一階電路時域分析

1、第第1111章章 一階電路時域分析一階電路時域分析11. 1 11. 1 電感元件和電容元件電感元件和電容元件11. 2 11. 2 動態(tài)電路方程的列寫動態(tài)電路方程的列寫11. 3 11. 3 動態(tài)電路的初始條件動態(tài)電路的初始條件11. 4 11. 4 一階動態(tài)電路一階動態(tài)電路11. 6 11. 6 全響應(yīng)的分解全響應(yīng)的分解11. 5 11. 5 二階動態(tài)電路二階動態(tài)電路11. 9 11. 9 狀態(tài)變量法狀態(tài)變量法11. 7 11. 7 單位階躍響應(yīng)和單位沖激響單位階躍響應(yīng)和單位沖激響應(yīng)應(yīng)11. 8 11. 8 卷積積分卷積積分一、電感元件一、電感元件 (inductor)inductance

2、i+u+eLi+u變量變量: 電流電流 i , 磁鏈磁鏈 (Wb)(H)(A)韋韋伏伏 秒秒亨亨歐歐 秒秒安安安安1. 線性定常電感元件線性定常電感元件 = N 為電感線圈的磁鏈為電感線圈的磁鏈L 稱為自感系數(shù)稱為自感系數(shù)L 的單位名稱：亨的單位名稱：亨利利 符號：符號：H (Henry）電感以電感以磁場形式存儲能量磁場形式存儲能量。11.1 11.1 電感元件和電容元件電感元件和電容元件tiLedd 韋安韋安（ -i ）特性）特性 i02. 線性電感電壓、電流關(guān)系：線性電感電壓、電流關(guān)系：由電磁感應(yīng)定律與楞次定律由電磁感應(yīng)定律與楞次定律i , 右螺旋右螺旋e , 右螺旋右螺旋u , i 關(guān)聯(lián)

3、關(guān)聯(lián) i+u+etiLeudd 0(0)dtu tuLi d1 tuLuL00d1d1 tuLi0d1)0( (3) 電感元件是一種記憶元件；電感元件是一種記憶元件；(2) 當(dāng)當(dāng) i 為常數(shù)為常數(shù)(直流直流)時，時，di / dt =0 u=0, 電感在直流電路中相當(dāng)于短路；電感在直流電路中相當(dāng)于短路；(4) 當(dāng)當(dāng) u，i 為關(guān)聯(lián)方向時，為關(guān)聯(lián)方向時，u=L di / dt； u，i 為為非非關(guān)聯(lián)方向時，關(guān)聯(lián)方向時，u= L di / dt 。電感的電壓電感的電壓- -電流關(guān)系小結(jié)：電流關(guān)系小結(jié)：(1) u的大小與的大小與 i 的的變化率變化率成正比，與成正比，與 i 的大小無關(guān)；的大小無關(guān)；

4、3. 電感的儲能電感的儲能不消耗能量不消耗能量從從t0 到到t 電感儲能的變化量：電感儲能的變化量：)(21)(21022tLitLiWLtiLiuipdd吸吸() 02211( )( )022iLittL 若若無源元件無源元件 dddiLiWt 吸吸)()(221tiiLi)(21)(2122LitLi4. 電感的串并聯(lián)電感的串并聯(lián)Leq ui+_等效電感等效電感L1ui+_u1n個電感串聯(lián)個電感串聯(lián)L2u2Lnun+_（1）電感的串聯(lián)）電感的串聯(lián)根據(jù)根據(jù)KVL和電感的電壓電流的關(guān)系，有和電感的電壓電流的關(guān)系，有nuuuu12 niiiLLLttt12ddd =dddniLLLt12d =(

5、)diLteqd=dnLLLLeq12 等效電感等效電感與各電感的關(guān)系與各電感的關(guān)系式為式為結(jié)論結(jié)論：n個串聯(lián)電感的等效電感個串聯(lián)電感的等效電感值等于各電感值之和值等于各電感值之和。(2) 電感的并聯(lián)電感的并聯(lián)Leq ui+_等效電感等效電感inL1ui+_i1L2i2Ln+_+_u1u2unn個電感并聯(lián)個電感并聯(lián)ni ti ti tit12( )( )( )( )tuiL0eq1 ( )d(0) 根據(jù)根據(jù)KCL及電感的電壓與電流的關(guān)系式，有及電感的電壓與電流的關(guān)系式，有tnnuiiiLLL12012111()( )d(0)(0)(0) tttnnuiuiuiLLL1200012111( )d

6、(0)( )d(0)( )d(0)nLLLLeq121111L LLLL12eq12 等效電感等效電感與各電感的關(guān)系式為與各電感的關(guān)系式為結(jié)論結(jié)論：n個并聯(lián)電感的等效電感值個并聯(lián)電感的等效電感值 的倒數(shù)等于各電感的倒數(shù)等于各電感值倒數(shù)之和值倒數(shù)之和。當(dāng)兩個電感并聯(lián)（當(dāng)兩個電感并聯(lián)（n=2）時，等效電感值為）時，等效電感值為nkkii1(0)(0) 二、電容元件二、電容元件 (capacitor)電容器電容器+ + + + +qq線性定常電容元件線性定常電容元件電路符號電路符號C電容以電容以電場形式存儲能量電場形式存儲能量。描述電容的兩個基本變量描述電容的兩個基本變量: u, q對于線性電容，有

7、：對于線性電容，有：q =Cu 1. 元件特性元件特性Ciu+電容電容 C 的單位：法的單位：法拉拉， 符號：符號：F (Farad) 常用常用 F，pF等表示等表示。庫伏（庫伏（q-u） 特性特性C tan qu0 2. 線性電容的電壓、電流關(guān)系線性電容的電壓、電流關(guān)系Ciu+ tiCtu d1)( ttitqtq0d)()(0 tttiCiC00d1d1 電容的電壓電容的電壓- -電流關(guān)系小結(jié)：電流關(guān)系小結(jié)：(1) i的大小與的大小與 u 的的變化率成正比變化率成正比，與，與 u 的大小無關(guān)；的大小無關(guān)；(3) 電容元件是一種記憶元件；電容元件是一種記憶元件；(2) 當(dāng)當(dāng) u 為常數(shù)為常數(shù)

