高數(shù)期末考試題

1、往屆高等數(shù)學(xué)期終考題匯編2009-01-122一解答下列各題（6*10分）:11.求極限limxln（1ex）.2.設(shè)y=xjx2+a2+a2Inlx+Jx2+a2J,求dy.2 23.設(shè)丿x=2tt，求l_y.3 2y=3t-13dx4.判定級(jí)數(shù)'e二衛(wèi)，_o的斂散性.n1n5.求反常積分OarCSin'xdx.JxQX)6.求ixarctanxdx.7.0,sinx-sin3xdx.兒x今8.將f(x)=<兀2在0,2<xS間.!-二，二I上展為以2二為周期的付里葉級(jí)數(shù)，并指出收斂于fx的區(qū)9. 求微分方程ydx亠（x2-4x）dy=0的解.10. 求曲線xy=

2、1與直線x=1,x=2,y=0所圍平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積二.（8分）將fxln4x-5展開為x-2的幕級(jí)數(shù),并指出其收斂域.二.（9分）在曲線y=sinx20_x一1上取點(diǎn)Aa,sina2,0_a_1,過點(diǎn)A作平行于ox軸的直線L,由直線L,oy軸及曲線y=sinx20=x=a所圍成的圖形記為0,由直線L,直線x=1及曲線y二sinx2ax"1所圍成的圖形面積記為S2，問a為何值時(shí)，SS1S2取得最小值.四.（9分）冷卻定律指出，物體在空氣中冷卻的速度與物體和空氣溫度之差成正比，已知空氣溫度為30C時(shí)，物體由100C經(jīng)15分鐘冷卻至70C，問該物體冷卻至40C需要多少

3、時(shí)間？五.（8分）（學(xué)習(xí)工科數(shù)學(xué)分析的做（1）,其余的做（2）(1)證明級(jí)數(shù)7x2e*x在0,：）上一致收斂n=0（2）求幕級(jí)數(shù)（T）：2一1x2n的收斂域及和函數(shù).n2n六.（6分）設(shè)fxpc2a,b試證存在-a,bl,使：fxdx=b-afg丄b-a3fV.2丿242008.1.15x4解答下列各題（6*10分）:1.計(jì)算極限limxx2.0sinx2x2.設(shè)y=e-xlog2xarctan,求dy.5c+門求d2y0Ct£,求2丿3.設(shè)丿x=lncost,y=sint-tcost;dx2:?n4. 判定級(jí)數(shù)a亂的斂散性n呂n2：lnx5. 計(jì)算反常積分葺dx.1x6. 計(jì)算不定

4、積分2xsipxdx.'cosx1dx7. 計(jì)算定積分竺石.右（1+ex21,0蘭x1ri8. 求函數(shù)f（x）=在02上展成以4為周期的正弦級(jí)數(shù).2,1£X£29. 求微分方程1ydxxy2y3d=0的通解.2210. 求由曲線y=x7及y=3x5所圍成的圖形繞ox軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積.二. （9分）證明：當(dāng)x一0時(shí),有（1+xfbln（1+x）1】十14xarctanx2ln（1+x2）.三. （9分）設(shè)拋物線y二ax2bxa:0通過點(diǎn)M1,3,為了使此拋物線與直線y=2x所圍成的平面圖形的面積最小，試確定a和b的值.四. （8分）設(shè)一車間空間容積為100

5、00立方米,空氣中含有0.12%的二氧化碳（以容積計(jì)算）,現(xiàn)將含二氧化碳0.04%的新鮮空氣以1000立方米每分鐘的流量輸入該車間，同時(shí)按1000立方米的流量抽出混合氣體，問輸入新鮮空氣10分鐘后，車間內(nèi)二氧化碳的濃度降到多少？°°+1五. （8分）求幕級(jí)數(shù)7xn的收斂域及其和函數(shù).n2nn!六. （6分）設(shè)函數(shù)fx在x=0的鄰域內(nèi)有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，且lim二aa0,證明：7_1nJf-條件收斂n4n2007年1月一.計(jì)算下列各題(6*10分):x1計(jì)算極限lime旦17x-arctanx2.設(shè)y=arcsin、1-x2,求dy.t丄2edu.x=3.設(shè)丿eysint-y1

