連續(xù)褶積與相關(guān)

1、1、傅里葉積分是分析連續(xù)信號(hào)的理論基礎(chǔ)。最簡(jiǎn)單的連續(xù)信號(hào)是單位脈沖信號(hào)單位脈沖信號(hào)（Impluse） ，它的表示式為DSP:幾種基本的連續(xù)信號(hào))(t0, 00,)(ttt1)( dtt并且CFT的性質(zhì)（6）:對(duì)偶性質(zhì))()(1)(fftx1)(t例1、計(jì)算單位信號(hào) )( 1)(ttx的頻譜。因?yàn)閱挝幻}沖信號(hào) 因此， 是一個(gè)實(shí)對(duì)稱(chēng)函數(shù)：其中 有任意階導(dǎo)數(shù)，在一個(gè)有限區(qū)間外的取值等于零。滿足上式的函數(shù)，我們稱(chēng)其為單位脈沖信號(hào)單位脈沖信號(hào)，或或 函數(shù)函數(shù)。 函數(shù))(t函數(shù)的真正表達(dá)式是 )0()()()(),(dttttt)0()()()(),(dttttt)(t)()(tt函數(shù)于是，可以得到 )(

2、1)()(2fdtetffti按照傅里葉積分變換中的對(duì)偶性質(zhì)，1)()(tt)(2tdfeftidtx)()(例:計(jì)算函數(shù)記 )(2tdfefti)()()()()(txdtxttx)()()()()()(2222)(2dexfXdfefXdfdexeddfextxfiftififtitfi其中可以得到這是Fourier變換的又一種推導(dǎo)方法。連續(xù)信號(hào)的褶積將前面的公式進(jìn)行推廣（P45）： )()()()(*)(tdtyxtytx稱(chēng)其為連續(xù)信號(hào)x(t)與y(t)的線性褶積線性褶積(Linear Convolution), 簡(jiǎn)稱(chēng)褶積褶積。表明:任何連續(xù)信號(hào)等于其與單位脈沖信號(hào)的褶積，稱(chēng)此性質(zhì)為連續(xù)

3、信號(hào)關(guān)于線性褶積的脈沖不變性，簡(jiǎn)稱(chēng)線性褶積的脈沖不變性。)()()()()(txdtxttx連續(xù)信號(hào)的褶積)()(*)()()()()()()()()()()(ttxtytuduuyutxtdtyttxdtyxtytx褶積是否具有可交換性?)()()()(*)(tdtyxtytx連續(xù)信號(hào)的褶積)()(fXtx)()(fYty設(shè))()()()()()()()()()()(222)(2tdfefYfXdfefYdexddfefYxdtyxtytxftiftifitfi則有)()()(*)(fYfXtytxi.e.,這表明：兩個(gè)連續(xù)信號(hào)的褶積，其頻譜就是兩個(gè)對(duì)應(yīng)信號(hào)頻譜的乘積；反過(guò)來(lái)講，兩個(gè)頻譜乘積

4、，其信號(hào)就是相應(yīng)的兩個(gè)連續(xù)信號(hào)的褶積。 連續(xù)信號(hào)的褶積顯然，可以用兩種不同的方法證明：顯然，可以用兩種不同的方法證明：褶積運(yùn)算具有可交換性！褶積運(yùn)算具有可交換性！連續(xù)信號(hào)的褶積)(*)()()()()()()()()(0000)(202020200fYfXdfffXfYdfdtetxfYdtedfefYtxdtetytxtffiftitfifti所以有)(*)()()(fYfXtytx連續(xù)信號(hào)的褶積20221)(ttttx2021)(ttty(Continuous_Convolution.m)連續(xù)信號(hào)的褶積1、前面講過(guò)的前面講過(guò)的CFT的線性性質(zhì)，僅僅涉的線性性質(zhì)，僅僅涉及兩個(gè)信號(hào)的簡(jiǎn)單加減；

