大學(xué)物理演示2019ppt課件

1、它必須能把“顆粒性與 “波動(dòng)性” 統(tǒng)一起來(lái)！ 一般用復(fù)函數(shù) 代表微觀粒子的波函數(shù)。 ( , ) r t 要具體應(yīng)用物質(zhì)波的概念，就要有物質(zhì)波的波函數(shù)24.124.1、 波函數(shù)及其統(tǒng)計(jì)意義波函數(shù)及其統(tǒng)計(jì)意義I大大 光子出現(xiàn)概率大光子出現(xiàn)概率大I小小 光子出現(xiàn)概率小光子出現(xiàn)概率小 波動(dòng)性波動(dòng)性: 某處明亮則某處光強(qiáng)大某處明亮則某處光強(qiáng)大 即即 I 大大粒子性粒子性: 某處明亮則某處光子多某處明亮則某處光子多 即即 N 大大光子數(shù)光子數(shù) N I E02 光子在某處出現(xiàn)的概率和該處光振幅的平方成正比光子在某處出現(xiàn)的概率和該處光振幅的平方成正比類比光的波粒二象性類比光的波粒二象性 代表什么？代表什么？

2、( , ) r t24 量子力學(xué)初步量子力學(xué)初步由于進(jìn)行了量子力學(xué)的基本研究由于進(jìn)行了量子力學(xué)的基本研究特別是對(duì)波函數(shù)作出的統(tǒng)計(jì)解釋特別是對(duì)波函數(shù)作出的統(tǒng)計(jì)解釋19541954年獲諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)年獲諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)24.1.2、波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)銓釋、波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)銓釋( 1926 ) 量子力學(xué)的基本原理之一量子力學(xué)的基本原理之一(基本基本假設(shè)假設(shè))波函數(shù)的模方代表粒子空間分布的概率密度空間概率分布的空間概率分布的“概率幅概率幅”。物質(zhì)波的波函數(shù)物質(zhì)波的波函數(shù) 是描述粒子是描述粒子1926年年6月，玻恩月，玻恩Born )在題為在題為中，中，提出了物質(zhì)波的統(tǒng)計(jì)意義，他認(rèn)為：提出了物質(zhì)波的統(tǒng)計(jì)意義，他認(rèn)為

3、：物質(zhì)波并不像經(jīng)典波那樣代表實(shí)在物理量的波動(dòng)物質(zhì)波并不像經(jīng)典波那樣代表實(shí)在物理量的波動(dòng)而是描述粒子在空間概率分布的概率波而是描述粒子在空間概率分布的概率波物質(zhì)波的波函數(shù)物質(zhì)波的波函數(shù) 是描述粒子在空間概率分布的是描述粒子在空間概率分布的“概概率振幅率振幅”。),(),( ),(*2trtrtr 代表代表 t t時(shí)刻，在時(shí)刻，在 點(diǎn)處單位體積中發(fā)現(xiàn)一個(gè)粒子點(diǎn)處單位體積中發(fā)現(xiàn)一個(gè)粒子的概率，稱為概率密度。的概率，稱為概率密度。rr rdVdVx x y yz zdVtr2),(其模的平方：其模的平方：t t 時(shí)刻在時(shí)刻在 點(diǎn)附近點(diǎn)附近dV dV 內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的概率：內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的概率：r dzzzdy

4、yydxxx自由粒子波函數(shù)自由粒子波函數(shù).const= .const=phhE ，類比，沿類比，沿+x傳播的平面波：傳播的平面波：) (2=),( xtiAetxy-可得可得, 沿沿+x方向運(yùn)動(dòng)的自由粒子波函數(shù)為：方向運(yùn)動(dòng)的自由粒子波函數(shù)為：) (20),( xtietx ，)-(-0pxEtie， 2h 式中式中)(2cos= xtAy-在三維空間中運(yùn)動(dòng)的自由粒子波函數(shù)：在三維空間中運(yùn)動(dòng)的自由粒子波函數(shù)：- ( -)0 ( , )iE t p rr te 空間波函數(shù)空間波函數(shù)通常寫成：通常寫成：tEirpieetr 0),(tEier )(rpier 0)( 24.1.4、波函數(shù)的態(tài)疊加原理

5、、波函數(shù)的態(tài)疊加原理這里這里 c1 c2. cn 是任意復(fù)常數(shù)。是任意復(fù)常數(shù)。假設(shè)假設(shè) 1，2 n 等，都是微觀粒子體等，都是微觀粒子體系系那么他們的線性疊加狀態(tài)那么他們的線性疊加狀態(tài)iinncccc2211也是這個(gè)體系的一個(gè)可能的狀態(tài)。也是這個(gè)體系的一個(gè)可能的狀態(tài)。的可能的狀態(tài)，的可能的狀態(tài)，只開(kāi)上縫只開(kāi)上縫 1，屏上概率分布，屏上概率分布 P1只開(kāi)下縫只開(kāi)下縫 2，屏上概率分布，屏上概率分布 P2雙縫雙縫 齊開(kāi)，屏上概率分布齊開(kāi)，屏上概率分布 P12=P1+P2（1子彈穿過(guò)雙縫子彈穿過(guò)雙縫（2電子雙縫衍射電子雙縫衍射只開(kāi)下縫只開(kāi)下縫, 只開(kāi)上縫只開(kāi)上縫, 211|P 電子在屏上概率分布為電