6、求dy=0.dxx=0n4.判定級(jí)數(shù)一心4+3的斂散性5.計(jì)算反常積分6設(shè)lnx1x2為fx的原函數(shù)，求.xxdx.1,7.將fX=b,JI0乞x;2展開成以2二為周期的傅立葉正弦級(jí)數(shù),并求此級(jí)數(shù)分別nr:x蟲黒.2亠35在x和x兩點(diǎn)的收斂值.228.將函數(shù)fx=lnx展開為x-2的幕級(jí)數(shù)，并指出其收斂域79求微分方程x1y：2y"x11的通解.2210.求拋物線X=5y與x=1y所圍圖形的面積.（9分）若函數(shù)f(x)=«1t2edtcosx.a,x=°；在x=0點(diǎn)可導(dǎo).求a和0.x=0.19三. （9分）在曲線y=e以x_0上求一點(diǎn)x0,e0，使得過該點(diǎn)的切線與

7、兩個(gè)坐標(biāo)軸所圍平面圖形的面積最大，并求出此最大面積.四（8分）半徑為R的半球形水池充滿水，將水從池中抽出，當(dāng)抽出的水所作的功為將水全部抽出所作的功的一半時(shí)，試問此時(shí)水面下降的深度H為多少？ooDO1五. （8分）求幕級(jí)數(shù)二nn1xn的和函數(shù)并求出級(jí)數(shù)二nnTn的和.ndnT2六. （6分）已知函數(shù)fx在0上可導(dǎo)，且f0=1并滿足等式1xxfxfxftdt=O,求fx并證明eEfxlx_0.x+102006年1月計(jì)算下列各題（6*10分）:tanxsinx1.Iimx3“X、2.設(shè)y=arctantan,求dy.(2'(_xe,x21,3.設(shè)f(x)=«x:0n2,求fx-1d

8、x.x_04.判定級(jí)數(shù)-的斂散性.2nln丿5. 設(shè)y=yx由方程y=tanxy所確定，求y.U+ex26. 計(jì)算不定積分貢dx.'1+e7. 將f（x）=2+x,x乏L兀，?！空钩梢?兀為周期的傅立葉級(jí)數(shù)8. 將函數(shù)fx二二展成x-4的幕級(jí)數(shù),并指出收斂區(qū)間.x2+3x+29. 求微分方程xy"-3y二x4ex的通解.10. 設(shè)曲線y=ax2a0,x_0與y=1-x2交于點(diǎn)A,過坐標(biāo)原點(diǎn)O和點(diǎn)A的直線與曲線y=ax2圍成一個(gè)平面圖形.問：當(dāng)a為何值時(shí)，該圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)體體積最大？.（8分）證明不等式：當(dāng)x0時(shí)，x-遼1-，0：1.x221.（9分）.設(shè)fxe

9、dt,求oxfxdx.四. （9分）.一物體在某一介質(zhì)中按x二ct3作直線運(yùn)動(dòng)，已知介質(zhì)的阻力與物體速度的平方成正比，計(jì)算物體由x=0移動(dòng)到x二a時(shí)克服阻力所作的功.近1五. （9分）求級(jí)數(shù)-的和.n/n+1Bn六. （5分）.設(shè)fx0,xa,b1,證明：I2.丿(ba)afxdx上d.22005年1月15日一解答下列各題(6X10分)exsinxx(x+1)計(jì)算極限limxsinx設(shè)y=今Jx2+1+*ln(x+(x2+1)，求dy.2”設(shè)f(x)=wx,x蘭x0在X。處可導(dǎo)，求常數(shù)a和b.ax+b,xax0«1fAn判定級(jí)數(shù)的斂散性.若收斂，是條件收斂還是絕對(duì)收斂？n經(jīng)3n設(shè)y二

10、yx由方程y=1-ln（xy）ey所確定，求y.x3A設(shè)f（x）連續(xù),且滿足f（tdt=X.求f（26）=?.求fx=2x3-3x2-12x1的極值.dx計(jì)算不定積分Jf2.xP4Tn2x計(jì)算定積分0arctanUxdx.2求由曲線y=x1,直線y=0,x=0,x=1所圍成的平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)體的體積.*3（8分）試證明不等式x二x0,時(shí)，tanxx23“1（9分）將函數(shù)fx2展成x-3的幕級(jí)數(shù)，并指出收斂區(qū)間.2x2+x3（9分）已知fx在x=12的鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且limfx=0,limfx二？005xT211221.2.3.4.5.6.7.8.9.10.四.12f(ududt

11、求極限xlim123oO五. （8分）求幕級(jí)數(shù)an一xn的收斂域及和函數(shù)n=en!六. （6分）設(shè)fx在b,1上連續(xù)，在0,1內(nèi)可導(dǎo)，且0x乞1,f0=0i213證明fxdx-f3xdx002004年1月、解下列各題b+2Xa/rilIVmoHX設(shè)y=xe»求不定積分求不定積分求定積分(sinx)2x，求yxarctanxdx1dxx(x21)exdx求由曲線1y=llnx|,x=-,x=e及x軸圍成的圖形的面積。e判定級(jí)數(shù)cOzn=1x8、將f(x)二03的斂散性edt展開為x的幕級(jí)數(shù)，并求收斂域。古八的收斂域及和函數(shù)。cO求幕級(jí)數(shù)7-n£1610、曲線y=1x,(x0)

