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文檔簡介

1、往屆高等數(shù)學期終考題匯編2009-01-122一解答下列各題(6*10分):11.求極限limxln(1ex).2.設y=xjx2+a2+a2Inlx+Jx2+a2J,求dy.2 23.設丿x=2tt,求l_y.3 2y=3t-13dx4.判定級數(shù)'e二衛(wèi),_o的斂散性.n1n5.求反常積分OarCSin'xdx.JxQX)6.求ixarctanxdx.7.0,sinx-sin3xdx.兒x今8.將f(x)=<兀2在0,2<xS間.!-二,二I上展為以2二為周期的付里葉級數(shù),并指出收斂于fx的區(qū)9. 求微分方程ydx亠(x2-4x)dy=0的解.10. 求曲線xy=

2、1與直線x=1,x=2,y=0所圍平面圖形繞y軸旋轉一周所得旋轉體的體積二.(8分)將fxln4x-5展開為x-2的幕級數(shù),并指出其收斂域.二.(9分)在曲線y=sinx20_x一1上取點Aa,sina2,0_a_1,過點A作平行于ox軸的直線L,由直線L,oy軸及曲線y=sinx20=x=a所圍成的圖形記為0,由直線L,直線x=1及曲線y二sinx2ax"1所圍成的圖形面積記為S2,問a為何值時,SS1S2取得最小值.四.(9分)冷卻定律指出,物體在空氣中冷卻的速度與物體和空氣溫度之差成正比,已知空氣溫度為30C時,物體由100C經(jīng)15分鐘冷卻至70C,問該物體冷卻至40C需要多少

3、時間?五.(8分)(學習工科數(shù)學分析的做(1),其余的做(2)(1)證明級數(shù)7x2e*x在0,:)上一致收斂n=0(2)求幕級數(shù)(T):2一1x2n的收斂域及和函數(shù).n2n六.(6分)設fxpc2a,b試證存在-a,bl,使:fxdx=b-afg丄b-a3fV.2丿242008.1.15x4解答下列各題(6*10分):1.計算極限limxx2.0sinx2x2.設y=e-xlog2xarctan,求dy.5c+門求d2y0Ct£,求2丿3.設丿x=lncost,y=sint-tcost;dx2:?n4. 判定級數(shù)a亂的斂散性n呂n2:lnx5. 計算反常積分葺dx.1x6. 計算不定

4、積分2xsipxdx.'cosx1dx7. 計算定積分竺石.右(1+ex21,0蘭x1ri8. 求函數(shù)f(x)=在02上展成以4為周期的正弦級數(shù).2,1£X£29. 求微分方程1ydxxy2y3d=0的通解.2210. 求由曲線y=x7及y=3x5所圍成的圖形繞ox軸旋轉一周而成的旋轉體的體積.二. (9分)證明:當x一0時,有(1+xfbln(1+x)1】十14xarctanx2ln(1+x2).三. (9分)設拋物線y二ax2bxa:0通過點M1,3,為了使此拋物線與直線y=2x所圍成的平面圖形的面積最小,試確定a和b的值.四. (8分)設一車間空間容積為100

5、00立方米,空氣中含有0.12%的二氧化碳(以容積計算),現(xiàn)將含二氧化碳0.04%的新鮮空氣以1000立方米每分鐘的流量輸入該車間,同時按1000立方米的流量抽出混合氣體,問輸入新鮮空氣10分鐘后,車間內(nèi)二氧化碳的濃度降到多少?°°+1五. (8分)求幕級數(shù)7xn的收斂域及其和函數(shù).n2nn!六. (6分)設函數(shù)fx在x=0的鄰域內(nèi)有連續(xù)的一階導數(shù),且lim二aa0,證明:7_1nJf-條件收斂n4n2007年1月一.計算下列各題(6*10分):x1計算極限lime旦17x-arctanx2.設y=arcsin、1-x2,求dy.t丄2edu.x=3.設丿eysint-y1