8、(直流直流)時，時，du/dt =0 i=0。電容在。電容在直流電路中相當(dāng)于開路，電容有直流電路中相當(dāng)于開路，電容有隔直作用隔直作用；(4) 表達式前的正、負號與表達式前的正、負號與u，i 的參考方向有關(guān)。當(dāng)?shù)膮⒖挤较蛴嘘P(guān)。當(dāng) u，i為關(guān)聯(lián)方向時，為關(guān)聯(lián)方向時，i= C du/dt； u，i為為非非關(guān)聯(lián)方向時，關(guān)聯(lián)方向時，i= C du/dt 。3. 電容的儲能電容的儲能從從t0到到 t 電容儲能的變化量：電容儲能的變化量：)(21)(21022tCutCuWCtuCuuipdd 吸吸0)(21)(21)(21)(2121ddd220)(22)()(2 tqCtCuCutCuCuuCuWutu

9、utC若若 不消耗能量不消耗能量無源元件無源元件4. 電容的串并聯(lián)電容的串并聯(lián)（1）電容的串聯(lián)）電容的串聯(lián)Ceq ui+_i等效電容等效電容C1ui+_u1n個電容串聯(lián)個電容串聯(lián)C2u2Cnun+_nu tu tu tu t12( )( )( )( )tttnnu tiuiuiuCCC1200012111( )( )d(0)( )d(0)( )d(0)由由KVLKVL，有，有代入各電容的電壓、電流關(guān)系式，得代入各電容的電壓、電流關(guān)系式，得ntkkniuCCC0112111()( )d(0) tiuC0eq1( )d(0) nknkCCCCC1eq1211111 C CCCC12eq12 等效電

10、容等效電容與各電容的關(guān)系式為與各電容的關(guān)系式為結(jié)論結(jié)論：n個串聯(lián)電容的等效電容值的倒數(shù)等于各電容值個串聯(lián)電容的等效電容值的倒數(shù)等于各電容值的倒數(shù)之和。的倒數(shù)之和。當(dāng)兩個電容串聯(lián)（當(dāng)兩個電容串聯(lián)（n=2）時，等效電容值為）時，等效電容值為nkkuu1(0)(0) （2）電容的并聯(lián)）電容的并聯(lián)Cequ+_+_q等效電容等效電容niiii12nuuui tCCCttt12ddd( )ddduCteqdd 由由KCL，有，有代入各電容的電壓、電流關(guān)系式，得代入各電容的電壓、電流關(guān)系式，得nuCCCt12d()diniC1u+_i1C2i2Cn+_+_q1q2qnn個電容并聯(lián)個電容并聯(lián)eq121 nnk

11、kCCCCC 等效電容等效電容與各電容的與各電容的關(guān)系式為關(guān)系式為結(jié)論結(jié)論：n個并聯(lián)電容的等效電容值等于各電容值之和個并聯(lián)電容的等效電容值等于各電容值之和。電容元件與電感元件的比較：電容元件與電感元件的比較：電容電容 C電感電感 L變量變量電流電流 i磁鏈磁鏈 關(guān)系式關(guān)系式電壓電壓 u 電荷電荷 q (1) 元件方程是同一類型；元件方程是同一類型；(2) 若把若把 u-i，q- ，C-L， i-u互換互換,可由電容元件可由電容元件的方程得到電感元件的方程；的方程得到電感元件的方程；22dd1122LLiiuLtWLiL 222121ddqCCuWtuCiCuqC (3) C 和和 L 稱為對偶

12、元件稱為對偶元件, 、q 等稱為對偶元素。等稱為對偶元素。S未動作前未動作前i = 0 , uC = 0i = 0 , uC =US1. 什么是電路的過渡過程什么是電路的過渡過程穩(wěn)定狀態(tài)穩(wěn)定狀態(tài)i+uCUSRC三、三、 動態(tài)電路簡介動態(tài)電路簡介穩(wěn)態(tài)分析穩(wěn)態(tài)分析S+uCUSRCi t = 0S接通電源后很長時間接通電源后很長時間S+uCUSRCi初始狀態(tài)初始狀態(tài)過渡狀態(tài)過渡狀態(tài)新穩(wěn)態(tài)新穩(wěn)態(tài)過渡過程過渡過程： 電路由一個穩(wěn)態(tài)過渡到另一個穩(wěn)態(tài)需要電路由一個穩(wěn)態(tài)過渡到另一個穩(wěn)態(tài)需要經(jīng)歷的過程。經(jīng)歷的過程。t1USuCt0?過渡狀態(tài)過渡狀態(tài)（瞬態(tài)、暫態(tài)）（瞬態(tài)、暫態(tài)）2. 過渡過程產(chǎn)生的原因過渡過程產(chǎn)生

13、的原因（1）電路內(nèi)部含有儲能元件）電路內(nèi)部含有儲能元件 L 、M、 C能量的儲存和釋放都需要一定的時間來完成。能量的儲存和釋放都需要一定的時間來完成。twp （2）電路結(jié)構(gòu)發(fā)生變化）電路結(jié)構(gòu)發(fā)生變化支路接入或斷開；支路接入或斷開； 參數(shù)變化參數(shù)變化+- -uSR1R2R3換路換路3. 穩(wěn)態(tài)分析和暫態(tài)分析的區(qū)別穩(wěn)態(tài)分析和暫態(tài)分析的區(qū)別穩(wěn)穩(wěn) 態(tài)態(tài) 暫暫 態(tài)態(tài)換路發(fā)生很換路發(fā)生很長長時間后時間后換路換路剛剛剛剛發(fā)生發(fā)生iL 、 uC 隨時間隨時間變化變化代數(shù)代數(shù)方程組描述電路方程組描述電路微分微分方程組描述電路方程組描述電路IL、 UC 不變不變時域分析法時域分析法復(fù)頻域分析法復(fù)頻域分析法時域分析法

14、時域分析法經(jīng)典法經(jīng)典法拉普拉斯變換法拉普拉斯變換法狀態(tài)變量法狀態(tài)變量法數(shù)值法數(shù)值法4. 分析方法分析方法0dddddd01111 tuiatiatiatiannnnnn激勵激勵 u(t)響應(yīng)響應(yīng) i(t)返回目錄返回目錄5.2 5.2 動態(tài)電路方程的列寫動態(tài)電路方程的列寫依據(jù)：依據(jù)：KCL、KVL和和元件約束。元件約束。)(d1)(dd00tituLtitiLuLttLLLL )(d1)(dd00tutiCtutuCiCttCCCC iS(t=0)US+uRC+uCR例例1SddUutuRCCC 例例2SddutiLRiLL iL+uL-SR+_uS+-uRL復(fù)習(xí)常系數(shù)線性常微分方程求解過程。

