復(fù)變函數(shù)Taylor級數(shù)與羅朗級數(shù)學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)(hnsh)Taylor級數(shù)與羅朗級數(shù)級數(shù)與羅朗級數(shù)第一頁，共48頁。2CC( )nf z(0,1,2,)n 0( )( )nng zfz 01nAAAC|( )|,nnfzA (0,1,2,)n ( )g z0( )( )nnCCg z dzfz dz 第1頁/共47頁第二頁，共48頁。30nnA n 120nnnRAA CLn 0( )( )nnnCCg z dzfz dz 11( )( ) |kkknknCCfzdzfzdz 11( )kknknCCf zdsAds 0nLR 第2頁/共47頁第三頁，共48頁。4 f 0:Czr 0100( )( )()()()n

2、nnCCffddzzzz 0110( )( )()()()mmmCCffddzzzz 第3頁/共47頁第四頁，共48頁。500|zzz 0zr 0:Czr 0z z 010000000( )()( )( )( )1()()1nnnfz zfffz zzzz zzzz 1 第4頁/共47頁第五頁，共48頁。6010( )(),()nnnfzzMzr 0nnMr 第5頁/共47頁第六頁，共48頁。7同樣(tngyng)由引理1可得所證等式。00|1|zzz 0:Czr 0z z 0:Czr 00( )( )()ffzzz z 1001000( )()( )1()1nnnfzfzz zz zz z

3、第6頁/共47頁第七頁，共48頁。80:|UzzR( )20000000( )( )( )( )( )()()()1!2!nnf zfzfzf zf zz zz zz zn ) 1 . 2 (zU 0zUC1( )( )2Cff zdiz ( )f 第7頁/共47頁第八頁，共48頁。9( )f z 01001( )()()2()nnnCfdzziz ( )000()()!nnnfzzzn 0z z c U注注 定理定理1中的冪級數(shù)稱為函數(shù)中的冪級數(shù)稱為函數(shù)f (z) 在點在點z0的的Taylor級數(shù)展開式級數(shù)展開式，可以寫為可以寫為 其其中中cn為展開式的為展開式的Taylor系數(shù)系數(shù)，可表示

4、為，可表示為,)()( 00nnnzzczf),( )()(!)()(21021100 ndzzzzfinzfcCnnn 第8頁/共47頁第九頁，共48頁。100z0z()000()(),!nnfzcfzcn 0,1,2,n ( )f z( )f z第9頁/共47頁第十頁，共48頁。1100z 00z 01(3)1nnzz (| | 1)z 101) 1()1ln() 5 ( nnnznz(| | 1)z ( )0( )!nnfzcn 201(1)1!2!znnzezzn )|(| z210( 1)(2)sin(21)!nnnzzn )|(| z20( 1)(4)cos(2 )!nnnzzn

5、)|(| z第10頁/共47頁第十一頁，共48頁。12)1()1)(6(zLnez nnznn 1!) 1() 1(1 (| | 1)z 0,1,2 第11頁/共47頁第十二頁，共48頁。13011nn (| | 1) 2z 2201( 1)1nnnzz (| | 1)z 第12頁/共47頁第十三頁，共48頁。14 例例1 1 試將試將 在點在點 展成展成(zhn (zhn chn)chn)泰勒級數(shù)。泰勒級數(shù)。( )2zf zz 1z 第13頁/共47頁第十四頁，共48頁。15解解 因為因為(yn wi) (yn wi) 是是 2z ( )f z11( 2)3z 可在可在 內(nèi)展成泰勒內(nèi)展成泰勒

6、(ti l)(ti l)級級數(shù)，有數(shù)，有11213zzzz 11(1)3(1)3zzz 11113(1)3(1)33zzz 11100( 1) (1)( 1) (1)33nnnnnnnnzz 1111(1)2( 1),1333nnnnzz 例例1 1 試將試將 在點在點 展成泰勒展成泰勒(ti l)(ti l)級數(shù)。級數(shù)。( )2zf zz 1z 的唯一有限奇點，所以的唯一有限奇點，所以第14頁/共47頁第十五頁，共48頁。160zi 101( )f zz 112( )()fzziz3( )sinfzz 3104()( )zif zz 第15頁/共47頁第十六頁，共48頁。170zi 101(

