極坐標(biāo)與參數(shù)方程

1、一、極坐標(biāo)系的建立：一、極坐標(biāo)系的建立：在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)O，叫做，叫做極點(diǎn)極點(diǎn)。引一條射線引一條射線OX，叫做，叫做極軸極軸。再選定一個(gè)長(zhǎng)度單位和再選定一個(gè)長(zhǎng)度單位和角度單位角度單位及及它的正方向它的正方向（通常取逆時(shí)針?lè)较颍＃ㄍǔＨ∧鏁r(shí)針?lè)较颍?。這樣就建立了一個(gè)這樣就建立了一個(gè)極坐標(biāo)系極坐標(biāo)系。XO二、極坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)的極坐標(biāo)的規(guī)定二、極坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)的極坐標(biāo)的規(guī)定XOM 對(duì)于平面上任意一點(diǎn)對(duì)于平面上任意一點(diǎn)M，用用 表示線段表示線段OM的長(zhǎng)度，的長(zhǎng)度，用用 表示從表示從OX到到OM 的的角度，角度， 叫做點(diǎn)叫做點(diǎn)M的的極徑極徑， 叫做點(diǎn)叫做點(diǎn)M的的極角極角，有序，有序數(shù)對(duì)

2、數(shù)對(duì)（ ， ）就叫做就叫做M的的極坐標(biāo)極坐標(biāo)。特別強(qiáng)調(diào)：特別強(qiáng)調(diào)： 表示線段表示線段OM的長(zhǎng)度的長(zhǎng)度，即，即點(diǎn)點(diǎn)M到到極點(diǎn)極點(diǎn)O的距離的距離； 表示從表示從OX到到OM的角度的角度，即，即以以O(shè)X（極軸）為始邊，（極軸）為始邊，OM 為終邊的角。為終邊的角。1、負(fù)極徑的定義、負(fù)極徑的定義說(shuō)明：一般情況下，極徑都是說(shuō)明：一般情況下，極徑都是正正值；在值；在某些必要情況下，極徑也可以取某些必要情況下，極徑也可以取負(fù)負(fù)值。值。對(duì)于點(diǎn)對(duì)于點(diǎn)M（ ， ）負(fù)極徑時(shí)的規(guī)定：負(fù)極徑時(shí)的規(guī)定：1作射線作射線OP，使，使 XOP= 2在在OP的反向延長(zhǎng)的反向延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)線上取一點(diǎn)M，使，使 OM = OXP M

3、3、正、負(fù)極徑時(shí)，點(diǎn)的確定過(guò)程比較、正、負(fù)極徑時(shí)，點(diǎn)的確定過(guò)程比較OXPOXP1作射線作射線OP，使，使 XOP= /4 2在在OP的反向延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)的反向延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)M，使，使 OM = 31作射線作射線OP，使，使 XOP= /4 2在在OP的上取一點(diǎn)的上取一點(diǎn)M，使，使 OM = 3M畫出點(diǎn)畫出點(diǎn) （3， /4） 和（和（3， /4）給定給定,在極坐標(biāo)系中描點(diǎn)的方法：在極坐標(biāo)系中描點(diǎn)的方法：先按極角先按極角找到找到極徑所在的射線極徑所在的射線，后，后按極徑的正負(fù)和數(shù)值按極徑的正負(fù)和數(shù)值在這條射線或其反向延長(zhǎng)線上描點(diǎn)。在這條射線或其反向延長(zhǎng)線上描點(diǎn)。M四、四、5、負(fù)極徑的實(shí)質(zhì)、負(fù)極徑的

4、實(shí)質(zhì) 從比較來(lái)看，負(fù)極徑比從比較來(lái)看，負(fù)極徑比正極徑多了一個(gè)操作，將射正極徑多了一個(gè)操作，將射線線OP“反向延長(zhǎng)反向延長(zhǎng)”。OXPMOXPM 而反向延長(zhǎng)也可以看成而反向延長(zhǎng)也可以看成是旋轉(zhuǎn)是旋轉(zhuǎn) ，因此，所謂因此，所謂“負(fù)負(fù)極徑極徑”實(shí)質(zhì)是實(shí)質(zhì)是管方向管方向的。這的。這與數(shù)學(xué)中通常的習(xí)慣一致，與數(shù)學(xué)中通常的習(xí)慣一致，用用“負(fù)負(fù)”表示表示“反向反向 ”。負(fù)極徑小結(jié)：負(fù)極徑小結(jié)：極徑變?yōu)樨?fù)極徑變?yōu)樨?fù)，極角增加極角增加 。特別強(qiáng)調(diào)：一般情況下（若不作特別說(shuō)明時(shí)），特別強(qiáng)調(diào)：一般情況下（若不作特別說(shuō)明時(shí)），認(rèn)為認(rèn)為 0 。因?yàn)樨?fù)極徑只在極少數(shù)情況用。因?yàn)樨?fù)極徑只在極少數(shù)情況用。六、極坐標(biāo)系下點(diǎn)與它的極