6、求dy=0.dxx=0n4.判定級數(shù)一心4+3的斂散性5.計算反常積分6設lnx1x2為fx的原函數(shù),求.xxdx.1,7.將fX=b,JI0乞x;2展開成以2二為周期的傅立葉正弦級數(shù),并求此級數(shù)分別nr:x蟲黒.2亠35在x和x兩點的收斂值.228.將函數(shù)fx=lnx展開為x-2的幕級數(shù),并指出其收斂域79求微分方程x1y:2y"x11的通解.2210.求拋物線X=5y與x=1y所圍圖形的面積.(9分)若函數(shù)f(x)=«1t2edtcosx.a,x=°;在x=0點可導.求a和0.x=0.19三. (9分)在曲線y=e以x_0上求一點x0,e0,使得過該點的切線與

7、兩個坐標軸所圍平面圖形的面積最大,并求出此最大面積.四(8分)半徑為R的半球形水池充滿水,將水從池中抽出,當抽出的水所作的功為將水全部抽出所作的功的一半時,試問此時水面下降的深度H為多少?ooDO1五. (8分)求幕級數(shù)二nn1xn的和函數(shù)并求出級數(shù)二nnTn的和.ndnT2六. (6分)已知函數(shù)fx在0上可導,且f0=1并滿足等式1xxfxfxftdt=O,求fx并證明eEfxlx_0.x+102006年1月計算下列各題(6*10分):tanxsinx1.Iimx3“X、2.設y=arctantan,求dy.(2'(_xe,x21,3.設f(x)=«x:0n2,求fx-1d

8、x.x_04.判定級數(shù)-的斂散性.2nln丿5. 設y=yx由方程y=tanxy所確定,求y.U+ex26. 計算不定積分貢dx.'1+e7. 將f(x)=2+x,x乏L兀,?!空钩梢?兀為周期的傅立葉級數(shù)8. 將函數(shù)fx二二展成x-4的幕級數(shù),并指出收斂區(qū)間.x2+3x+29. 求微分方程xy"-3y二x4ex的通解.10. 設曲線y=ax2a0,x_0與y=1-x2交于點A,過坐標原點O和點A的直線與曲線y=ax2圍成一個平面圖形.問:當a為何值時,該圖形繞x軸旋轉一周所產(chǎn)生的旋轉體體積最大?.(8分)證明不等式:當x0時,x-遼1-,0:1.x221.(9分).設fxe

9、dt,求oxfxdx.四. (9分).一物體在某一介質中按x二ct3作直線運動,已知介質的阻力與物體速度的平方成正比,計算物體由x=0移動到x二a時克服阻力所作的功.近1五. (9分)求級數(shù)-的和.n/n+1Bn六. (5分).設fx0,xa,b1,證明:I2.丿(ba)afxdx上d.22005年1月15日一解答下列各題(6X10分)exsinxx(x+1)計算極限limxsinx設y=今Jx2+1+*ln(x+(x2+1),求dy.2”設f(x)=wx,x蘭x0在X。處可導,求常數(shù)a和b.ax+b,xax0«1fAn判定級數(shù)的斂散性.若收斂,是條件收斂還是絕對收斂?n經(jīng)3n設y二

10、yx由方程y=1-ln(xy)ey所確定,求y.x3A設f(x)連續(xù),且滿足f(tdt=X.求f(26)=?.求fx=2x3-3x2-12x1的極值.dx計算不定積分Jf2.xP4Tn2x計算定積分0arctanUxdx.2求由曲線y=x1,直線y=0,x=0,x=1所圍成的平面圖形繞y軸旋轉一周所產(chǎn)生的旋轉體的體積.*3(8分)試證明不等式x二x0,時,tanxx23“1(9分)將函數(shù)fx2展成x-3的幕級數(shù),并指出收斂區(qū)間.2x2+x3(9分)已知fx在x=12的鄰域內(nèi)可導,且limfx=0,limfx二?005xT211221.2.3.4.5.6.7.8.9.10.四.12f(ududt

11、求極限xlim123oO五. (8分)求幕級數(shù)an一xn的收斂域及和函數(shù)n=en!六. (6分)設fx在b,1上連續(xù),在0,1內(nèi)可導,且0x乞1,f0=0i213證明fxdx-f3xdx002004年1月、解下列各題b+2Xa/rilIVmoHX設y=xe»求不定積分求不定積分求定積分(sinx)2x,求yxarctanxdx1dxx(x21)exdx求由曲線1y=llnx|,x=-,x=e及x軸圍成的圖形的面積。e判定級數(shù)cOzn=1x8、將f(x)二03的斂散性edt展開為x的幕級數(shù),并求收斂域。古八的收斂域及和函數(shù)。cO求幕級數(shù)7-n£1610、曲線y=1x,(x0)

