(完整版)全等三角形證明方法

1、全等三角形的證明方法一、三角形全等的判定：(1) 三組對應(yīng)邊分別相等的兩個三角形全等(SSS)；(2) 有兩邊及其夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等(SAS)；(3) 有兩角及其夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等(ASA)；(4) 有兩角及一角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等(AAS)；(5) 直角三角形全等的判定：斜邊及一直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等(HL).二、全等三角形的性質(zhì)：(1) 全等三角形的對應(yīng)邊相等；全等三角形的對應(yīng)角相等；(2) 全等三角形的周長相等、面積相等；(3) 全等三角形的對應(yīng)邊上的高對應(yīng)相等；(4) 全等三角形的對應(yīng)角的角平分線相等；(5) 全等三角形的對應(yīng)邊上的中線相等；三

2、、找全等三角形的方法：(1) 可以從結(jié)論出發(fā)，看要證明相等的兩條線段(或角)分別在哪兩個可能全等的三角形中；(2) 可以從已知條件出發(fā)，看已知條件可以確定哪兩個三角形相等；(3) 從條件和結(jié)論綜合考慮，看它們能一同確定哪兩個三角形全等；(4) 若上述方法均不行，可考慮添加輔助線，構(gòu)造全等三角形。三角形全等的證明中包含兩個要素：邊和角。積極發(fā)現(xiàn)隱含條件：公共角對頂角公共邊觀察發(fā)現(xiàn)等角等邊:等邊對等角同角的余角相等同角的補角相等等角對等邊等角的余角相等等角的補角相等推理發(fā)現(xiàn)等邊等角:圖1:平行轉(zhuǎn)化圖3:中點轉(zhuǎn)化圖2:等角轉(zhuǎn)化cb圖5:等量差轉(zhuǎn)化圖6:角平分線性質(zhì)轉(zhuǎn)化圖4:等量和轉(zhuǎn)化圖7:三線合一轉(zhuǎn)

3、化圖8:等積轉(zhuǎn)化圖9:中垂線轉(zhuǎn)化圖10:全等轉(zhuǎn)化圖11:等段轉(zhuǎn)化7四、構(gòu)造輔助線的常用方法：1、關(guān)于角平分線的輔助線:當題目的條件中出現(xiàn)角平分線時，要想到根據(jù)角平分線的性質(zhì)構(gòu)造輔助線角平分線具有兩條性質(zhì)：角平分線具有對稱性；角平分線上的點到角兩邊的距離相等。關(guān)于角平分線常用的輔助線方法：（1）截取構(gòu)造全等:如下左圖所示,0C是ZAOB的角平分線，D為OC上一點，為OB上一點，若在OA上取一點E,使得OE=OF,并連接DE，貝惰厶OED9AOFD,從而為我們證明線段、角相等創(chuàng)造了條件。例1、如上右圖所示，AB/CD,BE平分ZBCD,CE平分ZBCD,點E在AD上，求證：BC=AB+CD。提示:

4、在BC上取一點F使得BF=BA，連結(jié)EF。（2）角分線上點向角兩邊作垂線構(gòu)造全等利用角平分線上的點到兩邊距離相等的性質(zhì)來證明問題。如下左圖所示，過ZAOB的平分線OC上一點D向角兩邊OA、OB作垂線，垂足為E、F,連接DE、DF。則有：DE=DF,AOED9OFD。例2、如上右圖所示，已知AB>AD,ZBAC=ZFAC,CD=BC。求證：ZADC+ZB=180°（3）作角平分線的垂線構(gòu)造等腰三角形。如下左圖所示，從角的一邊OB上的一點E作角平分線OC的垂線EF,使之與角的另一邊OA相交，則截得一個等腰三角形（OEF）,垂足為底邊上的中點D,該角平分線又成為底邊上的中線和高，以利