5、坐標(biāo)的六、極坐標(biāo)系下點(diǎn)與它的極坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)情況對(duì)應(yīng)情況1給定給定（ , ）,就可以在就可以在極坐標(biāo)極坐標(biāo)平面內(nèi)確定唯一的平面內(nèi)確定唯一的一點(diǎn)一點(diǎn)M。2給定平面上一點(diǎn)給定平面上一點(diǎn)M，但，但卻有無(wú)數(shù)個(gè)極坐標(biāo)與之對(duì)卻有無(wú)數(shù)個(gè)極坐標(biāo)與之對(duì)應(yīng)。應(yīng)。原因在于：極角有無(wú)數(shù)個(gè)。原因在于：極角有無(wú)數(shù)個(gè)。OXPM(,)一般地一般地,若若(,)是一點(diǎn)的極坐標(biāo)是一點(diǎn)的極坐標(biāo),則則(,+2k)、,+(2k+1)都可以都可以作為它的極坐標(biāo)作為它的極坐標(biāo).如果如果限定限定0,02或或 ,那么除那么除極點(diǎn)極點(diǎn)外外,平面內(nèi)的點(diǎn)和極坐標(biāo)就平面內(nèi)的點(diǎn)和極坐標(biāo)就可以一一對(duì)應(yīng)了可以一一對(duì)應(yīng)了.極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化關(guān)系式極坐標(biāo)與直角坐

6、標(biāo)的互化關(guān)系式:設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)M的直角坐標(biāo)是的直角坐標(biāo)是 (x, y) 極坐標(biāo)是極坐標(biāo)是 (,)x=cos, y=sin 2 = x2 + y2，tan= (x0)yx2. 極軸與直角坐標(biāo)系的極軸與直角坐標(biāo)系的x軸的正半軸的正半 軸重合軸重合;3. 兩種坐標(biāo)系的單位長(zhǎng)度單位相同兩種坐標(biāo)系的單位長(zhǎng)度單位相同.互化公式的三個(gè)前提條件：互化公式的三個(gè)前提條件：1. 極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合;參數(shù)方程與普通方程的互化參數(shù)方程與普通方程的互化sincosryrxx x2 2+y+y2 2=r=r2 2222)()(rbyaxsincosrbyrax注：注：1、參數(shù)方程的特點(diǎn)是沒(méi)有直

7、接體現(xiàn)曲線上點(diǎn)的橫、縱、參數(shù)方程的特點(diǎn)是沒(méi)有直接體現(xiàn)曲線上點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)之間的關(guān)系，而是分別體現(xiàn)了點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)與參數(shù)之坐標(biāo)之間的關(guān)系，而是分別體現(xiàn)了點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)與參數(shù)之間的關(guān)系。間的關(guān)系。 2、參數(shù)方程的應(yīng)用往往是在、參數(shù)方程的應(yīng)用往往是在x與與y直接關(guān)系很難或不可直接關(guān)系很難或不可能體現(xiàn)時(shí)，通過(guò)參數(shù)建立間接的聯(lián)系。能體現(xiàn)時(shí)，通過(guò)參數(shù)建立間接的聯(lián)系。1 .參數(shù)方程參數(shù)方程 是橢圓的參是橢圓的參 數(shù)方程數(shù)方程.cosxasinyb2 .在橢圓的參數(shù)方程中，常數(shù)在橢圓的參數(shù)方程中，常數(shù)a、b分分別是橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng)別是橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng). ab另外另外, 稱為稱為離心角離心角,規(guī)

8、定參數(shù)規(guī)定參數(shù)的取值范圍是的取值范圍是0,2 )cos ,sin .xaXyb焦點(diǎn)在 軸cos ,sin .xbYya焦點(diǎn)在 軸, 1bya2222xsinbycosax, 1ayb2222xsinaycosbxsinbycosa),(0000yxxyxC參數(shù)方程是的橢圓的中心在 雙曲線的參數(shù)方程雙曲線的參數(shù)方程 baoxy)MBABAsec()tanxayb為參數(shù)2a222xy-=1(a0,b0)的參數(shù)方程為：b3 ,2 )22o通 常 規(guī) 定且，。 雙曲線的參數(shù)方程可以由方程雙曲線的參數(shù)方程可以由方程 與三角恒等式與三角恒等式22221xyab22sec1tan 相比較而得到，所以雙曲線的參數(shù)方程相比較而得到，所以雙曲線的參數(shù)方程 的實(shí)質(zhì)是三角代換的實(shí)質(zhì)是三角代換.說(shuō)明：說(shuō)明： 這里參數(shù)這里參數(shù) 叫做雙曲線的離心角與直線叫做雙曲線的離心角與直線OM的傾斜角不同的傾斜角不同.拋物線的參數(shù)方程拋物線的參數(shù)方程