6、子在屏上概率分布為222|P 電子在屏上概率分布為電子在屏上概率分布為雙縫雙縫 齊開(kāi)齊開(kāi), 電子可通過(guò)上縫也可通過(guò)下縫電子可通過(guò)上縫也可通過(guò)下縫,通過(guò)上、下縫各有一定的概率通過(guò)上、下縫各有一定的概率,1 2 、 都有都有,總的概率幅為總的概率幅為221112cc 2221121212221112|ccPcc 212221PP| 出現(xiàn)了雙逢干涉花樣。出現(xiàn)了雙逢干涉花樣。是由于概率幅的線性疊加產(chǎn)生的。是由于概率幅的線性疊加產(chǎn)生的。即使只有一個(gè)電子，當(dāng)雙縫齊開(kāi)時(shí)即使只有一個(gè)電子，當(dāng)雙縫齊開(kāi)時(shí),兩部分概率幅的疊加就會(huì)產(chǎn)生干涉。兩部分概率幅的疊加就會(huì)產(chǎn)生干涉。微觀粒子是波函數(shù)的疊加，而不微觀粒子是波函數(shù)

7、的疊加，而不是概率的疊加。是概率的疊加。它的狀態(tài)就要用它的狀態(tài)就要用 來(lái)描述，來(lái)描述，221112cc 2. 波函數(shù)的有限性波函數(shù)的有限性粒子在空間某處出現(xiàn)的概率不能無(wú)限大粒子在空間某處出現(xiàn)的概率不能無(wú)限大1. 波函數(shù)的單值性波函數(shù)的單值性任意時(shí)刻粒子在空間出現(xiàn)的概率只可能是一個(gè)值任意時(shí)刻粒子在空間出現(xiàn)的概率只可能是一個(gè)值 24.1.3 24.1.3、波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)化條件、波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)化條件概率不能在某處發(fā)生突變概率不能在某處發(fā)生突變3. 波函數(shù)的連續(xù)性波函數(shù)的連續(xù)性以上要求稱為波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)化條件以上要求稱為波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)化條件波函數(shù)的歸一性：波函數(shù)的歸一性： 根據(jù)波函數(shù)統(tǒng)計(jì)解釋，在全空間各點(diǎn)的概

8、率根據(jù)波函數(shù)統(tǒng)計(jì)解釋，在全空間各點(diǎn)的概率總和必須為總和必須為1 1。 1,2dVtr)(全全空空間間 留意留意 歸一化條件歸一化條件波函數(shù)可以允許包含一個(gè)任意的常數(shù)因子波函數(shù)可以允許包含一個(gè)任意的常數(shù)因子 對(duì)于概率分布來(lái)講對(duì)于概率分布來(lái)講 重要的是相對(duì)概率分布重要的是相對(duì)概率分布 tr,trC,和和描寫同一個(gè)概率波描寫同一個(gè)概率波22212221,trtrtrCtrC因?yàn)閷?duì)于空間任意兩點(diǎn)來(lái)說(shuō)概率比值相同：因?yàn)閷?duì)于空間任意兩點(diǎn)來(lái)說(shuō)概率比值相同：只要給出了初始條件，只要給出了初始條件，下一時(shí)刻粒子的軌跡下一時(shí)刻粒子的軌跡是已知的。（決定論的）是已知的。（決定論的）經(jīng)典力學(xué)經(jīng)典力學(xué)描述粒子：描述粒子

9、：)(trr量子力學(xué)量子力學(xué)描述粒子：描述粒子：),( tr2 ),( tr不能預(yù)言粒子必然在哪里不能預(yù)言粒子必然在哪里出現(xiàn)，只能預(yù)言粒子出現(xiàn)出現(xiàn)，只能預(yù)言粒子出現(xiàn)的概率。（非決定論的）的概率。（非決定論的）粒子的軌跡粒子的軌跡 粒子出現(xiàn)的概率粒子出現(xiàn)的概率)(trr小結(jié)小結(jié)波函數(shù)統(tǒng)計(jì)詮釋涉及對(duì)世界本質(zhì)的認(rèn)識(shí)觀念波函數(shù)統(tǒng)計(jì)詮釋涉及對(duì)世界本質(zhì)的認(rèn)識(shí)觀念哥本哈根學(xué)派哥本哈根學(xué)派-愛(ài)因斯坦愛(ài)因斯坦 著名論戰(zhàn)著名論戰(zhàn)量子力學(xué)背后隱藏著還沒(méi)有量子力學(xué)背后隱藏著還沒(méi)有被揭示的更基本的規(guī)律，這被揭示的更基本的規(guī)律，這個(gè)規(guī)律對(duì)量子力學(xué)有新的解個(gè)規(guī)律對(duì)量子力學(xué)有新的解釋。上帝不會(huì)擲骰釋。上帝不會(huì)擲骰toutou