12、上哪一點(diǎn)的法線在y軸上的截距最小3二、證明：當(dāng)時(shí)，sinx2x1三、設(shè)某產(chǎn)品的成本函數(shù)為C=aqbqc，需求函數(shù)為q(d-p)，其中C為成本，q為e需求量(也是產(chǎn)量)，p為單價(jià)，a,b,c,d,e都是正常數(shù)，且db。求(1)利潤最大時(shí)的產(chǎn)量及最大利潤；(2)需求價(jià)格彈性；(3)需求價(jià)格彈性的絕對(duì)值小于1時(shí)的產(chǎn)量。上x軸旋轉(zhuǎn)一周，得一旋轉(zhuǎn)體，若把它在x=0與之間部分的體積記為V)，1x試求limV()五、設(shè)f(x)為a,b上連續(xù)，且f(x)0,求證：在(a,b)內(nèi)存在一點(diǎn)'，在匕4bJf(x)dx=4Jfxd)xa5"2003年1月、解下列各題1-XmoHXxe設(shè)y二y(x)由

13、方程y二cos(xy)x確定，求y.1-asin2x-b設(shè)y=【2n判定級(jí)數(shù)v欝的斂散性n呂nx=t+2+sint設(shè)曲線方程為y=t+cOSt設(shè)f(x)在點(diǎn)X。處有f(X。)=fx0在x=0點(diǎn)連續(xù)，試確定a,b的值x=0，求此曲線在x=2點(diǎn)處的切線方程(x°)=0，而(x)在x°點(diǎn)及其鄰域有定義且有界，試證明函數(shù)F(xHf(x)(x)在點(diǎn)X。處可導(dǎo)，并求F(x°)8、將f(x)二0計(jì)算不定積分0_x_2展開成周期為2二的付立葉正弦級(jí)數(shù)jix:22xxe,rdx1-2ex4一計(jì)算定積分(exdx10、求由y=lnx,y=0x=2所圍成的平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)所成的立體的

14、體積二、證明：當(dāng)0：x時(shí)，sinxtanx2x2A廠的.,5倍，水廠C設(shè)在離A廠多遠(yuǎn)處才使三、A，B兩廠在直河岸的同側(cè)，A沿河岸，B離岸4公里，A與B相距5公里，今在河岸邊建一水廠C，從水廠C到B廠每公里水管材料費(fèi)是兩廠所耗總的水管材料費(fèi)最??？QO四、試求幕級(jí)數(shù)v-n-xn的收斂域及和函數(shù)心2五、設(shè)f(x)為a,=)上單減連續(xù)函數(shù)，有F(x)x1f(t)dt，證明當(dāng)xa時(shí)，F(xiàn)(x)為X_aa單調(diào)減函數(shù)1六、設(shè)f(x)在0,1上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且°f(t)dt=0，證明：存在一點(diǎn)三(0,1),使得2f()f()=0x七、已知可導(dǎo)函數(shù)f(x)滿足f(x)cosx20f(t)si

15、ntdt=xT，求f(x)2002年1月、試解下列各題(每小題5分，共25分)1.求極限lim、n.n-2n1。n_)：:2設(shè)f(X)二11+ex0嚴(yán)0，研究f(x)在點(diǎn)X二0處的左連續(xù)性與右連續(xù)性。-05計(jì)算定積分32-arctan(lnx)，求y。4.求函數(shù)y=x-3x-9x14的單調(diào)區(qū)間。ln5xxe2e-1dx。-0二、解下列各題2設(shè)函數(shù)1(每小題5分，共25分)。1.求極限lim(sinx)lnx1；d2yy=y(x)由方程y=1+xey所確定，求一ydx3.求積分.3sinxcosx,2dx;1cosx4求極限liox=0x22sintdtJ0limx'.0t2(t-sin

16、t)dt5試判定級(jí)數(shù)7(-1)三、(7分)求積分四、(7分)將函數(shù)_n°呂的斂散性,(arccosx)2dx。Hf(x)=0若收斂，是絕對(duì)收斂還是條件收斂?JI|x|遼，展開成以2二為周期的傅里葉級(jí)數(shù)，其中H為31|x|-二2常數(shù)。五、(7分)將函數(shù)2展開成X-1的幕級(jí)數(shù)，并指出收斂區(qū)間。xx613兀(7分)試證明不等式sinxxx，其中0：x：62(8分)一容器由拋物線y=x2繞y軸旋轉(zhuǎn)而成，其容積為72二m3，其中盛滿水，水的比重為1,現(xiàn)將水從容器中抽出64二m3，問需作多少功？八、(8分)設(shè)水以勻速注入右圖所示的罐中，直至將將水罐注滿。f(x)二六、七、但應(yīng)畫出曲線凹凸性1)

