第1節(jié) 復(fù)積分概念及簡單性質(zhì)

1、 Department of Mathematics第三章第三章 復(fù)變函數(shù)的積分復(fù)變函數(shù)的積分（9 9學(xué)時）學(xué)時）1.復(fù)積分的概念及其簡單性質(zhì)2.柯西積分定理3.柯西積分公式及其推論4.解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系復(fù)復(fù) 習(xí)習(xí): :101,( , ),(1,2, ),max,( ,)(1,2, ).lim( ,)( ,),( , ),iiiii niiiniiiTiiiLf x yLLTLnLin LsTTsLinfsJJTf x yL 設(shè) 為平面上可求長的曲線為定義在 上的函數(shù) 對曲線 作分割它把 分成 個可求長的小曲線段的弧長記為分割 的細度為在 上任取一點若極限且 的值與分割 與點的取法無關(guān)

2、則稱此極限為在第一型曲線的積分上記( , ).Lf x y ds作 第一型曲線積分的定義第一型曲線積分的定義第二型曲線積分的定義第二型曲線積分的定義1011111( , )( , ):,(1,2, ),max,( ,),(1,2, ),( ,)iiniiiiiiiiiiiiii niiiiP x yQ x yL ABLTLnMMinMA MBMMsTTsTM x yxxxyyyinMM 設(shè)函數(shù)與定義在平面有向可求長度曲線上對 的任一分割它把 分成 個小曲線段其中記各小曲線段的弧長為分割 的細度為又設(shè) 的分點在每個小曲線段上任取一點0011,lim( ,)lim( ,),( ,),( , ),(

3、 , ),( , )( , )nniiiiiiTTiiiiLPxQyTP x y Q x YLP x y dxQ x y dy 若極限存在 且與分割 與點的取法無關(guān) 則稱此極限為沿有向曲線第二型曲線作積分上的記 Department of Mathematics第一節(jié)第一節(jié) 復(fù)積分的概念及其簡單性質(zhì)復(fù)積分的概念及其簡單性質(zhì) 1 1、復(fù)變函數(shù)積分的的定義、復(fù)變函數(shù)積分的的定義 2 2、積分的計算問題、積分的計算問題3 3、基本性質(zhì)、基本性質(zhì)一、復(fù)變函數(shù)積分的定義一、復(fù)變函數(shù)積分的定義1.1.有向曲線有向曲線 設(shè)設(shè)C為平面上給定的一條光滑為平面上給定的一條光滑( (或按段光滑或按段光滑) )曲曲線

4、線, , 如果選定如果選定C的兩個可能方向中的一個作為正的兩個可能方向中的一個作為正方向方向( (或正向或正向), ), 那么我們就把那么我們就把C 理解為帶有方向理解為帶有方向的曲線的曲線, , 稱為稱為有向曲線有向曲線. .xyoAB如果如果A到到B作為曲線作為曲線C的正向的正向,那么那么B到到A就是曲線就是曲線C的負向的負向, . C記為記為簡單閉曲線正向的定義簡單閉曲線正向的定義: 簡單閉曲線簡單閉曲線C(周線周線)的正向的正向是指當(dāng)曲線上的點是指當(dāng)曲線上的點P順此方順此方向前進時向前進時, , 鄰近鄰近P點的曲線點的曲線的內(nèi)部始終位于的內(nèi)部始終位于P點的左方點的左方. xyoPPPP

5、與之相反的方向就是曲線的負方向與之相反的方向就是曲線的負方向.關(guān)于曲線方向的說明關(guān)于曲線方向的說明: : 在今后的討論中在今后的討論中,常把兩個端點中的一個作常把兩個端點中的一個作為起點為起點, 另一個作為終點另一個作為終點, 除特殊聲明外除特殊聲明外, 正方正方向總是指從起點到終點的方向向總是指從起點到終點的方向.2. 2. 定義定義3.13.1( ),( ) , ( ) , azbzf zCCab以為起點為終點沿 有定義 順著從 到 的方向取分點oxyab1 nzkz1 kz2z1zk C1 2 1 (1,2, ),kkkzzkn在每個弧段上任意取一點設(shè)有向曲線C( ),()zz tt 0