12、上哪一點的法線在y軸上的截距最小3二、證明:當時,sinx2x1三、設某產(chǎn)品的成本函數(shù)為C=aqbqc,需求函數(shù)為q(d-p),其中C為成本,q為e需求量(也是產(chǎn)量),p為單價,a,b,c,d,e都是正常數(shù),且db。求(1)利潤最大時的產(chǎn)量及最大利潤;(2)需求價格彈性;(3)需求價格彈性的絕對值小于1時的產(chǎn)量。上x軸旋轉一周,得一旋轉體,若把它在x=0與之間部分的體積記為V),1x試求limV()五、設f(x)為a,b上連續(xù),且f(x)0,求證:在(a,b)內(nèi)存在一點',在匕4bJf(x)dx=4Jfxd)xa5"2003年1月、解下列各題1-XmoHXxe設y二y(x)由

13、方程y二cos(xy)x確定,求y.1-asin2x-b設y=【2n判定級數(shù)v欝的斂散性n呂nx=t+2+sint設曲線方程為y=t+cOSt設f(x)在點X。處有f(X。)=fx0在x=0點連續(xù),試確定a,b的值x=0,求此曲線在x=2點處的切線方程(x°)=0,而(x)在x°點及其鄰域有定義且有界,試證明函數(shù)F(xHf(x)(x)在點X。處可導,并求F(x°)8、將f(x)二0計算不定積分0_x_2展開成周期為2二的付立葉正弦級數(shù)jix:22xxe,rdx1-2ex4一計算定積分(exdx10、求由y=lnx,y=0x=2所圍成的平面圖形繞y軸旋轉所成的立體的

14、體積二、證明:當0:x時,sinxtanx2x2A廠的.,5倍,水廠C設在離A廠多遠處才使三、A,B兩廠在直河岸的同側,A沿河岸,B離岸4公里,A與B相距5公里,今在河岸邊建一水廠C,從水廠C到B廠每公里水管材料費是兩廠所耗總的水管材料費最???QO四、試求幕級數(shù)v-n-xn的收斂域及和函數(shù)心2五、設f(x)為a,=)上單減連續(xù)函數(shù),有F(x)x1f(t)dt,證明當xa時,F(xiàn)(x)為X_aa單調減函數(shù)1六、設f(x)在0,1上連續(xù),在(0,1)內(nèi)可導,且°f(t)dt=0,證明:存在一點三(0,1),使得2f()f()=0x七、已知可導函數(shù)f(x)滿足f(x)cosx20f(t)si

15、ntdt=xT,求f(x)2002年1月、試解下列各題(每小題5分,共25分)1.求極限lim、n.n-2n1。n_)::2設f(X)二11+ex0嚴0,研究f(x)在點X二0處的左連續(xù)性與右連續(xù)性。-05計算定積分32-arctan(lnx),求y。4.求函數(shù)y=x-3x-9x14的單調區(qū)間。ln5xxe2e-1dx。-0二、解下列各題2設函數(shù)1(每小題5分,共25分)。1.求極限lim(sinx)lnx1;d2yy=y(x)由方程y=1+xey所確定,求一ydx3.求積分.3sinxcosx,2dx;1cosx4求極限liox=0x22sintdtJ0limx'.0t2(t-sin

16、t)dt5試判定級數(shù)7(-1)三、(7分)求積分四、(7分)將函數(shù)_n°呂的斂散性,(arccosx)2dx。Hf(x)=0若收斂,是絕對收斂還是條件收斂?JI|x|遼,展開成以2二為周期的傅里葉級數(shù),其中H為31|x|-二2常數(shù)。五、(7分)將函數(shù)2展開成X-1的幕級數(shù),并指出收斂區(qū)間。xx613兀(7分)試證明不等式sinxxx,其中0:x:62(8分)一容器由拋物線y=x2繞y軸旋轉而成,其容積為72二m3,其中盛滿水,水的比重為1,現(xiàn)將水從容器中抽出64二m3,問需作多少功?八、(8分)設水以勻速注入右圖所示的罐中,直至將將水罐注滿。f(x)二六、七、但應畫出曲線凹凸性1)