7、 )f zz 112( )()fzziz3( )sinfzz 3104()( )zif zz 1( )f z10z 1zz1( )f z 0zi 10101( )()1zif zziii z ii 101(9)!1()!9!nnninzzin | 1zi 第16頁/共47頁第十七頁，共48頁。180zi 11()iizizziz 10( 1)()2nnnnnizizii 0()nnnii z iz 11()iizizziz 10( 1)()2nnnnnzii 0()nnni z i 101(1)()2nnnnizi | 1zi第17頁/共47頁第十八頁，共48頁。19 sinzsinsin()

8、sin()coscos()sinzziiziizii 22100( 1)( 1)sin1()1()(2 )!(21)!nnnnnnzishzichzinn sin2izizeezi 第18頁/共47頁第十九頁，共48頁。20341( ) () ( )f zz i f z 1( )f z3()zi 4( )f z0zi 3()zi z4( )f z0zi 0zi 33100()(9)!()!9!nnnziinzizn | 1zi 第19頁/共47頁第二十頁，共48頁。21001000()()()kkkkkczzcc zzczz kC第20頁/共47頁第二十一頁，共48頁。22第21頁/共47頁第

9、二十二頁，共48頁。23+-nnn-n0n0n0n=1n=0n=-c (z - z ) +c (z - z ) =c (z - z )nf (z) 22100)()()(azcazccazcnnn研究研究(ynji)了了 對于一般的函數(shù)對于一般的函數(shù)(hnsh)項級數(shù)項級數(shù) )()()(21zfzfzfn 1)(nnzf從數(shù)學(xué)研究的角度，應(yīng)該可以取具有負(fù)冪的從數(shù)學(xué)研究的角度，應(yīng)該可以取具有負(fù)冪的 ：1n-n-n-2-1-n0-n0-20-10c (z - z )=+c (z - z ) +c (z - z ) +c (z - z )更一般地，考慮雙邊冪級數(shù)：更一般地，考慮雙邊冪級數(shù)：取正冪項的

10、級數(shù)取正冪項的級數(shù)nf (z)第22頁/共47頁第二十三頁，共48頁。24nnnzzc)(0 考慮雙邊冪級數(shù)考慮雙邊冪級數(shù)負(fù)冪項部分負(fù)冪項部分(b fen)正冪項部分正冪項部分(b fen)主要主要(zhyo)部分部分解析部分解析部分nnnnzzc)(0 nnnzzc )(01同時收斂同時收斂 Laurent級數(shù)級數(shù) nnnzzc)(00 收斂收斂第23頁/共47頁第二十四頁，共48頁。25nnnzzc)(00 nnnzzc )(0110)( zz 令令nnnc 1收斂收斂(shulin)半徑半徑收斂收斂時時,R 101RRzz 收斂收斂(shulin)域域收斂收斂(shulin)半徑半徑2R

11、20Rzz 收斂域收斂域:)1( 21RR 若若兩收斂域無公共部分兩收斂域無公共部分,:)2(21RR 兩收斂域有公共部分兩收斂域有公共部分.201RzzR R結(jié)論結(jié)論：nn0n=-c (z-z )羅羅朗朗級級數(shù)數(shù)的的收收斂斂區(qū)區(qū)域域為為.201RzzR 圓環(huán)域圓環(huán)域且和函數(shù)在收斂域內(nèi)解析且和函數(shù)在收斂域內(nèi)解析為+這這里里可可為為1212R0，R0，R R可可注意：注意：祥祥 見見P185的定理的定理 5.1 第24頁/共47頁第二十五頁，共48頁。26:10 內(nèi)內(nèi)在在圓圓環(huán)環(huán)域域 z引例引例(yn l)(yn l)1(1)(zzzf 1,1112 zzzzznzz 111)1(1)(zzzf