15、復(fù)習(xí)常系數(shù)線性常微分方程求解過程。(t=0)0.01F+-uC0.04HRiLCLLuRitiL dd01dddd22 CCCuLCtuLRtuLCituC dd例例3返回目錄返回目錄一、一、t = 0+與與t = 0-的概念的概念換路在換路在 t=0時刻進行時刻進行0- t = 0 的前一瞬間的前一瞬間 0+ t = 0 的后一瞬間的后一瞬間11.3 11.3 動態(tài)電路的初始條件動態(tài)電路的初始條件)(lim)0(00tfftt )(lim)0(00tfftt 初始條件就是初始條件就是 t = 0+時時u ，i 及其各階導(dǎo)數(shù)的值。及其各階導(dǎo)數(shù)的值。0-0+0tf(t)二、換路定律二、換路定律

16、d)(1)( tCiCtu d)(1d)(100 tiCiC d)(1)0(0 tCiCuq =C uCt = 0+時刻時刻 d)(1)0()0(00 iCuuCC d)()0()(0 tiqtq當(dāng)當(dāng)i( )為有限值時為有限值時iuCC+- d)()0()0(00 iqq0d)(00 iq (0+) = q (0- -)uC (0+) = uC (0- -)電荷守恒電荷守恒tiLuLdd d)(1 tLuLi d) )(1d)(100 tLuLuLi duLitL)(1)0(0 當(dāng)當(dāng)u為有限值時為有限值時0(0 )( )dtu LLi L (0+)= L (0- -)iL(0+)= iL(0-

17、 -)磁鏈守恒磁鏈守恒iLuL+ 換路定律成立的條件換路定律成立的條件!三、電路初始值的確定三、電路初始值的確定(2) 由由換路定律換路定律 uC (0+) = uC (0- -)=8V+- -10ViC(0)+8V- -10k 0+等效電路等效電路mA2 . 010810)0( Ci(1) 由由0- -電路電路求求 uC(0- -)+- -10V+uC- -10k 40k uC(0- -)=8V(3) 由由0+等效電路等效電路求求 iC(0+)iC(0-)=0 iC(0+)例例1+- -10ViC+uC- -S10k 40k 求求 iC(0+)。電阻電路電阻電路1電阻電路電阻電路20)0(

18、0)0( LLuu iL(0+)= iL(0- -) =2AV842)0( Lu例例 2t = 0時閉合開關(guān)時閉合開關(guān)S , 求求 uL(0+)。iL+uL- -L10VS1 4 +uL- -10V1 4 0+電路電路2A電阻電路電阻電路m(0 ).2LEiL (1) LEiiLL 2)0()0(m Smsin(60 )V,uEt 例例3iL+uLLSR+uS+-uR已知已知 (0 ), (0 ), (0 ).LLRiuu 求求(2) 0+時刻電路時刻電路:LRERiuLR 2)0()0(m LREEuL 223)0(mm + +-+ + uL-R23mE+-uRiL(0+)小結(jié)小結(jié)求初始值的

19、步驟：求初始值的步驟：1. 由由換路前電路換路前電路（穩(wěn)定狀態(tài)）求（穩(wěn)定狀態(tài)）求 uC(0- -) 和和 iL(0- -)。2. 由由換路定律換路定律得得 uC(0+) 和和 iL(0+)。3. 畫出畫出0+時刻的等效電路時刻的等效電路。 （1） 畫換路后電路的拓撲結(jié)構(gòu)；畫換路后電路的拓撲結(jié)構(gòu)； （2） 電容電容（電感電感）用）用電壓源電壓源（電流源電流源）替代。）替代。 取取0+時刻值，方向同原假定的電容電壓、時刻值，方向同原假定的電容電壓、 電感電流方向。電感電流方向。4. 由由0+電路求其它各變量的電路求其它各變量的0+值。值。電阻電路電阻電路( 直流直流 )電阻電路電阻電路返回目錄返回

20、目錄對對L元件：元件：ttLdutt0)()(0ttLLLduLtiti01)()(0當(dāng)積分上限為當(dāng)積分上限為t0+ ，下限為，下限為t0- ，則有，則有:00)()(00ttLdutt001)()(00ttLLLduLtiti(t0+)=(t0-)iL(t0+)= iL(t0-) 若若uL為有限值為有限值q(t0+)= q(t0-)uc(t0+)= uc(t0-) (t0+)=(t0-)iL(t0+)= iL(t0-) 總結(jié)總結(jié):若換路時刻若換路時刻t =0時刻，則為時刻，則為:q(0+)= q(0-)uc(0+)= uc(0-) (0+)=(0-)iL(0+)= iL(0-) 對于聯(lián)接有多

21、個電容的結(jié)點（但不含電壓源），對于聯(lián)接有多個電容的結(jié)點（但不含電壓源），換路前后電荷守恒：換路前后電荷守恒： q(0+)= q(0-) 即即 Cuc(0+)=Cuc(0-) 對于由多個電感構(gòu)成的回路（不含電流源），換對于由多個電感構(gòu)成的回路（不含電流源），換路前后磁鏈守恒：路前后磁鏈守恒： (0+)=(0-) 即即 LiL(0+)=LiL(0-) 例例11.1-1 圖示電路，求它們換路前后的磁鏈關(guān)系。圖示電路，求它們換路前后的磁鏈關(guān)系。+ +- -RL1C2L3usii1i2i3解解:列列KVL方程方程sudtdiLCqdtdiLRi33211對上式在對上式在0-，0+進行積分，進行積分，設(shè)設(shè)