10、子子波函數(shù)的概波函數(shù)的概率解釋是自率解釋是自然界的終極然界的終極實(shí)質(zhì)實(shí)質(zhì)玻爾、波恩、海玻爾、波恩、海森伯、費(fèi)曼等森伯、費(fèi)曼等還有狄拉克、還有狄拉克、德布羅意等德布羅意等海森伯海森伯（W. K. HeisenbergW. K. Heisenberg，1901-19761901-1976） 德國(guó)理論物理學(xué)家。為德國(guó)理論物理學(xué)家。為量子力學(xué)的創(chuàng)立作出了最早量子力學(xué)的創(chuàng)立作出了最早的貢獻(xiàn)，的貢獻(xiàn)，2525歲時(shí)提出的不確歲時(shí)提出的不確定關(guān)系則與物質(zhì)波的概率解定關(guān)系則與物質(zhì)波的概率解釋一起奠定了量子力學(xué)的基釋一起奠定了量子力學(xué)的基礎(chǔ)。為此，他于礎(chǔ)。為此，他于19321932年獲得年獲得諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)金。諾

11、貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)金。24.2 24.2 不確定關(guān)系不確定關(guān)系 經(jīng)典力學(xué)中，粒子所在力場(chǎng)的性質(zhì)確定后，物體以后的經(jīng)典力學(xué)中，粒子所在力場(chǎng)的性質(zhì)確定后，物體以后的運(yùn)動(dòng)位置就可確定。因此可用軌道來(lái)描述粒子的運(yùn)動(dòng)。運(yùn)動(dòng)位置就可確定。因此可用軌道來(lái)描述粒子的運(yùn)動(dòng)。 微觀粒子，具有顯著的波動(dòng)性，我們不能用經(jīng)典的方法來(lái)微觀粒子，具有顯著的波動(dòng)性，我們不能用經(jīng)典的方法來(lái)描述它的粒子性。描述它的粒子性。以電子束單縫衍射為例以電子束單縫衍射為例.2sina只計(jì)中央明紋區(qū)只計(jì)中央明紋區(qū), , 角寬度角寬度一、位置和動(dòng)量的不確定關(guān)系一、位置和動(dòng)量的不確定關(guān)系0 xp正中1sinxpp 沿hpxx位置不確定量：位置不確定量

12、：ax 不確定量動(dòng)量xpp ppypypxpx1 電子如何進(jìn)入中央明紋區(qū)的？電子如何進(jìn)入中央明紋區(qū)的？1sinxhhppaa 考慮次級(jí)極大：考慮次級(jí)極大：1sin/xpph a xxph 1sina位置和動(dòng)量的不確定關(guān)系位置和動(dòng)量的不確定關(guān)系1927年年, 海森伯海森伯 一個(gè)微觀粒子不能同時(shí)具有確定一個(gè)微觀粒子不能同時(shí)具有確定的坐標(biāo)和確定的動(dòng)量的坐標(biāo)和確定的動(dòng)量2xpx2 qp1932年年 Nobel Prize h 經(jīng)典和量子的分水嶺經(jīng)典和量子的分水嶺2ypy2zpz0;,xpxx位置完全確定位置完全確定xp動(dòng)量分量完全不確定動(dòng)量分量完全不確定粒子向何方運(yùn)動(dòng)？粒子向何方運(yùn)動(dòng)？“軌道概軌道概念

13、失去意念失去意義義0;,xxpxp動(dòng)量完全確定動(dòng)量完全確定x位置完全不確定位置完全不確定粒子在何處？粒子在何處？闡明：闡明：1 1） 微觀粒子運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，其坐標(biāo)的確定程度與該微觀粒子運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，其坐標(biāo)的確定程度與該方向上動(dòng)量分量的確定程度相互制約方向上動(dòng)量分量的確定程度相互制約/2xxp 24220Em CP C設(shè)有一個(gè)速度為設(shè)有一個(gè)速度為V V，質(zhì)量為，質(zhì)量為m m的粒子，其能量的粒子，其能量考慮到考慮到E E的增量：的增量：222422022C P PC mV PEEm CP CV PxPt/2E tx p 2tE能量與時(shí)間不確定關(guān)系式能量與時(shí)間不確定關(guān)系式即：即：二、能量與時(shí)間不確定關(guān)系