17、畫出水位高度隨時間變化的函數(shù)y=y(t)的圖形(不要求精確圖形,并表示出拐點)2) y=y(t)何處增長的最快,何處最慢?并估計這兩個增長率的比值。1試證存在一點匚三(0,1),使f)二九、(6分)設函數(shù)f(x)在0,1上連續(xù),在(0,1)內(nèi)可導,并且滿足f(1)_3otf(x)dx=0,f心寸。2000年1月、求解下列各題:(每小題6分,共60分)1.設y=x6(x31)3(x2)2,求y。2.求極限lim11I。ex-1x3將f(X)=丿1,|x|蘭1展開成以4為周期的傅里葉級數(shù)。0,兇X伍24.試求過點M0(-1,1)且與曲線2ex2cosy-1=0上點0,i的切線相垂直的直線方<

18、3丿程。21-cosx10.判別級數(shù)antan-的斂散性。2n5.設f(t)=limt、一,(xt丿7設D是由曲線y=1sinX與三條直線繞ox軸旋轉一周所得旋轉體積。2xt_tf0(e-e)dt&求極限lim。16將f(x)展開為X-1的幕級數(shù)。x(x+1)x=0,x=y=0所圍成的曲線梯形,求D9.求不定積分arctan'dx。'Jx(1+x)二、(8分)求不定積分2(xlnx)dx。三、(8分)求定積分x、2ax-x2dx。(a0)四、(8分)設f(x)g(x)_e=10g(0)-1°1)求f(x);2)討論f(x)在(五、(8分)試確定a的值,使曲線y

19、成圖形面積最小。(其中(a0)。x-0,其中g(x)有二階連續(xù)導數(shù)。且g(0)=1,x=0上的連續(xù)性。二a(1-x2)與該曲線在(-1,0)及(1,0)兩點處的法線所圍n二六、(8分)設an二0x|sinx|dx,(n=1,2,)求極限lim魚電.冷嚴2222n)、填空題1.1叫(13x)2sinx3設4.設5.設二、選擇題A)2.X3.若A)4.設A)98年1月2.'x=f(t)_兀f(e3t-1)2x2=0(t+2t+3)dt,則limf(X)07ann=0的°,則dxy=x-2sinx在0,上的最小值為2t=0f(x)-f(X-:)cOXn在x-1條件收斂,則7an(x

20、-1)n的斂區(qū)為x;0時,無窮小n=0112sin2是()xx無窮大C)有界但不是無窮小2sinx,1的()間斷點1心|x|B)可去C)無窮D)振蕩變量B)D)無界但不是無窮大=0是f(X)A)跳躍f(x)是導函數(shù)是sinx,貝Uf(x)有一個原函數(shù)為1sinxB)(x2-1)2f(x)二|x-1|0不連續(xù)1-sinxC)1cosxX=1X=1B)連續(xù)但不可導5.設S(x)是f(X)=£31X2S(-3)等于()JiA)14三、設y=y(x)由)D)1-COSXD)可導且導數(shù)連續(xù)C)可導但導數(shù)不連續(xù)31<_2的以2為周期的傅里葉正弦級數(shù)的和函數(shù),則<31C)-(1)4d2

21、yxey二1所確定,求一ydx2B)1D)-1Ox=0四、計算JJJ°1-sinxdx。五、計算lnx_dx。L六、計算七、證明:當x1時,ln(x1)x。lnxx1八、討論十、求由十一、設t3(x1)Jx2匚2x"ann!、-(a0)的斂散性。nanx2y2乞2x與y_x所圍圖形繞直線x=2旋轉一周所得旋轉體的體積。f(x)在a,b上具有二階導數(shù),且f(a)=f(b)=0,f(a)f(b)0,證明:存在(a,b)和(a,b)使f()=0及f()=0。99年1月、填空題1.limexarctanx=x.設目二xln(x.1x2),則y二3.設y=y(x)由xsinyyex=

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