22、i1、i2、i3、i 、q2、us為有限值為有限值000033002001100dtudtdtdiLdtCqdtdtdiLRidts=0000330011dtdtdiLdtdtdiL0)0()0(33)0()0(113311iiiidiLdiLL1 i1(0+)i1(0)+L3 i3(0+)- i3(0)=0 L1 i1(0+)+L3 i3(0+)=L1 i1(0)+L3 i3(0) 磁鏈是和還是差與電流磁鏈是和還是差與電流的參考方向有關(guān)的參考方向有關(guān)電路的初始條件電路的初始條件初始條件初始條件(初始值初始值)是求解變量及其階是求解變量及其階(n-1)導(dǎo)數(shù)在導(dǎo)數(shù)在t=0+時的值。時的值。uC(

23、0+)、iL(0+)稱為獨立初始值。稱為獨立初始值。電路在過渡過程狀態(tài)時，遵守：電路在過渡過程狀態(tài)時，遵守： 換路定則、換路定則、KVL、KCL及各元件的及各元件的VCR求初值用求初值用0+網(wǎng)絡(luò)網(wǎng)絡(luò)例例11.1-2 圖示電路，圖示電路，t0時電路處于穩(wěn)態(tài)，時電路處于穩(wěn)態(tài)，t=0時時K閉合閉合 求求i(0+)、 iC(0+) 、 uL(0+)K(t=0)iiLiC4 8 8 CL+ +- -+ +- -uCuL12V解解: t 0-時時 uC(0-) =0 iL(0-) =0 據(jù)換路定則據(jù)換路定則: uC(0+)=uC(0-)=0 iL(0+) =iL(0-) =0畫時畫時0+等值網(wǎng)絡(luò)，電容用短

24、路代替，電感開路。等值網(wǎng)絡(luò)，電容用短路代替，電感開路。iiC4 8 8 + +- -uL12V0+等值網(wǎng)絡(luò)等值網(wǎng)絡(luò)i(0+) =iC(0+)=12/(4+8)=1AuL(0+)=8 1=8V由此可見由此可見:iC(0-)=0 iC(0+)=1AuL(0-)=0 uL(0+)=8iC 、 uL可跳變可跳變討論：討論：將上例中的電源換成交流電源將上例中的電源換成交流電源us(t)=10sin( t+300)V， 再求再求i(0+)、 iC(0+) 、 uL(0+)解解: t 0-時時 uC(0-) =0 iL(0-) =0 據(jù)換路定則據(jù)換路定則: uC(0+)=uC(0-)=0 iL(0+) =i

25、L(0-) =0畫時畫時0+等值網(wǎng)絡(luò)，等值網(wǎng)絡(luò)，電容用短路代替，電感開路電容用短路代替，電感開路。iiC4 8 8 + +- -uL 5V0+等值網(wǎng)絡(luò)等值網(wǎng)絡(luò)us(0+)=10sin300=5Vi(0+) =iC(0+)=5/(4+8)=0.42AuL(0+)=8 0.42=3.36V結(jié)論結(jié)論:外加電源應(yīng)考慮外加電源應(yīng)考慮t=0+時的值時的值+ +- -K(t=0)iiLiC4 8 8 CL+ +- -+ +- -uCuLus例例11.1-3 K斷開前電路處于穩(wěn)態(tài)，斷開前電路處于穩(wěn)態(tài)，t=0時時K斷開，斷開，u(t)=10sin2t(V) 求求uC(0+)、 iL(0+) 、 i(0+) 、

26、iL(0+) + +- -iLiC2 1 5 0.5F1H+ +- -uCu(t)K(t=0)i解解: t0時時 處于正弦穩(wěn)態(tài)處于正弦穩(wěn)態(tài) 用相量法求用相量法求 uC(t)和和iL(t)5 . 0215 . 0211jjUUsmCmVjjUCm0045/25)(10/1022jUIsmLmAj0045/225220/10寫成時域表達式：寫成時域表達式：AttiVttuLC)452sin(225)( )452sin(25)(00令令t=0-有有AiVuLC5 . 245sin225)0( 545sin25)0(00AiVuLC5 . 245sin225)0(545sin25)0(00據(jù)換路定則據(jù)

27、換路定則: uC(0+)=uC(0-)=-5V iL(0+) =iL(0-) =-2.5A畫時畫時0+等值網(wǎng)絡(luò)等值網(wǎng)絡(luò):+ +- -iLiC2 1 5 0.5F1H+ +- -uCu(t)K(t=0)i求求uC(0+)、 iL(0+) 、 i(0+) 、 iL(0+) + +- -2 1 5 i(0+) iL(0+)uC(0+)0+等值網(wǎng)絡(luò)等值網(wǎng)絡(luò)+ +- -uL(0+)A列列A結(jié)點電壓方程結(jié)點電壓方程)0(1)0()511 (LCAiuUVUA122556/2525) 5 . 2(556AU+ +- -2 1 5 i(0+) iL(0+)uC(0+)0+等值網(wǎng)絡(luò)等值網(wǎng)絡(luò)+ +- -uL(0+

28、)AVUA1225AUiA42. 01255)0(求求uC(0+)、 iL(0+) 、 i(0+) 、 iL(0+) uC(0+)=-5V iL(0+)=-2.5A dtdiLuLLLudtdiLL)0()0()0(LLLuLudtdisAUA/9 . 251225)25(2當(dāng)當(dāng)uC(0+)或或iL(0+)不為不為0時，畫時，畫0+網(wǎng)絡(luò)，電容用網(wǎng)絡(luò)，電容用電壓源電壓源uC(0+)代替，電代替，電感用電流源感用電流源iL(0+)代替。代替。例例11.1-4 t U0tuCU0 -USuCuCUSU00令令 =RC , 稱稱 為一階電路的為一階電路的時間常數(shù)。時間常數(shù)。 秒秒伏伏安秒安秒歐歐伏伏庫

29、庫歐歐法法歐歐 RC 時間常數(shù)時間常數(shù) 的大小反映了電路過渡過程時間的長短。的大小反映了電路過渡過程時間的長短。 大大 過渡過程時間的過渡過程時間的長；長； 小小 過渡過程時間的過渡過程時間的短。短。U0tuC0 小小 大大電壓初值一定：電壓初值一定：R 大大（C不變）不變） i=u/R 放電電流小放電電流小放電時間放電時間長長C 大大（R不變）不變） W=0.5Cu2 儲能大儲能大工程上認為工程上認為 , 經(jīng)過經(jīng)過 3 5 , 過渡過程結(jié)束。過渡過程結(jié)束。A 0.368A 0.135A 0.05A 0.007A t0 2 3 5 tCAu e A A e -1 A e -2 A e -3 A

