(完整word版)現(xiàn)代控制理論習(xí)題解答(第四章)

1、3-4-1第四章控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性試確定下列二次型是否正定。(1) v(x)x124x22x322x1x26x3x22x1x3(2) v(x)x1210x224x326x1x22x3x2222(3) v(x)10x14x2x32x1x22x3x24x1x3m：0,(1)0,二次型函數(shù)不定。(2)100,3100,10二次型函數(shù)為負(fù)定。10P121,1010,10103917二次型函數(shù)正定。3-4-2試確定下列二次型為正定時(shí)，待定常數(shù)的取值范圍。2.22v(x)a1x1b1x2c1x32x1x24x3x22x1x3【解】：2x1x24x3x22x1x32-2-2v(x)a1x1b1x2c1x3a1

2、xT11b1滿足正定的條件為:ai1ai°,1biai110,1b12012C1a10a1b11a1b1cl4b14a1c13-4-3試用李亞普諾夫第二法判斷下列線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性。0111XX；(2)XX；11231110XX；(4)XX；1101【解】：(1)設(shè)22v(x)0.5x10.5x2V(X)X1X1X2X2X1X2X1X2/X2"為半負(fù)定。0(x0)又因?yàn)閂(X)0時(shí)，有x20,則X20,代入狀態(tài)方程得：X10.所以系統(tǒng)在x0時(shí)，V(x)不恒為零。則系統(tǒng)漸近穩(wěn)定，又因?yàn)槭蔷€性系統(tǒng)，所以該系統(tǒng)是大范圍漸近穩(wěn)定。(2)設(shè)22v(x)0.5x10.5x2V(X)X1X

3、1X2X2X1(X1X2)X2(2X13x2)22X13X23X1X2T11.5XX1.5311.50,01.53TXPxP負(fù)定，系統(tǒng)漸近穩(wěn)定，又因?yàn)槭蔷€性系統(tǒng)，所以該系統(tǒng)是大范圍漸近穩(wěn)定。2222xix2v(x)0.5x10.5x2v(x)X1X1x2x2x1(x1x2)x2(x1x2)xTPxP負(fù)定，系統(tǒng)漸近穩(wěn)定，又因?yàn)槭蔷€性系統(tǒng)，所以該系統(tǒng)是大范圍漸近穩(wěn)定。(4)兩個(gè)狀態(tài)變量相互獨(dú)立，所以可以單獨(dú)分析各變量的穩(wěn)定性。220x0x1x1v(x1)0.5x1v(x1)x1x1x10x0220x0x2x2v(x2)0.5x2v(x2)x2x2x20x0所以系統(tǒng)不穩(wěn)定。3-4-4試確定下列系統(tǒng)平

4、衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。3x(k)x(k1)【解】：方法一：采用第一方法，確定特征多項(xiàng)式對(duì)應(yīng)的特征值是否在單位圓內(nèi)。z130f(z)zIA3z23010zz10.1173+2.6974iz20.1173-2.6974iz31.2346特征多項(xiàng)式對(duì)應(yīng)的特征值均在單位圓外，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定。方法二：采用第二方法，130G323。10010.50.50.5100.501PE4.10.5因?yàn)?>0,0.750.5110.50,0.510.500.500.50,所以P正定。1v(x)xTPx正定。v(k)xT(k)(GTPGP)x(k)13110.50.5130130gtPGP3200.5103233230

5、300.50110010084.574.561.571.58因?yàn)?>0,84.54.5627.750,84.574.5761.51.584.50,所以P正定。v(k)為正定，所以系統(tǒng)在原點(diǎn)不穩(wěn)定。3-4-510k20設(shè)離散系統(tǒng)狀態(tài)方程為x(k1)0001x(k)k0,求平衡點(diǎn)xe0漸近穩(wěn)0定時(shí)k值范圍?！窘狻浚悍椒ㄒ唬翰捎玫谝环椒?，確定特征多項(xiàng)式對(duì)應(yīng)的特征值是否在單位圓內(nèi)。z10f(z)zIA0z100k/2zZ10.5x2kz2-0.52kZ300.5V2k|10k2時(shí)平衡點(diǎn)漸近穩(wěn)定。方法二：v(x)xTPx正定。v(k)xT(k)(GTPGP)x(k)v(k)xT(k)Qx(k)令Q

6、IpGpTG3!33RP2P3223RP2P21231111UIpppp設(shè)pGpTGQ1o3dm2DM1dm3DM2dm1DM100c12P0104k2120024kP為正定，則124k2120k2時(shí)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。3-4-6設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為X1X201xi21.5x2，試求這個(gè)系統(tǒng)的李亞普諾夫函數(shù),然后再求從封閉曲線v(x)100邊界上的一點(diǎn)到封閉曲線v(x)0.05內(nèi)一點(diǎn)的響應(yīng)時(shí)間上【解】：令A(yù)TPPA求矩陣21.5RiR2P21P22P11P21Pl2P220121.51412v(x)5.52xi420.5x1x20.5x2v(x)2(X12X2)QPttolnmin2.3062,1v(