5、注意信號(hào)的乘及兩個(gè)信號(hào)的簡(jiǎn)單加減；注意信號(hào)的乘積與褶積是完全不同的積與褶積是完全不同的。)()()(*)()(*)()()(fYfXtytxfYfXtytx2、褶積是褶積是Fourier分析中最最重要的性質(zhì)及分析中最最重要的性質(zhì)及運(yùn)算，其含義非常廣泛；濾波只是一種應(yīng)運(yùn)算，其含義非常廣泛；濾波只是一種應(yīng)用，這種應(yīng)用通常是借助褶積原理來(lái)實(shí)現(xiàn)用，這種應(yīng)用通常是借助褶積原理來(lái)實(shí)現(xiàn)的的。連續(xù)信號(hào)的相關(guān) 信號(hào)x(t)和y(t)的線性相關(guān)（線性相關(guān)（Linear Correlation，簡(jiǎn)稱(chēng)相關(guān)）定義為 （P173：連續(xù)相關(guān)內(nèi)容空缺）：連續(xù)相關(guān)內(nèi)容空缺）)()()()()(tdtyxtytx 特別地，若信號(hào)

6、x(t)=y(t),我們稱(chēng)其為自相關(guān)(Auto-Correlation)，否則就是互相關(guān)(Cross-Correlation)。 )()()()(ttytxtRxy通常記連續(xù)信號(hào)的相關(guān))()()()()()()()()()()(tdytxtuduuytuxtdtyttxdtyx因此有)()()()()()()(tdytxdtyxtytx連續(xù)信號(hào)的相關(guān))()(fYty)()(fXtx設(shè))()()()()()()()()()()(222)(2tdfefYfXdfefYdexddfefYxdtyxtytxftiftifitfi)()()()(fYfXtytx則有i.e.，這說(shuō)明了信號(hào)的相關(guān)運(yùn)算不具有

7、不具有可交換性質(zhì)。 連續(xù)信號(hào)的相關(guān)20221)(ttttx2021)(ttty(Continuous_Correlation.m)應(yīng)用：能量計(jì)算公式dttxtxdttxE)()()(2dtdfefXtxfti2)()(dffXdtetxfti)()(2dffXfX)()(dffX2)(（P50）連續(xù)信號(hào)的褶積與相關(guān) 1、有關(guān)、有關(guān) 函數(shù)的計(jì)算；函數(shù)的計(jì)算；2、連續(xù)信號(hào)的褶積（可交換性、頻譜表達(dá)式）；、連續(xù)信號(hào)的褶積（可交換性、頻譜表達(dá)式）；連續(xù)信號(hào)的褶積與相關(guān)分析的重點(diǎn)是：連續(xù)信號(hào)的褶積與相關(guān)分析的重點(diǎn)是：公式推導(dǎo)公式推導(dǎo)！3、連續(xù)信號(hào)的相關(guān)（頻譜表達(dá)式）；、連續(xù)信號(hào)的相關(guān)（頻譜表達(dá)式）；4、能量表達(dá)式。、能量表達(dá)式。有關(guān)褶積運(yùn)算的特別申明 無(wú)論是連續(xù)信號(hào)還是離散信號(hào)，褶積運(yùn)算是無(wú)論是連續(xù)信號(hào)還是離散信號(hào)，褶積運(yùn)算是它們最最重要的性質(zhì)；其重要性遠(yuǎn)在連續(xù)信號(hào)的它們最最重要的性質(zhì)；其重要性遠(yuǎn)在連續(xù)信號(hào)的其它八個(gè)性質(zhì)之上。其它八個(gè)性質(zhì)之上。時(shí)間域的褶積對(duì)應(yīng)著頻率域的乘積；時(shí)間域的褶積對(duì)應(yīng)著頻率域的乘積；時(shí)間域的乘積對(duì)應(yīng)著頻率域的褶積。時(shí)間域的乘積對(duì)應(yīng)著頻率域的褶積。這是這是Fourier分析方法普遍應(yīng)用的理論基礎(chǔ)；在此分析方法普遍應(yīng)用的理論基礎(chǔ)；在此基礎(chǔ)上衍生出許多快速算法。基礎(chǔ)上衍生出許多快速算法。 至此，我們已學(xué)完連續(xù)信號(hào)分析的所有理論至此，我們已學(xué)