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文檔簡介
1、2020年高考文科數(shù)學概率與統(tǒng)計題型歸納與訓練【題型歸納】題型一古典概型例1從甲、乙等5名學生中隨機選出2人,則甲被選中的概率為().A. 1B.ZC.邑D.5525925【答案】B【解析】可設這5名學生分別是甲、乙、丙、丁、戊,從中隨機選出2人的方法有:(甲,乙),(甲,丙),(甲,?。?,(甲,戊),(乙,丙),(乙,?。ㄒ?,戊),(丙,?。?,(丙,戊),(丁,戊),共有種選法,其中只有前4種是甲被選中,所以所求概率為.故選B.例2將2本不同的數(shù)學書和1本語文書在書架上隨機排成一行,則2本數(shù)學書相鄰的概率為.【答案】-3【解析】根據(jù)題意顯然這是一個古典概型,其基本事件有:數(shù)1,數(shù)2,語;
2、數(shù)1,語,數(shù)2;數(shù)2,數(shù)1,語;數(shù)2,語,數(shù)1;語,數(shù)2,數(shù)1;語,數(shù)1,數(shù)2共有6種,其中2本數(shù)學書相鄰的有4種,則其概率為:p-.63【易錯點】列舉不全面或重復,就是不準確【思維點撥】直接列舉,找出符合要求的事件個數(shù)題型二幾何概型例1如圖所示,正方形ABCD內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖,正方形內(nèi)切圓.在正方形內(nèi)隨機取一點,則此點取自黑色部分的概率是().A.14B.n8C.12中的黑色部分和白色部分關于正方形的中心成中心對稱【答案】BD.【解析】不妨設正方形邊長為a,由圖形的對稱性可知,太極圖中黑白部分面積相等,即各占圓面積的一半.由幾何概型概率的計算公式得,所求概率為【易錯點】“有兩個負
3、根”這個條件不會轉化【思維點撥】“有兩個負根”轉化為函數(shù)圖像與x軸負半軸有兩個交點.從而得到參數(shù)p的范圍.在利用幾何概型的計算公式計算即可.題型三抽樣與樣本數(shù)據(jù)特征例1某工廠生產(chǎn)甲、乙、丙、丁四種不同型號的產(chǎn)品,產(chǎn)量分別為200,400,300,100件.為檢驗產(chǎn)品的質(zhì)量,現(xiàn)用分層抽樣的方法從以上所有的產(chǎn)品中抽取60件進行檢驗,則應從丙種型號的產(chǎn)品中抽取件.【答案】18【解析】按照分層抽樣的概念應從丙種型號的產(chǎn)品中抽取300601000例2已知樣本數(shù)據(jù)X1,X2,Xn的均值x5,則樣本數(shù)據(jù)2X|1,2x21,2Xn1的均值為【答案】11【解析】因為樣本數(shù)據(jù),的均值,又樣本數(shù)據(jù),的和為2x,X2
4、LXnn,所以樣本數(shù)據(jù)的均值為=11.例3某電子商務公司對10000名網(wǎng)絡購物者2018年度的消費情況進行統(tǒng)計,發(fā)現(xiàn)消費金額(單位:萬元)都在區(qū)間030.9內(nèi),其頻率分布直方圖如圖所示.(1) 直方圖中的a二.(2) 在這些購物者中,消費金額在區(qū)間0.5,0.9內(nèi)的購物者的人數(shù)為一【答案】a3人數(shù)為0.6100006000【解析】由頻率分布直方圖及頻率和等于1,可得0.20.10.80.11.50.120.12.50.1a0.11,解之得a3.于是消費金額在區(qū)間0.5,0.9內(nèi)頻率為0.20.10.80.120.130.10.6,所以消費金額在區(qū)間0.5,0.9內(nèi)的購物者的人數(shù)為0.61000
5、06000.例4某城市100戶居民的月平均用電量(單位:度),以160,180,180,200,200,220,220,240,240,260,260,280,280,300分組的頻率分布直方圖如圖所示.(1) 求直方圖中x的值;(2) 求月平均用電量的眾數(shù)和中位數(shù);(3) 在月平均用電量為220,240,240,260,260,280,280,300的四組用戶中,用分層抽樣的方法抽取11戶居民,則從月平均用電量在220,240的用戶中應抽取多少戶?【答案】見解析【解析】(1)由0.0020.00950.0110.0125x0.0050.0025201,得x0.0075.(2)由圖可知,月平均