7、x,t)v(x0,t0)20.693810.05ln10.95521005.5414所以李氏函數(shù)為:試確定下列非線性系統(tǒng)在原點(diǎn)處的穩(wěn)定性。xixix23xixixix2/2xi(xix22)x2xix23x2(2)x2xix2/2x2(xix22)3-4-7【解】：(1)采用非線性系統(tǒng)線性化的方法，在平衡點(diǎn)原點(diǎn)處線性化得:AfTxf1x1x0fxf1x2f2X2x23x1113x222ssIA系統(tǒng)的兩個(gè)特征值均在右半平面,則系統(tǒng)在平衡點(diǎn)附近不穩(wěn)定。（2）采用非線性系統(tǒng)線性化的方法，在平衡點(diǎn)原點(diǎn)處線性化得:x1f2x且x2f2x2x02223x1x22x1x212x1x221x123x2sIA2

8、s20系統(tǒng)的兩個(gè)特征值都在左半平面,則系統(tǒng)在平衡點(diǎn)附近漸近穩(wěn)定。b的取值范圍（其中二者均大3-4-8試確定下列非線性系統(tǒng)在原點(diǎn)處穩(wěn)定時(shí)的參數(shù)于或等于零，但二者不同時(shí)為零）-3x2x1ax2bx2【解】：f1x1f2x1立x2f2x2x013bx22si2.sas1結(jié)論：系統(tǒng)在原點(diǎn)漸近穩(wěn)定的充要條件是求）。a大于0,b任意（同時(shí)還需滿足題目要3-4-9試證明系統(tǒng)x1x22x2a1x1a2x1x2在a10,a20時(shí)是全局漸近穩(wěn)定的?！窘狻浚呵笃胶恻c(diǎn)：v(x)x1x20x2a1x12a2x1x2x1ex2ev(x)20.5a1x10.5X2a1x1x1x2x2a1x1x2X2(aiX2c2a2xx2

9、)2:v(x)a2x1x2結(jié)論a10,v(x)正定;a20,v(x)負(fù)定，系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。因?yàn)閤|時(shí)，v(x)220.5a1x10.5x2,所以系統(tǒng)又是大范圍漸近穩(wěn)定。3-4-10試用克拉索夫斯基法確定非線性系統(tǒng)在原點(diǎn)xe0處為大范圍漸近穩(wěn)定時(shí)，參數(shù)a和b的取值范圍。x1ax1x2,3x2x1x2bx2f1【解】：f1v(x)fT(x)JT系統(tǒng)在xex1f2x2f213bx22xix2v(x)fT(x)f(x)Jf(x)2fT(x)0處漸近穩(wěn)定的條件是v(x)負(fù)定。而a0,1,23bx2113bx22"x)v(x)負(fù)定的條件為:c，2，ca3abx210大范圍漸近穩(wěn)定的條件是:時(shí)v(x

10、)時(shí)，v(x)(axiX2)2(xi,3、2X2bX2)所以系統(tǒng)大范圍漸近穩(wěn)定的條件是:a0,23bX2a3abx22i3-4-ii試用變量-梯度法構(gòu)成下述非線性系統(tǒng)的李氏函數(shù)。2XiXi2xiX2X2X2【解】：求平衡點(diǎn)：xiX22xi2xix20x20xieX2eaiixiai2X2a2ixia22X2ViV2v(x)(V)T2aiixi(ai2a2i)Xix232aiixix22、，222ai2Xix2a22x2若選aiia22a2iViX2ai2V2ca?i0Xi滿足旋度方程條件v(x)2xi(i2xix2)X2oXiX20.5時(shí)，v(x)負(fù)定Xi(X20)而v(x)XidXi0X2(

11、XiXi)x2dx20.5(x2x2)為正定。當(dāng)XiX2。5時(shí)，系統(tǒng)在平衡點(diǎn)漸近穩(wěn)定。3-4-i2設(shè)非線性系統(tǒng)方程為Xifi(Xi)f2(Xi,X2),X2“32-，2/式中fi(0)f3(0)0,f2(0,x2)0f3(X2)試求系統(tǒng)原點(diǎn)Xe0穩(wěn)定的充分條件?！窘狻浚河傻谝环?穩(wěn)定條件為:由克拉索夫斯基法設(shè)fixiv(x)fif24(fixixigxixif3x24(fixi3-4-13fif2fiX1f2Xif2x2f3x2x0xif2xif3xix2f2xiv(x)f3x2x為正定。Fx2(f2)2x2fxif2xiflxix2時(shí)漸近穩(wěn)定。時(shí)穩(wěn)定。f2x2f3x2x2f32x2試用阿依捷