5、用中位線的性質(zhì)與等腰三角形的三線合一的性質(zhì)。如果題目中有垂直于角平分線的線段，則延長該線段與角的另一邊相交，從而得到一個等腰三角形，可總結(jié)為：“延分垂，等腰歸”例3、如上右圖所示，已知ZBAD=ZDAC，AB>AC,CD丄AD于D，H是BC中點。求證：DH二廳（ABAC）2提示：延長CD交AB于點E,則可得全等三角形。問題可證。例4、已知，如圖，在RtABC中，AB=AC，ZBAC=90o，Zl=Z2，CE丄BD的延長線于E,求證：BD=2CE提示：延長CE交BA的延長線于點F。（4）作平行線構(gòu)造等腰三角形作平行線構(gòu)造等腰三角形分為以下兩種情況： 如下左圖所示，過角平分線OC上的一點E作

6、角的一邊OA的平行線DE，從而構(gòu)造等腰三角形ODE。 如下右圖所示，通過角一邊OB上的點D作角平分線OC的平行線DH與另外一邊AO的反向延長線相交于點H,從而構(gòu)造等腰三角形ODH。2、由線段和差想到的輔助線：(1) 遇到求證一條線段等于另兩條線段之和時，一般方法是截長補短法： 截長：在長線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等于另一條； 補短：將一條短線段延長，延長部分等于另一條短線段，然后證明新線段等于長線段。例1、在厶ABC中,AD平分ZBAC,ZACB=2ZB，求證：AB=AC+CD。(2) 對于證明有關(guān)線段和差的不等式，通常會聯(lián)系到三角形中兩線段之和大于第三邊、之差小于第三

7、邊，故可想辦法將某些線段轉(zhuǎn)化到一個三角形中證明。在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時，如直接證不出來，可連接兩點或廷長某邊構(gòu)成三角形，使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個或幾個三角形中，再運用三角形三邊的不等關(guān)系證明。例2、已知如圖，D、EABC內(nèi)兩點，求證:AB+AOBD+DE+CE.(3) 在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)角時如直接證不出來時，可連接兩點或延長某邊，構(gòu)造三角形，使求證的大角在某個三角形的外角的位置上，小角處于這個三角形的內(nèi)角位置上，再利用外角定理：例3：如圖：已知DABC內(nèi)的任一點，求證：ZBDOZBAC3、由中點想到的輔助線：在三角形中，如果已知一點是三角形某一邊上的中點，

8、那么首先應(yīng)該聯(lián)想到三角形的中線加倍延長中線及其相關(guān)性質(zhì)(等腰三角形底邊中線性質(zhì))，然后通過探索，找到解決問題的方法。(1)中線把原三角形分成兩個面積相等的小三角形.即如圖1,AD是AABC的中線，則1S二S二S(因為AABD與AACD是等底同高的)。AABDAACD2AABC圖1(2)倍長中線，如圖2，已知中點、中線問題應(yīng)想到倍長中線，由中線的性質(zhì)可知，一條中線將中點所在的線段平分，可得到一組等邊，通過倍長中線又可得到一組等邊及對頂角，因而可以得到一組全等三角形。如圖，延長AD到E,使得AD=AE，連結(jié)BE。例1、如圖3已知AABC中，AD是ZBAC的平分線，AD又是BC邊上的中線。求證：AABC是等腰三角形。4、驗證中點、中線問題，應(yīng)構(gòu)造平行線，如圖，過B作BE平行AC交AD延長線于E.例1、如圖3在等腰ABC中，AB=AC，在AB上截取BD，在AC延長線上截取CE,且使CE=BD.連接DE交BC于F.求證：DF=EF.5、其他輔助線作法：(1)延長已知邊構(gòu)造三角形在一些求證三角形問題中，延長某兩條線段(邊)相交，構(gòu)成一個封閉的圖形，可找到更多的相等關(guān)系，有助于問題的解決.例1、如圖4,在厶ABC中，AC=BC,ZC=90°,BD為ZABC的平分線.若A點到直線BD的距離AD為a，求BE