6、用電量的眾數(shù)是220240230.2因為0.0020.00950.011200.450.5,又0.0020.00950.0110.0125200.70.5,所以月平均用電量的中位數(shù)在220,240內(nèi).設中位數(shù)為a,由0.0020.00950.011200.0125a2200.5,得a224,所以月平均用電量的中位數(shù)是224.(3)月平均用電量為220,240的用戶有0.01252010025(戶);月平均用電量為240,260的用戶有0.00752010015(戶);月平均用電量為260,280的用戶有0.0052010010(戶);月平均用電量為280,300的用戶有0.0025201005
7、(戶)112515105所以從月平均用電量在220,240的用戶中應抽取25抽取比例為5(戶).5【易錯點】沒有讀懂題意,計算錯誤.不會用函數(shù)思想處理問題【思維點撥】根據(jù)題意分情況寫出函數(shù)解析式;2牽涉到策略問題,一般可以轉化為比較兩個指標的大小.題型四回歸與分析例1下圖是我國2008年至2014年生活垃圾無害化處理量(單位:億噸)的折線1)由折線圖看出,可用線性回歸模型擬合與的關系,請用相關系數(shù)加以說明(2)建立關于的回歸方程(系數(shù)精確到),預測年我國生活垃圾無害化處理量參考數(shù)據(jù):,.參考公式:相關系數(shù)回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為:【答案】見解析【解析】(1)由折線圖中數(shù)據(jù)和
8、附注中參考數(shù)據(jù)得,>因為與的相關系數(shù)近似為,說明與的線性相關程度相當高,從而可以用線性回歸模型擬合與的關系.(1)變量與的相關系數(shù),又,>>>>>所以,故可用線性回歸模型擬合變量與的關系.(2),所以,所以線性回歸方程為.當時,.因此,我們可以預測2016年我國生活垃圾無害化處理億噸.易錯點】沒有讀懂題意,計算錯誤.【思維點撥】將題目的已知條件分析透徹,利用好題目中給的公式與數(shù)據(jù).題型五獨立性檢驗例1甲、乙、丙、丁四位同學各自對A、B兩變量的線性相關性作試驗,并用回歸分析方法分別求得相關系數(shù)r與殘差平方和m如下表:甲乙丙丁rm115106124103則哪位同
9、學的試驗結果體現(xiàn)A、B兩變量更強的線性相關性?()A.甲B.乙C.丙D.丁【答案】D【解析】D因為r>0且丁最接近1,殘差平方和最小,所以丁相關性最高【易錯點】不理解相關系數(shù)和殘差平方和與相關性的關系【思維點撥】相關系數(shù)r的絕對值越趨向于1,相關性越強.殘差平方和m越小相關性越強【鞏固訓練】題型一古典概型1將一顆質(zhì)地均勻的骰子(一種各個面上分別標有個點的正方體玩具)先后拋擲次,貝畑現(xiàn)向上的點數(shù)之和小于的概率是.【答案】【解析】將先后兩次點數(shù)記為,則基本事件共有(個),其中點數(shù)之和大于等于有,共種,則點數(shù)之和小于共有種,所以概率為.2.我國數(shù)學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領先的
10、成果.哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和”,如30723.在不超過30的素數(shù)中,隨機選取兩個不同的數(shù),其和等于30的概率是().A.-12B.丄C14115118【答案】C【解析】不超過30的素數(shù)有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29,共10個,隨機選取兩數(shù)有45(種)情況,其中兩數(shù)相加和為30的有7和23,11和19,13和17,共3種情況,根據(jù)古典概型得4515.故選C.3.袋中有形狀、大小都相同的4只球,其中1只白球,1只紅球,2只黃球,從中一次隨機摸出2只球,則這2只球顏色不同的概率為【答案】p5【解析】1只白球設為a,1只紅球設為b,2只黃球設為c,