14、二、能量與時(shí)間不確定關(guān)系光譜研究證實(shí)了這一點(diǎn)光譜研究證實(shí)了這一點(diǎn)寬度越小的能級(jí)越穩(wěn)定寬度越小的能級(jí)越穩(wěn)定三、三、 不確定關(guān)系的意義不確定關(guān)系的意義 1. 波粒二象性的必然結(jié)果波粒二象性的必然結(jié)果. 2. 說(shuō)明經(jīng)典描述手段對(duì)微觀粒子不適用說(shuō)明經(jīng)典描述手段對(duì)微觀粒子不適用. 3. 微觀粒子不可能靜止微觀粒子不可能靜止. 不能同時(shí)為不能同時(shí)為 0 粒子永遠(yuǎn)運(yùn)動(dòng)粒子永遠(yuǎn)運(yùn)動(dòng)當(dāng)當(dāng) T=00 K 時(shí)時(shí),普朗克假設(shè)普朗克假設(shè) 應(yīng)修正為應(yīng)修正為, xp Enh1()2EnhH 原子基態(tài)有能量原子基態(tài)有能量,( 0 點(diǎn)能點(diǎn)能 ). 不塌縮不塌縮 4. 不確定關(guān)系是統(tǒng)計(jì)關(guān)系的必然結(jié)果不確定關(guān)系是統(tǒng)計(jì)關(guān)系的必然結(jié)果

15、5. 宏觀與微觀的分界線宏觀與微觀的分界線經(jīng)典經(jīng)典.xx ph 0h留意：不確定關(guān)系不是實(shí)驗(yàn)誤差，不是由于理論不完留意：不確定關(guān)系不是實(shí)驗(yàn)誤差，不是由于理論不完善或儀器不準(zhǔn)確引起的。善或儀器不準(zhǔn)確引起的。1smkg2vmp解解 ： 子彈的動(dòng)量子彈的動(dòng)量 例例 1 一顆質(zhì)量為一顆質(zhì)量為10 g 的子彈，具有的子彈，具有 的速率的速率 . 若其動(dòng)量的不確定范圍為動(dòng)量的若其動(dòng)量的不確定范圍為動(dòng)量的 則該子彈位置的不確定量范圍為多大則該子彈位置的不確定量范圍為多大?1sm200%01. 014smkg102%01. 0pp動(dòng)量的不確定范圍動(dòng)量的不確定范圍m103 . 3m1021063. 630434

16、phx位置的不確定量范圍位置的不確定量范圍 例例2 一電子具有一電子具有 的速率的速率, 動(dòng)量的不確范圍為動(dòng)動(dòng)量的不確范圍為動(dòng)量的量的 0.01% 則該電子的位置不確定范圍有多大則該電子的位置不確定范圍有多大?1 -sm200 128smkg108 . 1p解解 電子的動(dòng)量電子的動(dòng)量131smkg200109.1 vmp132smkg108 . 1%01. 0pp動(dòng)量的不確定范圍動(dòng)量的不確定范圍m107 . 3m108 . 11063. 623234phx位置的不確定量范圍位置的不確定量范圍nm109 2hphp得得：| 422pxm102310410863241829.).(解：解： 2 x

17、M例：光譜線的自然寬度例：光譜線的自然寬度譜線的自然寬度譜線的自然寬度tE2MHz0841.ts810t若原子處于激發(fā)態(tài)能級(jí)的壽命若原子處于激發(fā)態(tài)能級(jí)的壽命那么那么eV10338 .hE例：氦氖激光器發(fā)光的波長(zhǎng)例：氦氖激光器發(fā)光的波長(zhǎng)632.8nm, 譜線寬度譜線寬度 , 求求光子沿運(yùn)動(dòng)方向的位置不確定量光子沿運(yùn)動(dòng)方向的位置不確定量 . nm109例：電子在顯像管中的運(yùn)動(dòng)例：電子在顯像管中的運(yùn)動(dòng)加速電壓加速電壓U=102V，電子準(zhǔn)直直徑為，電子準(zhǔn)直直徑為0.1mmeUEkxpx2kexxEmxpp22可看成經(jīng)典粒子可看成經(jīng)典粒子m00010.xJ106110010611719.20cmEeJ1

18、0198MeV/c5110142.kexEmp281079 .)(22cmEEpcekkJ/2MeV3097/cm2keV87/cmEt222mcs108321 . 奧地利物理學(xué)家，奧地利物理學(xué)家，1887年年8月月12日出生日出生在奧地利首都維也納。父親是漆布廠廠主。在奧地利首都維也納。父親是漆布廠廠主。幼年時(shí)受到了良好的教育，由于他聰明過(guò)人，幼年時(shí)受到了良好的教育，由于他聰明過(guò)人，基礎(chǔ)好，上學(xué)時(shí)成績(jī)一直名列前茅?；A(chǔ)好，上學(xué)時(shí)成績(jī)一直名列前茅。23歲時(shí)歲時(shí)獲哲學(xué)博士。獲哲學(xué)博士。1921年受聘于瑞士的蘇黎世大年受聘于瑞士的蘇黎世大學(xué)任數(shù)學(xué)物理教授，在那里工作了學(xué)任數(shù)學(xué)物理教授，在那里工作了