12、 nzzzz211011z 在在圓圓環(huán)環(huán)域域內(nèi)內(nèi)，)1(1)(zzzf .)1()1()1(1)1(121 nzzzz nzzzz)1()1()1(1112 )1(1111zz10)1(1)( zzzzzf及及在在都都不解析不解析,但在圓環(huán)域但在圓環(huán)域10 z及及110 z內(nèi)都是內(nèi)都是解析的解析的.即即在在)(zf10 z內(nèi)內(nèi)可以展開成羅朗級數(shù)可以展開成羅朗級數(shù).也可以展開也可以展開(zhn ki)成羅朗級數(shù)：成羅朗級數(shù)：第25頁/共47頁第二十六頁，共48頁。27z0zRrDr1R12Cc1 102 f(z)Rz-zR設(shè)設(shè)在在圓圓環(huán)環(huán)域域內(nèi)內(nèi)處處處處解解析析，,)()(0nnnzzczf C

13、nnzfic d)()(21 10其中其中), 1,0( nC為圓環(huán)域內(nèi)繞為圓環(huán)域內(nèi)繞 的任一正向簡單閉曲線的任一正向簡單閉曲線. 0z為羅朗系數(shù)為羅朗系數(shù)(xsh). 那那末末在在D D內(nèi)內(nèi)可可展展開開成成羅羅朗朗級級數(shù)數(shù)f(z)第26頁/共47頁第二十七頁，共48頁。28：1201200 01212c ,cc ,c 為為以以z z 為為中中心心、包包含含在在環(huán)環(huán)域域r z-z Rr z-z R內(nèi)內(nèi)的的圓圓周周，且且z z位位于于由由c ,cc ,c 構(gòu)構(gòu)成成的的環(huán)環(huán)域域內(nèi)內(nèi)。這這里里211()1()( )22CCfffzddiziz 211()1()22CCffddiziz 證明證明(zh

14、ngmng)：2201001( )()()2()kkkCfIdzziz 1101101( )()2()kkkCfIdzziz 110101( )()()2()kkkCfdzziz 21II 21II 由復(fù)閉路由復(fù)閉路(b l)定理可知：定理可知：0( )|frzR由由于于在在內(nèi)內(nèi)解解析析，1212z,IICC和和 中中的的積積分分路路徑徑、可可改改為為環(huán)環(huán)內(nèi)內(nèi)任任一一不不經(jīng)經(jīng)過過 的的圓圓周周C C 可可得得0101( )( )()()2()kkkCff zdzziz 證畢證畢第27頁/共47頁第二十八頁，共48頁。29 i) i)羅朗級數(shù)羅朗級數(shù)(j sh)(j sh)中的正冪項系數(shù)不能記為

15、：中的正冪項系數(shù)不能記為： ( )01()!nncfzn ()000()()!nnnfzzzn 3) 與泰勒與泰勒(ti l)級數(shù)比較級數(shù)比較0101( )()()2()nnnCfdzziz ii)ii)羅朗級數(shù)羅朗級數(shù)(j sh)(j sh)是泰勒級數(shù)是泰勒級數(shù)(j sh)(j sh)的推廣的推廣. .說明說明:函數(shù)函數(shù))(zf在圓環(huán)域內(nèi)的在圓環(huán)域內(nèi)的羅朗展開式羅朗展開式)(zf在圓環(huán)域內(nèi)的在圓環(huán)域內(nèi)的羅朗羅朗(Laurent)(Laurent)級數(shù)級數(shù). . nnnzzczf)()(0 1) 2) 某一圓環(huán)域內(nèi)的解析函數(shù)展開為含有正、負(fù)冪項的級數(shù)是唯一的，某一圓環(huán)域內(nèi)的解析函數(shù)展開為含有正

