2=L(r,r1，n)