19、6年，薛年，薛定諤方程就是那時(shí)提出的。定諤方程就是那時(shí)提出的。1933年。薛定諤年。薛定諤和狄拉克分享了該年度的諾貝爾獎(jiǎng)金。薛定和狄拉克分享了該年度的諾貝爾獎(jiǎng)金。薛定諤除了在物理，特別是量子力學(xué)方面的貢獻(xiàn)諤除了在物理，特別是量子力學(xué)方面的貢獻(xiàn)外，還把量子力學(xué)理論應(yīng)用于生命現(xiàn)象，發(fā)外，還把量子力學(xué)理論應(yīng)用于生命現(xiàn)象，發(fā)展了生物物理這一邊緣科學(xué)。他還發(fā)表過(guò)詩(shī)展了生物物理這一邊緣科學(xué)。他還發(fā)表過(guò)詩(shī)集。集。24.3 24.3 薛定諤方程薛定諤方程 ( (量子力學(xué)基本原理之量子力學(xué)基本原理之二）二）24.3.1.1 24.3.1.1 自由粒子的薛定諤方程自由粒子的薛定諤方程 mpE22具有一定能量和動(dòng)量

20、的粒子相聯(lián)系的是一個(gè)單色平面波：具有一定能量和動(dòng)量的粒子相聯(lián)系的是一個(gè)單色平面波：/0,rpEtietr質(zhì)量為質(zhì)量為m,動(dòng)量為動(dòng)量為p,能量為能量為E的自由粒子沿的自由粒子沿x軸運(yùn)動(dòng)軸運(yùn)動(dòng)其波函數(shù)其波函數(shù)/ )(0)(20).(pxEtipxEthieetx2222pxiEt利用在非相對(duì)論下能量和動(dòng)量的關(guān)系利用在非相對(duì)論下能量和動(dòng)量的關(guān)系tixm2222可得可得一維運(yùn)動(dòng)自由粒子的一維運(yùn)動(dòng)自由粒子的含時(shí)薛定諤方程含時(shí)薛定諤方程 pixttritrm),(,222- - 自由粒子的含時(shí)薛定諤方程自由粒子的含時(shí)薛定諤方程三維三維24.3.1. 2 在保守力場(chǎng)中粒子的薛定諤方程在保守力場(chǎng)中粒子的薛定諤

21、方程 ppkEmpEEE222222px()kpi EEiEt一維一維可得可得tiExmp2222勢(shì)場(chǎng)中一維運(yùn)動(dòng)粒子勢(shì)場(chǎng)中一維運(yùn)動(dòng)粒子的含時(shí)薛定諤方程的含時(shí)薛定諤方程 三維三維tiEmp222三維勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)粒子三維勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)粒子的含時(shí)薛定諤方程的含時(shí)薛定諤方程 2222222zyx討論討論: :1) 1) 薛定諤方程是量子力學(xué)中的一項(xiàng)基本假設(shè)。薛定諤方程是量子力學(xué)中的一項(xiàng)基本假設(shè)。2) 2) 薛定諤方程是線性齊次微分方程，保證了態(tài)的線性疊加薛定諤方程是線性齊次微分方程，保證了態(tài)的線性疊加性在時(shí)間進(jìn)程中保持不變。性在時(shí)間進(jìn)程中保持不變。3) 3) 薛定諤方程是關(guān)于時(shí)間的一階偏微分方程；知道初始時(shí)

22、刻波薛定諤方程是關(guān)于時(shí)間的一階偏微分方程；知道初始時(shí)刻波 函數(shù)，就可以確定以后任何時(shí)刻的波函數(shù)。函數(shù)，就可以確定以后任何時(shí)刻的波函數(shù)。tiEmp22224.3.2.24.3.2.定態(tài)薛定諤方程定態(tài)薛定諤方程則代入薛定諤方程的一般表達(dá)式則代入薛定諤方程的一般表達(dá)式 trrEmtrtip,2,22得：得： tfrtr, 222prif tf tErrtm rrEmrtfdtdtfip2221與時(shí)間無(wú)關(guān)，僅是坐標(biāo)的函數(shù)與時(shí)間無(wú)關(guān)，僅是坐標(biāo)的函數(shù)pE假設(shè)假設(shè)E令上式兩邊同時(shí)等于一常數(shù)令上式兩邊同時(shí)等于一常數(shù) E , E , 那么那么左邊左邊: : tEftfdtdi iEtetfEdtitftdf)(