16、、負(fù)冪項的級數(shù)是唯一的， 這就是這就是 f (z) 的羅朗級數(shù)的羅朗級數(shù). 01001( )( )()()2()nnnCff zdzziz 第28頁/共47頁第二十九頁，共48頁。30102|RzzR( )f z第29頁/共47頁第三十頁，共48頁。31 (1) 直接直接(zhji)展開法展開法利用定理公式計算系數(shù)利用定理公式計算系數(shù)nc101( )d(0 ,1 ,2 ,)2()nnCfcniz 然后然后(rnhu)寫出寫出.)()(0nnnzzczf 缺點缺點: 計算往往很麻煩計算往往很麻煩, 不常用不常用方法方法 : 1. 直接法直接法 2. 間接法間接法 第30頁/共47頁第三十一頁，共

17、48頁。32(2) 間接間接(jin ji)展開法展開法 根據(jù)羅朗級數(shù)根據(jù)羅朗級數(shù)(j sh)的正、負(fù)冪項組成的的級數(shù)的正、負(fù)冪項組成的的級數(shù)(j sh)的唯一性的唯一性, 用代數(shù)運算、代換、求導(dǎo)和積分用代數(shù)運算、代換、求導(dǎo)和積分(jfn)以及已有的以及已有的Taylor展開式等方法去展開展開式等方法去展開 .優(yōu)點優(yōu)點 : 簡捷簡捷 、快速、快速 ，所以常用，所以常用第31頁/共47頁第三十二頁，共48頁。332sin zzsin zz0 |z 242sin(1)13 !5 !(21) !nnzzzzzn 3212sin1(1)3 !5 !(21) !nnzzzzzzn 解：解：此時用此時用s

18、inz 的的Taylor展式展式,)!()(sin 012121nnnznz第32頁/共47頁第三十三頁，共48頁。34例例2 2 : )2)(1(1)( 在圓環(huán)域在圓環(huán)域函數(shù)函數(shù) zzzf1);011z;21)2 z.2)3 z內(nèi)解析內(nèi)解析(ji x),(ji x),把把 f(z) f(z) 在這些區(qū)域在這些區(qū)域(qy)(qy)內(nèi)展成內(nèi)展成LaurentLaurent級數(shù)級數(shù). .解解11( ),12f zzz1) 011 , z 在在內(nèi)內(nèi)11 ,z 由由于于011(1)21(1)nnzzz ( )f z 所所以以01(1)1nnzz 211(1)(1)1zzz 第33頁/共47頁第三十四頁

19、，共48頁。35 , 21 )2內(nèi)內(nèi)在在 z12oxyzzz111111 21111zzz1 z由由11 z2 z12 z且仍有且仍有 2112121zz nnzzz22212122)( zf于是于是 21111zzz 2222121zz 842111121zzzzznn第34頁/共47頁第三十五頁，共48頁。36, 2 )3內(nèi)內(nèi)在在 z2oxy2 z由由12 z此時此時zzz211121 24211zzz, 121 zz此時此時仍有仍有zzz111111 21111zzz)( zf故故 24211zzz 21111zzz.731432 zzz21( )1(1)(1)1f zzzz 137).

20、(f234zzzz第35頁/共47頁第三十六頁，共48頁。37說明說明(shumng):1. 函數(shù)函數(shù))(zf在以在以0z為中心的圓環(huán)域內(nèi)的羅朗級為中心的圓環(huán)域內(nèi)的羅朗級數(shù)中盡管含有數(shù)中盡管含有0zz 的負(fù)冪項的負(fù)冪項, 而且而且0z又是這些又是這些項的奇點項的奇點, 但是但是0z可能是函數(shù)可能是函數(shù))(zf的奇點的奇點,也可能也可能)(zf的奇點的奇點.不是不是2. 給定了函數(shù)給定了函數(shù))(zf與復(fù)平面內(nèi)的一點與復(fù)平面內(nèi)的一點0z以后以后,函數(shù)在各個不同的圓環(huán)域中有不同的羅朗展開函數(shù)在各個不同的圓環(huán)域中有不同的羅朗展開式式 (包括泰勒展開式作為它的特例包括泰勒展開式作為它的特例).回答回答(