30、e -5 ：電容電壓：電容電壓衰減到衰減到原來電壓原來電壓36.8%所需的時間。所需的時間。特征方程特征方程: Lp+R=0LR 特征根特征根 p =確定確定A：A= i(0+)= I0i (0+) = i (0-) =01SIRRU d0(0)diLRitt iS(t=0)USL+uLRR1( )epti tA 例例2通解：通解：tLRIi 0e /0e(0)tL RIt I0ti0令令 = L/R ，一階一階RL電路的電路的時間常數(shù)時間常數(shù).秒秒歐歐安安秒秒伏伏歐歐安安韋韋歐歐亨亨 RL L大大 初始儲能大初始儲能大R小小 放電過程功率小放電過程功率小放電慢放電慢 大大電流初值一定：電流初

31、值一定：iL (0+) = iL(0-) = 1 AuV (0+)= 10000VV壞了！壞了！例例3 t=0 時刻時刻 S 打開打開, 求求 uV . /eAtLi 電壓表量程為電壓表量程為 50V.s1041000044V RRL 2500VV10000eV(0)tLuR it iLLR10VV根據(jù)例根據(jù)例2結(jié)論結(jié)論續(xù)流二續(xù)流二極管極管iLS(t=0)+uVL=4HR=10 VRV10k 10V Vd0(0)diLRRitt小結(jié)：小結(jié)：經(jīng)典法求解一階電路過渡過程的一般步驟經(jīng)典法求解一階電路過渡過程的一般步驟: 列寫微分方程（以列寫微分方程（以uC或或iL等為變量）；等為變量）； 求非齊次方

32、程的通解（相應(yīng)的齊次方程的解）；求非齊次方程的通解（相應(yīng)的齊次方程的解）； etuA 求非齊次方程的特解（穩(wěn)態(tài)解）；求非齊次方程的特解（穩(wěn)態(tài)解）； 確定初始條件（確定初始條件（0+時刻時刻）；）； RLRC 求初始值的步驟求初始值的步驟 根據(jù)初始條件確定積分常數(shù)。根據(jù)初始條件確定積分常數(shù)。二、三要素法二、三要素法SddCCuRCuUt 00CCuu 0dd itiRC S00CUuiR d0dRRuRCut S00RCuUu 特點特點: （1）同一電路不同支路變量微分方程的）同一電路不同支路變量微分方程的特征方程完全相同特征方程完全相同同一電路不同支路變量解的同一電路不同支路變量解的自由分量形

33、式完全相同自由分量形式完全相同 （2）同一電路不同支路變量微分方程）同一電路不同支路變量微分方程等號右端項和初始值不同等號右端項和初始值不同 同一電路不同支路變量解的同一電路不同支路變量解的強制分量和待定系數(shù)不同強制分量和待定系數(shù)不同 （3）同一電路不同支路變量解的）同一電路不同支路變量解的強制分量均為該變量的穩(wěn)態(tài)解強制分量均為該變量的穩(wěn)態(tài)解iS(t=0)US+uRC+uCRd( )( )dfaf tu tt任意支路量方程的形式：任意支路量方程的形式：強制分量強制分量自由分量自由分量 tffftf e )()0()()(0( ) (0 ) ff 穩(wěn)穩(wěn)態(tài)態(tài)解解三三要要素素初初始始值值時時間間常常

34、數(shù)數(shù)恒定激勵下一階電路的解的一般形式為恒定激勵下一階電路的解的一般形式為( )()etf tfA 令令 t = 0+0(0 )()ffA 0(0 )()Aff 適用范圍：激勵為適用范圍：激勵為直流直流和和正弦交流正弦交流!例例4V2)0()0( CCuuV667. 01122)( Cus2332eq CR 0.50.50.667(20.667)e0.6671.33eV(0)tCtut 已知：已知： t=0時合開關(guān)時合開關(guān)S。 求求 換路后的換路后的uC(t)的的全響應(yīng)，全響應(yīng)， 強制分量，自由分量。強制分量，自由分量。解解:tuC2(V)0.6670全響應(yīng)全響應(yīng)強制分量強制分量自由分量自由分量

35、定性畫曲線定性畫曲線的幾個要點的幾個要點1A2 1 3F+-uCS三、三、 脈沖序列作用下的脈沖序列作用下的RC電路電路uS+-uC(0-)=0R+ uC -+uR-uStT2T3T100V00 t TuC(0+)=0uC( )=100VT2T3TtuC0100V = RCV)e1(100RCtCu T t 0 t TVe )100(1001RCtCUu 穩(wěn)態(tài)解：穩(wěn)態(tài)解：U2U1uS+-uC(0-)=0R+ uC -+uR-tT2T3T100 V0uS（2） T 與與 接近接近等效電路圖等效電路圖100V+-R+ uC +uR- 10UuC V100 CuRC 仿真仿真2uStT2T3T100

36、V0這類問題的分析特點：這類問題的分析特點：（1）認為電路已經(jīng)進入）認為電路已經(jīng)進入穩(wěn)態(tài)穩(wěn)態(tài)（2）畫不同狀態(tài)下的）畫不同狀態(tài)下的電路圖，求解電路電路圖，求解電路（3）利用邊界條件求出）利用邊界條件求出關(guān)鍵點電壓關(guān)鍵點電壓/電流電流T t 2TVe2RCTtCUu 2UTuC 0 CuRC 等效電路圖等效電路圖R+ uC -+uR-tT2T3T100V U2U10uS+-uC(0-)=0R+ uC -+uR-tT2T3T100V U2U100 t TRCtCUu e )100(1001T t 2TRCTtCUu e2t = Tt = 2TRCTTCUUu 2 21eRCTCUUu 12e )10

37、0(100 RCTU 2e1100 RCTRCTU e1e100 1這類問題的分析特點：這類問題的分析特點：（1）設(shè)）設(shè)電路已經(jīng)進入穩(wěn)態(tài)電路已經(jīng)進入穩(wěn)態(tài)（2）畫）畫電路圖，求解電路電路圖，求解電路（3）利用邊界條件求出）利用邊界條件求出 關(guān)鍵點電壓關(guān)鍵點電壓/電流電流uS+-uC(0-)=0R+ uC -+uR-C1. MOSFET反相器的輸出延遲反相器的輸出延遲GDSRLUSui1GDSRLUSuO2uO1ui2ui1uO2ABuO1ui2tui10tuO10tuO10四、一階電路幾個典型的應(yīng)用實例四、一階電路幾個典型的應(yīng)用實例GDSRLUSui1GDSRLUSuO2uO1ui2ui1GDS