23、)(特解特解右邊右邊: :- - 一般的定態(tài)薛定諤方程一般的定態(tài)薛定諤方程 rErrEmp222 iEtertfrtr)()(),(Edtitftdf)()(令上式兩邊同時(shí)等于一常數(shù)令上式兩邊同時(shí)等于一常數(shù) E , E , 那么那么左邊左邊: :tEftfdtdi iEtetf rrEmrtfdtdtfip2221 tfrtr,E一維一維0)()(2)(222xEEmdxxdp 0)(222rEEmrp xEpaxxaxo,00勢(shì)阱內(nèi)勢(shì)阱內(nèi)ax002222mEdxd那么那么0222kdxd其通解其通解勢(shì)阱外勢(shì)阱外axx,00)(x（有限條件）（有限條件）三三 一維無(wú)限深方勢(shì)阱問(wèn)題一維無(wú)限深方勢(shì)

24、阱問(wèn)題 0)(2222xEEmxdxdp kxAxsin22hhoaxEp2mEpk 令式中式中 A, 為待定系數(shù)為待定系數(shù) 0, 00, 0aax處在 0, 00) 1要求anmEk2與本征值與本征值 En 對(duì)應(yīng)本征函數(shù)對(duì)應(yīng)本征函數(shù) 0sin) 2kaAankaka0sin aAdxxan/2, 1) 320可求用 )0()sin(2axxanaxn（單值，連續(xù)條件）（單值，連續(xù)條件）（歸一化條件）（歸一化條件） kxAxsin本征能量 222222282mahnmanEEn )sin(xanAxn0n, 2 , 1nE1E2E3E4a0X( )nx4( )x3( )x2( )x1( )xa

25、0X2( )nx24( )x23( )x22( )x21( )x2222( , )( )sinnn xx txaa勢(shì)阱內(nèi)勢(shì)阱內(nèi)ax0 )sin(2xanaxn 0 xn阱外阱外0,xx a討論：討論：(1) (1) 無(wú)限深方勢(shì)阱中粒子能量量子化無(wú)限深方勢(shì)阱中粒子能量量子化 n n是量子數(shù)，是量子數(shù)，En En 是能量本征值，又稱能級(jí)是能量本征值，又稱能級(jí). .(2) (2) 無(wú)限深方勢(shì)阱粒子能譜為離散能譜，能級(jí)分布不均勻無(wú)限深方勢(shì)阱粒子能譜為離散能譜，能級(jí)分布不均勻 n n越大越大, ,能級(jí)間隔越大。能級(jí)間隔越大?；鶓B(tài) 22212maE其余稱為激發(fā)態(tài)其余稱為激發(fā)態(tài)(3) (3) 概率密度分布不

26、均勻概率密度分布不均勻當(dāng)當(dāng) n n 時(shí)過(guò)渡到時(shí)過(guò)渡到經(jīng)典力學(xué)經(jīng)典力學(xué)在某些極限條件下在某些極限條件下,量子規(guī)量子規(guī)律可以轉(zhuǎn)化為經(jīng)典規(guī)律。律可以轉(zhuǎn)化為經(jīng)典規(guī)律。量子物理的對(duì)應(yīng)原理量子物理的對(duì)應(yīng)原理2228nn hEmaE1E2E3E4a0X( )nx4( )x3( )x2( )x1( )xa0X2( )nx24( )x23( )x22( )x21( )x四四 對(duì)應(yīng)原對(duì)應(yīng)原理理在某些極限條件下在某些極限條件下,量子規(guī)律可以轉(zhuǎn)化為經(jīng)典規(guī)律量子規(guī)律可以轉(zhuǎn)化為經(jīng)典規(guī)律量子物理的對(duì)應(yīng)原理量子物理的對(duì)應(yīng)原理本征能量 222222282mahnmanEEn相鄰能級(jí)間隔相鄰能級(jí)間隔2218) 12(mahnEE

27、Enn能級(jí)的相對(duì)間隔能級(jí)的相對(duì)間隔nmahnmahnEEnn288222222時(shí)當(dāng)n0nnEE能量連續(xù)能量連續(xù)量子規(guī)律轉(zhuǎn)化為經(jīng)典規(guī)律量子規(guī)律轉(zhuǎn)化為經(jīng)典規(guī)律例例五五 一維方勢(shì)壘一維方勢(shì)壘 隧道效應(yīng)隧道效應(yīng)1. 1. 散射問(wèn)題和勢(shì)壘穿透散射問(wèn)題和勢(shì)壘穿透定態(tài)問(wèn)題有兩種態(tài)定態(tài)問(wèn)題有兩種態(tài)束縛態(tài)：束縛態(tài)： ( (一維一維 ) x ) x時(shí)時(shí) , ,(x)(x)0 0，E EU(x), U(x), 離散能離散能量量散射態(tài)：散射態(tài)： ( (一維一維 ) x ) x 時(shí)時(shí), , (x)(x)0 0，能量連續(xù)，能量連續(xù)對(duì)散射問(wèn)題對(duì)散射問(wèn)題已知粒子能量已知粒子能量 E, E, 求解定態(tài)薛定諤方程解求解定態(tài)薛定諤