17、畫出水位高度隨時(shí)間變化的函數(shù)y=y(t)的圖形(不要求精確圖形,并表示出拐點(diǎn))2) y=y(t)何處增長的最快，何處最慢？并估計(jì)這兩個(gè)增長率的比值。1試證存在一點(diǎn)匚三(0,1)，使f)二九、(6分)設(shè)函數(shù)f(x)在0,1上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，并且滿足f(1)_3otf(x)dx=0,f心寸。2000年1月、求解下列各題：(每小題6分，共60分)1.設(shè)y=x6(x31)3(x2)2，求y。2.求極限lim11I。ex-1x3將f(X)=丿1,|x|蘭1展開成以4為周期的傅里葉級(jí)數(shù)。0,兇X伍24.試求過點(diǎn)M0(-1,1)且與曲線2ex2cosy-1=0上點(diǎn)0,i的切線相垂直的直線方<

18、3丿程。21-cosx10.判別級(jí)數(shù)antan-的斂散性。2n5.設(shè)f(t)=limt、一,(xt丿7設(shè)D是由曲線y=1sinX與三條直線繞ox軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體積。2xt_tf0(e-e)dt&求極限lim。16將f(x)展開為X-1的幕級(jí)數(shù)。x(x+1)x=0,x=y=0所圍成的曲線梯形，求D9.求不定積分arctan'dx。'Jx(1+x)二、(8分)求不定積分2(xlnx)dx。三、(8分)求定積分x、2ax-x2dx。(a0)四、(8分)設(shè)f(x)g(x)_e=10g(0)-1°1)求f(x)；2)討論f(x)在(五、(8分)試確定a的值，使曲線y

19、成圖形面積最小。(其中(a0)。x-0，其中g(shù)(x)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)。且g(0)=1,x=0上的連續(xù)性。二a(1-x2)與該曲線在(-1,0)及(1,0)兩點(diǎn)處的法線所圍n二六、(8分)設(shè)an二0x|sinx|dx,(n=1,2,)求極限lim魚電.冷嚴(yán)2222n)、填空題1.1叫(13x)2sinx3設(shè)4.設(shè)5.設(shè)二、選擇題A)2.X3.若A)4.設(shè)A)98年1月2.'x=f(t)_兀f(e3t-1)2x2=0(t+2t+3)dt，則limf（X）07ann=0的°,則dxy=x-2sinx在0,上的最小值為2t=0f(x)-f(X-：)cOXn在x-1條件收斂，則7an（x

20、-1）n的斂區(qū)為x；0時(shí),無窮小n=0112sin2是（）xx無窮大C）有界但不是無窮小2sinx,1的（）間斷點(diǎn)1心|x|B）可去C）無窮D）振蕩變量B)D）無界但不是無窮大=0是f(X)A）跳躍f（x）是導(dǎo)函數(shù)是sinx，貝Uf（x）有一個(gè)原函數(shù)為1sinxB）（x2-1）2f（x）二|x-1|0不連續(xù)1-sinxC)1cosxX=1X=1B）連續(xù)但不可導(dǎo)5.設(shè)S(x)是f(X)=£31X2S（-3）等于（）JiA)14三、設(shè)y=y（x）由)D)1-COSXD）可導(dǎo)且導(dǎo)數(shù)連續(xù)C）可導(dǎo)但導(dǎo)數(shù)不連續(xù)31<_2的以2為周期的傅里葉正弦級(jí)數(shù)的和函數(shù)，則<31C)-(1)4d2

21、yxey二1所確定，求一ydx2B)1D)-1Ox=0四、計(jì)算JJJ°1-sinxdx。五、計(jì)算lnx_dx。L六、計(jì)算七、證明：當(dāng)x1時(shí),ln(x1)x。lnxx1八、討論十、求由十一、設(shè)t3(x1)Jx2匚2x"ann!、-(a0)的斂散性。nanx2y2乞2x與y_x所圍圖形繞直線x=2旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積。f(x)在a,b上具有二階導(dǎo)數(shù)，且f(a)=f(b)=0,f(a)f(b)0,證明：存在(a,b)和(a,b)使f()=0及f()=0。99年1月、填空題1.limexarctanx=x.設(shè)目二xln(x.1x2)，則y二3.設(shè)y=y(x)由xsinyyex=