6、11,kknazzzzzb把曲線C分成若干弧段,作和式1 (),nnkkkSfz1 (),nnkkkSfzoxyab1 nzkz1 kz2z1zk C1 2 1 , , ,( )(),( )(),( ):kkknCzzzSJf zCabJf zCabf z dz其中當(dāng)分點無限增多 而這些弧段長度的最大值趨于零時 如果和數(shù) 的極限存在且等于則稱沿從 到可積 而稱 為沿從 到的積分 并記號表示( )d .CJf zz.C稱為積分路徑( )d,Cf zzC表示沿 正方向積分( )dCf zzC表示沿 負方向積分.關(guān)于定義的說明關(guān)于定義的說明:(1) , ( ),.baJJf z dzJa bC如果

7、存在 一般不能把 寫成因為的值不僅和有關(guān) 而且和積分路徑 有關(guān)(2) ( ),( ).f zCf zC沿 可積的必要條件是沿 有界1(3)( )dlim().nkkCnkf zzfz3. 定理定理3.1( )( , )( , ),( ) ,f zu x yiv x yCf zC若函數(shù)沿曲線 連續(xù)則沿可積 且證明證明 ),()()( ttyitxtzzC由參數(shù)方程給出由參數(shù)方程給出設(shè)光滑曲線設(shè)光滑曲線正方向為參數(shù)增加的方向正方向為參數(shù)增加的方向, , BA及終點及終點對應(yīng)于起點對應(yīng)于起點及及參數(shù)參數(shù) ( )dCCCf zzudxvdyivdxudy , ),(),()( 內(nèi)內(nèi)處處處處連連續(xù)續(xù)在在

8、如如果果Dyxviyxuzf , ),( ),( 內(nèi)均為連續(xù)函數(shù)內(nèi)均為連續(xù)函數(shù)在在和和那么那么Dyxvyxu , kkki 設(shè)設(shè) )( 111 kkkkkkkiyxiyxzzz因因為為 )()(11 kkkkyyixx, kkyix 1()nnkkkSfz nkkkkkkkyixviu1)(,(),( 1 (,)(,)nkkkkkkkuxvy , , 都是連續(xù)函數(shù)都是連續(xù)函數(shù)由于由于vu根據(jù)線積分的存在定理根據(jù)線積分的存在定理,所以所以1 (,)(,)nkkkkkkkivxuy 當(dāng)當(dāng) n 無限增大而弧段長度的最大值趨于零時無限增大而弧段長度的最大值趨于零時, , , ),( , 下下式式兩兩端

9、端極極限限存存在在的的取取法法如如何何點點的的分分法法任任何何不不論論對對kkC nkkkkkkknkkkkkkknkkkyuxviyvxuzf111),(),(),(),()( Czzfd)( Cyvxudd Cyuxvdd i : ddd )(相相乘乘后后求求積積分分得得到到與與yixzivuzf Czzfd)( Cyixivu)dd)( Cyvyiuxivxudddd.dddd CCyuxviyvxu Czzfd)( Cyvxudd Cyuxvdd i 在形式上可以看成是在形式上可以看成是公式公式即復(fù)函數(shù)積分可表為兩個實積分即復(fù)函數(shù)積分可表為兩個實積分.二二. 復(fù)變函數(shù)積分的計算問題復(fù)變

10、函數(shù)積分的計算問題( ),f zC沿 連續(xù) 則設(shè)有向曲線C( )( )( ),()zz tx tiy tt ( ) ( ) ( )d(3.2)Cf z dzf z t z tt( )Re ( ) ( )dIm ( ) ( )d(3.3)Cf z dzf z t z ttif z t z tt復(fù) 積 分 的 變 量 代 換 公 式或證明證明( )dCf zzddddCCu xv yiv xu y ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( )du x ty t x tv x ty t y tt ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( )div x ty t x tu x ty ty

11、tt tty itxtytxivtytxud)()()(),()(),(.d)()( ttztzf注注用公式(3.2)或(3.3)計算復(fù)變函數(shù)的積分,是從積分路徑的參數(shù)方程著手,稱為參數(shù)方程法參數(shù)方程法.例例1 解解0101 d , , (),) .( nCz Czrzzn求為以為中心為半徑的正向重周為整數(shù)要例題圓zxyor0z 積分路徑的參數(shù)方程為積分路徑的參數(shù)方程為),20(0 irezz Cnzzzd)(110 20)1(1d ninierire,d20 innerizxyor0z , 0 時時當(dāng)當(dāng) n Cnzzzd)(110 20d i;2 i , 0 時時當(dāng)當(dāng) n Cnzzzd)(1