38、CGS1GDSCGS2uO1uO2RONRLRLUSUSGDSCGS1GDSCGS2uO1uO2RONRLRLUSUSui1ui1 = “0”ui1 = “1”導(dǎo)通閾值導(dǎo)通閾值ui1 由由“1”變?yōu)樽優(yōu)?“0”CGS2 充電充電 chargee-100S1OGS2LchargeS1O1O tUtuCRUuu OHSScharge01 ,pdlnlnUUUt ui1GDSCGS1GDSCGS2uO1uO2RONRLRLUSUSGDSCGS1GDSCGS2uO1uO2RONRLRLUSUSui1ui1 = “0”ui1 = “1”USRLCGS2+_UO1+_關(guān)斷閾值關(guān)斷閾值CGS2 放電放電 d

39、ischargee00S1OGS2ONGS2ONLONLdischarge1OS1O tUtuCRCRRRRuUu OLSdischarge10,pdlnlnUUt ui1 由由“0”變?yōu)樽優(yōu)?“1”ui1GDSCGS1GDSCGS2uO1uO2RONRLRLUSUSGDSCGS1GDSCGS2uO1uO2RONRLRLUSUSui1ui1 = “0”ui1 = “1”USRLRONCGS2+_UO1+_tpd, 01tpd, 10tui10tuO20tuO10UOLUOH2. DC-DC變換變換問題：如何改變直流電壓？問題：如何改變直流電壓？方法一：方法一：uGStT2T3T0utT2T3T

40、US0+uRUSDSG缺點缺點：類似橋式整流，：類似橋式整流， 直流質(zhì)量較差。直流質(zhì)量較差。改進思路：改進思路： 利用利用電感電感維持電流的能力。維持電流的能力。開關(guān)信號開關(guān)信號uGSu、itONtOFFt0 t tON 時段等效電路時段等效電路I1I2+uRUSLi 10Ii +uRUSDSGLii RUiS RL tRUIRUi eS1ST這類問題的分析特點：這類問題的分析特點：（1）設(shè)）設(shè)電路已經(jīng)進入穩(wěn)態(tài)電路已經(jīng)進入穩(wěn)態(tài)（2）畫）畫電路圖，電路圖，求求電路解電路解（3）利用邊界條件求出）利用邊界條件求出 關(guān)鍵點電壓關(guān)鍵點電壓/電流電流0方法二：方法二：TRLtON t 0 uS 0 ，

41、u = uS條件條件 i 0 uS RC放電速度。放電速度。uC uS ，D1和和D4截止。截止。uS 0時時uC uS，二極管，二極管不導(dǎo)通不導(dǎo)通0t假設(shè)假設(shè)uC為某值為某值+_i+_uCRCD1D4C 很大很大 Vsin2Stu RC放電放電uS -uS，二極，二極管不導(dǎo)通管不導(dǎo)通4. 用用Op Amp構(gòu)成微分器和積分器構(gòu)成微分器和積分器（1）積分器）積分器+- - +_uo+_uiR1RCuCuRtuCRuRddC oidduuCRt oi1duu tRC 如果如果uiUS（常數(shù)），則（常數(shù)），則SoUutRC 線性函數(shù)線性函數(shù)oCuu （2）微分器）微分器ddCRuuCtR oiddu

42、uCtR iodduuRCt +- - +_uo+_uiR1RCuCuR如果如果ui t US （線性函數(shù)），則（線性函數(shù)），則oSuRCU 常數(shù)常數(shù)oRuu 正反饋電路：虛短不再適用正反饋電路：虛短不再適用虛斷仍然適用虛斷仍然適用電路開始工作時存在電路開始工作時存在小擾動小擾動。由于正反饋，由于正反饋，uo為為Usat或或Usat設(shè)設(shè)uoUsat，則則usat2U+- - +_uoRRC+_uCR1設(shè)此時設(shè)此時uC=0，等效電路為，等效電路為+-Usat+uC-CR1 CRtCUu1e1sat 上升至上升至 時時uC =2satU由于正反饋，由于正反饋，uoUsat5. 用用Op Amp構(gòu)成

43、脈沖序列發(fā)生器構(gòu)成脈沖序列發(fā)生器uoUsat，此時，此時uC=Usat/2，等效電路為，等效電路為+Usat+uC-CR11satsatsate2t R CCUuUU 下降至下降至 時，時，uC = sat2U由于正反饋，由于正反饋，uoUsat+- - +_uoRRC+_uCR1tuO+- - +_uoRRC+_uCR1uCCRTtCUUUu12satsatsate2 CRtCUUUu1e2satsatsat CRTUUU12satsatsate232 12ln3TR C 0占空比：占空比：D=ton/T也可以得到也可以得到如何使占空比可調(diào)？如何使占空比可調(diào)？t=T/2時時如何產(chǎn)生三角波？如

44、何產(chǎn)生三角波？返回目錄返回目錄R分別為分別為5 、4 、1 、 0 時求時求uC(t)、 iL(t) ，t 0 。uC(0-) = 3ViL(0- -) = 0(t=0)0.01F+-uC0.04HRiL1. 列方程列方程CLLuRitiL dd01dddd22 CCCuLCtuLRtu5.5 5.5 二階動態(tài)電路二階動態(tài)電路一、經(jīng)典解法求解析表達式一、經(jīng)典解法求解析表達式LCituC dd2. 求自由分量求自由分量特征方程特征方程01dddd22 CCCuLCtuLRtu(t=0)0.01F+-uC0.04HRiL02500dd25dd22 CCCutuRtu02500252 Rpp1000