12、爾曼法分析下列非線性系統(tǒng)在原點(diǎn)3-4-13圖所示。fif2xif2x2xif3x2xe0處的穩(wěn)定性。結(jié)構(gòu)如題F(e一5F(e)ee5題3-4-13圖【解】：當(dāng)輸入為零時(shí)，非線性系統(tǒng)方程可以寫(xiě)成eeF(e)0若取狀態(tài)變量：xie,X2e,那么系統(tǒng)的狀態(tài)方程為:XiX2X2X2F(e)F(e)ke,取k1(1)在Xe0處將非，線性環(huán)節(jié)輸入-輸出特性用一直線近似則線性化狀態(tài)方程為：XiX2X2X2Xi(2)取二次型函數(shù)作為系統(tǒng)的李氏函數(shù)，則有得至P1.50.50.51v(x)v(x)XTPx,v(x)TcxQx1.5x12X1X2x2為正定。22tk1kv(x)3x1x1x1x2x1x22x2x2k

13、x1(22k)x1x2x2xx1k10.382k2.618時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)定，即當(dāng)k0,k(k1)20時(shí)v(x)為負(fù)定，從而求得只要非線性環(huán)節(jié)的曲線在0.382e和2.618e范圍內(nèi)變化，原非線性控制系統(tǒng)就是大范圍漸近穩(wěn)定的。3-4-14下列是描述兩種生物個(gè)數(shù)的瓦爾特拉(bolterea)方程X1X1X1X2X2X2X1X2式中X1,X2分別表示兩種生物的個(gè)數(shù)。為非零實(shí)數(shù)。0,0,0,0。(1)確定系統(tǒng)的平衡點(diǎn)。(2)在平衡點(diǎn)附近線性化，并討論平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性?！窘狻浚?1)得到平衡狀態(tài):xixixix20x2x2x1x20x1e0x2e0x1ex2e(2)線性化x1X2(x2e)xixiex2x2ex

14、i(xie)x2對(duì)于平衡點(diǎn):x1e0x1x1x2e0x2x2特征值為：12因?yàn)?,0所以10,由第L法，系統(tǒng)不穩(wěn)定。20對(duì)于平衡點(diǎn)：x1exx2x2e-x2x10A0特征值為：12.因?yàn)?,0,1,2為純虛數(shù)，由第一法，無(wú)法確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。dx2(x1)x2x2.(x1),1-,dx2ldx10dx1(x2)x1x2x1dInx2Inx1x2x1const或(dInx2x2)(Inx1x1)const其軌跡圖如圖題3-4-14圖所示Xi題3-4-14圖可見(jiàn)Xle0為不穩(wěn)定的平衡點(diǎn)。X2e0Xie為穩(wěn)定的平衡點(diǎn)。X2e-XiX23-4-15試求下列非線性微分方程x2的平衡點(diǎn)，然后對(duì)各平衡點(diǎn)進(jìn)行

15、線性化，并判斷平衡點(diǎn)是否穩(wěn)定。sinxiX2【解】：求平衡點(diǎn)：XiX2x20sinxix2XieX2enn0,i,20線性化方程XiX2X2:0COS（Xie）Xix20對(duì)于平衡點(diǎn)Xie2n0X2e則X1X2X2X1X2特征方程為（1）1對(duì)于平衡點(diǎn)01A110，特征根都在左半平面，所以系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定。x1eX2e(2n1)0X1X2X2X1X201A11特征方程為（1）10,有一個(gè)特征根在右半平面，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定。3-4-16非線性系統(tǒng)狀態(tài)方程為X1X22a0試確定平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。x2a（1x2）x2X1【解】：求平衡點(diǎn)：X1X20X1e02x2a（1x2）x2X10x2e0線性化方程為：X

16、1X2x2ax2X101A1a特征方程為（a）10a0時(shí)特征根都在左半平面，所以系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定。3-4-17非線性系統(tǒng)狀態(tài)方程為X1X2X23試用克拉索夫斯基法確定系統(tǒng)原點(diǎn)的穩(wěn)定性。X1X2【解】：xixx2f(x)f1(x)f2(x)x23xix2因?yàn)?26x1J(x)f(x)3x12v(x)v(x),則v(x)為負(fù)定。P11xTPx,xTQxjtP11P12P12P22(x)PPJ(x)x3x121P11PI2P12P22P|1P12P12P2203x126x1P2P22322x11(673一x126x12126x10,12)(1126x116x，322x116x1216x，16x12c26x1126x11c26x132一xi4P正定，所以系統(tǒng)在原點(diǎn)處漸近穩(wěn)定。v(x)2x2時(shí),(六6x132一x121、2一)x22126；7x2(3x1、，11、，3、2x2)(一2-)(x1x2)6x123v(x)一xi1214一x2一xi261,2(3、2x2)所以在原點(diǎn)大范圍漸近穩(wěn)定。3-4-18試用變量梯度法構(gòu)造下列系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)。X1X2ox2a1(t)x1a2(t)x2【解】：設(shè)ViV2aiixiai2X2a21X1a22x2T2v(x)(V)xa11x1x2a12x22ai(t)a2ixia2(t)a2ixix22a1(t)a22xi