11、d,則摸球的所有情況為a,b,a,c,a,d,b,c,b,d,c,d,共6件,滿足題意的事件為a,b,a,c,a,d,b,c,b,d,共5件,故概率為P5.6題型二幾何概型1. 某公司的班車在7:00,8:00,8:30發(fā)車,學.小明在7:50至8:30之間到達發(fā)車站乘坐班車,且到達發(fā)車站的時刻是隨機的,則他等車時間不超過10分鐘的概率是().B.D【答案】B【解析】如圖所示,畫出時間軸.小明到達的時間會隨機的落在圖中線段中,而當他的到達時間落在線段或時,才能保證他等車的時間不超過分鐘.根據(jù)幾何概型,所求概率.故選B.2. 從區(qū)間隨機抽取2n個數(shù),構成n個數(shù)對,其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對共有
12、m個,貝卩用隨機模擬的方法得到的圓周率的近似值為().AB.CD.【答案】C【解析】由題意得:在如圖所示方格中,而平方和小于1的點均在如圖所示的陰影中,由幾何概型概率計算公式知,所以.故選C.3. 下圖來自古希臘數(shù)學家希波克拉底所研究的幾何圖形,此圖由三個半圓構成,三個半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC,直角邊AB,AC,ABC的三邊所圍成的區(qū)域記為I,黑色部分記為其余部分記為皿,在整個圖形中隨機取一點,此點取自I,“,皿的概率分別記為Pl,P2,P3,則A.PP2B.P1P3C.P2P3P2P3【答案】A【解析】概率為幾何概型,總區(qū)域面積一定,只需比較I,H,皿區(qū)域面積即可.設直角三
13、角形ABC的三個角A,B,C所對的邊長分別為b,c,則區(qū)域I的面區(qū)域H的面積為S211冗一c22211.冗一b22-ab211冗a22區(qū)域皿的面積為S311冗c2226b212iia8顯然P1P2.故選A題型三抽樣與樣本的數(shù)據(jù)特征1.已知一組數(shù)據(jù)4,6,5,8,7,那么這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為【答案】10【解析】平均數(shù)X14658766.62.某電子商務公司對10000名網(wǎng)絡購物者2014年度的消費情況進行統(tǒng)計,發(fā)現(xiàn)消費金額(單位:萬元)都在區(qū)間0.3,0.9內(nèi),其頻率分布直方圖如圖所示.(I)直方圖中的a;(H)在這些購物者中,消費金額在區(qū)間0.5,0.9內(nèi)的購物者的人數(shù)為【答案】3;6000【解
14、析】頻率和等于1可得0.20.10.80.11.50.120.12.50.1a0.11,解之得a3.于是消費金額在區(qū)間0.5,0.9內(nèi)頻率為0.20.10.80.120.130.10.6,所以消費金額在區(qū)間0.5,0.9內(nèi)的購物者的人數(shù)為:0.6100006000,故應填3;6000.3.我國是世界上嚴重缺水的國家,某市政府為了鼓勵居民節(jié)約用水,計劃調(diào)整居民生活用水收費方案,擬確定一個合理的月用水量標準(噸)、一位居民的月用水量不超過的部分按平價收費,超出的部分按議價收費.為了了解居民用水情況,通過抽樣,獲得了某年位居民每人的月均用水量(單位:噸),將數(shù)據(jù)按照,分成組,制成了如圖所示的頻率分布
15、直方圖.(1) 求直方圖中的值;(2)設該市有萬居民,估計全市居民中月均用水量不低于噸的人數(shù),請說明理由;(3)若該市政府希望使的居民每月的用水量不超過標準(噸),估計的值,并說明理由.【答案】見解析【解析】(1)由頻率分布直方圖知,月均用水量在中的頻率為,同理,在,,中的頻率分別為,.由,解得.(2)由(1),位居民每人月均用水量不低于噸的頻率為.由以上樣本的頻率分布,可以估計全市萬居民中月均用水量不低于噸的人數(shù)為.(3)因為前組的頻率之和為,而前組的頻率之和為,所以由,解得.題型四回歸與分析1. 為了解某社區(qū)居民的家庭年收入與年支出的關系,隨機調(diào)查了該社區(qū)5戶家庭,得到如下統(tǒng)計數(shù)據(jù)表:收入
16、x(萬元)支出y(萬元)根據(jù)上表可得回歸直線方程ybxa,其中bo.76孑y?x,據(jù)此估計,該社區(qū)一戶收入為15萬元家庭年支出為()A.萬元B.萬元C.萬元D.萬元【答案】B【解析】由已知得x8.28.610.011.311.96.27.58.08.59.8510(萬元),58(萬元),故<?80.76100.4,所以回歸直線方程為?0.76x0.4.當社區(qū)一戶收入為15萬元,家庭年支出為?0.76150.411.8(萬元).故選B.2. 為了研究某班學生的腳長x(單位:厘米)和身高y(單位:厘米)的關系,從該班隨機抽取10名學生,根據(jù)測量數(shù)據(jù)的散點圖可以看出y與x之間有線性相關關系,設