28、方程解. .- - 粒子受勢(shì)場(chǎng)作用被散射到個(gè)方向去的概率粒子受勢(shì)場(chǎng)作用被散射到個(gè)方向去的概率2 .2 .勢(shì)壘勢(shì)壘 隧道效應(yīng)隧道效應(yīng)思索思索 E EEp0 Ep0 的情況的情況 研究穿透問(wèn)題研究穿透問(wèn)題Ep(x)Ep(x)x x0 0a aEp0Ep0 xEpEp0 Ep0 0 0 , , 2112220dmEdxh0121122kdxdEhmk221202202222pEEhmdxdEhmkp0222E20222222kdxd 0232322Ehmdxd0323322kdxd2123kk UE 0)(2222xEEmxdxdpEp(x)x0aEp00121122kdxd0222222kdxd0

29、323322kdxd 上述各方程的解上述各方程的解 xikxikeBeAx11111入射入射 反射反射 22222ik xik xxA eB e衰減衰減 33333ik xik xxAeBe入射入射 (反射反射)無(wú)反射無(wú)反射03B求求 A1 ,B1 ,-. 入射波的概率密度入射波的概率密度1133AAAA透射波的概率密度透射波的概率密度連續(xù)條件連續(xù)條件 020121000 xxdxddxdx axaxdxddxdaaax3232 xikxikeBeAx11111 xkxkeBeAx22222 333ik xxAe) 1 (2211BABA111222()()(2)ik A Bk AB32222

30、3(3)ik ak ak aAeBeAe322222 23 3(4)ik ak ak ak AeBkeik Ae 由波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件：由波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件：D穿透系數(shù)穿透系數(shù)Ep(x)x0aEp0) 1 (2211BABA) 2()()(222111BAkBAik322223(3)ik ak ak aAeBeAe322222 233(4)ik ak ak ak AeBk eik Ae32222233 3(3)(4) 2()ik ak akk Aek Aik A e32232322ik ak akikAeAek)4()3(2k32232322ik ak akikBeA ek思索思索1)(212ah

31、EUmak211) 1 (BBA22111)() 2(BkBAik1(1)(2)ik1 11222()ik Aikk B3212122312311 224iK ak aikkikkkikABe Aeikikk3231 /14ikakai fifAe eEUEkkf02120A 222223302211161pm EEak ahA AfDeDeA Af0D討論討論(1) 設(shè)粒子為設(shè)粒子為 e Ep-E=1ev 則當(dāng)則當(dāng) a = 2x10-10m D 0.44 a = 5x10-10 m D 0.016 質(zhì)子質(zhì)子 Ep-E = 1ev a = 2x10-10 m D 2x10-38 當(dāng)當(dāng) m, E

32、p-E 及及 a 為微觀尺度時(shí)為微觀尺度時(shí),(特別對(duì)于特別對(duì)于 e )穿透系數(shù)有一定值穿透系數(shù)有一定值.若為宏觀尺度若為宏觀尺度 D 0 勢(shì)壘穿透勢(shì)壘穿透(隧道效應(yīng)隧道效應(yīng))是一種微觀現(xiàn)象是一種微觀現(xiàn)象,是粒子波動(dòng)性的表現(xiàn)是粒子波動(dòng)性的表現(xiàn) .穿透系數(shù)穿透系數(shù)3212122312311 224iK ak aikkikkkikABe Aeikikk3231 /14ikakai fifAe e (2) 從經(jīng)典力學(xué)的觀點(diǎn)看從經(jīng)典力學(xué)的觀點(diǎn)看 022pEmpE 在勢(shì)壘區(qū)在勢(shì)壘區(qū),動(dòng)能為負(fù)值動(dòng)能為負(fù)值,動(dòng)量將為虛數(shù)動(dòng)量將為虛數(shù),(經(jīng)典理論不允許經(jīng)典理論不允許,稱隧道效應(yīng)佯繆稱隧道效應(yīng)佯繆).佯繆不存在：