45、625422 RacbR5 2510012( )eettCutAA0562542 acb1002521 ppR4 042 acb505012( )eettCutAA t5021 PPR1 12.5( )esin(48.4)tCutKt 0937542 acb4 .48j5 .122,1 p(t=0)0.01F+-uC0.04HRiL10000625422 Racb過阻尼過阻尼臨界阻尼臨界阻尼欠阻尼欠阻尼有關(guān)欠阻尼二階動態(tài)電路中有關(guān)欠阻尼二階動態(tài)電路中3 3個參數(shù)的討論：個參數(shù)的討論：01dddd22 CCCuLCtuLRtu220自由振蕩角頻率自由振蕩角頻率/自然角頻率自然角頻率衰減系數(shù)衰減系

46、數(shù)00dd2dd2022 CCCututu 欠阻尼欠阻尼 022j2220 Cu220 dj 物理上穩(wěn)定的系統(tǒng)物理上穩(wěn)定的系統(tǒng)22d20衰減振蕩角頻率衰減振蕩角頻率d0 d03. 用初值確定待定系數(shù)用初值確定待定系數(shù)0ddV3)0(0 tCCtuuR5 2510012( )eettCutAA121212341251000AAAAAA 25100( )4eeV(0)ttCuttR4 505012( )eettCutAA t50( )3e(150 )V(0)tCuttt 112123 3, 150500AAAAA R1 12.5( )esin(48.4)tCutKt osin3 3.1, 75.5

47、12.5sin48.4cos0KKKK 12.5o( )3.10esin(48.475.5 )V(0)tCuttt 25100( )eeA(0)tti tt50( )75 eA(0)ti ttt LCituC ddR5 R4 R1 25100( )4eeV(0)ttCutt50( )3e(150 )V(0)tCuttt 12.5o( )3.10esin(48.475.5 )V(0)tCuttt (t=0)0.01F+-uC0.04HRiL看仿真看仿真12.5( )1.55esin48.4 A(0)ti ttt iLuC過阻尼，無振蕩放電過阻尼，無振蕩放電4. 波形與能量傳遞波形與能量傳遞R5

48、0 t tm uC 減小減小 , i 減小減小 。25100( )4eeV(0)ttCutt25100( )eeA(0)tti tttmRLCRLCiLuC0 t tm uC 減小減小 , i 減小減小.R4 50( )3e(150 )V(0)tCuttt 50( )75 eA(0)ti ttt tmRLCRLC臨界阻尼，無振蕩放電臨界阻尼，無振蕩放電欠阻尼，振蕩放電欠阻尼，振蕩放電R1 12.5o( )3.10esin(48.475.5 )V (0)tCuttt 12.5( )1.55esin48.4 A(0)ti ttt uCiLuCiLRLCo904 .480tuC 減小，減小， i 增

49、加增加RLCoo5 .1044 .4890tuC 減小減小 ，i 減小減小oo1804 .485 .104 t| uC | 增加，增加，i 減小減小RLC討論半個周期中能量的關(guān)系討論半個周期中能量的關(guān)系周而復(fù)始，電阻不斷消耗能量，周而復(fù)始，電阻不斷消耗能量，uCiL衰減到零。衰減到零。12.5( )1.55esin48.4 A(0)ti ttt 12.5o( )3.10esin(48.475.5 )VtCutt ( )3cos50 V(0) Cuttt0dd2 CCutuLC025002 p50j p )50sin()( tKtuC0d(0)3,0dCCtuut o 3,90K (t=0)0.

50、01F+-uC0.04HiLR0( )1.5sin50 A(0)i ttt無阻尼振蕩無阻尼振蕩二、用直覺解法定性畫支路量的變化曲線二、用直覺解法定性畫支路量的變化曲線1. 過阻尼或臨界阻尼（無振蕩衰減）過阻尼或臨界阻尼（無振蕩衰減） 初值初值 導(dǎo)數(shù)初值導(dǎo)數(shù)初值 終值終值(t=0)0.01F+-uC0.04HRiL3uC(0-) = 3ViL(0- -) = 0uCiL1225,100pp uCt0iLt0以過阻尼為例。以過阻尼為例。0(0 )3Vd1(0 )0dCCLtuuitC 0(0 )0d13(0 )dLLLtiiutLL 2. 欠阻尼（衰減振蕩）欠阻尼（衰減振蕩） 初值初值 導(dǎo)數(shù)初值導(dǎo)

51、數(shù)初值 終值終值 經(jīng)過多少周期振蕩衰減完畢經(jīng)過多少周期振蕩衰減完畢(t=0)0.01F+-uC0.04HRiLuC(0-) = 3ViL(0- -) = 0s4 . 05 .12515 回憶一階電路中的時間常數(shù)回憶一階電路中的時間常數(shù) ：35 后過渡過程結(jié)束后過渡過程結(jié)束后過渡過程結(jié)束后過渡過程結(jié)束振蕩周期為振蕩周期為s13. 04 .4822 T衰減過程中有衰減過程中有0.24/0.132次振蕩次振蕩或或0.4/0.133次振蕩次振蕩4 .48j5 .122, 1 p衰減系數(shù)衰減系數(shù)衰減衰減振蕩角頻率振蕩角頻率d ds24. 05 .12313 0(0 )3Vd1(0 )0dCCLtuuit

52、C (t=0)0.01F+-uC0.04HRiL衰減過程中有衰減過程中有0.24/0.132次振蕩次振蕩或或0.4/0.133次振蕩次振蕩3uCuCt04 .48j5 .122, 1 p 初值初值 導(dǎo)數(shù)初值導(dǎo)數(shù)初值 終值終值 經(jīng)過多少周期振蕩衰減完畢經(jīng)過多少周期振蕩衰減完畢0(0 )3Vd1(0 )0dCCLtuuitC 3. 無阻尼無阻尼 初值初值 導(dǎo)數(shù)初值導(dǎo)數(shù)初值 最大值最大值uC(0-) = 3ViL(0- -) = 0因為無阻尼，所以能量守恒因為無阻尼，所以能量守恒 tLitCuLiCuLCLC22222121021021 iL取最大值時，取最大值時，uC=0，因此，因此 A5 . 1

53、0max CLuLCi1.5-1.5(t=0)0.01F+-uC0.04HiLiLt050j piL LuLtiiLtLL301dd000三、關(guān)于列寫方程和求初值的討論三、關(guān)于列寫方程和求初值的討論C+-uLLRiL+-uC-+uRCRLuuu tuRCRiuCLRdd 22ddddtuLCtiLuCLL tiCuLCd1tiLuLLdd LRRiu tuRLtiLuRLLdddd tuRCtiCuRLCd1d1 tuLRRiuLLRd tuLCtiCuLLCd1d10dddd22 CCCutuRCtuLC0dddd22 LLLitiRCtiLC0dddd22 RRRutuRCtuLC0ddd