17、其回歸直線方程為.已知,該班某學生的腳長為24,據(jù)此估計其身高為ABCD【答案】C【解析】,所以,時,.故選C3. 某公司為確定下一年投入某種產(chǎn)品的宣傳費,需了解年宣傳費x(單位:千元)對年銷售量y(單位:t)和年利潤z(單位:千元)的影響,對近8年的年宣傳費x和年銷售量yi1,2,8數(shù)據(jù)作了初步處理,得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值.xyw82Xixi18一2wiwi18xyiyi18_wiwyiyi15631469表中w賦,w1w8i1(1)根據(jù)散點圖判斷,yabx與ycd.X哪一個適宜作為年銷售量傳費x的回歸方程類型(給出判斷即可,不必說明理由)?y關于年宣(2)根據(jù)(1)的判斷結果及表
18、中數(shù)據(jù),建立y關于x的回歸方程;(3)已知這種產(chǎn)品的年利潤z與x,y的關系式為z0.2yx,根據(jù)(答下列問題:的結果回(i)年宣傳費x49時,年銷售量及年利潤的預報值是多少?(ii)年宣傳費x為何值時,年利潤的預報值最大?附:對于一組數(shù)據(jù)Ui,V|U2,V2,GM,其回歸直線VU的斜率和UiuViV截距的最小二乘估計分別為Ui【答案】見解析【解析】(1)由散點圖變化情況可知選擇yCd浪較為適宜.8wwyy1088(2)由題意知dJ2U68.又ycd、x定過點-,y,1.6Wiwi1所以cyd-563686.8100.6,所以y與x的回歸方程為y100.668X.(3)(刀由(2)知,當x49時
19、,y100.668.49576.61,z0.2576.64966.32(千元),所以當年宣傳費為x49時,年銷售量為576.6t,利潤預估為66.32千元.(卅)由(2)知,z0.2yx0.2100.668xx13.6xX20.122x6.86.8220.12,所以當x6.8時,年利潤的預估值最大,即x6.8246.24(千元).題型五獨立性檢驗1. 某醫(yī)療研究所為了檢驗某種血清預防感冒的作用,把500名使用血清的人與另外500名未使用血清的人一年中的感冒記錄作比較,提出假設H:“這種血清不能起到預防感冒的作用”,利用2X2列聯(lián)表計算的口,貝S下列表述中正確的是()A.有95%的把握認為“這種
20、血清能起到預防感冒的作用”B. 若有人未使用該血清,那么他一年中有95%的可能性得感冒C. 這種血清預防感冒的有效率為95%D. 這種血清預防感冒的有效率為5%【答案】A2【解析】由題可知,在假設H成立情況下,P(K3.841)的概率約為,即在犯錯的概率不錯過的前提下認為“血清起預防感冒的作用”,即有95%的把握認為“這種血清能起到預防感冒的作用”這里的95%是我們判斷H不成立的概率量度而非預測血清與感冒的幾率的量度,故B錯誤.C,D也犯有B中的錯誤.故選A2. 觀察下面頻率等高條形圖,其中兩個分類變量x,y之間關系最強的是()A.B.C.D.【答案】D【解析】在頻率等高條形圖中,與丄相差很大時,我們認為兩個分類變量abcd有關系,四個選項中,即等高的條形圖中“X2所占比例相差越大,則分類變量x,y關系越強,故選D.3. 淡水養(yǎng)殖場進行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對比,收獲時各隨機抽取了100個網(wǎng)箱,測量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量(單位:kg)的頻率分布直方圖如圖所示.(1)設兩種養(yǎng)殖方法的箱產(chǎn)量相互獨立,記A表示事件:舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg,新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50kg,估計A的概率;(2)填寫下
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