33、能量不能分離成動(dòng)能和勢(shì)能佯繆不存在：能量不能分離成動(dòng)能和勢(shì)能(測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系),經(jīng)經(jīng)典理論不適用于微觀現(xiàn)象典理論不適用于微觀現(xiàn)象. (3) 當(dāng)當(dāng) E Ep或或E Ep 經(jīng)典經(jīng)典 粒子一定越過(guò)或不越過(guò)勢(shì)壘粒子一定越過(guò)或不越過(guò)勢(shì)壘 量子力學(xué)量子力學(xué) 有透射與反射有透射與反射dxhEEmpeDdD220 xdxEpab bapdxExEmheDD220022pkEEmpEEEp0 勢(shì)壘穿透隧道效應(yīng)：勢(shì)壘穿透隧道效應(yīng)：粒子將部分被勢(shì)壘反射粒子將部分被勢(shì)壘反射, 部分穿透勢(shì)壘部分穿透勢(shì)壘, - 隧道效應(yīng)或勢(shì)壘貫穿隧道效應(yīng)或勢(shì)壘貫穿20aDD e隧道特征長(zhǎng)度隧道特征長(zhǎng)度EU0a隧道效應(yīng)已完全被實(shí)驗(yàn)證

34、實(shí)隧道效應(yīng)已完全被實(shí)驗(yàn)證實(shí), 并制成掃描隧道顯微鏡并制成掃描隧道顯微鏡例例對(duì)電子計(jì)算對(duì)電子計(jì)算m=9.110-31kgSJ34101 . 1JeVEEp1901085則對(duì)不同的勢(shì)壘寬度則對(duì)不同的勢(shì)壘寬度a,D的數(shù)量級(jí)的數(shù)量級(jí))(0Aa1.0 2.0 5.0 10.0D0.1 1.210-2 1.710-5 3.010-1001.aA每 增 加， D 減 少 一 個(gè) 數(shù) 量 級(jí)hEEmapeDD022000DEEp穿透系數(shù)，但雖然)(20EEmp掃描隧道顯微鏡年由掃描隧道顯微鏡年由G.Binig G.Binig 和和H.Rohrer H.Rohrer 首先研制成功首先研制成功 針尖非常尖銳針尖非

35、常尖銳, ,接近原子尺寸接近原子尺寸. . 針尖與表面接近到零點(diǎn)幾毫米時(shí)針尖與表面接近到零點(diǎn)幾毫米時(shí), ,電子波電子波 函數(shù)重疊函數(shù)重疊, ,若加一小的直流電位差若加一小的直流電位差, ,出現(xiàn)出現(xiàn) 隧道電流隧道電流 I , I ,電流對(duì)針電流對(duì)針尖尖 表面距離表面距離 d d 十分敏感十分敏感, d , d 增加增加0.1 nm , I 0.1 nm , I 減小一個(gè)數(shù)量級(jí)減小一個(gè)數(shù)量級(jí). .堅(jiān)持堅(jiān)持 I I 不變不變, ,針尖的軌道提供了表面電子云分布或原子分布狀針尖的軌道提供了表面電子云分布或原子分布狀況況. .橫向分辨率達(dá)到橫向分辨率達(dá)到 0.1 nm, 0.1 nm, 縱向分辨率達(dá)到縱

36、向分辨率達(dá)到 0.001 nm 0.001 nm可以分辨出表面單個(gè)原子和原子臺(tái)階可以分辨出表面單個(gè)原子和原子臺(tái)階, ,原子結(jié)構(gòu)原子結(jié)構(gòu), ,超晶格結(jié)超晶格結(jié)構(gòu)構(gòu), ,表面缺陷細(xì)節(jié)表面缺陷細(xì)節(jié), ,觀測(cè)活體觀測(cè)活體 DNA DNA 基因基因, ,病毒病毒. .六六 諧振子諧振子1. 1. 線性諧振子定態(tài)薛定諤方程線性諧振子定態(tài)薛定諤方程 mkkxxmxEp,2121222勢(shì)能 xExxEdxdmp2222xm,令0222dd xExxmdxdm22222212mx122221dmddx22221mx Emmddmm22222212 Edd22222 Edd2222E2令2. 波函數(shù)波函數(shù) 在在

37、的漸進(jìn)行為的漸進(jìn)行為很大時(shí)，很大時(shí)， 20222dd取取3. 滿足束縛態(tài)邊界條件的級(jí)數(shù)解滿足束縛態(tài)邊界條件的級(jí)數(shù)解22e其解22 e ue22代入方程，代入方程， 得到得到 u() 所滿足的厄米微分方程：所滿足的厄米微分方程：01222uuddudd0222dd通解可寫成通解可寫成 發(fā)散因而的漸進(jìn)解xeu,2u() 必須中斷為有限項(xiàng)多項(xiàng)式必須中斷為有限項(xiàng)多項(xiàng)式,必要條件必要條件 =2n+1(奇數(shù)奇數(shù)) , n=0,1,2,- 221eddeHunnnn- 厄米多項(xiàng)式厄米多項(xiàng)式 12016032,124816128, 24,2, 1355244332210HHHHHH4. 能量本征值的零點(diǎn)能能量本征值的零點(diǎn)能12,2nE01222uuddudd21nEn零點(diǎn)能零點(diǎn)能(基態(tài)能量基態(tài)能量)為為:210E5. 能量本征函數(shù)和宇稱能量本征函數(shù)和宇稱線性諧振子定