12、10 20d)sin(cos ninrin; 0 rzznzzz0d)(1 10所所以以 . 0, 0, 0,2nni重要結(jié)論重要結(jié)論：積分值與路徑圓周的中心和半徑無關(guān)：積分值與路徑圓周的中心和半徑無關(guān). .,d20 inneri Cnzzzd)(110三、復(fù)變函數(shù)積分的性質(zhì)復(fù)積分與實變函數(shù)的定積分有類似的性質(zhì)復(fù)積分與實變函數(shù)的定積分有類似的性質(zhì).;d)(d)()1( CCzzfzzf )(;d)(d)()2(為常數(shù)為常數(shù)kzzfkzzkfCC ;d)(d)(d)()()3( CCCzzgzzfzzgzf12 (4) , , nCC CC如果是由等光滑曲線依次相互連接所組成的按段光滑曲線 則1

13、2( )( )d( )d( )d .nCCCCf z dzf zzf zzf zz , ( ) ( ), ( )d( ) d.CCCLf zCf zMf zzf zsML設(shè)曲線 的長度為函數(shù)在上連續(xù)且滿足那末估值不等式估值不等式22(5)( )d( )d( ) d ,()()CCCf zzf zzf zsdzdxdyds弧長微分(6)積分估值積分估值定理定理3.2證明證明 , 1兩兩點點之之間間的的距距離離與與是是因因為為 kkkzzz , 度度為這兩點之間弧段的長為這兩點之間弧段的長ks knkkzf 1)( 所以所以 nkkkzf1)( nkkksf1)( 兩端取極限得兩端取極限得.d)(

14、d)( CCszfzzf nkkksf1)( 因因為為 nkksM1,ML .d)(d)( MLszfzzfCC 所所以以證畢證畢證明證明 2, (01) Cztit 的參數(shù)方程為而而C之長為之長為2,根據(jù)估值不等式知根據(jù)估值不等式知21dCzz21dCsz2211zz例例221 d2, 2 CzzCii試證積分路徑為連接 到點的直線段.21 ,Cz因為在上連續(xù) 且1212ti2141tdCs22xyo2i2i例例3 , . izCe dzCzRRR試證積分路徑為圓周的上半圓周從 到證明證明 :Re , (0) iC zizCe dzizCedzsin0ReRdsin202ReRd2sin,(

15、0)2由于2202ReRd(1)ReizCe dz220|Re xy0R .R.例例4 解解. 1 1 (3) ; 1 (2) ; 1 (1) : ,dRe 2的折線的折線再到再到軸到點軸到點從原點沿從原點沿的弧段的弧段上從原點到點上從原點到點拋物線拋物線的直線段的直線段從原點到點從原點到點為為其中其中計算計算ixixyiCzzC (1) 積分路徑的參數(shù)方程為積分路徑的參數(shù)方程為),10()( titttz,d)1(d,Re tiztz 于于是是 CzzdRe 10d)1(tit);1(21i xyoi 11iy=x(2) 積分路徑的參數(shù)方程為積分路徑的參數(shù)方程為xyoi 11iy=x2xy

16、),10()(2 titttz,d)21(d,Re ttiztz 于于是是 CzzdRe 10d)21(titt1032322 tit;3221i xyoi 11iy=x2xy (3) 積分路徑由兩段直線段構(gòu)成積分路徑由兩段直線段構(gòu)成x軸上直線段的參數(shù)方程為軸上直線段的參數(shù)方程為),10()( tttz1到到1+i直線段的參數(shù)方程為直線段的參數(shù)方程為),10(1)( tittz,dd,Re tztz 于于是是,dd, 1Re tizz 于于是是 CzzdRe 10dtt 10d1ti.21i 積分路徑不同積分路徑不同,積分結(jié)果也可能不同積分結(jié)果也可能不同.例例5 解解, 12zdzzz計算積分其中 為圓環(huán)及