54、d22 LLLutuRCtuLC特點：特點： （1）同一電路不同支路變量微分方程的）同一電路不同支路變量微分方程的特征方程完全相同特征方程完全相同 自由分量形式完全相同自由分量形式完全相同 （2）同一電路不同支路變量微分方程）同一電路不同支路變量微分方程等號右端項和初值不同等號右端項和初值不同 強制分量和待定系數(shù)不同強制分量和待定系數(shù)不同 （3）同一電路不同支路變量微分方程列寫和初值獲取）同一電路不同支路變量微分方程列寫和初值獲取難度不同難度不同22dd0ddLLLiiLCRCitt22dd0ddCCCuuLCRCutt22dd0ddRRRuuLCRCutt22dd0ddLLLuuLCRCut

55、t V00 RuLRtiRtutLtR3dddd00 V30 LuLRtutututRtCtL3dddddd000 V30 Cu 001dd0 RtCuRCtu 00 Li LuLtiLtL301dd0 返回目錄返回目錄5.6 5.6 全響應(yīng)的分解全響應(yīng)的分解全解全解= =齊次解齊次解+ +特解特解全響應(yīng)全響應(yīng)= =自由響應(yīng)自由響應(yīng)+ +強制響應(yīng)強制響應(yīng)激勵激勵外部輸入（獨立源）外部輸入（獨立源）元件的初始儲能元件的初始儲能零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng)+= 全響應(yīng)全響應(yīng)iS(t=0)US+uRC+uCRuC (0-)=U0iS(t=0)US+uRC+ uCR=uC (0-)=0+u

56、C (0-)=U0C+ uCiS(t=0)+uRR全響應(yīng)全響應(yīng)= 零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng) + 零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng))0()e1(S tUutC SddUutuRCCC iS(t=0)US+uRC+uCRuC (0-)=U0例例1強制分量強制分量(穩(wěn)態(tài)解穩(wěn)態(tài)解)自由分量自由分量(暫態(tài)解暫態(tài)解)S0S()e(0)tCuUUUt tU e0)0(e)e1(0S tUUuttC 零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng)tuC0US零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)全響應(yīng)全響應(yīng)零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng)U0uC-USU0暫態(tài)解暫態(tài)解uCUS穩(wěn)態(tài)解穩(wěn)態(tài)解U0uC全解全解tuC0強制分量強

57、制分量(穩(wěn)態(tài)解穩(wěn)態(tài)解)自由分量自由分量(暫態(tài)解暫態(tài)解)S0S()e(0)tCuUUUt 兩種分解方式的比較：兩種分解方式的比較：)0(e)e1(0S tUUuttC 零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng)物理概念清楚物理概念清楚利于疊加利于疊加計算簡單計算簡單 全響應(yīng)全響應(yīng)= 零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng) + 零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng)全響應(yīng)全響應(yīng) = 強制分量強制分量(穩(wěn)態(tài)解穩(wěn)態(tài)解)+自由分量自由分量(暫態(tài)解暫態(tài)解)強制分量強制分量(穩(wěn)態(tài)解穩(wěn)態(tài)解)自由分量自由分量(暫態(tài)解暫態(tài)解)S0S()e(0)tCuUUUt 原因原因1：ZIR 和和 ZSR 都是可能單獨出現(xiàn)的過渡過程都是可能單獨出現(xiàn)的過渡過程原因原

58、因2：ZSR 對于分析一般激勵的響應(yīng)非常重要對于分析一般激勵的響應(yīng)非常重要iS(t=0)US+uRC+uCRuC (0-)=0S(1e)(0)tCuUt 零狀態(tài)零狀態(tài)激勵激勵響應(yīng)響應(yīng)S(1e)(0)tCuUt SUS2(1e)(0)tCuUt S2U S1S2(1e)(0)tCuUUt 2S1SUU 輸入輸出線性關(guān)系輸入輸出線性關(guān)系小結(jié)：小結(jié)：2. 一階電路的零輸入響應(yīng)和初始值成正比，稱為一階電路的零輸入響應(yīng)和初始值成正比，稱為零輸入線性零輸入線性。 一階電路的零輸入響應(yīng)是由儲能元件的初始儲能引一階電路的零輸入響應(yīng)是由儲能元件的初始儲能引起的響應(yīng)起的響應(yīng) , 都是從初始值衰減為零的都是從初始值

59、衰減為零的指數(shù)衰減函數(shù)指數(shù)衰減函數(shù)。3. 衰減快慢取決于衰減快慢取決于時間常數(shù)時間常數(shù) RC電路電路 = RC , RL電路電路 = L/R4. 同一電路中所有響應(yīng)具有相同的時間常數(shù)。同一電路中所有響應(yīng)具有相同的時間常數(shù)。 tyty e )0()(1. 一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)與輸入成正比，稱為一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)與輸入成正比，稱為零狀態(tài)線性零狀態(tài)線性。5. 一階電路的全響應(yīng)既不與初始值成正比，也不與輸入成正一階電路的全響應(yīng)既不與初始值成正比，也不與輸入成正比。比。返回目錄返回目錄一、單位階躍函數(shù)一、單位階躍函數(shù)(unit-step function)1. 定義定義 0)( 10)( 0)(ttt

60、 )(t 用用來描述開關(guān)的動作：來描述開關(guān)的動作：t = 0合合S u(t) = E)(t t = 0拉閘拉閘 i(t) = IS)(t SEu(t)t (t)01ISS)(ti5.7 5.7 單位階躍響應(yīng)和單位沖激響應(yīng)單位階躍響應(yīng)和單位沖激響應(yīng)2. 單位階躍函數(shù)的延遲單位階躍函數(shù)的延遲 )( 1)( 0)(000tttttt 3. 由單位階躍函數(shù)可組成復(fù)雜的信號由單位階躍函數(shù)可組成復(fù)雜的信號例例 1)()()(0ttttf (t)tf(t)101t0tf(t)0t (t-t0)t001t0- (t-t0)1()1()()( tttttf 例例 21t1 f(t)0t1t1011f(t)121