21、hud)：不矛盾：不矛盾 .問題問題(wnt)：這與羅朗展開式的唯一性是否相矛盾：這與羅朗展開式的唯一性是否相矛盾?朗展開式是唯一的朗展開式是唯一的)(唯一性唯一性 : 指函數(shù)在某一個給定的圓環(huán)域內(nèi)的羅指函數(shù)在某一個給定的圓環(huán)域內(nèi)的羅第36頁/共47頁第三十七頁，共48頁。38例例3 3 分別將下列函數(shù)在指定分別將下列函數(shù)在指定(zhdng)(zhdng)點點 的去心鄰域內(nèi)展的去心鄰域內(nèi)展開成開成LaurentLaurent級數(shù)級數(shù)0z（1 1） 22sin zz00z 2222220sin1cos(2 )11( 1) (2 )222(2 )!nnnzzzzzzzn 利用三角公式利用三角公式2

22、2sin1cos(2 )zz和和cos(2 ) z 的的Taylor級數(shù)展開式可得當(dāng)級數(shù)展開式可得當(dāng) 02z 化簡得化簡得21212221sin( 1)2(2 )!nnnnzzzn (0)z 該展開式不含有該展開式不含有(hn yu)(hn yu)負(fù)冪項負(fù)冪項. . 第37頁/共47頁第三十八頁，共48頁。39(1)0,22lnln()ln21:z -iz+ i - ii z+ iz+ iz+ iiz-z+ i滿滿足足此此函函點點不不解解析析的的數(shù)數(shù)解解, zi i 即即時時，不不解解析析。2 |zi 函函數(shù)數(shù)在在環(huán)環(huán)域域內(nèi)內(nèi)解解析析。11Taylor2( 1)()2ln(1)nnnziizi

23、zin 由由ln(1+ )ln(1+ )的的展展式式得得1(2 )()nnnizin lnz -i,z+ i0zi （2 2） 第38頁/共47頁第三十九頁，共48頁。401( )2Cf z dzic 步驟：步驟：1.1.分析分析(fnx)f(z)(fnx)f(z)的解析性，確定解析的解析性，確定解析環(huán)域；環(huán)域；2.2.在包含積分路徑在包含積分路徑C C的解析環(huán)域里將函數(shù)的解析環(huán)域里將函數(shù)(hnsh)(hnsh)展成展成LaurentLaurent級數(shù)級數(shù)13.求求c|z|=52I =ln(1+)dzz例例 5第39頁/共47頁第四十頁，共48頁。41例例 619262|z|=1I =(z+

24、i) cosdzz+ i20,1cosziz+ i 1919解解：函函數(shù)數(shù)2(z+i)2(z+i)的的奇奇點點為為|zi 函函數(shù)數(shù)在在環(huán)環(huán)域域00內(nèi)內(nèi)解解析析。由由220221cos( 1) ()122coscos2(2 )!nnnzizzizin 及及0 |ziLaurent 得得被被積積函函數(shù)數(shù)在在內(nèi)內(nèi)的的展展式式為為21902( 1) ()112( )2() 22(2 )!nnnzf zzin 2119201( 1) 22() ()2(2 )!nnnnzizin 20112,22 10!cIic 其其中中 第40頁/共47頁第四十一頁，共48頁。4210822| | 2cos(10)(1

25、)zzzIdzz 例例8 8 21| |2(1)zzeIdzz z 計算積分計算積分11zz22( )( )dd2(0)2zf zzziiz 注意注意 用用Cauchy積分公式計算上述積分更方便，即積分公式計算上述積分更方便，即第41頁/共47頁第四十二頁，共48頁。43復(fù)積分計算復(fù)積分計算(j sun)的方法的方法1. ( )d ( ) ( )d ( : ( )Cf zzf z t z ttC zz t 2. ( )d0Cf zz (f(z)在在C的內(nèi)部解析的內(nèi)部解析) )003. ( )d( )|zzzzf zzF z (F(z)為為f(z)的原函數(shù)的原函數(shù)) )00( )4. d2()Cf zzif zzz (C為內(nèi)部包含為內(nèi)部包含z0的